精选新版2019年高中数学单元测试试题-推理与证明专题测试题库(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含
答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若 ()2
f k k ≥成
立，则()()2
11f k k +≥+成立，下列命题成立的是
A ．若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2
f k k ≥成立；
B ．若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2
f k k <成立；
C ．若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2
f k k <成立；
D ．若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2
f k k ≥成立。

（2007上海文理
15）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
2． 对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:
3
325⎧⎨⎩ 373911
⎧⎪⎨⎪⎩ 313
1541719
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ …. 仿此,若3
m 的“分裂数”中有一个是59,则m 的值为 . 3．把1，3，6，10，15，21，
这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成
4．观察下列式子：47
4
131211,3531211,2321122222<+++<++<+
…则可归纳出第(1,)n n n N *≥∈个不等式是 ▲ ．
5．观察下列等式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…从中可归纳得出第n 个等式是 ．
6． 给出下列等式：
π2cos 4，
π2cos 8=，
π2cos 16=， ……
请从中归纳出第n ()
n ∈*N 个等式：2
222n +⋅⋅⋅+=个 ▲ ．
7．如图3都是由边长为1的正方体叠成的图形
图3
例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单
位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第n 个图形的表面积是__________个平方单位．
8．有甲、乙、丙、丁四位同学参加数学竞赛，其中只有一位同学获奖. 有人走访了四位同学，甲说：“丙获奖了”. 乙说：“我获奖了”. 丙说：“乙、丁都未获奖”. 丁说：“是乙或丙获奖了”.
四位同学的话中，恰有两句是对的，则获奖的同学是 ▲ . 乙
9．观察下表 ：
.......
(2711978531)
1=++=+= 你可以猜出的结论是________
10．设等边ABC ∆的边长为a ,P 是ABC ∆内任意一点,且P 到三边AB 、BC 、CA 的距离分别为1d 、2d 、3d ,则有321d d d ++为定值
a 2
3
;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设正四面体ABCD 的棱长为a ,P 是正四面体ABCD 内任意一点,且P 到平面ABC 、平面ABD 、平面ACD 、平面BCD 的距离分别为1h 、2h 、3h 、h 4，则有321h h h +++h 4为定值______▲______.
11．设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f = ； 当ｎ＞４时，()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）
12．已知：23150sin 90sin 30sin 2
2
2
=
++
；2
3125sin 65sin 5sin 222=++
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：____________________________=
2
3
（ * ）并给出证明．
13．在平面上有n 条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成几部分？______________
14．已知P 为抛物线x y 42
=的焦点,过P 的直线l 与抛物线交与A,B 两点，若Q 在直线l 上,且满足||||||||AP QB AQ PB =，则点Q 总在定直线1x =-上．试猜测如果P 为椭圆
22
1259
x y +=的左焦点，过P 的直线l 与椭圆交与A,B 两点，若Q 在直线l 上,且满足||||||||AP QB AQ PB =，则点Q 总在定直线 上．
三、解答题
15．证明：5,3,2不能为同一等差数列的三项.
16．用数学归纳法证明不等式：21111
1(1)12
n N n n n n n
*++++
>∈>++且．
17．用数学归纳法证明：l 3+23+33+…+n 3=14n 2(n +1)2(n ∈N ﹡
)．
18．用数学归纳法证明：当n 为正整数时，13
＋23
＋33
＋……＋n 3
＝22
(1)4
n n +．
19．⑴设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； ⑵设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明
n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log ．
20．
对于给定首项)00x a >
>
，由递推式112n n x x +⎛= ⎝()n +∈N 得到数列{}n x ，且对于任意的n +∈N ,
都有n x >，用数列{}n x
(1) 取05x =，100a =，计算123,,x x x 的值（精确到0.01），归纳出n x ，1n x +的大小关系；
(2) 当1n ≥时，证明()111
2
n n n n x x x x +--<
-； (3) 当[]05,10x ∈时，用数列{}n x
4110n n x x -+-<，请你估计
n ，并说明理由．
21．设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． (Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； (Ⅱ）证明：11n n a a +<<；
(Ⅲ）设1(1)b a ∈，
，整数11ln a b
k a b
-≥．证明：1k a b +>．（全国一22）
22．已知数列{}n a 中，n
n n a a a a -+=
=+74
3,417．
（Ⅰ）是否存在自然数m ，使得当m n ≥时，2<n a ；当m n <时，2>n a ？ （Ⅱ）是否存在自然数p ，使得当p n ≥时，总有n n n a a a <++-2
1
1？
23．（本小题满分10分）
如图，圆周上有n 个固定点，分别为A 1，A 2，…，A n （n *∈N ，n ≥2），在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n ． （1）写出a 2，a 3，a 4的值；
（2）写出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．
A A
24．已知23
0123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-+
+-，（其中
n N *∈）
⑴求0a 及123n n S a a a a =+++
+；
⑵试比较n S 与2
(2)22n
n n -+的大小，并说明理由．
25．已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1n
n n a a n a +=∈+N ．
（1）求2a ，3a 的值；
（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．（本小题满分10分）
26．在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*
+==++-∈N ，，其中0λ>．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *
∈N ，使得
11n k n k
a a
a a ++≤对任意n *∈N 均成立． 本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解法一：222
22(2)22a λλλλ=++-=+，
2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+，
3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．
由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n
n a n λ=-+．
以下用数学归纳法证明．
（1）当1n =时，12a =，等式成立．
（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k
k a k λ=-+，
那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k
k λλλλλ++=-+++-
11[(1)1]2k k k λ++=+-+．
这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2
n n
n a n λ=-+对任何n *
∈N 都成立．
解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*
+=++-∈N ，0λ>，
可得1
1
1221n n
n n
n n a a λλλλ+++⎛⎫
⎛⎫
-=-+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， 所以2n
n n a λλ⎧⎫⎪⎪
⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列
{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．
（Ⅱ）
27．
>本题满分14分）
28． (本小题满分16分) 已知数列
111
1
,,,,
1447710
(32)(31)
n n ⨯⨯⨯-+的前n 项和为n S ．
（1）计算1234,,,S S S S ,根据计算结果,猜想n S 的表达式,并用数学归纳法进行证明； （2）试用其它方法求n S ．
29．（本小题满分16分）
设函数()1,()(1)2x
f x e
g x e x =+=-+(e 是自然对数的底数)． (1)判断函数()()()H x f x g x =-零点的个数，并说明理由； (2)设数列{}n a 满足：1(0,1),a ∈且1()(),n n f a g a n N ++=∈； ①求证：01n a <<；
②比较n a 与1(1)n e a +-的大小．
30．设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于
4
1。