初中数学“结构不良型”问题的设计与思考

2021年第3期
中学数学教学参考（中旬>
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f 学论教1
初中数学“结构不良型”问题的
设tk 与思考，
钱德春（江苏省泰州市教育局教研室）
摘要：数学问题在结构上可分为“结构良好型”和“结构不良型”两类。

“结构不良型”数学问题是对数学
问题形式与结构的创新。

通过对数学“结构不良型”问题的设计类型、设计策略、设计原则和应用场景的研 究，引导教师教学与考试评价时不仅要关注知识与技能，而且要关注思维方式与思维品质、探究能力与数 学素养。

关键词：数学问题；结构不良；设计类型；设计策略；设计原则 文章编号：1002-2171 (2021)3-0002-03
数学问题在结构上可分为“结构良好型”和“结构 不良型”两类。

“结构良好型”问题的条件与结论明确 且匹配（不多不少）、问题目标与解决路径确定且收敛 (有限可预测），而“结构不良型”问题的条件与（或）结 论、问题目标与解决方案都不明确。

传统的数学问 题，尤其是试题以“结构良好型”问题为主，更多地着 眼于数学知识与技能。

目前，在核心素养理念下，数 学问题在形式与结构上发生了变化，高考或中考题也 出现了“结构不良型”问题，旨在引导教师教学与评价 时不仅要关注知识与技能，而且要关注思维方式与思 维品质、探究能力与数学素养。

本文结合具体案例， 谈谈对数学“结构不良型”问题的设计类型、设计策 略、设计原则和应用场景的思考。

1 “结构不良型”问题的设计类型
“结构不良型”问题可分为“条件不确定”“结论不 确定”“条件与结论均不确定”和“路径不确定”4种类 型，其分类及相互关系如图1所示。

“条件不确定”问题分为“条件部分缺失”和“条件 部分冗余”两类。

“条件部分缺失”类问题需要添加条 件并完成解答，此类问题又可分为“自主添加条件”和 “选择添加条件”两类。

“自主添加条件”问题是缺少
的条件可自主添加，没有限制；“选择添加条件”问题 中缺少的条件在提供的几个条件中选择添加，再完成 解答。

“条件部分冗余”类问题需要对冗余条件自主 甄别、筛选并完成解答。

路径不确定一分析寻找确定
图1
“结论不确定”问题包括“自主提出结论（或问 题）”和“提供结论（或问题）供选择”两种类型。

而“条 件与结论均不确定”问题兼有“条件不确定”和“结论 不确定”两类问题的特点与要求。

“路径不确定”问题一般有完整的条件、明确的目 标（结论或问题），但从条件到目标选择什么路径、运 用什么方法并不明确，需要分析、寻找并确定。

*第十三期江苏省中小学教学研究课题“基于教育集团的初中数学作业设计与反馈的实践研究”（课题编号：2019JK 13-
L 394)的阶段性研究成果。

条件与结论均不确定结构不良型”问题的分类与关系结构图
__________|「条件部分缺失-条件不确定-----------------------条件部分冗余__________提供开放结论
结论不确定-1■没有问题结论-自主添加 选择添加
自主添加
选择添加结
构不良
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2 “结构不良型”问题的设计策略
这里主要讨论“条件不确定”“结论不确定”和“路 径不确定”三类问题的设计策略，“条件与结论均不确 定”问题的设计可以参考上述情形。

2.1 “条件不确定”问题的设计策略
“条件不确定”问题可分为“条件部分缺失”和“条 件部分冗余”两类。

案例1
如图2,已知
d
A A
B
C 中，Z B = 45。

，AJB = 6，Z C =30°，求 BC 的长。

这是一个常规问题，只要作
图2
B C 边上的高A H ，分别解R t A A B H 和R tA A C H ， 即可得B C =3#+3在。

如何以该问题为基础，设计 条件不确定的问题呢？
2.1.1
“条件部分缺失”问题
此类问题的条件不完整，需要补充条件才能解决 问题。

有的需要自主添加条件，有的则是提供几个条 件供选择。

(1)自主添加条件
“结构不良型”问题可以设计成“条件部分缺失” 需自主添加条件的问题。

如案例1可以进行如下设计。

问题1:已知A A B C 中，Z B = 45°，A B = 6。

请添 加适当的条件，使B C 边的长唯一确定，并求出BC 的长。

显然，只由和两个元素确定的A A B C 是 不确定的，而要“B C 边的长唯一确定”，即A A B C 有 唯一解，必须添加条件。

在A A B C 的6个元素中，除 已知元素和所求的元素B C 外，添加的元素 只能是Z A ，Z C 和A C 中的一个。

①
若添加的条件是角，只要满足Z A + Z B < 180°或Z C +Z B <180°，B C 边的长都唯一确定。

在 封闭测试的环境下，为方便问题解决，添加的角应尽 可能为特殊角。

即便如此，不同的特殊角，其思维量 与运算量也有所不同。

②
若添加的条件是边，则只能是A C 。

此时问题 可转化为讨论“已知两边和其中一边的对角”的三角 形确定性问题。

作
丄B j P ，则 A H = 6sin 45° = 3#，以点 A 为
圆心、A C =W 为半径画弧，B C 长度由该弧与射线B P 公共点的个数确定，即由m 与的大小关系确定。

如图3,当W <3 W 时，所作弧与无公共点，此时 B C 不存在；如图4,当m = 3v ^时，所作弧与射线 有唯一公共点（即点C 与点H 重合），此时B C = A H = 3W ;如图5,当3W <m <6时，所作弧与射线
有两个公共点，此时B C 有两解；如图6,当m >6 时，所作弧与射线B P 只有一个公共点（不包含点 B )，此时B C 唯一确定。

图3
综上所述，添加的条件应为A C = 3#或满足 的任意长度。

事实上，应对此类问题时，要将添加条件与寻找 思路甚至解答过程通盘考虑。

如果没有对思路的思 考、过程的认识和结果的洞察，添加的条件可能会无 效、无解。

这就要求我们对问题和结果、知识与策略 整体把握，并反复推敲、权衡利弊，做出全面的判断和 合理的选择。

(2)选择添加条件
有些“条件部分缺失”问题，另外给出几个条件供 选择添加，再解决问题。

如将案例1设计成如下两个 问题。

问题 2:已知 A AJBC 中,Z B = 45°，A B = 6,_____(给出条件：①A C = 4,②A C =8,③外接圆半径为4。

在这3个条件中选择一个补充在前面的横线上），则
B C 的长是否存在？若存在，求出B C 的长；若不存
在，请说明理由。

（注：如果3个问题都解答，按第一 个解答计分）
问题 3:已知 A A B C 中，Z B = 45°，A B = 6,______
(给出条件：①A C =4,②A C =8,③外接圆半径为4。

在这3个条件中选择一个补充在前面的横线上），使
B C 的长唯一确定，并求出B C 的长。

这两个问题都属于“选择添加条件”的“结构不良 型”问题。

对比发现，尽管供选择的条件相同，但由于 问题目标和要求不同，解题思路、思维含量和过程长 度会有较大区别。

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对于问题2,因为B C 的长只有“存在”与“不存 在”两种情形，从所给的3个条件中任意选择一个添 加，并只研究这种情况即可。

若选择条件①.因为 A C =4<3v ^"(如图3)，所以A A B C 不存在，故B C 长 不存在；若选择条件②，因为A C =8>6=A B (如图 6)，以点A 为圆心、A C 长为8画弧与射线只有1个公共点，可求得B C =3
若选择条件③
(如图5),求得A C =4 W ，此时3 v ^<A C <6,求得 B C =3
或 3 #+ y n 。

对于问题3,由解决问题2的过程可知，并非添加 任意条件都能使的长唯一确定，故必须对提供的 3个条件依次进行判断。

显然问题3的思维含量与 难度超过了问题2。

2. 1.2 “条件部分冗余”问题
“条件部分冗余”问题可来源于现实生活的真实 情境，也可来源于数学内部的人为设计，都必须对条 件进行自主甄别、筛选并解决问题。

此类问题的结构 可分为两类：一类是在所有条件中，任意选择其中部 分条件组合即能解决问题；另一类是只有部分条件对 解决问题发生作用，还有部分条件冗余，且可能还会 干扰问题的解决。

案例2
新华网2020年12月31日消息（原文有
删减）：商务部数据显示，2020年11月，国内汽车市 场加快复苏，新能源汽车11月销量为20万辆，同比 增长104. 9%; 1月一11月累计销量110.9万辆，同比 增长3. 9%。

根据《中国新能源汽车产业发展报告 (2020 )》显示，2019年我国新能源汽车销量达 120. 6万辆，占全球总销量的53%,较2018年57%的 全球占比有所下降，产业规模连续五年居世界首位 (2013年一2019年中国能源汽车销量及市场占比如 图7所示）。

2013年一2019年中国能源汽.乍销1及市场占比
单位：万辆市场占比(％)
[Z I 新能源汽车销M —新能源汽车山'场占比
图7
(1) 求2013年一2019年中国能源汽车市场销售
年平均占比；
(2)
能否求出2013年一2020年传统能源汽车市
场销售总量？请说明理由。

案例3 二次函数的图像如 图8所示，求函数表达式。

案例2与案例3都属于条件 冗余问题，但二者有明显的区别：案例2来源于现实情境，其中一些 无效信息对问题解决有一定的干
扰，需要对相关信息进行分析、判断，从中选择与整合 有效信息。

案例3来源于数学内部,提供了 4个条件 (其中顶点坐标可视为两个条件）。

一般来说，求二次 函数表达式需要3个条件，选择其中任意3个条件组 合均可求出表达式。

显然条件冗余，但相互不冲突、不 矛盾。

此时我们需要思考选择怎样的条件组合，才能 使解决问题的思路更流畅、过程更简洁。

2.2 “结论不确定"问题的设计策略
如前文所述，“结论不确定”问题分为“自主提出 结论（或问题）”和“提供结论（或问题）供选择”两种 类型。

2.2.1自主提出结论（或问题）
有些问题只提供情境或背景，需要自主提出结论 或问题，属于完全开放的“结构不良型”问题。

如将案 例2中的问题设计成“根据上述信息自主提出一个问 题并解答”;也可对提出的结论或问题适当给予方向 性引导或条件限制，如将案例2中的问题设计成“比 较2020年与往年新能源汽车销量和占比数据，请你 写出两个结论”。

2. 2. 2 提供结论（或问题）供选择
在封闭测试的环境下，问题更 适合设计成结论半开放的“结构不 良型”问题，即给出几个结论或问 题供选择，再验证结论或解决问题。

案例4
二次函数的图像如
图9所示，请在下列结论中选择一图9
个进行解答：（1)求A A B C 的面 积以2)求Z A C B 的正弦值。

(未完待续）。