有关辗转相除法和更相减损术的问题演示文稿

短除法
求以下几组正整数的最大公约数。
(注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示
m和n的最大公约数。)
（1）（18，30） 6；
（2）（24，16）
8；
（3）（63，63） 63；
（4）（72，8） 8；
（5）（301，133 ） 7；
想一想，如何求8251与6105的最大公约数？第2页，共16页。
21-7=14， 14-7=7.
所以最大公约数是7.
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例2 分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大 公约数.
辗转相除法：
168=93×1+75， 93=75×1+18，
75=18×4+3，
18=3×6.
更相减损术:
168-93=75， 93-75=18， 75-18=57， 57-18=39， 39-18=21， 21-18=3， 18-3=15， 15-3=12， 12-3=9， 9-3=6，
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开始
输入m， n
n=r
m= n 求m除以n的余数 r≠0？ r 是 否 输出m
结束
INPUT m，n
WHILE r<>0 r=m MOD n m=n n=r
WEND PRINT m END
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练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数：
（1）（225，135）
45 （2）（98，196）
有关辗转相除法和更相减损术的问 题演示文稿
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探究一,辗转相除法
思考1:在小学中我们是如何求出两个正整数的最大公约数的 呢?
算法案例之求最大公约数
例、求18与24的最大公约数：
解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。
得：18和24最大公约数是：2×3＝6
讨论:该算法的程序框图如何表示？
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开始
m=k 否
输入m，
n
m≠n？ 否
是 k=m-
n
n>k？ 输出m
是 m= n n=k
Байду номын сангаас
结束 讨论:该程序框
图对应的程序如何 表述？
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思考2:对于8251与6105这两个数，它们的最大公约数是
多少？你是怎样得到的？
由于它们公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数 就比较困难.有没有其它的方法可以较简单的找出它们的最大 公约数呢？
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思考3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105 这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？
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练习:用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，
可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？
第一步，给定两个正整数m，n(m>n). 第二步，计算m-n所得的差k.
第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小 者用n表示.
第四步，若m=n，则m，n的最大公约数等于m；否则 ，返回第二步.
6-3=3.
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例4 求325，130，270三个数的最大公约数. 因为325=130×2+65，130=65×2，所以325与130的
最大公约数是65. 因为270=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以
65与270最大公约数是5. 故325，130，270三个数的最大公约数是5.
向第②步继续循环执行。
如此循环，直到得到结果。
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思考5:你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？ 第一步，给定两个正整数m，n(m>n). 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m=n，n=r.
第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，
返回第二步.
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程序框图
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思考4：辗转相除直到何时结束？ 主要运用的是哪种算法结构？
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤， 这实际上是一个循环结构
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：
① 输入两个正整数m和n； ② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r。 ④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，否则转
98
（3）（72，168）
24 （4）（153，119）
17
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二、更相减损术
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“ 更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数， 即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数， 以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”
意思是：
第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶
数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步.
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把差与较 小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所 得的数相等为止，则这个等数或这个数与约简的数的 乘积就是所求的最大公约数.
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例1：用更相减损术求98与63的最大公约数.
因为63不是偶数，所以 98-63=35， 63-35=28， 35-28=7， 28-7=21，
我们发现6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的 公约数和2146与1813的公约数相等.
思考4：重复上述操作，你能得到8251与6105这两个 数的最大公约数吗？ 8251=6105×1+2146， 1813=333×5+148， 6105=2146×2+1813， 333=148×2+37， 2146=1813×1+333， 148=37×4+0. 定义:所谓的辗转相除法,就是对于给定的两个数, 用较大的数除以较小的数,若余数不为零,则将余数 和较小的数构成新的数对,继续上面的除法, 直到大数 被小数除尽,则这是较小的数就是原来两个数的最大公约数
INPUT m，n DO
r=m MOD n m=n
n=r LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
开始
输入m， n 求m除以n的余数 r
m=n
n=r
r=0？ 否 是
输出m
结束
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思考6:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除 法求两个正整数m、n的最大公约数的程序框图和程序分 别如何表示？