四川省雅安市天全中学2016届高三(开学检测)8月月考数学(理)试题

天全中学高三8月月考数学试题（理科）
注意：必须将试题的答案写在答题卷上，否则不给分！
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．计算（i为虚数单位）等于（）
A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D． 1+i
2．若平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则，则||=（）
A．B．C．2D． 5
3．设a，b为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙：ab＞b2，则命题甲是命题乙的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图
如图所示，该四棱锥侧面积等于（）
A．20 B．5C．4（+1）D．4
5．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的
图象大致是（）
A．B．C．D．
6．阅读程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中填入的语句为（）A．S=2*i+4 B．S=2*i﹣1
C．S=2*i﹣2 D．S=2*i
7．（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
8．某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作，
每个地段至少有1名学生的分配方案共有（）
A．60种B．90种C．150种D．240种
9．把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函
数f（x）的图象，则函数f（x）为（）
A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数
10．设点P在曲线y=x2上，点Q在直线y=2x﹣2上，
则PQ的最小值为（）
A．B．C．D．
11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=
的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为线段PF的中点，则双曲线的离心率等于（）
A．B．C．D．
12．若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（）
A．0＜α＜B．＜α＜
C．α＜D． 0＜α＜或α＞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
13．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）=_____________．14．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为_____________海里．
15．设O为坐标原点，点，若M（x，y）满足不等式组，则
的最小值是_____________．
16．已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=1+，若对任意的自然数n≥4，恒有＜a n＜2，
则a的取值范围为_____________．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A={x|x2﹣5x+4≤0}，集合B={x|2x2﹣9x+k≤0}．
（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若B⊆A，求实数k的取值范围．
18．（12分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD
是菱形，AC=2，BD=2，E是PB上任意一点．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平
面PAB所成角的正弦值．
20．（12分）已知定义x∈在偶函数f（x）满足：当x∈时，f（x）=x+2，函数g（x）=ax+5﹣2a（a＞0），
（1）求函数f（x）在x∈上的解析式：
（2）若对于任意x1，x2∈，都有g（x2）＞f（x1）成立，求实数a的取值范围．21.（12分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
（1）投资股市：
投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%
概率
（2）购买基金：
投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%
概率p q
（Ⅰ）当时，求q的值；
（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；
（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）=x+xlnx，h（x）=x﹣lnx﹣2
（Ⅰ）试判断方程h（x）=0在区间（1，+∞）上根的情况
（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）＞kx﹣k对任意x＞1恒成立，求k的最大值
（Ⅲ）记a1+a2+…+a n=，若a i=2ln2+3ln3+…+klnk（k＞3，k∈N*），证
明＜1（n＞k，n∈N*）
天全中学高三8月月考数学参考答案（理科）
一、选择题：CBADA DBCAD CB
二、填空题：
13．14． a 15．16．（0，+∞）
三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（1）∵x2﹣5x+4≤0，∴1≤x≤4，∴A=；（3分）
（2）当B=∅时，△=81﹣8k＜0，求得k＞．（6分）
∴当B≠∅时，有2x2﹣9x+k=0的两根均在内，
设f（x）=2x2﹣9x+k，则解得7≤k≤．（9分）
综上，k的范围为，则﹣x∈，结合函数f（x）是上的偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=﹣x+，所以．
（2）对任意的x1，x2∈，都有g（x2）＞f（x1）成立，则只需g（x）min≥f（x）max，又因为y=f（x），x∈是偶函数，所以f（x）的值域就是f（x）在值域．
而当x∈时，f（x）=x+2，令t=，
原函数化为y=﹣t2+2t+2=﹣（t﹣1）2+3，t∈，显然t=1时f（x）max=3，
又因为g（x）min=﹣3a+5，则由题意得，解得0即为所求．
21.（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种
投资结果相互独立，所以p++q=1．又因为，所以q=．…（3分）
（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事
件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则，且A，B独立．
由上表可知，，P（B）=p．
所以
==．
因为，所以．
又因为，q≥0，所以．
所以．…（8分）
（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：
X 4 0 ﹣2
P
则．…10 分
假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），
所以随机变量Y的分布列为：
Y 2 0 ﹣1
P
则．
因为EX＞EY，
所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…（12分）22．解：（1）由题意h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h'（x）=1﹣
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增
因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）；（4分）
（2）因为f（x）=x+xlnx，
可知k＜对任意x＞1恒成立，即k＜对任意x＞1恒成立
令g（x）=，求导g'（x）=
由（1）知，h（x）=x﹣lnx﹣2，h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，
且满足x0∈（3，4）
当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0
当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0
所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
因之，min=g（x0）=，
从而k＜min=x0∈（3，4），故整数的最大值为3；（8分）
（3）证明：由（2）可知，xlnx＞2x﹣3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N*），则有：
2ln2＞2×2﹣3，3ln3＞2×3﹣3，…，klnk＞2k﹣3，
将上式各式子相加得：
2ln2+3ln3+…+klnk＞2（2+3+4+…+k）﹣3（k﹣1）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2，
即，可得，，从而有：
==．（12分）。