工学自动控制之修改

➢线性定常系统
➢线性时变系统
举例
➢非线性系统
➢线性系统与非线性系统根本区别：线性系统满 足叠加原理，非线性系统不满足叠加原理
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
3
自动控制理论
叠加原理
r1(t) 系统 c1(t) r2 (t) 系统 c2 (t)
a1r1 (t )
系统 a1c1(t) a2c2 (t)
Note:列写好的微分方程式与输入有关的各项放在等式右 边，与输出有关的各项放在等式的左边，各阶导数项按 降幂排列。
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
5
自动控制理论
举例
例2-1图示为一RLC电路，求Uc与Ur的微分方程式
解：由基尔霍夫定律得
di iR l dt uc ur
uc
1 C
ur
t
t
1
1 t
e T sin d
1
1t
eT
0T
T
t
eT sin d
0
1
sin(t )
1t
eT
1 T 2 2
1 T 2 2
式中 arctanT
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
16
自动控制理论
传递函数的性质
➢ 传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外施信号的大小 和形式无关 ➢ 若系统输入已给定，则系统的输出完全取决于其传递函数 ➢ 传递函数只适用于线性定常系统 ➢ 传递函数为复变量S的有理分式，它的分母多项式S的最高阶次 n总是大于或等于其分子多项式的最高阶次m，即n≥m ➢ 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程 ➢ 传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的 。eg ➢ 一个传递函数是由相应的零、极点组成 ➢物理性质不同的系统、环节或元件可以具有相同类型的传递函数 ➢一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映 系统内部的特性
特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。
（2）由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方 程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子 用d 复变量s表示，
dt
把c(t) 和r(t)换为相应的象函数C(s)和R(s) ，则就把微分方程转换为
相应的传递函数。反之亦然。
➢单位脉冲响应及应用
idt,
即i C duc dt
图2-1 Ｒ-L-C电路
消去中间变量 ，i 则有:
上式为RLC电路的数学模型，描述了该L电C 路dd2t在u2c U rR作C 用ddutc下，uc ur 电容电压Uc的变化规律。
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
6
自动控制理论
系统元件的负载效应
➢负载效应，也称耦合。对于由两个以上物理元 件组成的系统而言，若其中一个元件的存在，使 另一个元件在相同输入下的输出受到影响，则有 如前者对后者施加了负载。
或写作
Y1 s Y2 s
G11 s G21 s
G12 sU1s G22 sU 2 s
Gs就是该系统的传递函数阵
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
18
自动控制理论
典型环节的传递函数
➢比例环节
特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化
方程式 传递函数
Ct Krt
Cs Rs
T1T2
d 2uc dt 2
T1 T2 T3
duc dt
uc
ur
第二章 控制系统的数学模型
例题补充
8
自动控制理论
例2-3. 求外力F(t)与质量块m位移ｙ(t)之间的微分方程
解 由牛顿第二定律列出方程
F (t) ky(t)
f
dy(t) dt
m
d
2 y(t t) dy(t)
建立系统数学模型的方法
➢ 实验法 ➢ 解析法
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
2
自动控制理论
第一节 列写系统微分方程的一般方法
线性系统的叠加原理
➢ 用表示系统输入r(t)和输出c(t)之间动态关系的微分方 程可对系统进行描述。
anc(n) (t) ... a1c(t) a0c(t) bmr (m) (t) ... b1r(t) b0r(t)
a2r2 (t)
➢结论：对于线性系统，一个输入的存在不影响 另一个输入引起的输出，即，对线性系统，各个 输入产生的输出是互不影响的。
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
4
自动控制理论
用解析法建立系统微分方程的一般步骤
➢分析系统工作原理和系统中变量的关系，确定系统的输入量与输出 量 ➢选择合适的中间变量，根据基本的物理定律，列写出系统中每一个 元件的输入与输出的微分方程式 ➢消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式 ➢对非线性项加以线性化
LCs 2
1 RCs 1
2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数
Y s F s
ms 2
1 fs
1
3）直流他励电动机在变化时的传递函数
N s EG s
m
1
as2
ms
1
上述三个传递函数在化成式（2-33）所示的形式时，虽然它们的阻 尼比ξ和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足0＜ξ＜1，则它们 都是振荡环节。
10
自动控制理论
在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数
y
f x
f
x0
df dx
1 d2f
xx0 x x0 2! dx2
xx0 x x0 2
由于增量Δx x x0较小，故可略去式中的（x x0）2项及 其后面的所有的高阶项，于是得线性化方程
或写为
y y0 Kx x0
微偏法
在给定工作点邻域将此非线性函数展开泰勒级数，并略去二阶及二阶以上 的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。
设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的 关系如图2-9所示，相应的数学表达式为
2024/10/13
y=f(x)
（2-13）
图 2-9 非线性特性的线性化
第二章 控制系统的数学模型
方框称图为表系示统的。初始状态或初态。
➢传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉 氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递 函数。
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
13
自动控制理论
小结： （1） 传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变
换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有
第二章 控制系统的数学模型
21
自动控制理论
➢振荡环节
特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却是周期振荡形式
微分方程
T 2 d 2ct 2T dct Ct Krt
dt 2
dt
传递函数
G s
C s Rs
T
2s2
K
2Ts 1
2 - 33
式中T 时间常数,T 放大系数, 阻尼比
若令K 1, Rs 1 ,则0＜＜1,则
s
Ct 1
1
1 t T
sin
1
1 2 t arg tan
1 2
T
1 2
具有式（2-33）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
22
自动控制理论
1）R-L-C电路的传递函数
U c s U r s
即
G s
C R
s s
b0 s m a0 s n
b1s m 1 a1s n 1
bm1s bm an1s an
Gs就是系统的传递函数。
bm1s bm R s
（2-27）
N其ot中e:一，般C将s外 界 输L入C作t用; R前的s输出L的R初t始它条们 件c之(0间 ),的c(0传 )递,...关, c(系n1)用(0 )
1、单位阶跃输入 ur 1t
由于
gt
L1Gs
1
1t
eT
T
则由式2 28得
uc(t)
0 g(t )ur ( )d
1
1 (t )
e T d
0T
1t
1e T
2、单位斜坡输入 ur t t
uc t
t
1
1 t
e T d
1
1t
eT
0T
T
t
1t
ed t T Te T
0
3、正弦输入 ur t sint
Cs Rs
Ks
1）实际的微分环节，如图2-14所示，它的 传递函数为：
G s
Uc Ur
s s
TS 1 TS
2）直流测速发电机。如图2-15所示，
图2-14 微分环节模拟电路图
U
fn
K
K
d dt
转角,U fn 测速机的输出电压
2024/10/13
U fn s s
Ks
图2-15直流测速发电机
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
17
自动控制理论
对于多输入—多输出的系统， 要用传递函数关系阵去描述它 们间的关系，例如图2-12所示 的系统
由图2-12得
图2-12 多输入多输出系统
Y1s G11sU1s G12 sU 2 s Y2 s G21sU1s G22 sU 2 s
y Kx
式中y f x0 ,
df
K dx
, x x0
y y y0， x x x0
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
11
自动控制理论
第三节 传递函数
传递函数的定义
设线性定系统的微分方程式为
a0
d ct
dt n
a1
d n1c t
dt n1
an1
dct
dt
an ct
b0
i2dt
i2R2
1 C1
(i1 i2 )dt
图2-2 R-C滤波网络
1
C2 i2dt uc
消去中间变量i1 、 i2 得
R1R2C1C2
d 2uc dt 2
R1C1 R2C2 R1C2
duc dt
uc
ur
在R1C1和R2C2两级回路 中加上隔离放大器即可消 除负载效应
或写作
2024/10/13
C
t
g
t*r
t
t
0
g
t
r
d
t
0
g
r
t
d
(2-28)
下面以一个R-C电路(图2-11)为例,说明卷积积分的应用 该电路的微分方程为
RC
duc dt
uc
ur
对应的传递函数为
G
s
Uc Ur
s s
1 Ts
,T RC
图2-11 R-C电路
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
15
自动控制理论
根据传递函数定义
Cs GsRs
系统单位脉冲响应g(t)与传 递函数G(s)的关系是时域t
令r t t ，R s 1，则C s G s 到复数域s的单值变换关系。
g t L1 C s L1 G s
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
14
自动控制理论
如果已知系统的单位脉冲响应g(t),则利用卷积积分求解系统在任何输入 r(t)作用下的输出响应,即
C
t
K
t
c
r
t
dt
传递函数
Gs
Cs Rs
K S
例如图2-13所示的积分器，其传递函数为
2024/10/13
Gs 1
R cs
图2-13 积分环节模拟电路图
第二章 控制系统的数学模型
20
自动控制理论
➢微分环节
理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即
Ct K drt
dt
对应的传递函数
Gs
Gs
K
Ct 环节的输出量, rt 环节的输入量
➢惯性环节
特点：输出量延续地反映输入量的变化规律
微分方程
T dct ct Krt
dt
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
19
自动控制理论
对应的传递函数
Gs
Cs Rs
G
1 Ts
1
T 环节的时间常数
➢积分环节
特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有
普通高等教育“九五”部级重点教 材
自动控制理论
第二章
控制系统的数学模型
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
1
自动控制理论
描述系统运动的数学模型
➢ 输入－输出描述 微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图
等其它模型均由它而导出;SISO
➢状态变量描述 状态方程是这种描述的最基本形式;适用于多变量控 制系统，时变系统，非线性系统；MIMO
d mrt
dtm
b1
d m1rt
dt m1
bm1
drt
dt
bm ct
n m
式中，rt为系统的输入量; ct为系统的输出量
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
12
自动控制理论
在零初始条件下，对上式进行拉式变换得
a0sn a1sn1 an1s an C s b0sm b1sm1
m
f
ky(t) F (t)
dt 2
dt
图2-3 弹簧-质量-阻尼器系统
式中，ｆ——为阻尼第数；ｋ——为弹簧的弹性系数。k y(t)——弹性拉力 f dy ——阻尼器阻力
dt
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
9
自动控制理论
第二节 非线性数学模型的线性化
非线性数学模型线性化的假设
➢ 变量对于平衡工作点的偏离较小 ➢ 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在
Note： ➢对电路按回路或支路列写个元件的微分方程。 ➢若系统中含有n个独立的储能元件，则微分方 程为n阶。
2024/10/13
第二章 控制系统的数学模型
7
自动控制理论
例2-2. 试写出图2-2电路的微分方程
解 由基尔霍夫定律列出下列方程组
1
C1
(i1 i2 )dt i1R1 ur
1
C2