平面向量知识点总结

1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的加法和减法
(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则．
运算性质：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(2)减法与加法互为逆运算；服从三角形法则．
3．实数与向量的积
(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：
①长度：|λa|＝|λ||a|；②方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋
b)＝λa＋λb.
4．平面向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 5．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
6．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使a＝x i＋y j，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
7．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a ＋
b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，
λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，
|AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
8．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.
9．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)几何意义：数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．
10．平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；
(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；
(3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .
11．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉．
结论
1.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →
)．
2．若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →
＝0⇔P 为△ABC 的重心．
3.若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．
4．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0，不能表示成x 1x 2＝y 1y 2
，因为x 2，y 2有可能等于0. 5.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.
6．已知OA →＝λOB →＋μOC →
(λ，μ为常数)，则 A ，B ，C 三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1.。