利用二级结论秒杀抛物线(解析版)

利用二级结论秒杀抛物线
考点目录
考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式
考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式
考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论
考点分类
考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
已知倾斜角为θ直线的l经过抛物线y2=2px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，则
①|AF|=
p
1−cosθ
,|BF|=P
1+cosθ，
1
|FA|
+1
|FB|
=2
p.
②|AB|=
2p
sin2θ
，SΔOAB=
p2
2sinθ，|AB|=2p1+
1
k2
.
③|AF|=x A+p
2，|BF|=x B
+
p
2
,|AB|=x A+x B+p.
【精选例题】
1倾斜角为45°的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|=()
A.4
3
B.4
C.6
D.8
【答案】D
【分析】根据已知条件，先求出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程可得，x2-6x+1=0，再结合抛物线的定义，以及韦达定理，即可求解.
【详解】∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1，
∵抛物线y2=4x，∴焦点F(1,0)，
∴直线l的方程为y=x-1，
设A x1,y1
,B x2,y2
，
联立直线与抛物线方程
y2=4x
y=x-1
，化简整理可得，x2-6x+1=0，Δ=62-4=32>0，
由韦达定理可得，x1+x2=6，故|AB|=x1+x2+p=6+2=8.故选：D.
2已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是抛物线C :x 2=8y 上的两点，且直线AB 经过C 的焦点，若y 1+y 2=12，则AB =(
)A.12 B.14
C.16
D.18
【答案】C
【分析】结合抛物线的弦长公式计算即可.【详解】AB =y 1+p 2+y 2+p 2=y 1+y 2+p =12+8
2
=16.故选：C .
3已知抛物线y 2=6x ，弦AB 过抛物线的焦点F 且满足AF =3FB
，则弦AB 的中点到y 轴的距离为(
)A.
3
2
B.3
C.
52
D.4
【答案】C
【分析】根据AF =3FB
可得y 1=-3y 2，再根据韦达定理即可求出A ,B 的坐标，进而可求解.【详解】抛物线的焦点F 3
2,0
，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，假设y 2>0，
显然弦AB 所在的直线的斜率存在且不等于零，设弦AB 所在的直线方程为y =k x -3
2
，联立y =k x -3
2 y 2=6x
，消去x 可得，ky 2-6y -9k =0，
所以y 1y 2=-9，因为AF =3FB ，所以32-x 1,-y 1 =3x 2-32,y 2 ，则y 1=-3y 2，
所以y 1y 2=-3y 22=-9，解得y 2=3，所以y 1=-33，所以x 2=y 226=12,x 1=y 21
6=92，
所以弦AB 的中点的坐标为5
2,-3 ，所以弦AB 的中点y 轴的距离为5
2，
故选:C .
4已知抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(A 在第一象限)，O 为坐标原点，若AF =2BF =6，则(
)
A.p =4
B.直线l 的斜率是±22
C.线段AB 的中点到y 轴的距离是5
2
D.△OAB 的面积是62
【答案】ACD
【分析】设直线l :x =my +
p
2
,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，与抛物线方程联立，根据、韦达定理得出m 2=
1
8
，再由AB =m 2+1⋅y 1-y 2 =9求出p 可判断A ；求出m 可得直线l 的斜率，再由点A 在第一象限可判断B ；设线段AB 的中点为M x 0,y 0 ，根据x 0=x 1+x 22=5
2
求出线段AB 的中点到y 轴的距离可判断
C ；利用S =1
2
OF ⋅y 1-y 2 求出△OAB 的面积可判断D .
【详解】由题意可得直线l 的斜率不为0，则可设直线l :x =my +p
2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，
联立
y 2=2px ,
x =my +p 2
, 整理得y 2
-2pmy -p 2
=0，
则y 1
+y 2
=2pm ,y 1y 2
=-p 2
，因为AF =2BF ，所以AF =2FB
，所以y 1=-2y 2，所以-2y 2+y 2=2pm ，
所以y 2=-2pm ，则y 1y 2=-2y 22=-p 2，
即-2×(-2pm )2=-p 2，解得m 2=1
8
，因为AF =2BF =6，
所以AB =m 2+1⋅y 1-y 2 =2p m 2+1 =9
4
p =9，解得p =4，则A 正确；对于B ，因为m 2=
18，所以m =±24
，则直线l 的斜率是±22，因为点A 在第一象限，所以直线l 的斜率大于0，所以直线l 的斜率是22，则B 错误；对于C ，设线段AB 的中点为M x 0,y 0 ，则x 0=x 1+x 22=52，即线段AB 的中点到y 轴的距离是5
2
，则C 正确；
对于D ，因为p =4,m 2=1
8
，所以OF =2,y 1-y 2 =y 1+y 2
2
-4y 1y 2=2p ⋅m 2+1=62，则△OAB 的
面积S =
1
2
OF ⋅y 1-y 2 =62，
故D 正确.
故选：ACD .【跟踪训练】
1已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 的直线l 交抛物线于两点A ，B ．若弦长|AB |=4p ，则直线l 的斜率为
．
【答案】±1
【分析】设直线l 的方程为x =my +p 2
，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立方程，利用韦达定理求出y 1+y 2,y 1y 2，再根据抛物线的弦长公式即可得解.
【详解】由题意，直线l 的斜率不等于零，F p
2,0
，设直线l 的方程为x =my +
p 2
，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立x =my +p
2
y 2=2px
，消x 得y 2-2mpy -p 2=0，
Δ=4m 2p 2+4p 2>0恒成立，则y 1+y 2=2mp ,y 1y 2=-p 2，所以|AB |=1+m 2⋅y 1+y 2
2
-4y 1y 2=1+m 2⋅4m 2p 2+4p 2=2p 1+m 2 =4p ，
解得m =±1，
所以直线l 的斜率为±1.故答案为：±1.
2在直角坐标系xOy 中，
已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的倾斜角为π
4
的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且点A 在第一象限，△OAB 的面积是82，则()
A.AB =8
B.p =4
C.
1AF +1BF
=
1
2 D.AF =8+42
【答案】BCD
【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结合△OAB 的面积求解p ，从而利用焦半径公式求解AF ,BF ，逐项判断即可.【详解】抛物线y 2=2px p >0 的焦点为F p 2,0 ，准线为x =-p
2
，设过焦点的直线方程为设直线l ：y =x -p 2
，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线与抛物线方程得y 2=2px
y =x -p 2
消元得x 2
-3px +
p 2
4=0，由韦达定理可得x 1x 2=p 2
4，x 1+x 2=3p ，所以AB =x 1+x 2+p =4p ，
又点O 到直线AB 的距离是-p
2
12+-1 2
=
24
p
，
所以S △OAB =
12×4p ×24
p =82，得p =4，所以AB =16，故选项A 错误，B 正确；
由p =4知x 2-12x +4=0，解得x 1=6+42,x 2=6-42，
所以
1
AF
+1
BF
=1
x1+p
2
+1
x2+p
2
=1
8+42
+1
8-42
=1
2，
故选项C正确；
AF
=x1+P
2
=8+42，故选项D正确；
故选：BCD.
3已知直线l：y=x+m过抛物线C：y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则() A.m=1 B.AB
=8
C.AF
=2BF
D.抛物线C上的动点到直线y=x+2距离的最小值为
2 2
【答案】BD
【分析】求得抛物线C的焦点代入直线l的方程，求得m=-1，可判定A错误；联立方程组，根据韦达定理和抛物线的焦点弦的性质，求得AB
=8，可判定B正确；结合抛物线的定义，求得AF
,BF
的值，可判定C 错误；设设M(x1,y1)是抛物线C上的任意一点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，可判定D 正确.
【详解】由抛物线C:y2=4x，可得焦点为F(1,0)，
因为l:y=x+m过抛物线C的焦点F，可得m+1=0，解得m=-1，所以A错误；
联立方程组
y=x-1
y2=4x
，整理得x2-6x+1=0，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则Δ=36-4=32>0，x1+x2=6,x1x2=1，
由抛物线的焦点弦的性质，可得AB
=x1+x2+p=6+2=8，所以B正确；又由x2-6x+1=0，解得x1=3+22,x2=3-22，
根据抛物线的定义，可得AF
=x1+p
2
=4+22,2BF
=2x2+
p
2
=8-42，
所以AF
≠2BF
，所以C错误；
设M(x1,y1)是抛物线C上的任意一点，可得y21=4x1，
则点M到直线y=x+2的距离为d=x1-y1+2
2
=
1
4
y21-y1+2
2
=
(y1-2)2+4
42
，
当y1=2时，d min=
2
2，所以D正确.
故选：BD.
4已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F，且与抛物线C交于A x1,y1
,B x2,y2
两点，点M为C的准线与x轴的交点，则下列结论正确的是()
A.若x1+x2=5，则AB
=7
B.过C的焦点的最短弦长为4
C.当AF =2FB 时，直线l 的倾斜角为
π3
D.存在2条直线l ，使得AF ⋅BM =BF ⋅AM 成立【答案】AB
【分析】由拋物线的定义,可判定A 正确；根据抛物线的几何性质，可判定B 正确；设直线l 的方程为x =my
+1，联立方程组，得到y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4，结合AF =2FB
时，求得k =±22，可判定C 错误；分别求得AF ,BF ,AM ,BM ，结合AF ⋅BM =BF ⋅AM ，化简代入，得到-4m +4m =0恒成立，可判定D 错误.
【详解】由拋物线的定义可得AB =AF +BF =x 1+x 2+p =5+2=7，所以A 正确；当过抛物线C 的焦点且与x 轴垂直时弦长最短，此时弦长为4，所以B 正确；设直线l 的方程为x =my +1，联立方程组x =my +1
y 2
=4x
，整理得y 2-4my -4=0，可得y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4，
当AF =2FB
时，y 1=-2y 2，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，解得y 2=±2,B 12,±2
,k =±22，所以倾斜角不是π
3
，所以C 错误；由F 1,0 ,M -1,0 ，则AF =
x 1-1
2
+y 21=my 1+1-1
2
+y 21=1+m 2 y 2
1，
BF =x 2-1
2
+y 22=
my 2+1-1 2+y 22=1+m 2 y 2
2，
AM =x 1+1 2
+y 21=my 1+1+1 2+y 21=
1+m 2
y 2
1+4my 1+4，BM =
x 2+1
2
+y 22=my 2+1+1
2
+y 22=
1+m 2
y 22+4my 2+4，
由AF ⋅BM =BF ⋅AM ，则AF BF 2
=AM
BM
2
，可得y 21
y 22=1+m 2 y 2
1+4my 1+41+m 2 y 2
2+4my 2+4，化简可得(my 1y 2
+y 1+y 2)(y 1-y 2)=0，
由y 1≠y 2，则my 1y 2+y 1+y 2=0，
将y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4代入，则-4m +4m =0恒成立，所以D 错误.故选：AB .
考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线y 2
=2px 的焦点为F ，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：x 1x 2=p 2
4
,y 1y 2
=−p 2.
②一般地，如果直线l 恒过定点M (m ,0)与抛物线y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点，那么x A x B =m 2,y A y B =−2pm .
③若OA ⊥OB ⇒AB 恒过定点(2p ,0).【精选例题】
1已知抛物线C ：y =2x 2的的焦点为F ，M x 1,y 1 、N x 2,y 2 是抛物线上两点，则下列结论正确的是(
)
A.点F 的坐标为18,0
B.若直线MN 过点F ，则x 1⋅x 2=-
116
C.若MF =λNF ，则MN 的最小值为
14
D.若|MF |+|NF |=32，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为
5
8【答案】BCD
【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A 错误；直线MN 与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B 正确；根据MN 过焦点可知最小值为通径长，知C 错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得P 点纵坐标，知D 正确.
【详解】抛物线y =2x 2，即x 2=
1
2
y ，对于A ，由抛物线方程知其焦点在y 轴上，焦点为F 0,18 ，故A 错误；对于B ，依题意，直线MN 斜率存在，设其方程为y =kx +1
8，
由
x 2=12y
y =kx +18
，消去y 整理得x 2
-12kx -116=0，则Δ=
14k 2+14>0，x 1+x 2=12k ，x 1x 2=-1
16，故B 正确；对于C ，若MF =λNF
，则直线MN 过焦点，所以MN =MF +NF =y 1+18+y 2+18=kx 1+18+kx 2+18+14=12k 2+12
，所以当k =0时，MN min =1
2
，所以MN 的最小值为
1
2
，故C 正确；对于D ，因为MF +NF =y 1+18+y 2+18=32，则y 1+y 2=5
4
，
即P 点纵坐标为y 1+y 22=58，所以P 到x 轴的距离为5
8，故D 正确.
故选：BCD .
2已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，
过F 且倾斜角为45°的直线l 交抛物线于A ，B 两点()
A.直线l 的方程为x -y -2=0
B.原点到直线l 的距离为2
C.AB =16
D.y 1y 2=-8
【答案】ABC
【分析】先求得抛物线的焦点坐标，根据点斜式、点到直线的距离公式、弦长公式、根与系数关系等知识确定正确答案.
【详解】抛物线y 2=8x 的焦点为F 2,0 ，
所以过F且倾斜角为45°的直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为y-0=1×x-2
,x-y-2=0，A选项正确，
原点到直线l的距离为0-0-2
2
=2，B选项正确.
由
y2=8x
x-y-2=0
消去y并化简得x2-12x+4=0,Δ=144-4×4=128>0，
设A x1,y1
,B x2,y2
，则x1+x2=12,x1x2=4，
所以AB
=x1+x2+p=12+4=16，C选项正确.
y1y2=x1-2
x2-2
=x1x2-2x1+x2
+4=4-24+4=-16，
所以D选项错误.
故选：ABC
3已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是()
A.若AB中点M的横坐标为3，则AB
的最大值为8
B.若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为π
4
C.设N4,0
，则AN
的最小值为42
D.若OA⊥OB，则直线AB过定点4,0
【答案】ABD
【分析】对于A：利用A，B，F三点的位置与AF
,BF
,AB
的关系及抛物线的定义求AB
的最大值；对于B：利用点A，B在抛物线上及直线的斜率公式，将斜率转化为A，B两点纵坐标间的关系；对于C：利用点A在抛物线上及两点间的距离公式，将AN
转化为点A纵坐标的代数式，结合二次函数的性质求
AN
的最小值；对于D：设直线AB的方程，与抛物线方程联立，转化为关于点A，B纵坐标的一元二次方程，结合OA⊥OB及一元二次方程根与系数的关系求解直线AB方程中的参数，确定直线AB所过的定点
【详解】设A x A,y A
,B x B,y B
．
对于选项A：若AB中点M的横坐标为3，则x A+x B=6，
可得AB
≤AF
+BF
=x A+x B+2=8，当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立，
所以AB
的最大值为8，故A正确；
对于选项B：若AB中点M的纵坐标为2，则y A+y B=4，
由题意可知直线AB的斜率存在，则k AB=y A-y B
x A-x B
=
y A-y B
y2A
4
-y2B
4
=4
y A+y B
=1，
所以直线AB的倾斜角为π
4，故B正确；
对于选项C：设A
t2
4
,t ，
则AN =
t 24-4 2+t 2=t 416-t 2+16=t 24-2
2+12≥23，当且仅当t =±22时，等号成立，所以AN 的最小值为23，故C 错误；
对于选项D ：设直线AB 的方程x =my +n n ≠0 ，代入抛物线y 2=4x ，得y 2-4my -4n =0，
则Δ=16m 2+16n >0，可得y A +y B =4m
y A y B =-4n
，因为OA ⊥OB ，所以OA ⋅OB
=x A x B +y A y B =my A +n my B +n +y A y B =m 2+1 y A y B +mn y A +y B +n 2=-4n m 2+1 +4m 2n +n 2=n 2-4n =0，因为n ≠0，解得n =4，满足Δ>0，
则直线AB 的方程为x =my +4，所以直线AB 过定点4,0 ，故D 正确．故选：ABD ．
【跟踪训练】
1过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的直线与抛物线交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，则说法正确的是(
)
A.AB =x 1+x 2+p
B.y 1+y 2=p 2
C.
1AF +1BF
=
2
p D.OA ⋅OB =-3
4
p 2
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的定义求解判断A ；当直线AB 垂直于x 轴时可判断B ；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理计算判断CD .
【详解】抛物线y 2=2px 的焦点F p 2,0 ，准线为x =-p 2
，根据抛物线的定义，点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 到焦点的距离分别等于其到准线的距离，
∴|AF |=x 1+p 2,|BF |=x 2+p 2
,
所以AB =|AF |+|BF |=x 1+x 2+p ，故A 正确；当直线AB 垂直于x 轴时，不妨设A p 2,p
,B p
2
,-p ，故y 1+y 2=p -p =0，故B 错误；当直线AB 垂直于x 轴时，不妨设A p 2,p
,B p 2,-p ，故AF =BF =p ，所以1|AF |+1|BF |
=1p +1p =2p .当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB :y =k x -
p
2
，k ≠0，
联立方程y =k x -p
2 y 2=2px
，可得k 2x 2-p (k 2
+2)x +k 2p 24=0，
所以Δ=p 2
(k 2
+2)2
-4k 2
⋅k 2p 2
4
=4p 2(k 2+1)>0恒成立，
x 1+x 2=p (k 2+2)k 2
,x 1x 2=p 2
4，
1|AF |+1|BF |=1x 1+p 2+1
x 2+p 2=x 1+p 2+x 2+p
2
x 1+p 2 x 2+p 2 =-x 1+x 2+p x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=
p (k 2+2)
k 2
+p p 24+p 2⋅p (k 2+2)k 2
+p 2
4=2p (2k 2+2)p 2(2k 2+2)
=2
p .
综上，1|AF |+1|BF |=2
p ，故C 正确；
当直线AB 垂直于x 轴时，不妨设A p 2,p
,B p
2
,-p ，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=p 2⋅p 2-p 2
=-3p 24，
当直线AB 不垂直于x 轴时，
OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2x 1-p 2 x 2-p 2 =(1+k 2
)x 1x 2-pk 22(x 1+x 2)+
p 2k 24=(1+k 2
)⋅p 24-pk 22⋅p (k 2+2)k 2
+p 2k 24=-3p 2
4，
综上，OA ⋅OB =-3p 2
4
，故D 正确.
故选：ACD .
2已知点M (-1,0)在抛物线C :y 2=2px p >0 的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交C 于A x 1,y 1 、B x 2,y 2 两点，则()
A.抛物线C 的方程是y 2=4x
B.x 1x 2=1
C.当AF =3FB 时，AB =
323 D.∠AMF =∠BMF
【答案】ABD
【分析】求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，可判断A 选项；设直线l 的方程为x =my +2，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断B 选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出m 2的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断C 选项；计算出直线AM 、BM 的斜率之和，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线C 的准线方程为x =-p
2
，因为点M -1,0 在抛物线C :y 2=2px p >0 的准线上，则-p
2
=-1，可得p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x ，A 对；
对于B 选项，抛物线C 的焦点为F 1,0 ，
若直线l 与x 轴重合，此时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，所以直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为x =my +1，联立x =my +1
y 2
=4x
，可得y 2-4my -4=0，Δ=16m 2+16>0，则y 1y 2=-4，所以x 1x 2=y 214⋅y 22
4=-4 2
16
=1，B 对；
对于C 选项，因为AF =3FB
，即1-x 1,-y 1 =3x 2-1,y 2 ，则-y 1=3y 2，
因为y 1+y 2=-2y 2=4m ，可得y 2=-2m ，
则y 1y 2=-3y 22=-3×-2m 2=-12m 2=-4，
则m 2=1
3
，此时，AB =x 1+x 2+2=my 1+1+my 2+1+2=m y 1+y 2 +4=4m 2
+1
=4×13+1 =16
3
，C 错；对于D 选项，k AM =y 1x 1+1=y 1my 1+2，同理可得k BM =y 2
my 2+2，
所以k AM +k BM =y 1my 1+2+y 2
my 2+2=
y 1my 2+2 +y 2my 1+2 my 1+2 my 2+2
=
2my 1y 2+2y 1+y 2 my 1+2 my 2+2 =-8m +8m
my 1+4 my 2+4
=0，
所以∠AMF =∠BMF ，D 对.故选：ABD .
3已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是抛物线C :y 2=x 上不同于原点O 的两点，点F 是抛物线C 的焦点，下列说法正确的是(
)
A.点F 的坐标为1
4,0
,B.AB =x 1+x 2+
1
2
C.若OA ⊥OB ，则直线AB 经过定点1,0
D.若点P -2,1 ,PA ､PB 为抛物线C 的两条切线，则直线AB 的方程为x -2y -2=0【答案】ACD
【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A ，根据焦点弦的性质可判断B ，根据垂直关系得y 1y 2=-1，由两点坐标求解直线方程即可判断C ，根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方程即可求解D .
【详解】因为拋物线C :y 2=x ，故F 的坐标为1
4,0
,故A 正确；由于当直线AB 过焦点时，由抛物线定义可得AB =x 1+x 2+1
2，但直线AB 不一定过焦点，故B 错误；
若OA ⊥OB ，故x 1x 2+y 1y 2=y 1y 2 2+y 1y 2=0，即y 1y 2=-1或y 1y 2=0(舍去)，
因为直线AB:y=y1-y2
x1-x2
x-x1
+y1，即y=
y1-y2
y12-y22
x-y21
+y1=
1
y1+y2
x+
y1y2
y1+y2，得y=
1 y1+y2
x-1
，故直线AB经过定点1,0
，故C正确；
设过点P-2,1
的切线方程为x=m y-1
-2，联立
x=m y-1
-2
y2=x
⇒y2-my+m+2=0，
所以Δ=m2-4m-8=0，故m=2+23或m=2-23，所以方程的根为y=m 2，
故切线PA,PB方程中m分别为m1=2+23和m2=2-23，故y1+y2=m1+m2
2
=2，
y1y2=m1m2
4
=-2，
可得直线AB:y=y1-y2
y21-y22
x-y21
+y1=
1
y1+y2
x+
y1y2
y1+y2
=1
2
x-1，即x-2y-2=0，故D正确.
故选：ACD.
考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式
①已知AB,CD是抛物线E:y2=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦，AB
+CD
存在最小值，且最小值为8p.
②已知AB,CD是抛物线E:y2=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦，则四边形ABCD的面积的最
小值为8p2.
【精选例题】
1过抛物线C：y2=4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1和l2，设直线l1交抛物线C于A，B两点，直线l2交抛物线C于D，E两点，则AB
+DE
可能的取值为()
A.18
B.16
C.14
D.12
【答案】AB
【分析】由题意可知直线l1，l2的斜率均存在且均不为0，所以不妨设l1的斜率为k，则l1：y=k x-1
，l2：y
=-1
k
x-1
，然后将两直线方程分别代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出
AB
,DE
，再利用基本不等式可求得结果.
【详解】由题意可知直线l1，l2的斜率均存在且均不为0．因为抛物线C的焦点为F1,0
，
所以不妨设l1的斜率为k，则l1：y=k x-1
，l2：y=-1
k
x-1
．
由
y2=4x,
y=k x-1
,
消去y得k2x2-2k2+4
x+k2=0．
设A x1,y1
，B x2,y2
，
则x1+x2=2k2+4
k2
=2+4
k2
．
由抛物线的定义，知AB
=x1+x2+2=4+4
k2
．
同理可得DE
=4+4k2，
所以AB +DE =8+41
k
2+k 2
≥8+8=16，当且仅当
1
k
2=k 2，即k =±1时，等号成立，所以AB +DE ∈16,+∞ ，故选：AB ．
2在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆M 与圆x 2+y 2-2x =0内切，且与直线x =-2相切，设动圆圆心M 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；
(2)过点F 1,0 作两条互相垂直的直线与曲线E 相交于A ，B 两点和C ，D 两点，求四边形ACBD 的面积S 的最小值.
【答案】(1)y 2=4x ；(2)32
【分析】(1)利用圆和圆，圆和直线的位置关系的性质和抛物线的定义即可求解.(2)设直线AB 的方程为x =my +1，m ≠0,联立方程组得y 1+y 2=4m ,
y 1y 2=-4, ，
再利用抛物线的的性质求
AB ，
同理求CD ，最后利用基本不等式求解即可.【详解】(1)设圆M 的半径为r ，圆x 2+y 2-2x =0的圆心F 1,0
，半径为1，因为圆M 与圆F 内切，且与直线x =-2相切，
所以圆心M 到直线x =-2的距离为r ，因此圆心M 到直线x =-1的距离为r -1，且MF =r -1，
故圆心M 到点F 的距离与到直线x =-1的距离相等，
据抛物线的定义，曲线E 是以F 1,0 为焦点，直线x =-1为准线的抛物线，所以曲线E 的方程为y 2=4x .
(2)设直线AB 的方程为x =my +1，m ≠0，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .联立方程组x =my +1,y 2=4x ,
整理得y 2
-4my -4=0，故
y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,
所以AB =AF +BF =x 1+1+x 2+1=my 1+1+1+my 2+1+1=m y 1+y 2 +4=4m 2+4.
因为AB ⊥CD ，直线CD 的方程为x =-1
m
y +1，同理可得CD =4
m
2+4.所以S =
12AB ⋅CD =124m 2+4 ⋅4m 2+4 =82+m 2+1m 2
≥82+2m 2⋅1m
2
=32，
当且仅当m 2=
1m 2
，即m =±1时，取等号.所以四边形ABCD 面积S 的最小值为32. 【跟踪训练】
1已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，
过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则AB +DE 的最小值为【答案】16
【分析】设直线l 1方程，由两直线垂直可得l 2方程，联立l 1与抛物线方程可得根与系数关系式，利用弦长公式可得AB 表达式，同理可得DE 的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F (1,0)，焦准距p =2，
过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，
则l 1，l 2的斜率都存在且不为0，故设l 1:y =k x -1 ，则直线l 2:y =-1
k
x -1 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,D x 3,y 3 ,E x 4,y 4 ，
联立y 2=4x y =k x -1 ，则k 2x 2-2k 2+4 x +k 2=0，Δ=16(k 2+1)>0，
则x 1+x 2=2k 2
+4k 2
，同理x 3+x 4=
2k 2
+4
1k 2
，
故|AB |=x 1+x 2+p =2k 2+4k 2+2=4+4
k 2，
同理可得|CD |=x 3+x 4+p =2
k 2
+4
1k 2
+2=4+4k 2,
故AB +DE =8+4k 2+1
k
2
≥8+4×2k 2×1k 2=16，当且仅当k 2=
1
k 2
，即k =±1时等号成立，故AB +DE 的最小值为16.
2已知抛物线y 2=4x .其焦点为F ，
若互相垂直的直线m ，n 都经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点和C ，D 两点，则四边形ABCD 面积的最小值为．
【答案】32【详解】
依题意知,直线m ,n 的斜率存在且不为0,设直线m 的方程为y =k (x -1),与抛物线方程联立,得y =k (x -1)
y 2=4x
，
消去y ,整理得k 2x 2-2k 2+4 x +k 2=0,设其两根为x 3,x 4,则x 3+x 4=
4
k 2
+2.由抛物线的定义可知，|AB |=2+x 3+x 4=4
k 2
+4,同理可得|CD |=4k 2+4,∴四边形ABCD 的面积S =
124k 2+4 ⋅
4k 2+4 =82+k 2
+1k 2
≥32.当且仅当k =±1时等号成立,此时所求四边形ABCD 面积的最小值为32.考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式
设直线l 与抛物线y 2=2px 相交所得的弦AB 的中点坐标为x 0,y 0 ，则k AB =p
y 0
【精选例题】
1已知抛物线y 2=2px 的一条弦AB 恰好以点P (1,1)为中点，弦AB 的长为15，则抛物线的准线方程为(
)A.x =-12
B.x =-1
C.x =-
32
D.x =-2
【答案】B
【分析】设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，得到x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，结合“点差法”求得k =p ，得到直线AB 的方程为y =p (x -1)+1，联立方程组，利用弦长公式，列出方程，求得p =2，进而求得抛物线的准线方程．【详解】设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，弦AB 所在直线方程为y =k (x -1)+1，则x
1+x 2=2，y 1+y 2=2，
也点A ，B 在抛物线y 2
=2px 上，可得y 21=2px 1
y 2
2=2px 2 ，
两式相减可得y 1+y 2 y 1-y 2 =2p x 1-x 2 ，所以y 1-y 2
x 1-x 2
=p ，即k =p ，所以弦AB 所在直线的方程为y =p (x -1)+1，联立方程组y =p x -1 +1
y 2
=2px
，整理得p 2x 2-2p 2x +(1-p )2=0，可得x 1+x 2=2，x 1x 2=(1-p )2
p 2，
所以AB =1+p 2
x 1+x 2
2
-4x 1x 2=1+p 2
⋅
22
-4×(1-p )2
p 2
=15，
所以
4
p
21+p 2 (2p -1)=15，即8p 3-19p 2+8p -4=0，可得(p -2)8p 2-3p +2 =0，解得p =2，所以抛物线的准线方程为x =-1．故选：B ．
2直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两点，AB中点的横坐标为2，则k为()
A.-1
B.2
C.-1或2
D.以上都不是【答案】B
【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，得到x1+x2=4，求得y1+y y=4k-4，再由
y21=8x1
y22=8x2
，两式相减，得到y2-y1
x2-x1
=
8
y1+y2，得出方程k=
8
4k-4，即可求解.
【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2)，因为AB中点的横坐标为2，则x1+x2=4，可得y1+y y=k(x1+x2)-4=4k-4，
又由
y21=8x1
y22=8x2
，两式相减得到(y
2
-y1)(y1+y2)=8(x2-x1)，可得
y2-y1
x2-x1
=8
y1+y2，
可得k=
8
4k-4，解得k=-1或k=2，
联立方程组
y=kx-2
y2=8x
，整理得k2x2-(4k+8)x+4=0，
由Δ=(4k+8)2-16k2=64k+64>0，解得k>-1，所以k=2.
故选：B.
3直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，线段AB中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线AB的距离为()
A.25
5B.35
5
C.5
D.2
5
【答案】A
【分析】设A x1,y1
，B x2,y2
，代入抛物线方程，两式相减后结合线段AB中点的纵坐标得出k AB，再结合焦点F的坐标得出直线AB的方程，由点到直线距离公式计算即可．
【详解】由抛物线y2=4x得焦点F(1,0)，
设A x1,y1
，B x2,y2
，则
y21=4x1 y22=4x2 ，
两式相减得y21-y22=4(x1-x2)，即y1-y2
x1-x2
=4
y1+y2，
因为线段AB中点的纵坐标为1，即y1+y2=2，
所以y1-y2
x1-x2
=2，即k AB=2，
所以直线AB的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0，显然此时直线与抛物线有两交点，
所以O到直线AB的距离d=-2
5
=25
5，
故选：A．【跟踪训练】
1已知直线l 与抛物线C :y =2x 2相交于A ,B 两点，若线段AB 的中点坐标为1,4 ，则直线l 的方程为(
)
A.4x -y =0
B.2x -y =0
C.8x -y -6=0
D.x -2y +3=0
【答案】A
【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，
由y 1=2x 21y 2=2x 22 得：y 1-y 2=2x 21-x 2
2 =2x 1+x 2 x 1-x 2 ，∵线段AB 的中点为1,4 ，∴x 1-x 2≠0，x 1+x 2=2，∴
y 1-y 2
x 1-x 2
=2x 1+x 2 =4，即直线l 的斜率为4，∴直线l 的方程为：y -4=4x -1 ，即4x -y =0.故选：A .
2已知抛物线y 2=2px p >0 的焦点为F ，
第一象限的A 、B 两点在抛物线上，且满足BF -AF =4，AB =4 2.若线段AB 中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.
【答案】y 2=8x
【分析】先根据焦半径公式得到x 1,x 2的关系，然后根据弦长公式求解出k AB ，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出p 的值，则抛物线方程可求.
【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为BF -AF =4，所以x 2+
p 2 -x 1
+p
2
=4，所以x 2-x 1=4，又因为AB =1+k 2AB ×x 1-x 2 =42，所以k 2AB =1，因为A ,B 都在第一象限，所以k AB =1，又因为k AB =
y 2-y 1x 2-x 1=y 2-y 1y 222p
-y 21
2p =2p
y 1+y 2=1且y 1+y 2=4×2=8，所以2p =8，所以p =4，所以抛物线方程为y 2=8x ，故答案为：y 2=8x .
3已知抛物线C :y 2=4x ，过点P 1,1 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为
.
【答案】y =2x -1
【分析】设出A ，B 的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论.
【详解】设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由题意x 1≠x 2，
因为A ，B 在抛物线上，所以y 12=4x 1，y 22
=4x 2，两式相减得，
y 12-y 22=4x 1-x 2 ，整理得，y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2，
即直线AB 的斜率k =
4
y 1+y 2
，∵直线AB 的中点为P 1,1 ，∴
y 1+y 2
2
=1，∴k =2，
所以直线AB 的方程为y -1=2x -1 ，化简得y =2x -1.故答案为：y =2x -1.
考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
设AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①以弦AB 为直径的圆与准线相切．②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.
【精选例题】
1已知A ,B 是抛物线C :y 2=6x 上的两动点，
F 是抛物线的焦点，下列说法正确的是()
A.直线AB 过焦点F 时，以AB 为直径的圆与C 的准线相切
B.直线AB 过焦点F 时，AB 的最小值为6
C.若坐标原点为O ，且OA ⊥OB ，则直线AB 过定点3,0
D.与抛物线C 分别相切于A ,B 两点的两条切线交于点N ，若直线AB 过定点3
2,0
，则点N 在抛物线C 的准线上
【答案】ABD
【分析】对于A ：根据抛物线的定义分析判断；对于B ：设AB 方程为x =my +
3
2
，联立方程，根据抛物线的定义结合韦达定理分析求解；对于C ：设AB 方程为x =my +a ，设A y 216,y 1 ，B y 22
6,y 2
，联立方程，根据
垂直关系可得y 1y 2=-36，结合韦达定理分析求解；对于D ：可知抛物线C 在点y 20
6,y 0
处的切线方程为x
=y 03y -y 20
6
，根据切线方程求交点坐标，结合选项B 分析判断.【详解】对于选项A ：如图1，设AB 中点为M ，分别过点A ,B ,M 向准线作垂线，垂足为A 1,B 1,M 1，则由抛物线的定义可得，AF =AA 1 ，BF =BB 1 .
因为AB 中点为M ，所以有MM 1 =
AA 1 +BB 1
2=
AF +BF
2
=
AB
2
，
所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，故A 正确；对于选项B ：由抛物线C :y 2=6x ，可得F 3
2,0
，由题意可知直线AB 斜率不为0，设AB 方程为x =my +3
2
，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，
联立直线与抛物线的方程
x =my +3
2
y 2
=6x
，消去x 可得y 2-6my -9=0，
则Δ=-6m 2+36=36m 2+36>0恒成立。

可得y 1+y 2=6m ，y 1y 2=-9，则x 1+x 2=my 1+
32+my 2+3
2
=6m 2+3，所以AB =x 1+x 2+p =6m 2+6
当且仅当m =0时，AB 取到最小值6，
故B 正确；对于选项D ：先证抛物线C 在点y 206,y 0
处的切线方程为x =y 03y -y 20
6
，
联立方程
x =
y 03
y -y 2
06y 2
=6x
，消去x 得y 2-2y 0y +y 20=y -y 0 2
=0，
可知方程组只有一个解，即直线x =y 03y -y 20
6
与抛物线C 相切，
可知抛物线C 在点A ,B 处的切线方程分别为x =y 13y -y 216，x =y 23y -y 22
6，
联立方程
x =
y 1
3y -y 216x =
y 2
3y -y 226
，解得x =y 1y
26y =y 1+y 22
，即点N y 1y 26,y 1+y 2
2 ，结合选项B 可得：y 1y 26=-96=-3
2
，
所以点N 在抛物线C 的准线x =-3
2
上，故D 正确；
对于选项C ：由题意可知直线AB 斜率不为0，设AB 方程为x =my +a ，设A y 216,y 1 ，B y 226,y 2
，y 1y 2≠
0，
则OA =y 216,y 1 ，OB =y 22
6,y 2
，
若OA ⊥OB ，则OA ⋅OB =y 2
1y 22
36
+y 1y 2=0，解得y 1y 2=-36或y 1y 2=0(舍去)，
联立直线与抛物线的方程x =my +a
y 2
=6x
，消去x 可得y 2-6my -6a =0，则y 1y 2=-6a =-36，解得a =6，
此时Δ=-6m 2+4×36=36m 2+144>0，符合题意，所以OA ⊥OB ，则直线AB 过定点6,0 ，故C 错误；故选：ABD .
2已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(其中点A 在x 轴上方)，则(
)A.
1AF +1
BF
=1 B.弦AB 的长度最小值为l
C.以AF 为直径的圆与y 轴相切
D.以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切
【答案】ACD
【分析】由弦长公式计算可得选项A 、B ；C 、D 选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切.
【详解】
由题，焦点F 1,0 ，设直线l :x =ty +1,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y 1>0,y 2<0,联立x =ty +1
y 2
=4x
⇒y 2-4ty -4=0,Δ=16t 2+16>0，y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4，|AF |=
x 1-1
2
+y 21=t 2y 21+y 2
1=|y 1|⋅
t 2+1，同理可得，|BF |=|y 2|⋅t 2+1，1AF +1
BF =|AF |+|BF ||AF |⋅|BF |=
t 2+1|y 1|+|y 2|
t 2
+1 |y 1y 2|
=
y 1-y 24t 2
+1
=
(y 1+y 2)2-4y 1y 2
4t 2+1
=4t 2+14t 2
+1
=1，故A 选项正确；|AB |=|AF |+|BF |=t 2+1|y 1|+|y 2| =t 2+1y 1-y 2
=t 2+1y 1+y 2 2-4y 1y 2=4t 2+1 ≥4，故弦AB 的长度最小值为4，B 选项错误；记AF 中点M x 1+12,y 12
，则点M 到y 轴的距离为d =x 1+12
=x 1+1
2
，由抛物线的性质，|AF |=x 1+1,d =1
2
|AF |，所以以AF 为直径的圆与y 轴相切，故C 选项正确；|AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+2，记AB 中点N x 1+x 22,y 1+y 2
2 ，
则点N 到抛物线的准线的距离d =x 1+x 22+1=x 1+x 2+2
2=|AB |2
，故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，D 选项正确.故选：ACD .【跟踪训练】
4设O 是坐标原点，
直线y =k x -2 k >0 经过抛物线C ：y 2=2px 的焦点F ，且与C 交于A ，B 西
点，△OAF 是以OF 为底边的等腰三角形，l 是抛物线C 的准线，则()
A.以AB 直径的圆与准线l 相切
B.k =2
C.BF =2FA
D.△OAB 的面积是62
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的定义及直线与圆的位置关系判断A ；由条件求得A ,B 的坐标，利用斜率公式判断B ；根据向量的坐标运算判断C ；根据三角形面积公式求解判断D .
【详解】直线y =k x -2 k >0 与x 轴的交点为2,0 ，即焦点F 2,0 ，则
p
2
=2,p =4，故抛物线C 的方程y 2=8x ，
设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由题意可知A 点在第四象限，B 点在第一象限，设AB 的中点M ，过M 作MN ⊥l ，垂足为N ，过A 作AA ⊥l ，垂足为A ，过B 作BB ⊥l ，垂足为B ，则MN =
12AA +BB
=12AF +BF =12
AB ，则以AB 直径的圆与准线l 相切，故A 正确；∵△OAF 是以OF 为底边的等腰三角形，∴x 1=1，得A 1,-22 ，联立y =k x -2
y 2=8x
，得k 2x 2-4k 2+8 x +4k 2=0，
易知Δ>0，则x 1x 2=4，则x 2=4，得B 4,42 ，
k =k AB =
42+22
4-1
=22，故B 错误；
∵BF =-2,-42 ,FA =-1,-22 ，∴BF =2FA ，故C 正确；△OAB 的面积为S =12OF y 1-y 2 =
1
2
×2×-22-42 =62，故D 正确.故选：ACD .
5已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 在直线l :y =kx -k 上，直线l 与抛物线交于点A ,B (O 为坐标原点)，则下列说法中正确的是()
A.p =2
B.准线方程为x =-2
C.以线段AB 为直径的圆与C 的准线相切
D.直线OA ､OB 的斜率之积为定值
【答案】ACD
【分析】由直线l 过定点(1,0)，得到
p
2
=1，可判定A 正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B 错误；过A ,B ,D 点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到AB =AA 1 +BB 1 =2DD 1 ，可判定C 正确；联立方程组，结合韦达定理，得到x 1x 2=1，求得
y 1y 2x 1x 2=-4
x 1x 2
，可判定D 正确.
【详解】对于A 中，由直线y =kx -k ，可化为y =k (x -1)，可得直线l 过定点(1,0)，因为抛物线C :y 2=2px 的焦点F 在直线l 上，可得
p
2
=1，则p =2，所以A 正确；对于B 中，由抛物线C :y 2=4x 的准线方程为x =-1，所以B 错误；对于C 中，过A ,B 点作准线的垂线，垂足分别为A 1,B 1，AB 的中点为D 点，过D 点作准线的垂线，垂足为D 1，可得AB =AA 1 +BB 1 =2DD 1 ，所以C 正确；对于D 中，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立方程组y =kx -k
y 2=4x
，
整理得k 2x 2-4+2k 2 x +k 2=0，可得x 1x 2=1，则y 1y 2x 1x 2=-4x 1x 2x 1x 2=-4
x 1x 2
=-4，所以D 正确.故选：ACD .
考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论
①知识要点：如图，假设抛物线方程为x 2=2py (p >0)，过抛物线准线y =−
p
2
上一点P (x 0,y 0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A ,B ，其坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2). 则以点P 和两切点A ,B 围成的三角形PAB 中，有如下的常见结论:结论1.直线AB 过抛物线的焦点F .
结论2.直线AB 的方程为x 0x =2p
y 0+y
2
=p (y 0+y ).结论3.过F 的直线与抛物线交于A ,B 两点，以A ,B 分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点P (x 0,y 0)的轨迹即为抛物线的准线.
证明：过A 点的切线方程为x 1x =p (y 1+y )，过B 点的切线方程为x 2x =p (y 2+y )，两式相除可得：x 1x 2=y +y 1y +y 2⇒y =x 2y 1−x 1y 2x 1−x 2⇒y =x 1x 22p =−p 2.这就证明了该结
论.
结论4.PF ⊥AB .
证明：由结论3，k AB =x 0
p ，k PF =y 0−p
2x 0.
那么k AB ⋅k PF =x 0p ⋅y 0−p
2x 0=y 0p −1
2=−1.
结论5.AP ⊥PB .证明：k AP =
x 1p ,k BP =x 2p ,则k AP ⋅k BP =x 1p ⋅x
2p =x 1⋅x 2p
2.由抛物线焦点弦的性质可知x 1x 2=−p 2，代入上式即可得k AP ⋅k BP =
x 1⋅x 2
p 2
=−1，故AP ⊥PB .结论6.直线AB 的中点为M ，则PM 平行于抛物线的对称轴.
证明：由结论3的证明可知，过点A ,B 的切线的交点P 在抛物线准线上.且P 的坐标为x 1+x 22,x 1x 2
2p
，显然PM 平行于抛物线的对称轴.【精选例题】
1已知抛物线C ：
x 2=2py ，(p >0)的焦点为F ，M x ,y x >0 为C 上一动点，若曲线C 在点M 处的切线的斜率为3，则直线FM 的斜率为(
)
A.
3
2
B.
33
C.
34
D.
35
【答案】B
【详解】∵x 2=2py ，∴y =
12p x 2，F 0,p 2 ，∴y =1p x ，由题意知，1
p
x M =3，解得：x M =3p ，又∵M 在x 2=2py 上，∴(3p )2=2py M ，解得：y M =32p ，∴M 3p ,32p ，∴k MF =32p -1
2
p 3p -0
=33.
故选：B .
2设抛物线C ：
y 2=6x 的焦点为F ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作C 的切线l 1，l 2，若l 1与l 2交于点P ，且满足PF =23，则AB =(
)A.5 B.6
C.7
D.8
【答案】D
【详解】y 2=6x ,2p =6,
p 2=32,∴F 32,0 ，设直线AB 的方程为x =my +3
2
，显然m 是存在的，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，显然y 1≠0,y 2≠0，求导：y 2 =6x ,∴y
=
3y ，在A 点处的切线方程l 1y -y 1=
3y 1x -x 1 ,∴y =
3
y 1x -3x 1y 1+y 1,∵x 1=y 21
6,∴y =3y 1x +y 12
⋯①，
同理可得在B 点处的切线方程l 2为：y =3
y 2x +y 12；联立方程y 2=6x x =my +32
，
解得y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+36>0，∴y 1y 2=-9，联立方程
y =3
y 1x +y 1
2y =3y 2
x +y 2
2
解得
3x y 2-y 1
y 1y 2
+
12y 1-y 2 =0，
∵y 1≠y 2,y 1-y 2≠0,∴x =y 1y 26=-32，即P 点在准线x =-32上，设P -3
2
,t ，∵PF =32+t 2=23,∴t 2=3,t =±3，考虑抛物线关于x 轴对称，不妨取t =3，代入①得：3=3
y 1×
-
32 +y 12，解得y 1=33或y 1=-3，由图可知y 1=33,y 2=-3，再代入抛物线方程得x 1=92,x 2=12
，∴AB =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=8；故选：D .3(多选题)已知抛物线y =x 2的焦点为F ，
过F 且斜率为k 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，B 在第一象限，过A ，B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，若BP 交x 轴于点Q ，则下列说法正确的有(
)
A.点P 在抛物线的准线上
B.∠APB =π3
C.FQ ⊥BQ
D.若k =
33，则AF FB
的值为13【答案】ACD 【详解】由题意知F 0,1
4
，故l ：y =kx +
14，与抛物线y =x 2联立，可得x 2-kx -1
4
=0，则Δ=k 2+1>0，设A x 1,x 21 ，B x 2,x 22 ，则x 1x 2=-1
4．对于A ，由抛物线y =x 2可得y =2x ，所以直线l 1的斜率k 1=2x 1，则直线l 1的方程为y -x 21=2x 1x -x 1 ，同理可得直线l 2的方程为y -x 22=2x 2x -x 2 ，联立解得P x 1+x 2
2
,x 1x 2
．又x 1x 2=-14，故点P 在抛物线的准线y =-14上，故A 正确；对于B ，k AP ⋅k BP =x 21-x 1x 2
x 1-x 1+x 22⋅x 22-x 1x 2x 2-x 1+x 22=
4x 1x 2=-1，故∠APB =π2，故B 错误；对于C ，直线l 的方程为y =kx +14
，则B x 2,x 22 ，直线l 2的方程为y -x 22=2x 2x -x 2 ，
可得Q x 22,0 ,所以k FQ =1
4
-00-x 22
=-12x 2,k BQ =k l 2
=2x 2，故k FQ ⋅k BQ =-1,则FQ ⊥BQ ，故C 正确；
对于D ，由k =33，直线l 的方程为y =33x +14，与抛物线联立可得x 2-33x -1
4
=0，解得x 1=-
36,x 2=32，则A -36,112 ,B 32,34
，。