高中数学 2022年浙江省普通高中学业水平考试数学试卷(7月份)

2022年浙江省普通高中学业水平考试数学试卷（7月份）
一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
A ．∀x ∈R ，x 2-2x +4≥0
B ．∀x ∉R ，x 2-2x +4≤0
C ．∃x ∈R ，x 2-2x +4>0
D ．∃x ∉R ，x 2-2x +4>0
1．（5分）命题“∀x ∈R ，x 2-2x +4≤0”的否定为（ ）A ．0B ．3C ．2D ．1
2．（5分）给出命题：p ：3>1；q ：4∈{2，3}，则在下列三个复合命题：“p 且q ”；“p 或q ”；“非p ”中，真命题的个数为（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．（5分）命题“∃x ∈R ，使x 2+ax -4a <0为假命题”是“-16≤a ≤0”的（ ）A ．
54
B ．
43
C ．
53
D ．7
4
4．（5分）已知双曲线
x 2a
2
-
y 2b
2
=1的一条渐近线方程为y =3
4
x ,则此双曲线的离心率为（ ）
√A ．（13
，−23
）B ．（-13，12
）C ．（12
，-13
）D ．（-23，13
）
5．（5分）直线y =x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是（ ）
A ．(−33
，33
)
B ．(−3，3)
C ．[−33
，33
]
D ．[−3，3]
6．（5分）已知双曲线x 212
−y 2
4
=1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是
（ ）√√√√√√√√A ．x 2
5
-y 2
4
=1
B ．x 2
4
-y 2
5
=1
C ．x 2
3
-y 2
6
=1
D ．x 2
6
-y 2
3
=1
7．（5分）已知双曲线
x 2a
2
−
y 2b
2
=1（a >0，b >0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆
心，则该双曲线的方程为（ ）
二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）
A ．9
B ．15
C ．12
D ．8
8．（5分）已知△ABC 是椭圆x 225
+y 2
9
=1的内接三角形，F 是椭圆的右焦点，且△ABC 的重心在原点O ，则A 、B 、C 三点到F 的距离
之和为（ ）
A ．-2
B ．-
8116
C ．1
D ．0
9．（5分）已知双曲线x 2-y 23
=1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1•PF 2最小值为（ ）
→→
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
10．（5分）已知椭圆C ：x 2a
2
+
y 2b
2
=1（a >b >0）的离心率为32
，过右焦点F 且斜率为k （k >0）的直线与C 相交于A ，B 两点，若
AF =3FB ，则k =（ ）
√→→
√√A ．（32
，1）
B ．[33
，1）
C ．（3
3
，3
2
）
D ．（0，33
）
11．（5分）过椭圆C ：x 23
+y 2
2
=1上任一点P 作椭圆C 的右准线的垂直PH （H 为垂足）．延长PH 到点Q ，使|HQ |=λ|PH |（λ≥
1）．当点P 在C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是（ ）√√√√√A ．随着角度θ的增大，e 1增大，e 1e 2为定值B ．随着角度θ的增大，e 1减小，e 1e 2为定值C ．随着角度θ的增大，e 1增大，e 1e 2也增大D ．随着角度θ的增大，e 1减小，e 1e 2也减小
12．（5分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB =2AD ，设∠DAB =θ，θ∈（0，π
2
），以A ，B 为焦
点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则（ ）
13．（5分）设p ：|4x -3|≤1；q ：（x -a ）（x -a -1）≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．
14．（5分）已知对称中心为原点的双曲线x 2−y 2=1
2
与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为
．
15．（5分）椭圆x 216
+y 2
4
=1上的点到直线x +2y −2=0的最大距离是
．
√
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）
16．（5分）设F 1（-c ,0），F 2（c ,0）是椭圆
x 2a
2
+
y 2b
2
=1（a >b >0）的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点，
且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为
．
17．（10分）已知函数f （x ）=x 2-2ax +3，命题P ：f （x ）在区间[2，3]上的最小值为f （2）；命题Q ：方程f （x ）=0的两根x
1，x 2满足x 1<-1<x 2．若命题P 与命题Q 中有且只有一个真命题，求实数a 的取值范围．
18．（12分）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上，两准线间的距离为92
，并且与直线y =1
3
(x −4)相交所得线
段中点的横坐标为−2
3
，求这个双曲线方程．
19．（12分）已知定点A （0，-1），点B 在圆F ：x 2+（y -1）2=16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）若曲线Q ：x 2-2ax +y 2+a 2=1被轨迹E 包围着，求实数a 的最小值．
20．（12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为（3，0）（1）求双曲线C 的方程；
（2）若直线l ：y =kx +2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA •OB >2（其中O 为原点）．求k 的取值范围．
√√→→
21．（12分）已知离心率为6
3
的椭圆C ：
x 2a
2
+
y 2b
2
=1（a >b >0）经过点P (3，1)．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过左焦点F 1且不与x 轴垂直的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，若OM •ON =
463tan ∠MON
（O 为坐标原点），求直线l 的方程．
√√→→
√22．（12分）已知椭圆Γ：
x 2a
2
+
y 2b
2
=1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，过点F 1斜率为正数的直线交Γ与A 、B 两点，且AB ⊥AF 2
，|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列．（Ⅰ）求Γ的离心率；
（Ⅱ）若直线y =kx （k <0）与Γ交于C 、D 两点，求使四边形ABCD 面积S 最大时k 的值．。