第5章§22.1复数的加法与减法+2.2复数的乘法与除法学习专用

§复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
2.2复数的乘法与除法
i•理解共轭复数的概念•(重点)
2.掌握复数的四则运算法则与运算律.(重点、难点)
［基础初探］
教材整理1复数的加法与减法
阅读教材P103 “例1”以上部分，完成下列问题•
1•复数的加法
设a+ bi(a, b€ R)和c+ di(c, d€ R)是任意两个复数，定义复数的加法如下: (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c)+ (b+ d)i.
2•复数的减法
设a+ bi(a, b€ R)和c+ di(c, d€ R)是任意两个复数，定义复数的减法如下: (a+ bi) —(c+ di) = (a —c)+ (b—d)i.
1 1
复数乙=2—2i, Z2= ^—2i，贝U乙+ z2等于( )
A.O
【解析】Z1 + z2= 2+ 2 + —2— 2 i = 2—2).
【答案】 C
教材整理2复数的乘法与除法
阅读教材P104 “练习”以下〜P106,完成下列问题.
1.复数的乘法法则
设Z1 = a+ bi, Z2= c+ di(a, b, c, d€ R),贝U Z1 • Z2= (a+ bi)(c+ di) =
(ac—
bd)+ (ad+ bc)i.
2. 复数乘法的运算律
对任意复数Z 1 , Z 2, Z 3€ C ,有
交换律 Z 1 • z 2 = z 2 • Z 1 结合律
(Z 1 • Z 2)Z 3= Z 1 • (Z 2 •
Z 3)
乘法对加法的分配律
Z 1(Z 2 + Z 3)= Z 1Z2 + Z 1Z3
3.共轭复数
如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数,那么这样的两个复数叫作互为 共轭复数.复数z 的共轭复数用z 来表示，即Z = a + bi ，则z = a — bi.
4•复数的除法法则
…zi a + bi ac + bd be — ad
设a + bi ,什c + di(c + di 工o)，则矿R 二CH 土T+7丄 2
2 — i
(1 + i)
— 2土^= ---------
••• (1 + i)2 — 2—i
= 2i — 2+ i
+14i
［质疑手记］
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1： ................................. ......................... 解惑： ................................ ........................ ... 疑问2: .................................. ......................... 解惑： ................................ ........................ ... 疑问3: .................................. ......................... 解惑： ................................ ........................ ...
［小组合作型］
°
(1)
3 + 2
i + (2 —
D - 3 — 2i
二 ------------
(2)已知复数z 满足z + 1 — 3i = 5 — 2i ，求乙 (3)已知复数z 满足|z| + z = 1 + 3i ，求z.
【解析】
【答案】
复数的加法与减法运算
【精彩点拨】(1)根据复数的加法与减法法则计算.
(2)设z= a+ bi(a, b駅),根据复数相等计算或把等式看作z的方程，通过移
项求解.
⑶设z= x+ yi(x, y取),则|z|=-：x2+ y2,再根据复数相等求解.
【自主解答】⑴1+21 +(2—°- 3-1 = 3+2-3+2—1+2 i
=1 + i.
【答案】 1 + i
⑵法一：设z= x+ yi(x, y 取),因为z+ 1-3i = 5-2i,所以x+ yi + (1- 3i) =5—2i,即x+ 1= 5 且y—3= —2,解得x = 4, y= 1,所以z= 4+ i.
法二：因为z+ 1 —3i = 5 —2i,所以z= (5 —2i) —(1 —3i) = 4+ i.
⑶设z= x+ yi(x, y CR),则|z|= 'x2+ y2,又|z|+ z= 1 + 3i ,所以-'x2+ y2+ x
丨.：:x2+ y2+ x= 1 , x= — 4 ,
+ yi = 1 + 3i ,由复数相等得解得所以z= —4+ 3i.
〔y= 3 , y=3,
1.复数加法与减法运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项.
2.当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z= a+ bi(a , b 取).
［再练一题］
1.(1)复数(1 —i) —(2 + i) + 3i 等于(
)
1 z i • z
2 和z l；
A. — 1 +1
B.1 —i
C.i
D. —i
【解析】(1 —i) —(2 + i) + 3i = (1—2)+ (—i —i + 3i) = —1+ i.故选 A.
【答案】 A
(2)已知园=3,且z+ 3i是纯虚数，则z= _____________ .
【解析】设z= x+ yi(x, y駅)，••：’X2 1 3+ y2= 3①，且z+ 3i = x+ yi + 3i = x
x= 0，
+ (y+ 3)i是纯虚数，贝U
l y+ 3 工0，
例已知复数z i = 1 + i，Z2= 3—2i.试计算：
3 z i 宁z2 和£* z i.
【精彩点拨】按照复数的乘法和除法法则进行•
【自主解答】(1)z i 22 = 3 —2i + 3i —2i2= 5+ i.
4 22 2 2
z i = [(i + i)[ = (2i) = 4i = — 4.
- i+ i (i + i)(3+ 2i) i + 5i i 5
(2)z i 勺2= = = i3= + i3i.
3—2i (3 —2i)( 3+ 2i) i3 i3 i3
2(3 —2i) 2 5—i2i (5—i2i)(i —i)
z2 -^zi = = =
i+i i + i (i + i)(i —i)
—7- 17i
2
1•实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立•
2•复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减.
3.常用公式
由①可得y= 3.
•°z= 3i.
【答案】3i
复数的乘法与除法运算
1
1+i
1—i
⑴厂-i
；⑵厂=i
；⑶市=-
L
［再练一题］
I ・
2. (1)满足^~z~ =
i(i 为虚数单位)的复数z =(
)
1 1
A .2+qi
C.—1
+ qi
(2)若复数z 满足z(1 + i) = 2i(i 为虚数单位)，则|z 匸( A.1 B.2 C. 2
D/ 3
z + i
【解析】 (1)v = i ,.°z + i = z ,.°i = z(i — 1).
i
i
(— 1 — i
)
.z — —
• i — 1 (— 1 +
i )(— 1 — i )
［探究共研型］
共轭复数的应用
探究1两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚 数吗？
【提示】 若z — a + bi(a , b 駅),则z — a — bi ,则z + z — 2a € R .因此，和一 定是实数；而z — z — 2bi.当b — 0时，两共轭复数的差是实数,而当bM 0时，两 共轭复数的差是纯虚数.
1. 2i
1 — i 1 1.
—— i
・z —
2i 2i (1 — i )
1+ i —1+ i ,
探究点 D.-1
(2)v z(1 + i) — 2i,
【答案】 (1)B ⑵C
探究2若Z1与z2是共轭复数，则|Z1|与|z2|之间有什么关系?
【提示】Z l|= |Z2|.
例已知z€ C, Z为z的共轭复数，若zz—3iZ= 1 + 3i，求乙
【精彩点拨】设z= a+ bi(a, b®,则z= a—bi.代入所给等式,利用复数
的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.
【自主解答】设z= a+ bi(a, b取),贝贬二a—bi, (a, b^R),
由题意得(a+ bi)(a—bi) —3i(a—bi) = 1 + 3i,
即 a + b —3b—3ai — 1 + 3i,
f 2 2 厂厂
a2+ b2—3b—1, a——1, a——1,
则有解得或
—3a —3, b—0 b — 3.
所以z—— 1 或z—— 1 + 3i.
［再练一题］
a+ 2i
3.已知复数Z1—(— 1 + i)(1 + bi), Z2—，其中a, b€ R若乙与z2互为共
1 —i
轭复数，求a, b的值.
【解】Z1 —(— 1 + i)(1 + bi) —— 1 —bi + i —b—(—b—1)+ (1 —b)i,
a+ 2i (a+ 2i)(1 + i) a+ ai + 2i — 2
z2 ———
1 —i (1 —i)(1 + i) 2
由于Z1和z2互为共轭复数,所以有
(1 — b ).
［构建体系］
1.设 z i = 2+ i , 72= 1 — 5i ，则 |z i + Z 2|为( ) A. 5+ 26
B.5
C.25
D. 37
【解析】 Z 1 + Z 2|= |(2+ i) + (1 — 5i)|
=|3— 4i| = '32+( — 4) 2 = 5.
【答案】 B
2.已知i 是虚数单位，则(一1 + i)(2 — i)=( ) A. — 3+ i
B.— 1 + 3i
C. — 3 + 3i
D. — 1 + i
【解析】(—1 + i)(2 — i) = — 1 + 3i. 【答案】 B
3. ________________________________________________________ 设复数
Z 1= 1 + i , Z 2=x + 2i(x € R )，若 7172 € R ，则 x = ____________________
【解析】 T Z 1 = 1 + i , Z 2 = x + 2i(x € R ),
••Z 1Z 2= (1 + i)(x + 2i) = (x — 2)+ (x + 2)i. '•Z 1Z 2 , .'x + 2 = 0,即 x = — 2.
【答案】 —2
4. _____________________________________________________ 若 一=a +
a — 2
2 = — b — 1
,
a = — 2,
解得
l b =
bi(i 为虚数单位，a, b€ R),贝U a+ b = _________________________ .
1 —i
【导学号：94210084】【解析】因为2二 2 (1+ i)二1 + i,所以1 + i二a+ bi,所以a
1 —i (1 —i)(1 + i)
=1, b= 1,所以a+ b=2.
【答案】 2
5.已知复数z满足|z|= .5,且(1 —2i)z是实数，求z.
【解】设z= a+ bi(a, b®,则(1—2i)z= (1 —2i) (a+ bi) = (a + 2b) + (b—
2a)i,又因为(1 —2i)z是实数，所以b—2a = 0,即b = 2a,又|z|=〔5,所以a2+
b2= 5,解得a= ± , b= ±2,
1 + 2i 或一1—2i, 1—2i 或一1+ 2i,
•2= ±1 — 2i).
我还有这些不足：
(1) ..................................... .........................
(2) ..................................... .........................
我的课下提升方案：
(1) ..................................... .........................
(2) .....................................................................。