2020-2021学年成都市天府新区六校联考九年级上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年成都市天府新区六校联考九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 若方程x 2+(m 2−1)x +m =0的两根互为相反数，则m 的值为( )
A. 1或−1
B. 1
C. 0
D. −1 2. 如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图
是( ) A.
B. C. D.
3. 我国第一艘航空母舰的电力系统可提供14000000，将14000000数法表示为( )
A. 1.4×107
B. 14×106
C. 1.4×108
D. 0.14×108 4. 函数y =√x −1中，自变量x 的取值范围是( )
A. x ≠−1
B. x <1
C. x ≤1
D. x ≥1 5. 方程组{x −y =12x +y =5
的解是( ) A. {x =2y =−1
B. {x =−1y =2
C. {x =1y =2
D. {x =2y =1 6. 下列函数中，对于任意实数x 1，x 2，当x 1>x 2时，满足y 1<y 2的是( )
A. y =−3x +2
B. y =2x +1
C. y =2x 2+1
D. y =−1x 7. 已知⊙O 的半径为1，AO =d ，且关于x 的方程x 2−2dx +1=0有两个相等的实数根，则点A 与⊙O 的位置关系是( )
A. 在⊙O 内
B. 在⊙O 外
C. 在⊙O 上
D. 无法确定 8. 下列命题中，不正确的是( )
A. 等边三角形三个内角均为60°
B. 全等三角形对应边相等
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 长度为2、3、4的三条线段能组成三角形
9.如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，
连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF=DC；
③S△DCF=4S△DEF；④tan∠CAD=√2
.其中正确结论的个数是()
2
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
(k<0)的图象大致是()
10.在同一平面直角坐标系中，函数y=kx和y=−k
x
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）
11.如果5a=6b，那么a：b=(______ ：______ ).
12.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在AD上，且AE=1，P为对角
线BD上的一个动点，则△APE周长的最小值是______．
13.一元二次方程3x(x−2)=−4的一般形式是______ ，该方程根的情况是______ ．
(x<0)图象上的两点，过点A、
14.如图，点A、B是反比例函数y=k
x
B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知
S△AOC，则k=______．
点C(−1,0)，BD=2，S△BCD=1
2
15.由完全平方公式可知：32+2×3×5+52=(3+5)2=64，运用这一方法计算：4.32102+
8.642×0.6790+0.67902=______ ．
16.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8，随机摸取一个小
球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于2或16的概率是______．17.如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，
若CE=2EB，S△AFD=27，则S△EFC等于______．
(x>0)的图象上有点P1，P2，P3，P4，它
18.如图，在反比例函数y=k
x
们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作x轴和y轴的垂线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=2.4，则k的值为______．
19.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于O点，且OA=4.5，过O点
作OE⊥BC，连DE交OC于F，若△DFC为等腰三角形，则
CD=______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
20.为了“鼓励学生做家务”，某校开展了“感恩父母，学做家务”活动.校学生会在参加活动的500
名学生中随机抽取了部分学生，调查他们每周帮父母做家务的时间，绘制了扇形统计图和频数直方图(均不完整)，请根据图中信息，回答下列问题：
(1)本次调查抽取的学生共有多少名？将频数直方图补充完整；
(2)被调查的学生中每周做家务时间的中位数是多少？
(3)请估计该校参加活动的学生中大约有多少学生平均每周做家务的时间不少于1.5小时．
四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）
21.(1)计算−√2×√6+|√3−√2|−(1
2
)−1．
(2)用配方法解方程x2−4x+2=0．
22.先化简再求值：(2a2−9
a2−1)÷a2+3a
a2
，其中a=√3．
23.如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题：
(1)画出将△ABC向下平移5个单位后的△A1B1C1．
(2)画出△ABC关于点B成中心对称的△A2BC2．
(3)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的△A3BC3．
(4)在直线上找一点P，使△ABP的周长最小(说明：在网格中画出图形，标上字母即可)
24.如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x轴、y轴相交
(m≠0)的图象相交于第一
于A、B两点，并且与反比例函数y=m
x
象限内的一点C，线段CD⊥x轴于点D，OA=OB=OD=1．
(1)请直接写出A、B、D三点的坐标．
(2)求一次函数与反比例函数的表达式．
(3)连接OC，求△AOC的面积．
25.如图(1)，在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，
折痕分别为CM、AN．
(1)求证：DN=BM．
(2)连接MF、NE，求证：四边形MFNE是平行四边形．
(3)P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图(2)所示，若PQ=CQ，PQ//MN，
且AB=8，BC=6，求AQ的长度．
26.某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月可售出500千克，
销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．
(1)直接写出月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：______；月销售利润w(元)与售
价x(元/千克)之间的函数关系式：______；
(2)该超市想在月销售量不低于250千克的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为每千
克多少元？
(3)售价定为每千克多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
27.如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P，Q分别从BC两点同时出
发，其中点P沿BC向终点C运动．速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)．
(1)求x为何值时，PQ⊥AC；
(2)设△PQD的面积为y(cm2)，当0<x<2时，求y与x的函数关系式；
(3)探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围．
28.如图1，已知点M、N是线段AB上的点，AM=1，将线段AM绕点M旋转，将线段BN绕点N旋转，
点A、点B的对应点恰好重合记作点P，设MN=x
(1)当AB=3时，求x的取值范围；
(2)如图2，当∠PMN=90°时，∠MPN>∠PNM，作∠NPC=45°时PC交MN于点C，过PN上一点D作
DE⊥PM于点E，交PC于点F，若DE=PM，求证：MC=DF−PE；
(3)当AB=3、x=1时，平面内一点Q，满足∠PQN=30°，若PQ=m，NQ=n，则MQ=______.(直
接用m、n表示)
参考答案及解析1.答案：D
解析：解：∵方程x2+(m2−1)x+m=0的两根互为相反数，
∴x1+x2=−b
a
=0
∴m2−1=0，
解得m=±1，
∵互为相反数的积小于等于0，即m≤0，
∴m=−1．
故选D．
因为方程x2+(m2−1)x+m=0的两根互为相反数，所以m2−1=0，由此求出m，然后检验即可求出m的值．
本题主要考查了根与系数的关系和相反数的定义．要会灵活运用各种方法，巧妙解题．两根互为相反数，隐含的条件是，两根之和等于零，两根之积小于或等于零．
2.答案：A
解析：解：从上面看易得三个横向排列的正方形．
故选A．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，要求同学们掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.答案：A
解析：解：将14000000科学记数法表示为1.4×107，
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.答案：D
解析：解：由题意得，x−1≥0，
解得x≥1．
故选：D ．
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5.答案：D
解析：解：{x −y =1①2x +y =5②
， ①+②得，3x =6，
解得x =2，
把x =2代入①得，2−y =1，
解得y =1，
所以方程组的解是{x =2y =1
， 故选D ．
根据y 的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 6.答案：A
解析：
本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质以及反比例函数的性质，根据一次(二次、反比例)函数的性质，逐一分析四个选项中y 与x 之间的增减性是解题的关键．
A 、由k =−3可得知y 随x 值的增大而减小；
B 、由k =2可得知y 随x 值的增大而增大；
C 、由a =2可得知：当x <0时，y 随x 值的增大而减小，当x >0时，y 随x 值的增大而增大；
D 、由k =−1可得知：当x <0时，y 随x 值的增大而增大，当x >0时，y 随x 值的增大而增大．此题得解．
解：A.y =−3x +2中k =−3，
∴y 随x 值的增大而减小，
∴A 选项符合题意；
B .y =2x +1中k =2，
∴y 随x 值的增大而增大，
∴B 选项不符合题意；
C.y=2x2+1中a=2，
∴当x<0时，y随x值的增大而减小，当x>0时，y随x值的增大而增大，
∴C选项不符合题意；
D.y=−1
中k=−1，
x
∴当x<0时，y随x值的增大而增大，当x>0时，y随x值的增大而增大，
∴D选项不符合题意．
故选A．
7.答案：C
解析：解：∵a=1，b=−2d，c=1，
∴△=b2−4ac=(−2d)2−4×1×1=4d2−4=0，
解得：d=1．
则点A在⊙O上．
故选：C．
关于x的方程x2−2dx+1=0有两个相等的实数根，即判别式△=b2−4ac=0.即可得到关于d的不等式，从而求得d的范围，进而判断点A与⊙O的位置关系．
本题考查了点与圆的位置关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．
8.答案：C
解析：解：A、等边三角形三个内角均为60°，是真命题，不符合题意；
B、全等三角形对应边相等，是真命题，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，等底等高的两三角形的两个三角形面积相等，但两个三角形不一定全等原命题是假命题，符合题意；
D、2+3>4，长度为2、3、4的三条线段能组成三角形，是真命题，不符合题意；
故选：C．
根据等边三角形的性质、全等三角形的性质和三角形判断解答即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9.答案：A
解析：解：如图，过D作DM//BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=90°，AD=BC，S△DCF=4S△DEF ∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
②∵DE//BM，BE//DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=1
2
BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM//BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故②正确；
③∵点E是AD边的中点，
∴S△DEF=1
2
S△ADF，
∵△AEF∽△CBF，
∴AF：CF=AE：BC=1
2
，
∴S△CDF=2S△ADF=4S△DEF，
故③正确；
④设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有b
a =2a
b
，即b=√2a，
∴tan∠CAD=CD
AD =b
2a
=√2
2
.故④正确；
故选：A．
①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；
②根据已知条件得到四边形BMDE是平行四边形，求得BM=DE=1
2
BC，根据线段垂直平分线的性质得到DM垂直平分CF，于是得到结论，
③根据三角形的面积公式即可得到结论；
④设AE=a，AB=b，则AD=2a，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．10.答案：D
解析：解：当k<0时，正比例函数y=kx的图象经过、二四象限，
当k<0时，−k>0，反比例函数y=−k
x
的图象经过一、三象限，
故选：D．
k<0，正比例函数y=kx的图象经过二、四象限和反比例函数y=−k
x
的图象经过一、三象限，从而可得出答案．
本题主要的是正比例函数和反比例函数的图象的性质，掌握正比例函数和反比例函数的图象的性质是解题的关键．
11.答案：65
解析：解：∵5a=6b，
∴a
b =6
5
，
∴a：b=6：5．
故答案为：6，5．
直接利用比例的性质计算得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．12.答案：6
解析：解：∵正方形ABCD，
∴A点与C点关于BD对称，
连接CE与BD交于点P，
则PA+PE=PC+PE=CE，此时PA+PE最小，
∵正方形的边长为4，
∴CD=4，
∵AE=1，
∴ED=3，
在Rt△CDE中，EC2=DC2+ED2，
∴EC2=42+32=25，
∴EC=5，
∴△APE周长=AP+PE+AE=EC+AE=5+1=6，
∴△APE周长的最小值为6，
故答案为6．
由正方形的性质可知A点与C点关于BD对称，连接CE与BD交于点P，此时PA+PE最小为EC，则△APE周长的最小为EC+AE．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质，能确定A点与C点关于BD对称是解题的关键．13.答案：3x2−6x+4=0；无实数根
解析：解：3x(x−2)=−4，
3x2−6x+4=0，
∵△=(−6)2−4×3×4=−12<0，
∴无实数根．
故答案为：3x2−6x+4=0；无实数根．
首先去括号移项，可得一般形式，再用根的判别式进行计算即可得该方程根的情况．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．
14.答案：−4
解析：解：连接OB，
∵点C(−1,0)，
∴OC=1，
∵AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，
|k|，
∴S△BOD=S△AOC=1
2
S△AOC，
∵S△BCD=1
2
∴S△BCD=1
k，
4
∴CD=OC=1，
∴OD=2，
∵BD=2，
∴B(−2,2)，
∵B是反比例函数y=k
x
(x<0)图象上的点，∴k=−2×2=−4，
故答案为：−4．
根据反比例函数系数k的几何意义得到S△BOD=S△AOC=1
2|k|，即可求得S△BCD=1
4
k，从而得出CD=
OC=1，由OC+CD求出OD的长，确定出B的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可．
此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
15.答案：25
解析：解：4.32102+2×4.3210×0.6790+0.67902=(4.3210+0.6790)2=52=25，
故答案为：25
原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16.答案：1
3
解析：解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两次取出的小球上数字之积等于2或16的结果有4个，
∴两次取出的小球上数字之积等于2或16的概率为4
12=1
3
，
故答案为：1
3
．
共有12个等可能的结果，两次取出的小球上数字之积等于2或16的结果有4个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.答案：12
解析：
本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形面积比是相似比的平方进行解题是关键．根据题意可知△EFC∽△DFA，根据相似比CE：AD即可求出面积比，从而得到△EFC的面积．
解：在平行四边形ABCD中，CE//AD，
∴△EFC∽△DFA，
，
又∵CE=2EB，
∴CE
CB =2
3
，
而CB=DA，
∴CE
DA =2
3
，
∴S△EFC
27=4
9
，
∴S△EFC=12，故答案为12．18.答案：3.2
解析：解：由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：(1,k)，(2,k
2,(3,k
3
)，(4,k
4
).
∴由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3=[(k−k
2)+(k
2
−k
3
)+(k
3
−k
4
)]×1
=3k
4
=2.4，
解得：k=3.2，
故答案为：3.2．
根据反比例函数的几何意义可知图中所构成的阴影部分的面积和正好是从点P1向x轴，y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，根据S1+S2+S3=2.4列方程求解即可．
主要考查了反比例函数y=k
x
中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，正确理解k的几何意义是解题的关键．
19.答案：3或3√6
2
解析：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，OE//CD，OA=OC=4.5，
∴OF
FC =OE
CD
=1
2
，
∴OF=1.5，FC=3．
∵∠OCD=∠ODC>∠FDC，∴FD≠FC．
若DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF=∠ODC，∴△DFC∽OCD，
∴FC
CD =CD
OC
，
∴3
CD =CD
4.5
，
解得CD=3√6
2
．
若CF=CD，则CD=3．
故答案为：3或3√6
2
．
根据矩形的性质求出OF=1.5，FC=3.分两种情况，若DF=DC，则∠DFC=∠DCF=∠ODC，证明△DFC∽OCD，可得出比例线段求出CD的长，若CF=CD，则CD=3．
本是考查了矩形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20.答案：解：(1)根据扇形统计图可知：
本次调查抽取的学生共有6÷15%=40名；
平均每周做家务的时间为1小时的人数是40−19−6−4=11；
频数直方图补充如图所示：
(2)共40个人，中位数应为第20和第21个的平均数，由统计图可知第20个数和第21个数都是1(小时)，所以中位数是1；
(3)该校平均每周做家务的时间不少于1.5小时的人数大约是500×(10÷40)=125(人)．
解析：本题考查了频数(率)分布直方图，扇形统计图，中位数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
(1)平均每周做家务的时间为1.5小时的人数除以所占的百分比，即可求出本次调查的总人数，进而求出平均每周做家务的时间为1小时的人数，补全统计图；
(2)根据总人数为40，得到中位数应为第20与第21个的平均数，由统计图可知第20个数和第21个数都是1(小时)，即可确定出中位数为1；
(3)由平均每周做家务的时间不少于1.5小时的频率乘以总人数即可求出．
21.答案：解：(1)原式=−√2×6+√3−√2−2
=−2√3+√3−√2−2
=−√3−√2−2；
(2)x2−4x=−2，
x2−4x+4=2，
(x−2)2=2，
x−2=±√2，
所以x1=2+√2，x2=2−√2．
解析：(1)根据二次根式的乘法法则、绝对值和负整数指数幂的意义计算；
(2)利用配方法得到(x−2)2=2，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握配方法解方程的步骤．也考查了二次根式的混合运算．
22.答案：解：原式=2a2−9−a2
a2⋅a2 a2+3a
=a2−9
a2⋅a2 a2+3a
=(a+3)(a−3)
a2⋅a2 a(a+3)
=a−3
a
，
当a=√3时，原式=√3−3
√3=3−3√3
3
=1−√3．
解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值
此题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23.答案：解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2BC2即为所求；
(3如图所示，△A3BC3即为所求；
(4)找出A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，P点即为所求．
解析：(1)依据平移的方向和距离，即可得到△ABC向下平移5个单位后的图形△A1B1C1；
(2)依据旋转中心、旋转的方向以及角度，即可得到△ABC以B点为旋转中心，沿逆时针方向旋转90°后的图形△A2BC2．
(3)分别作出A，C的对应点A3，C3，连接即可；
(4)找出A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，此时PA=PA′，则PA+PB=A′B，使△ABP 的周长最小．
本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．24.答案：解：(1)∵OA=OB=OD=1，
∴A(−1,0)，B(0,1)，D(1,0)．
(2)设一次函数解析式为y=kx+b，把A(−1,0)，B(0,1)分别代入解析式得，
{−k+b=0
b=1，
解得{k =1b =1
， ∴一次函数即AB 解析式为y =x +1，
当x =1时，y =2，即C(1,2)，
∴反比例函数解析式：y =2x ．
(3)∵A(−1,0)，C(1,2)，
∴S △AOC =12OA ⋅y C =12×1×2=1．
解析：(1)根据OA =OB =OD =1即可得出A 、B 、D 的坐标；
(2)利用待定系数法即可求出函数解析式；
(3)根据A 、C 的坐标，利用三角形面积公式即可求得．
此题是一道反比例函数综合题，涉及待定系数法、一次函数与反比例函数的交点问题、及三角形的面积等． 25.答案：
(1)证明：如图1，由折叠的性质得出∠DAN =∠NAC ，∠BCM =∠ACM ，
∵AD//BC ，
∴∠DAC =∠BCA ，
∴∠DAN =∠BCM ，
在Rt △ADN 和Rt △CBM 中，
∵{∠D =∠B =90°AD =BC ∠DAM =∠BCM
，
∴△ADN≌△CBM(ASA)，
∴DN =BM ；
(2)解：如图1，连接NE 、MF ，
∵由(1)知，△ADN≌△CBM ，
∴ △ANF≌△CME
∴NF =ME ，
∵∠NFE =∠MEF ，
∴NF//ME，
∴四边形MFNE是平行四边形；
(3)解：如图2，设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，∵AB=8，BC=6，
∴由勾股定理得到：AC=10，
∵AF=CE=BC=6，
∴2AF−EF=AC，即12−x=10，
解得x=2，
∴EF=2，
∴CF=4，
在Rt△CFN中，NF
CF =BC
AB
=3
4
，
解得NF=3，
∵OE=OF=1
2
EF=1，
∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，
∴ON=√10，
∴MN=2ON=2√10，
∵PQ//MN，PN//MQ，
∴四边形MQPN是平行四边形，
∴MN=PQ=2√10，
∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，且QG=BC=6，
在Rt△QPG中，
PG2=PQ2−QG2，即PG=√40−36=2，又GC=PG=QB，
∴AQ=AB−BQ=AB−PG=6．
解析：(1)欲证明DN=BM，只需推知△ADN≌△CBM.根据折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，从而根据AD//BC可得出∠DAN=∠BCM，从而即可判断出△ADN≌△CBM．
(2)连接NE、MF，根据(1)的结论可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判断出NF//ME．
(3)设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，首先由勾股定理求出线段AC的长度，根据翻折变换知：AF=CE=3，结合线段间的和差关系求得EF=1；然后通过解Rt△CFN、Rt△NFE 分别求得NF、NO的长，即NM=PQ=QC=2NO，结合图形得到：PC=2√PQ2−QG2，所以AQ= PC．
AB−1
2
本题主要考查翻折变换的知识点，还涉及平行四边形的证明，解答(3)问的关键是求出EF的长，此题难度较大，要熟练掌握此类试题的解答，此类题经常出现中考试卷中，请同学们关注．
26.答案：y=−10x+1000w=−10x2+1400x−40000
解析：解：(1)月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：y=500−10(x−50)=
−10x+1000，
即y=−10x+1000；
月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：w=(x−40)y=(x−40)(−10x+1000)=−10x2+1400x−40000，
即w=−10x2+1400x−40000，
故答案为：y=−10x+1000，w=−10x2+1400x−40000；
(2)根据题意得：−10x2+1400x−40000=8000，
解得：x1=80，x2=60，
又∵月销售量不低于250千克，
则有：−10x+1000≥250，
解得：x≤75，
∴x1=80>75(舍去)，
答：销售单价应定为60元时，月销售利润达到8000元；
(3)由(2)得：w=−10x2+1400x−40000=−10(x−70)2+9000，
∵a=−10<0，
∴抛物线的开口向下，抛物线有最高点，函数有最大值，
当x=70时，w取最大值，最大值为9000元，
答：售价定为每千克70元时会获得最大利润？最大利润为9000元．
(1)根据一个月可售出500千克，减去因涨价而减少的数量得到月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式，根据(售价−成本)×月销售量得到月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式；
(2)将月销售利润8000元代入w=−10x2+1400x−40000，解方程即可得到结果；
(3)将w=−10x2+1400x−40000化为顶点式就可以求出结果．
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键．27.答案：解：(1)当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4−x；
∵AB=BC=CA=4cm，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4−x=2×2x，
∴x=4
；
5
(Q在AC上)时，PQ⊥AC；
当x=4
5
(2)如图①，当0<x<2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；
∵∠C=60°，QC=2x，
∴QN=QC×sin60°=√3x；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=1
BC=2cm，
2
∴DP =2−x ，
∴y =12PD ⋅QN =12(2−x)⋅√3x =−√32x 2+√3x ； (3)显然，不存在x 的值，使得以PQ 为直径的圆与AC 相离，
由(1)可知，当x =4
5时，以PQ 为直径的圆与AC 相切；
当点Q 在AB 上时，如图②，
8−2x =x 2
，解得x =165， 故当x =45或165时，以PQ 为直径的圆与AC 相切，
当0≤x <45或45<x <165或16
5<x ≤4时，以PQ 为直径的圆与AC 相交． 解析：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、直角三角形的性质以及直线和圆的位置关系求解．解题的关键是用动点的时间x 和速度表示线段的长度，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
(1)若使PQ ⊥AC ，则根据路程=速度×时间表示出CP 和CQ 的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
(2)首先画出符合题意的图形，再根据路程=速度×时间表示出BP ，CQ 的长，根据等边三角形的三线合一求得PD 的长，根据锐角三角函数求得PD 边上的高，再根据面积公式进行求解；
(3)根据(1)中求得的值，确定圆与AB 、AC 相切时的x 的值，即可分情况进行讨论．
28.答案：1或√m 2+n 2
解析：解：(1)如图1中，
在△PMN中，PM=AM=1，NP=BN=3−1−x=2−x，MN=x，
则有{1+x>2−x
1+2−x>x
x+2−x>1
，解得1
2
<x<3
2
．
(2)如图2中，在射线MA上截取MG=PE，连接PG、CD．
∵DE⊥PM，
∴∠PMG=∠DEP=90°，
∵MG=PE，PM=DE，
∴△PMG≌△DEP，
∴PG=PD，∠MPG=∠PDE，
∵∠PDE+∠DPE=90°，
∴∠MPG+∠DPE=90°，
∴∠GPD=90°，
∵∠CPN=45°，
∴∠CPD=∠CPA=45°，∵CP=CP，
∴△CPD≌△CPG，
∴∠PCD=∠PCG，CG=CD，
∵DE//MN，
∴∠DFC=∠PCA=∠PCD，
∴DF=CD=CG，
∴CM+MG=DF，
∴CM+PE=DF，
即MC=DF−PE．
(3)①如图3中，当点Q在直线PN的左侧时，因为△PMN是等边三角形，所以点Q在以M为圆心MP为
∠PMN=30°，QM=PM=MN=1．
半径的圆上，此时∠PQN=1
2
②如图3−1中，当点Q在直线PN的右侧时，∠PQN=30°．
将△PNQ绕点P顺时针旋转60°得到△PMK，则△PQK是等边三角形，PQ=QK=m，∠PKQ=60°，∴MK=NQ=n，∠MKP=∠PQN=30°，
∴∠MKQ=90°，
∴MQ=√MK2+QK2=√m2+n2，
综上所述，MQ的长为1或√m2+n2．
(1)在△PMN中，利用三边关系列出不等式即可解决问题；
(2)如图2中，在射线MA上截取MG=PE，连接PG、CD.只要证明△CPD≌△CPG，可得CD=CG，再证明DF=CD即可解决问题；
(3)分两种情形①如图3中，当点Q在直线PN的左侧时，因为△PMN是等边三角形，所以点Q在以M为
∠PMN=30°，QM=PM=MN=1；
圆心MP为半径的圆上，此时∠PQN=1
2
②如图3−1中，当点Q在直线PN的右侧时，∠PQN=30°.将△PNQ绕点P顺时针旋转60°得到△PMK，只要证明△MQK是直角三角形即可解决问题；
不同课程三角形综合题、三角形的三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。