不等式选讲练习

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不等式选讲
1.已知0,0>>b a ,且⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
+=2
2,min b a b a h 求证:2h ≤
2.已知a,b,c 是正数,求证:222a b c
b c c a a b a b c
a b c +++≥
3.已知a,b,c 是正数,证明:(1)2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥ (2)3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++
4.已知b a x x f ≠+=,1)(2,求证:b a b f a f -<-)()(
5.已知1,0,10≠><<a a x ,试比较)1(log x a -与)1(log x a +的大小,并说明理由。

6.设0,,1a b c <<,证明:(1),(1),(1)a b b c c a ---不能都大于
4
1。

7.用放缩法证明:(1)222211111
112123
4
n n n n
--
<++++
<+(
n=2,3,4,……) (2) 12n
+++<)(+∈N n
8.已知a,b 是实数,求证:b
b a
a b
a b a ++
+≤
+++111
9.已知a,b,c 是互不相等的正数,求证:c
b a a
c c b b a ++>+++++9
222
10.已知10432=++z y x ,求222x y z ++的最小值。

11.设+∈R x x x n ,,,21 ,且121=+++n x x x ,求证:22
212
12
1
1111
n n x x x x x x n ++
+≥
++++
12.用数学归纳法证明:2121n n x y --+能被x y +整除.(n 为正整数)
13.证明:贝努利不等式:如果x 是实数,且0,1≠->x x ,n 为大于1的自然数,那么有
nx x n +>+1)1(
14.证明:对大于
2
的一切正整数
n ,下列不等式都成立
()113
12
113212
-+≥⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++++++++n n n n
15.(1)不等式4
2n n
>对哪些正整数n 成立?证明你的结论;
(2)求满足不等式n n n
<⎪⎭

⎝⎛+11的正整数n 的范围?
16.用数学归纳法证明:对于任意大于1的正整数n ,不等式n n n
1131212
22-<+++ 都成立。

17.若a,b,c 三个正数成等差数列,公差0≠d ,自然数2≥n ,求证:n
n n b c a 2>+
18.证明:当)1(3221+++⋅+⋅=n n a n (n 为正整数)时,不等式对一切正整数
n 2
)1(2)1(2
+<<+n a n n n 都成立。

19.已知c b a >>,求证:01
11>-+-+-a
c c b b a
因为2
2
2a b ab +≥,所以
2212ab a b ≤+,即22
1
2b a a b ⨯≤+. 由于220min{,}b h a a a b <=≤+,2222
0min{,}b b
h a a b a b
<=≤++
所以2
22
12b h a a b ≤⨯
≤+,从而h ≤因为,,a b c 是正数,不妨设0a b c ≥≥>,
则()1a b a b -≥,()1b c b c -≥,()1c a c
a -≥
因为0b c c a a b
a
b c
+++>,且222222()()()1a b c a b c b c a c a b a b b c c a b c c a a b a b c a b c
a b c a b c b c a
---------+++==≥
所以222a b c b c c a a b a b c a b c +++≥
(1)因为2(1)()(1)(1)()()ab a b ab ac bc c a b a c b c ++++++=++++
16c a b c ≥⨯= 所以2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥
(2)因为3322()()()()()a b a b ab a b a ab b a b ab +-+=+-+-+
2
22()(2)()()0
a b a a b b a b a b =+-+=+-≥ 所以33()a b a b ab +≥+,33()b c b c bc +≥+,33()c a c a ca +≥+ 所以3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++
要证明()()f a f b a b -<-a b <-a b <-
因为a b ≠,所以只需证a b +<
∵a b a b +≤+<
∴a b +<,从而原不等式成立.
22
log (1)log (1)[(log (1)log (1)][(log (1)log (1)]a a a a a a x x x x x x --+=-++--+
21l o g (
1)l o g 1a a x
x x
-=-+
又因为01x <<,所以2011x <-<,1011x
x
-<<+. 所以21log (1)log 01a a
x
x x
-->+ 所以2
2
log (1)log (1)0a a x x --+>,即2
2
log (1)log (1)a a x x ->+ 从而log (1)log (1)a a x x ->+
因为0,,1a b c <<,根据基本不等式2(1)1
0(1)()24
a a a a -+<-≤= 2(1)10(1
)()24b b b b -+<-≤=,2(1)1
0(1)()24
c c c c -+<-≤= 所以31
(1)(1)(1)()4a a b b c c -⨯-⨯-≤
假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于14,则31
(1)(1)(1)()4a b b c c a -⨯-⨯->
这与31(1)(1)(1)()4a a b b c c -⨯-⨯-≤矛盾. 所以(1),(1),(1)a b b c c a ---不能都大于1
4.
一方面,
222
2111
11111
234233445
(1)
n n n ++++
>++++
⨯⨯⨯+
1111111111()()()()233445121
n n n =-+-+-++-=-++ 另一方面,
2
222
111
11111
234
122334
(1)n n n
++++
<++++
⨯⨯⨯-
111111111
(1)()()()1223341n n n n n
-=-+-+-++-=-=-
所以,22221111111
21234n n n n --<++++<+
当1n =时,不等式12
n
+
+<1<.
当2n ≥
<<
<
<<<<
所以1(2221)(2322)(221)22
n n n n +<<-+-++--=
222111
2()a b b c c a a b b c c a
++=++++++
++
2
2
2111()()9
a b b c c a a b c a b c a b c a b b c c a
a b c
+++=+++++++++++++≥===
++
上式中等号不成立,这是由于,,a b c 是互不相等的正数, 所以
111
:::a b b c c a a b c a b a b c b c a b c c a
+++≠≠+++++++++.
因为22222222()(234)(234)10100x y z x y z ++++≥++==,所以222100
29
x y z ++≥. 当且仅当203040,,292929x y z =
==时,222x y z ++有最小值10029
. 因为22
2
12
12
()(1)111n n
x x x n x x x ++
+++++
22
2
121212212()[(1)(1)(1)]
111()1
n n n
n x x x x x x x x x x x x =++++++++++++≥++
+=
所以22
212
12
1
1111
n n x x x x x x n ++
+≥
++++ (1)当1n =时,因为211211x y x y ⨯-⨯-+=+能被x y +整除,所以命题成立. (2)假设当(1)n k k =≥时,命题成立,即2121k k x y --+能被x y +整除. 当1n k =+时, 2(1)12(1)12121k k k k x y x y +-+-+++=+
21222
1
21222122
12
2
1
2
21
2121
2
2
2212
1
2
1()()
()()()
k k k k k k k k k k k k x x y y x x x y x y y y x x
y
y
y x x x y y
y x y x
-----
-------=+=+-+=++-=+++-
上式前后两部分都能被x y +整除,所以,当1n k =+时命题成立.
由(1)(2)知,2121n n x y --+能被x y +整除. (1)当3n =时,左边11
(123)(1)1123
=+++
+=,右边233111=+-= 所以,左边=右边,命题成立.
(2)假设当(3)n k k =≥时,命题成立,即211
(12)(1)12
k k k k
++++
++≥+-. 当1n k =+时,
111(121)(1)2
1
k k k k ++++++
++
++ 222221
11111(12)(1)(12)(1)(1)2
121
11111111
1(1)(1)(1)
212121111111
1(1)(1)(1)
2122341325
12212
31(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++
++
++++++++++++++≥+-+++++++++++++++>+-+++++++++=+-+++
>++=+++- 所以,当1n k =+时,命题成立.
由(1)(2)知,命题对大于2的一切正整数成立. 当17n ≥时,有42n n >.
①当17n =时,17421310728352117=>=,命题成立. ②假设当(17)n k k =≥时,命题成立,即42k k >
当1n k =+时,144343242222174641(1)k k k k k k k k k k +=⋅>>+>++++=+ 所以,当1n k =+时,命题成立.
由①②知,命题对一切不小于17的正整数成立.
(2)当3n ≥时,有1
(1)n n n +<.
①当3n =时,3164
(1)3327+=
<,命题成立. ②假设当(3)n k k =≥时,命题成立,即1
(1)k k k
+<
当1n k =+时,1111(1)(1)(1)111
k k k k k ++
=+++++
11(1)(1)
11
(1)
11
k k k k k k <+++<++<+ 所以,当1n k =+时,命题成立.
由①②知,命题对一切不小于3的正整数成立. 1)当2n =时,
212122
-<,命题成立. (2)假设当(2)n k k =≥时,命题成立,即2
2211
1123
k k k
-+++
< 当1n k =+时,
2
222211
111123
(1)(1)
k k k k k -+++
+<+++ 323222
1(1)1
(1)(1)1
k k k k k k k k k k +-++-=<=+++ 所以,当1n k =+时,命题成立.
由(1)(2)知,命题对任意大于1的正整数成立. 不妨设a b c <<,a b d =-,c b d =+.
(1)当2n =时,2222222()()222a c b d b d b d b +=-++=+>,命题成立. (2)假设当(2)n k k =≥时,命题成立,即2k k k a c b +> 当1n k =+时,1111k k k k k k a c a ac ac c +++++=+-+
1()()
()2222()22()22k k k k k k
k
k
k
k
k
k k a a c c c a a a c d c
a b d c b d b d c
b d b d b b
+=++-=++>+=-+>-+= 所以,当1n
k =+时,命题成立.
由(1)(2)知,命题对一切大于1的正整数成立.
(1)当1n =时,2
12(11)22
⨯+<<,命题成立. (2)假设当(1)n k k =≥时,命题成立,即2
(1)(1)22k k k k a ++<<. 当1n k =+时,
2
(1)(1)
22
k k k k a +++21(1)(1)23
(1)222k k k k k k a ++++++<<+ 2
1(1)(2)(2)22
k k k k a ++++<<
所以,当1n k =+时,命题成立. 由(1)(2)知,命题对一切正整数成立.。

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