2013-2014年陕西省西安市铁一中八年级上学期期中数学试卷和答案

2013-2014学年陕西省西安市铁一中八年级（上）期中数学试卷
一、精心选一选，慧眼识金（每题3分，共30分．每小题只有唯一正确答案）1．（3分）4的平方根是（）
A．8 B．2 C．±2 D．±
2．（3分）边长为下列各组数的三角形中，是直角三角形的是（）
A．1、2、B．、2、C．、、D．5、6、7
3．（3分）在下列各数0.21，，，﹣π，3.141，，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P，且点P到x轴的距离是4，到原点的距离是5，则P点坐标是（）
A．（﹣5，4）B．（﹣3，5）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）
5．（3分）下列各式计算正确的是（）
A．=±4 B．=2 C．=﹣2 D．（﹣3）2=9
6．（3分）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x 的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）
A．N处B．P处 C．Q处D．M处
7．（3分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2
8．（3分）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是
（）
A．5B．25 C．10+5 D．35
9．（3分）如图，点A，B，C，D在函数y=﹣x+m的图象上，他们的横坐标依次为﹣1、0、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分面积之和是（）
A．1.5 B．3 C．3（m﹣1）D．（m﹣2）
10．（3分）若xy＞0，则二次根式x化为最简二次根式正确的是（）A．B． C．﹣D．﹣
二、耐心填一填，一锤定音（每题3分，共18分）
11．（3分）一次函数y=﹣2x+1的图象一定不经过第象限．
12．（3分）在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要m．
13．（3分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．
14．（3分）立方根和本身相等的数是．
15．（3分）已知实数x，y满足++y=4，则代数式的值为．16．（3分）如图，已知平面直角坐标系中两定点A（2，﹣1）和B（0，﹣1），P 为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小时点P的横坐标是，此时PA+PB=．
三、用心做一做，马到成功（本大题共6小题，共72分，解答时需写出必要的过程）
17．（7分）如图，网格中的小正方形的边长为1．
（1）作出平面直角坐标系中△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出△A1B1C1各顶点坐标：A1B1C1 ．
18．（25分）计算、化简或求值
（1）
（2）（2+）（﹣2）
（3）+﹣3
（4）（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|5﹣|﹣2
（5）已知x=，求代数式的值．
19．（8分）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）
20．（10分）小王从A地前往B地，到达后立刻返回．他与A地的距离y（千米）和所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）小王从B地返回到A地用了多少小时？
（2）求小王出发6小时后距A地多远？
（3）在A、B之间有一C地，小王从去吋途经C地，到返回时路过C地，共用了2小时20分，求A、C 两地相距多远？
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B在Y轴负半轴上有一点A′，且OA′=OA，直线A′B′⊥l交x轴于点B′（1）求直线A′B′的解析式；
（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积？
（3）在直线A′B′上是否存在异于点C的另一点P，使得△A′BP与△A′BC的面积
相等？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）（1）问题情境：
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，借助“数形关系”利用面积法进行证明，而以刘徽的“青朱出入图”为代表的“无字证明”也颇为神奇，证明不需用任何数学符号和文字，整个证明单靠移动几块图形而得出．
如图1和2，将4个全等的直角三角形拼成边长为（a+b）的正方形，使中间留下一个边长c的空白正方形，画出边长为（a+b）正方形，在移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a和b的两个空白正方形．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，即；
（2）尝试证明：实际上只需图2的“一半”即可用“数形关系”和面积法证明，美国总统伽菲尔德在1876年利用图3证明了勾股定理，请你来试一试，借助图3完成证明：
（3）问题拓展：已知Rt△ABC的两直角边分别为a，b，斜边为c，求证：≤
．
2013-2014学年陕西省西安市铁一中八年级（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选，慧眼识金（每题3分，共30分．每小题只有唯一正确答案）1．（3分）4的平方根是（）
A．8 B．2 C．±2 D．±
【解答】解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故选：C．
2．（3分）边长为下列各组数的三角形中，是直角三角形的是（）
A．1、2、B．、2、C．、、D．5、6、7
【解答】解：A、由于12+22=5=（）2，故本选项正确；
B、由于22+（）2=9≠（2）2=12，故本选项错误；
C、由于（）2+（）2=8≠（）2=7，故本选项错误；
D、由于52+62=61≠72=49，故本选项错误．
故选：A．
3．（3分）在下列各数0.21，，，﹣π，3.141，，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：无理数有：，﹣π，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），共3个，
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P，且点P到x轴的距离是4，到原点的距离是5，则P点坐标是（）
A．（﹣5，4）B．（﹣3，5）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）
【解答】解：∵点P到x轴的距离是4，到原点的距离是5，
∴点P到y轴的距离为=3，
∵点P在第二象限内，且点P到x轴的距离是4，
∴点P的横坐标为﹣3，纵坐标为4，
∴点P的坐标为（﹣3，4）．
故选：D．
5．（3分）下列各式计算正确的是（）
A．=±4 B．=2 C．=﹣2 D．（﹣3）2=9
【解答】解：A、=4，故A错误；
B、=﹣2，故B错误；
C、算术平方根是非负数，故C次错误；
D、负数的偶次幂是正数，故D正确；
故选：D．
6．（3分）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x 的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）
A．N处B．P处 C．Q处D．M处
【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；
到Q点以后，面积y开始减小；
故当x=9时，点R应运动到Q处．
故选：C．
7．（3分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2
【解答】解：∵a+b=14
∴（a+b）2=196
∴2ab=196﹣（a2+b2）=96
∴ab=24．
故选：A．
8．（3分）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）
A．5B．25 C．10+5 D．35
【解答】解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB====25．
（2）如图，BC=5，AC=20+10=30，
由勾股定理得，AB====5．
（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB===5；
由于25＜5＜5，
故选：B．
9．（3分）如图，点A，B，C，D在函数y=﹣x+m的图象上，他们的横坐标依次为﹣1、0、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分面积之和是（）
A．1.5 B．3 C．3（m﹣1）D．（m﹣2）
【解答】解：当x=0时，y=m，则直线y=﹣x+m与y轴的交点坐标为（0，m）；当y=0时，﹣x+m=0，解得x=m，则直线y=﹣x+m与x轴的交点坐标为（m，0），所以直线y=﹣x+m与x轴所夹的锐角为45°，
所以图中的三角形都是等腰直角三角形，
所以图中阴影部分面积=3××1×1=．
故选：A．
10．（3分）若xy＞0，则二次根式x化为最简二次根式正确的是（）
A．B． C．﹣D．﹣
【解答】解：∵﹣y＞0，
∴y＜0，
∵xy＞0，
∴x＜0，
∴x=﹣．
故选：D．
二、耐心填一填，一锤定音（每题3分，共18分）
11．（3分）一次函数y=﹣2x+1的图象一定不经过第三象限．
【解答】解：∵k=﹣2＜0，
∴一次函数y=﹣2x+1的图象经过第二、四象限；
∵b=1＞0，
∴一次函数y=﹣2x+1的图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y=﹣2x+1的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为三．
12．（3分）在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要17m．
【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形
的长为=12米，
∴地毯的长度为12+5=17米．
故答案为：17．
13．（3分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．
故答案为：49cm2．
14．（3分）立方根和本身相等的数是﹣1，0，1．
【解答】解：立方根和本身相等的数是﹣1，0，1，
故答案为：﹣1，0，1．
15．（3分）已知实数x，y满足++y=4，则代数式的值为．【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
所以x=，
y=4，
所以，==．
故答案为：．
16．（3分）如图，已知平面直角坐标系中两定点A（2，﹣1）和B（0，﹣1），P 为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小时点P的横坐标是（1，0），此时PA+PB=2．
【解答】解：作点B关于x轴的对称点B′（0，1），连接AB′交x轴于P，
∵B的坐标是（0，﹣1），
∴B′（0，1），
设直线AB′的函数解析式为y=kx+b，
∴，解得，，
∴直线AB′的函数解析式为y=﹣x+1，
令y=0，则0=﹣x+1，解得x=1，
∴点P的坐标是（1，0）．
∵B′（0，1），A（2，﹣1），
∴AB′==2；
故答案为（1，0）、2．
三、用心做一做，马到成功（本大题共6小题，共72分，解答时需写出必要的过程）
17．（7分）如图，网格中的小正方形的边长为1．
（1）作出平面直角坐标系中△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出△A1B1C1各顶点坐标：A1（﹣2，2）B1（﹣1，0）C1 （2，1）．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由图可知，A1（﹣2，2），B1（﹣1，0），C1（2，1）．
故答案为：（﹣2，2），（﹣1，0），（2，1）．
18．（25分）计算、化简或求值
（1）
（2）（2+）（﹣2）
（3）+﹣3
（4）（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|5﹣|﹣2
（5）已知x=，求代数式的值．【解答】解：（1）原式==5；
（2）原式=（+2）（﹣2）=3﹣4=﹣1；（3）原式=2+﹣=+；
（4）原式=1﹣2+3﹣5﹣2=﹣6；（5）=x2+1+
=（x+）2﹣1，
∵x=，
∴==，
∴x+=+=，
∴=（）2﹣1=，
∴=．
19．（8分）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）
【解答】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：
（m）
∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
20．（10分）小王从A地前往B地，到达后立刻返回．他与A地的距离y（千米）和所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）小王从B地返回到A地用了多少小时？
（2）求小王出发6小时后距A地多远？
（3）在A、B之间有一C地，小王从去吋途经C地，到返回时路过C地，共用了2小时20分，求A、C 两地相距多远？
【解答】解：（1）从B地返回到A地所用的时间为4小时；
（2）小王出发6小时．由于6＞3，可知小王此时在返回途中，于是，设DE所在的直线的解析式为y=kx+b．
由图象可知：
解得：
∴DE的解析式是y=﹣60x+420（3≤x≤7）．
当x=6时，有y=﹣60x+420=60．
∴小王出发6小时后距A地60千米；
（3）设AD所在直线的解析式是y=mx．
由图象可知3m=240，解得m=80
∴AD所在直线的解析式是y=80x（0≤x≤3）
设小王从C到B用了n小时，则去时C与A的距离为y=240﹣80n．
返回时，从B到C用了（﹣n）小时，
这时C与A的距离为y=﹣60[3+（﹣n）]+420=100+60n
由240﹣80n=100+60n，解得n=1
故C与A的距离为240﹣80n=240﹣80=160千米．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B在Y轴负半轴上有一点A′，且OA′=OA，直线A′B′⊥l交x轴于点B′（1）求直线A′B′的解析式；
（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积？
（3）在直线A′B′上是否存在异于点C的另一点P，使得△A′BP与△A′BC的面积相等？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在y=﹣x+4中，令y=0可得x=3，令x=0可得y=4，
∴A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，4），
∴OA′=OA=3，
∴A′坐标为（0，﹣3），
∵A′B′⊥l，
∴∠OBA=∠A′B′O，
∴tan∠OBA=tan∠A′B′O，
∴=，即=，解得OB′=4，
∴B′坐标为（4，0），
设直线A′B′解析式为y=kx+b，
把A′、B′两点的坐标代入可得，解得，
∴直线A′B′解析式为y=x﹣3；
（2）联立两直线解析式可得，解得，
∴C点到A′B的距离为，
又∵A′（0，﹣3），B（0，4），
∴A′B=7，
∴S
=×7×=；
△A′BC
=S△A′BC，
（3）∵S
△A′BP
∴P到y轴的距离为，
∵P异于C点，
∴P点横坐标为﹣，
又∵P在直线A′B′，代入解析式可得y=×（﹣）﹣3=﹣，
∴在直线A′B′上是存在点P，使得△A′BP与△A′BC的面积相等，P点的坐标为（﹣
，﹣）．
22．（12分）（1）问题情境：
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，借助“数形关系”利用面积法进行证明，而以刘徽的“青朱出入图”为代表的“无字证明”也颇为神奇，证明不需用任何数学符号和文字，整个证明单靠移动几块图形而得出．
如图1和2，将4个全等的直角三角形拼成边长为（a+b）的正方形，使中间留下一个边长c的空白正方形，画出边长为（a+b）正方形，在移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a和b的两个空白正方形．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，即c2=a2+b2；
（2）尝试证明：实际上只需图2的“一半”即可用“数形关系”和面积法证明，美
国总统伽菲尔德在1876年利用图3证明了勾股定理，请你来试一试，借助图3完成证明：
（3）问题拓展：已知Rt△ABC的两直角边分别为a，b，斜边为c，求证：≤
．
【解答】（1）解：在图1中，白色部分为边为c的正方形，其面积为c2，
在图2中，白色部分为边长分别为a和b的两个正方形，其面积和为a2+b2，而a、b、c是直角三角形的三边，所以有c2=a2+b2，
故答案为：c2=a2+b2；
（2）证明：∵S
白三角形=S
梯形
﹣2S
黑三角形
，
∴c2=（a+b）（a+b）﹣2×ab，
即c2=a2+b2；
（3）证明：∵0≤（a﹣b）2，
∴2ab≤a2+b2，
∴a2+b2+2ab≤2（a2+b2），
∵a2+b2=c2，
∴（a+b）2≤2c2，
∴≤2，
∴≤．
赠送初中数学几何模型【模型一】
“一线三等角”模型：
图形特征：
运用举例：
1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；
x
y
B
C
A
O
2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分
别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是
1
S、
2
S、
3
S、
4
S，则14
S S
+=．
l
s4
s3
s2
s1
3
2
1
3. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D
作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
B
4.如图，已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P ； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标。

5.如图，已知正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点M 在线段BF 上（不与点B 重合），连接EM ，将线段EM 绕点M 顺时针旋转90°得MN ，连接FN ．
（1）特别地，当点M 为线段BF 的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：∠NFC = °，
BM
NF
= ； （2）一般地，当M 为线段BF 上任一点（不与点B 重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？
请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN 交CD 于点G ，求
FM
NG
的值 G
E D
A
6..如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数k
y x
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。

(1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由。