高考数学压轴专题襄阳备战高考《不等式》难题汇编

数学《不等式》知识点
一、选择题
1．已知函数2
4,0()(2)1,0
x x f x x
x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．(2,4)
D ．(3,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4
y x x
=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】
画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x
=+
….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可
知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.
2．在平面直角坐标系中，不等式组20
{200
x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）
A ．42
B ．4
C ．22
D ．2
【答案】B 【解析】
试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为
．故选B ．
考点：求不等式组表示的平面区域的面积．
3．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤()2
n m n m -； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①
错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得
()22
m n m n
m n m +--=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.
④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11
10221121
112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨
-⎪==+⎪
-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1
m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
4．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足
15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）
A
．[； B
．(,-∞
C
．)
+∞
D
．(,)-∞⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差数列的前n 项和公式转化条件得1
1322
a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】
Q 数列{}n a 为等差数列，
∴15154
55102
a d d S a ⨯=+
=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得1
1322
a d a =--， 当10a >
时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭
1a 时等号成立； 当10a <
时，1
1322a d a =--≥=
1a =立；
∴实数d
的取值范围为(,)-∞⋃+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
5．已知函数(
))
2
log f x x =，若对任意的正数,a b ，满足
()()310f a f b +-=，则31
a b
+的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．12
D ．24
【答案】C 【解析】 【分析】
先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】
0,x x x x ≥-=所以定义域为R ，
因为(
)2log f x =，所以()f x 为减函数 因为(
)2
log f x =，(
))
2
log f x x -=,所以
()()()f x f x f x =--，为奇函数，
因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=， 所以
()3131936b a a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，
因为
96b a a b +≥=， 所以
3112a b +≥（当且仅当12a =，1
6b =时，等号成立），选C. 【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
6．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则24x y --的最小值为（ ）
A．85
5
B．8C
．
165
15
D．
16
3
【答案】D
【解析】
【分析】
22
24
245
12
x y
x y
--
--=⨯
+
，而
22
24
12
x y
--
+
表示点(,)
x y到直线240
x y
--=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案.
【详解】
因为
22
24
245
12
x y
x y
--
--=⨯
+
，所以24
x y
--可看作为可行域内的动点到直线240
x y
--=的距离的5倍，如图所示，
点
44
(,)
33
A到直线240
x y
--=的距离d最小，此时
22
44
24
33
35
12
d
-⨯-
==
+
所以24
x y
--
16
5
3
d=.
故选：D.
【点睛】
本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.
7．若,x y满足
4,
20,
24,
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪+≥
⎩
则
4
y
x
-
的最大值为（）
A．
7
2
-B．
5
2
-C．
3
2
-D．1-
【答案】D
【解析】
【分析】
画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可. 【详解】
该不等式组表示的平面区域，如下图所示
4
y x
-表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.
不妨取84(,)33
B 时，4y x -取最大值
44
3183
-=- 故选：D 【点睛】
本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.
8．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为
8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．7 【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由
外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】
将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：
长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =
，所以体对角线为2，
所以2
2
2
8x y z ++=，
111222
S yz xy xz =
++侧面积 由于()()()()2
2
2
2
2
2
240x y z
S x y y x x z ++-=-+-+-≥，
所以416S ≤，故4S ≤，
即三棱锥的侧面积之和的最大值为4， 故选：B. 【点睛】
本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.
9．已知点(2,0)M ，点P 在曲线2
4y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2
||||1
PM PF -的最
小值为（ ） A 3B ．51)
C ．45
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设
(),P x y ，0x >，则2||4
||1PM x PF x
=+-，利用均值不等式得到答案.
【详解】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，
设(),P x y ，0x >，则()()22
2
22224||||44||1x y
x x PM P P M x F x Q P x x
-+-+====+≥-，
当4
x x =
，即2x =时等号成立. 故选：D .
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
10．已知集合{}
2
230A x x x =-->，(){}
lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ）
A ．{}13x x -≤<
B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<<
【答案】C 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð. 【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.
{}
13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny +-=上，其中·0m n >，则
41
m n
+的最小值为（） A ．16 B ．24
C ．50
D ．25
【答案】D 【解析】 【分析】
由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】
令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，
则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴
41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n
++
=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，
故则
41
m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】
本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．
12．若变量x ，y 满足2,
{239,0,
x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是
A ．4
B ．9
C ．10
D ．12
【答案】C 【解析】
试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以
22max ()10x y +=，选C.
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.
13．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）
A ．2
B ．
1
2
C ．-2
D ．12
-
【答案】A 【解析】 【分析】
由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果. 【详解】
由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：
当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =. 故选：A . 【点睛】
本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.
14．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m +=有实数根的概
率为（）
A．1 8
B．
1
7
C．
1
6
D．
1
5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果.
【详解】
若方程20
x nx m
-+=有实数根，则40
n m
∆=-≥.
如图，
40
01
01
n m
m
n
-≥
⎧
⎪
≤≤
⎨
⎪≤≤
⎩
表示的平面区域与正方形
01
01
m
n
≤≤
⎧
⎨
≤≤
⎩
的面积之比即为所求的概率，
即
11
11
24
118
S
P
S
⨯⨯
===
⨯
阴影
正方形
.
故选：A.
【点睛】
本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.
15．已知直线21
y kx k
=++与直线
1
2
2
y x
=-+的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（）
A．
1
2
k>B．
1
6
k<-或
1
2
k>C．62
k
-<<D．
11
62
k
-<<
【答案】D
【解析】
【分析】
联立
21
1
2
2
y kx k
y x
=++
⎧
⎪
⎨
=-+
⎪⎩
，可解得交点坐标(,)
x y，由于直线21
y kx k
=++与直线
122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩
，解得即可． 【详解】 解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
， Q 直线21y kx k =++与直线122
y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021k k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<． 故选：D ．
【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．
16．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7 【答案】B
【解析】
【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由2x y xy +=得：211x y
+= (
)212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）
2x y ∴+的最小值为9
故选：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.
17．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
，则2x y +的最小值是( )
A ．3
B
．32 C ．0 D ．3- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．
【详解】
解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆，
由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距
把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1
y x y =⎧⎨
=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-，
故选：D ．
【点睛】
本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．
18．设x ，y 满足约束条件
则的最大值与最小值的比值为（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

【详解】
如图，作出约束条件表示的可行域. 由图可知，当直线经过点时.z 取得最大值； 当直线经过点时，z 取得最小值.故
，故选：A 。

【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题。

19．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()22112x y +++=的周长，则
12m n +的最小值为（ ） A ．92 B ．9
C ．6
D ．3 【答案】D
【解析】
【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 把圆2C ：()()2
2112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴
+=. ()1122253
31212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭
()122
152522333
n m m n ⎛⎫≥+⨯=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 当且仅当2322m n n m m
n +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n
∴+的最小值为3. 故选：D .
【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
20．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．1-
B ．2
C ．7
D ．8
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值. 【详解】
解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：
当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.。