人教B版高一数学必修(第三册)正弦定理与余弦定理的应用教案

教案
主要教学活动
问题 1：
请回顾、梳理解三角形的基本模型．
问题 2：
请思考给出米尺和测量角度的工具，如何测量河对岸的一点 A 与岸边一点 B 之间的距离．试说明测量方案与计算方法．
解：一点不可达的两点间的距离的测量方案及计算方法如下．
知识．
发现问题提出问题
问题 3：
请思考给出米尺和测量角度的工具，如何测量不可到
达的两点间的距离．试说明测量方案与计算方法．
例 1 如图，故宫所示角楼，顶端与底部不能到达，不能直接测量．假设给你米尺和测量角度的工具，思考如何在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度，并写出方案，给出有关的计算方法．
分析：问题实质为用米尺和测量角度的工具，怎样得到不便到达的两点之间的距离．在对面的岸边选定一点进行测量，问题转化为测量一点不可达的两点间距离．
解：测量方案如下，设角楼顶端为 A ，底部为 B ．
通过本题的研究， 让学生了解历史，增强学生的民族自豪感，感受到生活中处处有数学．
第一步：选定一点C，测量∠ACB=α；
第二步：选定一点D，测量CD=m ；
第三步：测量∠BCD=β，∠BDC=γ；
第四步：测量∠ACD=θ，∠ADC=ϕ．
解：在BCD 中，有∠CBD =π-β-γ，
m BC
由正弦定理，=，
sin(π-β-γ) sin γ
m sin γ
即BC =．
sin(β+γ)
m sinϕ
在ACD 中，同理有AC =．
sin(θ+ϕ)
在ACD 中，由余弦定理可得的长，即AB2 =AC2 +BC2 - 2AC ⨯BC
⨯cosα．反思：
问题 4：
思考，如何解决平面上不便到达的两点之间的距离的测量．
例2 如图所示，A，B 是某沼泽地上不便到达的两点，C，D 是可到达的两点，已知A，B，C，D 都在水平面上，且已经测得∠ACB = 45，∠BCD = 30，∠CDA = 45，∠BDA = 15，CD =100 m，求AB 的长．距离相关的线段时，若理，余弦定理求解；若
角形中，则依次选择或构造适当的三角形，再
分析：问题为平面上不便到达的两点之间的距离的测量．明确两观测点
C ，
D ，梳理数据． 解：已知 A ，B ，C ，D 都在水平面上，
在△BCD 中，
∠BDC = ∠BDA + ∠CDA = 60，
∠CBD =180 -∠BCD -∠BDC = 90 ． 在Rt △BCD 中，
有 BC = 100cos30 = 50 3m ．
在△ACD 中， ∠CAD = 60， AC
100 由正弦定理得
=
，
sin 45
sin 60
所以 AC =
100 6 ．
3
在△ABC 中，由余弦定理，
AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2AC ⨯ BC ⨯cos 45，
化简得 AB 2
=
12500 ，解得 AB =
50 15 ．
3
3
反思：
例 3 如图，在某海滨城市 A 附近的海面出现台风活 动．据监测，目前台风中心位于城市 A 的东偏南60 方向、
利用正弦定理，余弦定理求解．
关注测量观点下的数据的整理与分析； 关注基于解三角形元素间关系的分析．
距城市
A 300km 的海面点 P 处，并以20km / h 的速度向西偏北30 方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为 圆心的圆形区域，半径为100 3km ，将问题涉及范围内的
地球表面看成平面，判断城市 A 是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由．
分析：
用数学语言描述城市 A 受到台风的影响．即城市 A 在以台风为中心，半径为100 3km 的的圆形区域内．
用数学语言描述城市 A 受到台风影响的时间．即城市 A 进入台风影响区域以及离开台风影响区域的时间之
差． 解 ： 设台风的中心 x h 后到达位置 Q ， 且此时
AQ = 100 3 ．如图．
在△AQP 中，有 P = 60 - 30 = 30 ，且
AP = 300 km ， PQ = 20x km ．
（解法一）
100 3 300
20x
由正弦定理可得
=
=
，
sin 30
sin Q sin A
解得sin Q = 300sin 30 = 3 ，
100 3 2
所以Q = 60或Q = 120．
引导学生建立数学模型，学会用数学的眼光看现实世界，应用数学知识解决问题．
通过引导学生思考：“如何用数学语言描述城市 A 受到台风
的影响，如何用数学知识运算与表达”，让学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发 现和提出问题，感悟数
当Q = 60时，∠QAP = 90，
因此20x =100 3
，得x =10 3 ．sin 30
当Q = 120时，∠QAP = 30，
因此20x =100 3 ，得x = 5 3 ．
所以，城市在5 3 h 后会受到影响，持续时间为
10 3 - 5 3 = 5 3 h ．
（解法二）
由余弦定理可得
AQ2 =AP2 +PQ2 -2AP ⨯PQ cos∠APQ ，
解得PQ2 -300 3PQ +60000 = 0 ，
所以PQ =100 3 或PQ = 200 3 ．
当PQ = 100 3 时，因此20x = 100 3 ，解得
x = 5 3 ．当PQ = 200 3 时，因此20x = 200 3 ，解得x = 10 3 ．
所以，城市在5 3 h 后会受到影响，持续时间为
10 3 - 5 3 = 5 3 h ．
（解法三）
由余弦定理可得
AQ2 = 3002 +(20x)2 -2⨯300⨯20x cos30，
又因为AQ ≤100 3 ，
所以，得x2 -15 3x +150 ≤0 ，
解得5 3 ≤x ≤10 3 ．
所以，城市在5 3 h 后会受到影响，持续时间为学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验．
通过选取不同的方法解决问题，引导学生感受有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．
10 3
- 5 3 = 5 3 h ．
复习回顾反思总结
问题 5：
我们共同回顾、梳理本节课研究的主要问题．
1. 不能到达底部的物体的高度问题．
2. 不能到达的同一水平面上两点间的距离问题．
3. 运动变化过程中两动点间的行程（距离）问题．
通过回顾梳理本节知识结构，让学生体会不可达的两点之间的距离测量问题的三种典型应用，构建较完整的解三角形模型，体 会由特殊到一般思想．
课后作业
问题 6：
请同学们完成下面的作业． 作业 1
⑴如图，勘探人员朝一座山行进时，前后两次测得山
顶的仰角分别为30 和45 ，两个观测点C ， D 之间的距 离为200m ，求此山的高度 AB （测量仪的高度忽略不计， A ， B ， C ， D 都在一个平面内， △ABC 是一个直角三 角形）．
⑵ 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点C 与 D ．现测得∠BCD = α ，
∠BDC = β ，CD = s ，并在点C 测得塔顶 A 的仰角为θ ，
求塔高 AB ．
通过作业，让学生进一步体会，解决实际
问题中：关注空间图形与平面图形的识别，关注正、余弦定理及解直
角三角形的综合应用，
关注测量观点下数据的整理与分析．
⑶ 为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量．已知四点A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如图所示）．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 之间的距离．请设计一个方案，包括
① 指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
② 用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．
作业2（个人学习感想：哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等）。