高中数学 人教A版选修2-2第一章 1.5.3

1.5.3 定积分的概念
一、基础过关
1． 下列命题不正确的是 ( )
A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0
B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x
C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0
D ．若f (x ) 在[a ，b ]上连续且ʃb a f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正
2． 定积分ʃ31(－3)d x 等于
( ) A ．－6
B ．6
C ．－3
D ．3
3． 已知ʃt 0x d x ＝2，则ʃ0－t x d x 等于
( ) A ．0
B ．2
C ．－1
D ．－2
4． 由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如 图)是 ( )
A ．ʃ40(x 2－4)d x
B.||40(x 2－4)d x
C ．ʃ40|x 2－4|d x
D ．ʃ20(x 2－4)d x ＋ʃ42(x 2－4)d x
5． 设a ＝ʃ10x 13
d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．c >a >b
B ．a >b >c
C ．a ＝b >c
D ．a >c >b
6． 若ʃa －a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为
( )
A ．6
B ．56
C ．36
D ．2 016 二、能力提升 7．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________.
8．计算定积分ʃ1－14－4x 2d x ＝________.
9．设f (x )是连续函数，若ʃ10f (x )d x ＝1，ʃ20f (x )d x ＝－1，则ʃ21f (x )d x ＝________.
10．利用定积分的定义计算ʃ21(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．
11．用定积分的意义求下列各式的值：
(1)ʃ30(2x ＋1)d x ；(2)ʃ
32－321－x 2d x . 12．lim n →∞ln n (1＋1n )2(1＋2n )2…(1＋n n
)2等于 ( ) A ．ʃ21ln 2x d x
B ．2ʃ21ln x d x
C ．2ʃ21ln(1＋x )d x
D ．ʃ21ln 2(1＋x )d x 三、探究与拓展
13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 3， x ∈[－2，2)2x ， x ∈[2，π)
cos x ， x ∈[π，2π]，求f (x )在区间[－2，2π]上的积分．
答案
1．D 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A
7．－ʃ0－πsin x d x
8．π
9．－2
10．解 令f (x )＝－x 2＋2x .
(1)分割
在区间[1，2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1，2]等分为n 个小区间[1＋i －1n
，1＋i n ](i ＝1，2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n
. (2)近似代替、作和
取ξi ＝1＋i n
(i ＝1，2，…，n )，则 S n ＝∑n
i ＝1f (1＋i n )·Δx ＝∑n i ＝1[－(1＋i n )2＋2(1＋i n )]·1n ＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ] ＝－1n 3[2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6]＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2
＝－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n
， (3)取极限
ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞[－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n ]＝23
， ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝23
的几何意义为由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线f (x )＝－x 2＋2x 所围成的曲边梯形的面积．
11．解 (1)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线，ʃ30(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x
＝3与x 轴围成的直角梯形OABC 的面积，如图(1)所示，其面积为S ＝12
(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知ʃ30(2x ＋1)d x ＝12.
(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图象如图(2)，
由定积分的几何意义知ʃ
32－32
1－x 2d x 等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．
S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34
， S 矩形＝|AB |·|BC |
＝2×32×12＝32
， ∴ʃ32－321－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34
. 12．B
13．解 由定积分的几何意义知
ʃ2－2x 3d x ＝0，ʃπ22x d x ＝(π－2)(2π＋4)2
＝π2－4，
ʃ2ππcos x d x ＝0，
由定积分的性质得
ʃ2π－2f (x )d x ＝ʃ2－2x 3d x ＋ʃπ22x d x ＋ʃ2ππcos x d x ＝π2－4.。