题型十一 综合探究题 类型五 与圆有关的探究题(专题训练)(原卷版)

题型十一 综合探究题
类型五 与圆有关的探究题（专题训练）
1.（2021·浙江中考真题）如图1，四边形ABCD 内接于O e ，BD 为直径， AD 上存在
点E ，满足 AE CD
=，连结BE 并延长交CD 的延长线于点F ，BE 与AD 交于点G ．
（1）若DBC a Ð=，请用含a 的代数式表列AGB Ð．
（2）如图2，连结,CE CE BG =．求证；EF DG =．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG ，2AD =．
①若tan ADB Ð=，求FGD V 的周长．
②求CG 的最小值．
2.（2021·浙江中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP V 沿PB 折叠得到O BP ¢V ．
（1）如图1，若75O Ð=°，且BO ¢与 AB 所在的圆相切于点B ．
①求APO Т的度数．
②求AP 的长．
（2）如图2，BO ¢与 AB 相交于点D ，若点D 为 AB 的中点，且//PD OB ，求 AB 的长．
3.（2021·山东中考真题）如图1，O 为半圆的圆心，C 、D 为半圆上的两点，且
BD
CD =．连接AC 并延长，与BD 的延长线相交于点E ．
（1）求证：CD ED =；
（2）AD 与OC ，BC 分别交于点F ，H ．
①若CF CH =，如图2，求证：CF AF FO AH ×=×；
②若圆的半径为2，1BD =，如图3，求AC 的值．
4.（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD 是半径为3的⊙O 的一条弦，BD ＝，点A
是⊙O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作平行四边形ABCD ．
（1）如图2，若点A 是劣弧 BD
的中点．①求证：平行四边形ABCD 是菱形；
②求平行四边形ABCD 的面积．
（2）若点A 运动到优弧 BD
上，且平行四边形ABCD 有一边与⊙O 相切．①求AB 的长；
②直接写出平行四边形ABCD 对角线所夹锐角的正切值．
5.（2021·天津中考真题）已知ABC V 内接于,,42O AB AC BAC =Ð=°e ，点D 是O e 上一点．
（Ⅰ）如图①，若BD 为O e 的直径，连接CD ，求DBC Ð和ACD Ð的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD //BA ，连接AD ，过点D 作O e 的切线，与OC 的延长线交于点E ，求E Ð的大小．
6．（2021·浙江中考真题）如图，锐角三角形ABC 内接于O e ，BAC Ð的平分线AG 交O e 于点G ，交BC 边于点F ，连接BG ．
(1)求证：ABG V AFC ∽△．
(2)已知AB a =，AC AF b ==，求线段FG 的长（用含a ，b 的代数式表示）．
(3)已知点E 在线段AF 上（不与点A ，点F 重合），点D 在线段AE 上（不与点A ，点E 重合），ABD CBE Ð=Ð，求证：2BG GE GD =×．
7.（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边上一点，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 落在F 处，连接BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交于点H ，与AE ，CD 分别相交于点G ，M ，连接HC
（1）求证：AG ＝GH ；
（2）若AB ＝3，BE ＝1，求点D 到直线BH 的距离；
（3）当点E 在BC 边上（端点除外）运动时，∠BHC 的大小是否变化？为什么？
8.（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O e 的半径为1，对于点A 和线段
BC ，
给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O e 的弦B C ¢¢（,B C ¢¢分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O e 的以点A 为中心的“关联线段”．
（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O e 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；
（2）ABC V 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ¹．若BC 是O e 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；
（3）在ABC V 中，1,2AB AC ==．若BC 是O e 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．
9.（2021·湖北中考真题）如图，在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上一点
（BO DO >），OE AB ^，垂足为E ，以OE 为半径的O e 分别交DC 于点H ，交EO 的延长线于点F ，EF 与DC 交于点G ．
（1）求证：BC 是O e 的切线；
（2）若G 是OF 的中点，2OG =，1DG =．
①求 HE
的长；②求AD 的长．
10.（2021·四川中考真题）如图，⊙O 的半径为1，点A 是⊙O 的直径BD 延长线上的一点，C 为⊙O 上的一点，AD ＝CD ，∠A ＝30°．
（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；
（2）求△ABC 的面积；
（3）点E在¼
BND上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．
11.（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB
＜AC′+C'B．请完成这个证明．
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
12.（2020•河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．
（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为 ，连接BD，可求出BB′
的值为 ；
CE
（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，
请说明理由；
②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE
的值．
B′E
13.（2020•达州）（1）[阅读与证明]
如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH 内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．
①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝ °．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝ °．
②求证：BF＝AF+2FG．
（2）[类比与探究]
把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①∠FEG＝ °；
②线段BF、AF、FG之间存在数量关系 ．
（3）[归纳与拓展]
如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为 ．
14.（2020•鄂州）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求证：AE•ED＝AC•EF；
时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求（3）若EF＝3，tan∠ACE=1
2
AN的长．
15.（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为C是劣弧AB上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．
（1）求∠AOB的度数；
（2）当点C沿着劣弧AB从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S
1，S
2
，当S
1
2﹣S22＝21时，求弦AC的长度．
16.．（2020•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．
17．（2020•连云港）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分
别交AB、CD于点E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面积为S
1，△CFP的面积为S
2
，则S
1
+S
2
＝ ；
（2）如图2，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中
点．设四边形AEPH的面积为S
1，四边形PFCG的面积为S
2
（其中S
2
＞S
1
），求△PBD的面积
（用含S
1、S
2
的代数式表示）；
（3）如图3，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD，HG∥AB，与各边
分别相交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S
1，四边形PGCF的面积为S
2
（其中S
2
＞
S 1），求△PBD的面积（用含S
1
、S
2
的代数式表示）；
（4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），
设PB、PC、BC围成的封闭图形的面积为S
1，PA、PD、AD围成的封闭图形的面积为S
2
，△PBD
的面积为S
3，△PAC的面积为S
4
，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S
1
、S
2
、S
3
、
S
4
的等式（写出一种情况即可）．。