2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 4.3 对数 教案 (3)

【新教材】4.3.1 对数的概念（人教A版）
对数与指数是相通的，本节在已经学习指数的基础上通过实例总结归纳对数的概念，通过对数的性质和恒等式解决一些与对数有关的问题.
课程目标
1、理解对数的概念以及对数的基本性质；
2、掌握对数式与指数式的相互转化；
数学学科素养
1.数学抽象：对数的概念；
2.逻辑推理：推导对数性质；
3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；
4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.
重点：对数式与指数式的互化以及对数性质；
难点：推导对数性质．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入
已知中国的人口数y和年头x满足关系
13 1.01x
y=⨯
中，若知年头数则能算出相应的人
口总数。

反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿......”，该如何解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本122-123页，思考并完成以下问题
1. 对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？
2. 什么是常用对数和自然对数？
3.如何进行对数式和指数式的互化？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
[点睛] log a N 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg_N ，log e N 简记为ln_N .
3．对数与指数的关系
若a ＞0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .
对数恒等式：a log a N ＝N ；log a a x ＝x (a ＞0，且a ≠1)．
4．对数的性质
(1)1的对数为零；
(2)底的对数为1；
(3)零和负数没有对数．
四、典例分析、举一反三
题型一 对数式与指数式的互化
例1 将下列指数式与对数式互化:
(1)lo g 1327=-3; (2)43=64; (3)e -1=1e ; (4)10-3
=0.001.
【答案】(1)(13)-3=27. (2)log 464=3. (3)ln 1e
=-1. (4)lg 0.001=-3. 解题技巧：（对数式与指数式的互化）
1.
log b a N b a N ==与(a>0,且a ≠1)是等价的,表示a,b,N 三者之间的同一种关系.如下图:
2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.
跟踪训练一
1. 将下列指数式与对数式互化:
(1)2-2=14; (2)102=100; (3)e a =16;
(4)log 6414=-13; (5)log x y=z (x>0,且x ≠1,y>0).
【答案】(1)log 214=-2. (2)log 10100=2,即lg 100=2. (3)log e 16=a ,即ln 16=a.
(4) 64-13=14. (5)x z
=y(x>0,且x ≠1,y>0).
题型二 利用对数式与指数式的关系求值 例2 求下列各式中x 的值:
(1)4x =5·3x ; (2)log 7(x+2)=2;
(3)ln e 2=x; (4)log x 27=32; (5)lg 0.01=x.
【答案】（1）x=lo g 435 （2）x=47 （3）x=2 （4）x=9（5）x=-2
【解析】(1)∵4x=5·3x,∴4x 3x =5,∴(43)x
=5,∴x=lo g 435.
(2)∵7log (2)2x +=,∴x+2=49,∴x=47.
(3)∵2ln e x =,∴2x e e =,∴x=2.
(4)∵3
log 272x =,∴x 32=27,∴x=2723=32=9.
(5)∵lg 0.01=x,∴2100.0110x -==,∴x=-2.
解题技巧：（利用对数式与指数式的关系求值）
指数式a x=N 与对数式x=log a N(a>0,且a ≠1)表示了三个量a,x,N 之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.
跟踪训练二
1.求下列各式中的x 值:
(1)log 2x=12;(2)log 216=x ;(3)log x 27=3.
【答案】（1）x=√2 （2）x=4 （3）x=3
【解析】(1)∵log 2x=12,∴x=212,∴x=√2. (2)∵log 216=x,∴2x =16,∴2x =24,∴x=4.
(3)∵log x 27=3,∴x 3=27,即x 3=33,,∴x=3.
题型三 利用对数的基本性质与对数恒等式求值
例3 求下列各式中x 的值:
（1）2ln(log )0x =; (2)2log (lg )1x =; (3)3log 3√x =9.
【答案】（1）x=2 （2）x=100 （3）x=81
【解析】(1)∵
2ln(log )0x =,∴2log 1x =,∴x=2. (2)∵2log (lg )1x =,∴lg x=2,∴x=100.
(3)由3log 3√x =9得√x =9,解得x=81.
解题技巧：（利用对数的基本性质与对数恒等式求值）
1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)log a 1=0(a>0,a ≠
1);(3)log a a=1(a>0,a ≠1)进行对数的化简与求值.
2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒
等式 log a N a =N(a>0,且a ≠1,N>0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是
同底的;(3)其值为对数的真数.
跟踪训练三
1. 求下列各式中x 的值:
(1)ln(lg x )=1;(2)log 2(log 5x )=0;(3)32+log 35=x.
【答案】（1）10e
x =（2）x=5 （3）x=45
【解析】(1)∵ln(lg x)=1,∴lg x=e,∴10e x =； (2)∵log 2(log 5x )=0,∴5log 1x =,∴x=5.
(3)x=32×3log 35=9×5=45.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本126页习题4.3中 1题2题
本节主要学习了一类新的数：对数。

主要就对数的概念及性质学习对数，本节课需要学生熟记定义及性质.。