高三数学上学期第一次联考试题文含解析试题2

华安一中、二中2021届高三数学上学期第一次联考试题 文〔含解析〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
一､选择题
{}2|20A x x x =--<，集合B 是函数()2lg 1y x =-的定义域，那么以下结论正确的选项
是〔 〕 A. A B =
B. A B
C. B A
D.
A B =∅
【答案】C 【解析】 【分析】
可解出集合A ，B ，然后进展子集、相等的判断，交集的运算即可． 【详解】
{}22|20=(1,2),{|10}(1,1)A x x x B x x =--<-=->=-，
A B ∴≠, B A ，A B B =,
应选：C
【点睛】此题主要考察了一元二次不等式的解法，集合的交集，子集的概念，属于容易题. 2.时钟的分针在8点到10点20分这段时间是里转过的弧度数为〔 〕 A.
14
3
π B. 143
π-
C.
718
π D. 718
π-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据分针每分钟转6°，求出度数，再根据角度和弧度的关系即可求出．
【详解】分针每分钟转6︒，那么分针在8点到10点20分这段时间是里转过度数为6(26020)840-︒⨯⨯+=-︒，
14
8401803
π
π∴-︒⨯
=-
︒
， 应选：B ．
【点睛】此题主要考察了任意角的概念和角度和弧度的转化，属于根底题．
{}n a 中，15487a a a +==，
，那么5a =〔 〕 A. 11 B. 10
C. 7
D. 3
【答案】B 【解析】
试题分析：依题意，有11148,37a a d a d ++=+=，解得1512,3,410a d a a d =-==+=. 考点：等差数列．
4.以下函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是〔 〕
A. ()2log 5y x =+
B. 13x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C. y =
D.
1
y x x
=
- 【答案】A 【解析】 【分析】
根据根本初等函数的单调性逐项判断即可．
【详解】A 中，函数()2log 5y x =+可看作由2log y t =，5t x =+复合而成的函数， 而5t x =+递增，2log y t =递增，
()2log 5y x =+在(0,)+∞上递增； B 中，13x
y ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
的底数为13，1013<<，
∴函数在R 上递减，排除B ；
C 中，y =在(0,)+∞上递增，y =在(0,)+∞上递减，排除C ；
D 中，1y x x =
-，1
y x =在()0,∞+上递减，y x =-在()0,∞+上递减，故1y x x
=-在
(0,)+∞上递减，排除D ；
应选：A ．
【点睛】此题考察函数单调性的判断，属根底题，纯熟掌握根本函数的单调性是解决此题的根底．
{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，30a =，那么公差d =〔 〕
A. -3
B. 3
C. -2
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】
39S =，30a =，
∴132
392
a d ⨯+
=，120a d +=， 那么解得公差3d =-． 应选：A ．
【点睛】此题考察了等差数列的通项公式与求和公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
6.ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c .假设2,30︒===a c B ，
那么ABC ∆的面积为〔 〕
A.
1
2
B. 1
C.
2
【答案】C 【解析】 【分析】
由利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】解：
2,30︒===a c B ，
11
sin 2sin3022ABC S ac B ∆∴==⨯︒=
． 应选：C ．
【点睛】此题主要考察了三角形面积公式在解三角形中的应用，属于根底题．
α角属于第二象限，且cos
cos
2
2
α
α
=-，那么
2
α
角属于〔 〕 A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
限
【答案】C 【解析】 【分析】
由α是第二象限角，知2
α在第一象限或者在第三象限，再由|cos |cos 22αα
=-，知cos 02α<，
由此能判断出角2
α
所在象限． 【详解】
α是第二象限角，
90360180360k k α∴︒+︒<<︒+︒，k Z ∈
45180901802
k k α
∴︒+︒<
<︒+︒k Z ∈，
当2,k n n =∈Z 时，
2α
在第一象限， 当21,k n n Z =+∈时，2
α
在第三象限，
∴2
α
在第一象限或者在第三象限， |cos
|cos
2
2
α
α
=-，
cos
02
α
∴<
∴
2
α
角在第三象限． 应选：C ．
【点睛】此题考察角所在象限的判断，是根底题，比拟简单．解题时要认真审题，注意纯熟掌握根底的知识点．
x ，符号[]x 表示x 的整数局部，即[]x 是不超过x 的最大整数，例如[]22=；[]2.12=；
那么[][][][]3333log 1log 2log 3log 27+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+的值是〔 〕 A. 42 B. 43
C. 44
D. 45
【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用新定义，化简求解即可．
【详解】由题意可知：3[log 1]0=，3[log 3]1=，3[log 27]3=
[]33333[log 1][log 2][log 3][log 26log 27]+++⋯++
00111111222223=++++++++++++⋯+++，(6个1，18个2) 62183=+⨯+
45=．
应选：D ．
【点睛】此题考察新定义的应用，函数值的求法，考察计算才能，属于中档题．
θ的终边经过点34(,)55
-，那么sin(
)cos()tan(2)2
π
θπθπθ++-+-=〔 〕
A.
43
B. 43-
C.
34
D. 34
-
【答案】A 【解析】 由
题
知
4tan θ=-
3
．由诱导公式
()()44sin cos tan 2cos cos tan tan 233
πθπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+-=--=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故此题答案选A ． 10.1sin cos ,4x x ⋅=-且34
x π
π<<，那么sin cos x x +的值是〔 〕 A. 3
4-
B. 12
-
C. 22
-
D.
22
【答案】C 【解析】 试
题
分
析
：
因
34
x π
π<<,故,而
,故sin cos x x
+.应选C.
考点：同角的三角函数关系及运用.
11.:tan α，tan β是方程2830x x --=的两根，那么()tan αβ+的值是〔 〕 A. 8 B. -3
C. -2
D. 2
【答案】D 【解析】
先由韦达定理求出tan tan αβ+，tan tan ββ⋅，再由两角和的正切公式即可计算出
()tan αβ+.
【详解】
方程2830x x --=的判别式△0>，
tan tan 8αβ∴+= tan tan 3αβ⋅=- tan tan 8
tan()21tan tan 13
αβαβαβ+∴+=
==-+
应选：D ．
【点睛】此题综合考察了一元二次方程根与系数的关系，两角和的正切公式，解题时要牢记公式，认真计算，属于容易题.
()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为〔 〕
A. 10x y ++=
B. 10x y -+=
C. 210x y -+=
D.
210x y +-=
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程. 【详解】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为〔1,-2〕, 由题得11
()2,(1)211
f x k f x ''=-+
∴==-+=-， 所以切线方程为y+2=-1·(x-1),
即：10x y ++= 应选A
【点睛】此题主要考察导数的几何意义和切线方程的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 二､填空题
{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是____个.
【解析】 【分析】 利用条件{1，2}
{1A =，2，3}，那么说明A 中必含所有元素3，然后进展讨论即可．
【详解】因为{1，2}
{1A =，2，3}，
所以3一定属于A ，那么满足条件的{3}=A 或者{1，3}或者{2，3}或者{1，2，3}，一共有4个． 故答案为：4
【点睛】此题主要考察集合关系的应用，利用并集关系确定集合A 的元素．比拟根底．
14.假设数列｛n a ｝的前n 项和2
2n S n n =-，那么此数列的通项公式_______．
【答案】23n a n =- 【解析】
数列的前n 项和是不含常数项的关于实数n 的二次函数， 据此可得，该数列为等差数列，
其通项公式为：123n n n a S S n -=-=- .
点睛：由S n 求a n 时，11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，假
设不符合要单独列出，一般条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式．
15.如图，在单位圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，AB AC ⋅的取值范围为_____.
【答案】[]0,2 【解析】 【分析】
由向量数量积的定义、余弦函数的定义可求.
【详解】由向量数量积的定义可知，21
||||cos ||2
AB AC AB AC BAC AB =∠=, 而0||2AB ≤≤， 所以21
||2
[0,2]AB AC AB =
∈ 故答案为：[]0,2
【点睛】此题主要考察了向量数量积的定义，余弦函数的定义，圆的性质，属于中档题.
{}n a 为正项等差数列，其前2021项和20201010S =，那么2
2019
1
1a
a +
的最小值为______.
【答案】4 【解析】 【分析】
数列{}n a 为正项等差数列，其前2021项和20201010S =，利用求和公式及其性质可得：19281a a a a +==+，再利用乘1法与根本不等式的性质即可得出．
【详解】数列{}n a 为正项等差数列，其前2021项和20201010S =，
∴
202102020()
10102
a a +=，
可得20121920201a a a a +==+，
∴
201922
222019
2019201922019220192019
11()(121
)22
4a a a a a a a a a a a a a a =+=++++=+，
当且仅当201921
2
a a ==时取等号． 故答案为：4
【点睛】此题考察了等差数列的通项公式求和公式及其性质、乘1法与根本不等式的性质，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 三､解答题
{}n a 满足3
5a
=，109a =-
〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值 【答案】a n =11-2n,n=5时，S n 获得最大值 【解析】
试题分析：解：〔1〕由a n =a 1+〔n-1〕d 及a 3=5，a 10=-9得,a 1+9d=-9，a 1+2d=5,解得d=-2，a 1=9，,数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,〔2〕由〔1〕知S n =na 1+(1)
2
n n -d=10n-n 2．因为S n =-〔n-5〕2+25．所以n=5时，S n 获得最大值． 考点：等差数列
点评：数列可看作一个定义域是正整数集或者它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．
R 的函数()1
22x x b
f x a
+-+=+是奇函数. 〔1〕求a ，b 的值；
〔2〕在〔1〕的条件下，解不等式()()2150f t f t ++-≤. 【答案】〔1〕1，2〔2〕4|3t t ⎧
⎫≥⎨⎬⎩⎭
【解析】 【分析】
〔1〕利用函数的奇偶性可得(0)0f =，且f 〔1〕(1)f =--，由此求得a ，b 的值． 〔2〕由题意根据()f x 在R 上为减函数，可得()()()2155f t f t f t +≤-=-+，由此求得它的解集．
【详解】〔1〕因为()f x 是R 上的奇函数， 所以()00f =，即
102b
a
-+=+，解得1b =， 从而有()121
2x x f x a
+-+=+.
又由()()11f f =--知11
21241a a
-+-+=-++，解得2a =.
〔2〕由〔1〕知()12111
22221
x x x
f x +-+=-+++=，易知()f x 在R 上为减函数， 又因为()f x 是奇函数
∴()()2150f t f t ++-≤转化为()()()2155f t f t f t +≤-=-+ 由函数为减函数得：215t t +≥-+， 解得4
3
≥
t 故所求不等式()()2150f t f t ++-≤的解集为:4|3t t ⎧⎫≥
⎨⎬⎩
⎭
. 【点睛】此题主要考察函数的奇偶性，函数的单调性，属于根底题．
2
()2cos cos f x x x x m =++在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为3， 〔1〕求常数m 的值； 〔2〕求()f x 的单调增区间；
〔3〕将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的1
2
倍，再把所得图象向右平移
12
π
个单位，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的解析式.
【答案】〔1〕3m =；〔2〕,,3
6π
πππ⎡
⎤
∈-+
∈⎢⎥⎣
⎦x k k k z ；〔3〕()2sin 446π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
g x x 【解析】 【分析】
〔1〕利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据函数在给定区间上的最小值求出参数的值；
〔2〕结合正弦函数的性质计算可得； 〔3〕根据三角函数的变换规那么计算可得；
【详解】解：〔1〕因为2()2cos cos f x x x x m =++
()cos 212f x x x m ∴=++
()2sin 216f x x m π⎛
⎫∴=+++ ⎪⎝
⎭
0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦
1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ ()min 12132f x m ⎛⎫∴=⨯-++= ⎪⎝⎭
3m ∴=
〔2〕由〔1〕知()2sin 246f x x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭ 令222262k x k π
π
π
ππ-+≤+≤+，()k Z ∈
解得36k x k π
π
ππ-+≤≤+，()k Z ∈
即函数的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦
，()k Z ∈； 〔3〕将函数()2sin 246f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 446y x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭， 再把2sin 446y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π
个单位， 得到2sin 442sin 441266y x x πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 所以()2sin 446g x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭； 【点睛】此题考察三角恒等变换，三角函数的性质及三角函数的变换规那么，属于中档题.
20.ABC ∆的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =〔1〕假设2b =，角60A =︒，求角B 的值；
〔2〕假设3ABC S ∆=，cos 45B =，求b ，c 的值. 【答案】〔1〕30〔2〕
393，533 【解析】
【分析】
〔1〕直接利用条件和正弦定理求出结果；
〔2〕利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果.
【详解】〔1〕由正弦定理得1sin 2B =
，在ABC ∆中a b >， ∴A B >，
∴30B =︒；
〔2〕在ABC ∆中，
∵cos 45B =
， ∴3sin 5B =， 1323325ABC S c ∆=⋅⋅=得533
c =. 由余弦定理得222132cos 3
b a
c ac B =+-=， ∴393
b =. 【点睛】此题主要考察了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，属于中档题. ()ln k f x e x x
=+〔其中e 是自然对数的底数，k 为正数〕 〔1〕假设()f x 在0x 处获得极值，且0x 是()f x 的一个零点，求k 的值；
〔2〕假设(1,)k e ∈，求()f x 在区间1[,1]e 上的最大值.
【答案】〔1〕1k =；〔2〕k
【解析】
【详解】〔1〕由得0()0f x '=，即
0,k x x ∴= 又0()0f x =即ln 0,1k e e k e
+=∴=
〔2〕22
()()k e x e k e f x x x x '-=-=， 11,1k k e e e <≤∴≤≤，由此得1(,)k x e e ∈时，()f x 单调递减；(,1)k x e
∈时()f x 单调递增，故max 1()(),(1)f x f f e ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ 又1(),(1)f ek e f k e =-=，当,ek e k ->即
1e k e e <<-时max 1()()f x f ek e e ==- 当ek e k -≤即11
e k e <<-时，max ()(1)
f x f k ==． [选修4-4:坐标系与参数方程]
22.
圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛⎫--
+= ⎪⎝⎭. 〔1〕将极坐标方程化为普通方程；
〔2〕假设点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值和最小值.
【答案】〔1〕224460x y x y +--+=
〔2〕最大值为6，最小值为2
【解析】
【分析】
〔1
〕将2cos 604πρθ⎛
⎫--+= ⎪⎝⎭
先由两角差的余弦公式展开，再化为普通方程． 〔2
〕由题可知圆的参数方程为22x y θθ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ 〔θ为参数〕，因为点(,)P x y 在该圆上，
所以()2,2P θθ，所以可得42sin 4x y πθ⎛
⎫++ ⎪⎝+⎭
=，从而得出答案． 【详解】〔1
〕由圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛
⎫--+= ⎪⎝⎭
可得2
60ρθθ⎫-+=⎪⎪⎝⎭，即24cos 4sin 60ρρθρθ--+= 所以直角坐标方程为22
4460x y x y +--+=
〔2〕由〔1〕可知圆的方程为()()22
222x y -+-=
所以圆的参数方程为22x y θθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩ ，〔θ为参数〕
因为点(,)P x y
在该圆上，所以()
2,2P θθ+
所以2242sin 4x y πθθθ+=⎛⎫++=++ ⎪⎝
⎭ 因为sin 4πθ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的最大值为1，最小值为1- 所以x y +的最大值为6，最小值为2
【点睛】极坐标与参数方程是高考的重要选修考点，学生应准确掌握极坐标方程与普通方程的互化，与圆锥曲线有关的最值问题可转化为三角函数求最值．
[选修4-5:不等式选讲]
23.
0,0a b >>，且2292
a b +=
，假设a b m +≤恒成立， 〔1〕求m 的最小值； 〔2〕假设21x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立，务实数x 的取值范围．
【答案】〔1〕3；〔2〕13x ≤-或者53x ≥
． 【解析】
试题分析：第一问结合柯西不等式，凑成相应的形式，从而求得结果，第二问注意向最值转换．
试题解析：〔1〕因为22222()(11)()a b a b ++≥+，所以3a b +≤，〔当且仅当11
a b =，即32{32
a b ==时取等号〕 又因为a b m +≤恒成立，所以3m ≥．故m 的最小值为3．
〔2〕使21x x a b -+≥+恒成立，须且只须213x x -+≥．
∴
{
223
x
x x
≤
-+-≥
或者
01
{
223
x
x x
<≤
-++≥
或者
1
{
223
x
x x
>
-+≥
∴
1
3
x≤-或者
5
3
x≥．
考点：柯西不等式，恒成立问题的转换．
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。