基本概念1代数系统运算

-演.子群与陪集
•:・概念，定理，陪集的实质 ・：・6 .商群与群同态基本定理 ♦ 7.环的基本概念
•:・环的零元，环的单位元，交换环 •:・在环中讨论元素可逆 ・：・ 1-un=(1-u)(1+u+u2+...+un-1)
•:・8 .特征数
•:•整环的特征数9.子环，理想，商 环
•:・9 .主理想，主理想环
•:・定理16.1 :(L;S)为格，则对任意 a,beL有:
❖ (1 )a<avb,b<avb,aAb<a aAb<b; ❖ (2)a<b 当且仅当 avb=b; ❖ (3)a<b 当且仅当 aAb=ao
•非空集合L上v和人这两个二元运算所具
有性质，［L；V,A］为一个代数系统。
・:・定理16.2:(L;<)为格，任 a,b,ceL有: ❖ ' 慕等律:ava二a,a/\a=a;
GF(pn)中的所有本原元
• (2)根据求出的本原元按结论1中的方法构造其 他本原多项式.
• 3.凡不可约多项式若有一个根是本原元,则它的 所有根都是本原元，即，它一定是本原多项式.
♦已知x4+x+1 JsZ2Jz的本原多项式，设a是 X4+X+1的根,⑴求出GF(16)上的所有本原元， 并用a的幕次形式表示.⑵求出Z2上的所有四您 次
*** 〜Lq
•:・然后远明avb为a和b的最小上界 •:・如证明者存在ucL,使得a<u,b<u,
・：・必有avb<u

•:•定理16.3:如引理16.2所得之偏序集（ L;S） 为格。
•:•定义16.4: [L;V,A]为一代数系统为定
义在L上的二元运算，当其满足L〔〜1_4 时, 称L为格。并称A为利或交）,V为和 （或并）
任 何两个元素avb,总有连接它们的链， 则称 L是藏的。有限的离散全序集的哈 斯图 由一条链组成。
•:・例:设G是一个群,L(G)表示G的所有子 群 构成的集合，则L(G)关于集合包含关 系［ 构成一个偏序集， 并且是格・ 称为G的子群格
•:・例:设G是一个群,P(G)表示G的所有正 规 子群构成的集合，则P(G)关于集3 合包 含关 系仁构成一个偏序集 并且是格・ 称为G的不变子群格
满足 '〜1_4,则对任a,bGL,avb=a,当且仅当
aAb=b«
•:・引理162 在［L;V,A］中MA满足L〔〜1_4,
定 义 在 L 上 定 义 二 元 关 系 S: 对 任 意 a,bcL,aWb, 当且仅当avb=b,则(L;S)为偏序 集。
•:・自反：
•:・反对称：
•:・传递： ■
次代数系统［L；V,A］中,V,A满足L〔〜1_
I ——
•:•定理2(艾森斯坦(Eisenstein)判别法):设 f(x)=ao+aiX+...+anXn是整系数多项n式，若能 找到一个素数P,使得
•:・(1)p不能整除an； ❖ (2)p|a0,a1,-Jan.1； •:・(3)p2不能整除a。；
•:•那么，f(x)在有理数域上不可约。
•:・1 .证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不
•已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出 所有的n次本原多项式？
• 1. a为本原多项式f(x)的根，则有
• f(x)=(x-a)(x-aP)(x-aP2).. .(x-aPn-1)
• 2.已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),求所有n 次本原多项式的方法是：
• (1)先求出f(x)的一个根，即本原元a,然后求出
❖ e-x-1,所以xT^H,
••对B任P意x'1的xxy5y=eeHy-,看e=xx~~e1,
y-e, x,
因此有
xy~x~e,
•味以 xyeH
•用群同态基本定理证明群同构
伊
卜理想，子环的判别 •:•设环R存在唯一一个右单位元，证明该环 —走林在单位元。
为右单位元，对任意的auR, (era-a+er),设法证明(era-a+er)也是右单位元
、格的一般概念
♦ 偏 序 集 (P;W) 是 由 一 个 非 空 的 集 合 P 及 在 P上定义的偏序关系s构成
•:•在偏序集(P；s)中，若对任意a,bGP有
aSb 或bWa时称P为全房
•:•定义16.1:设(L;S)为偏序集，如果对任意 的 a,beL 有 最 小 Jz 界 与 最 大 下 界 时 ， 称 L
本原多项式。
•:•与 15互质：1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14
❖ a, a2, a4, a7, a8, a11, a13, a14, ❖ (x-a)(x- a2)(x- a4)(x- a8) ・:. (x-a7)(x- (a7)2)(x- (a7)22)(x-(a7)23) ❖ =(x-a7)(x- a14)(x- a13)(x-a11)
•:•设A是环R的理想，B是R的子集，B={b| 对任意aeA, ba=O},证明：B是环R的理 想。 ・:・商环中的元素表示 ・:.零因子 •:・用环同态基本定理证明环
同构 •:・求多项式的逆
• 3 .域
・：•扩域,代 数 •:•元求b+方在有理数域上的极小多项式・
• 4 .根域
•:・确定根域，及扩张次数 •:・有限域的根域存在性，唯一性证明方 法 •:・重根与形式微商 ・：・Zp上n次不可约多项式根域 ・：・定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)
•:・例:设B={O,1}，W为定义在Bn上的关 系，对 任31，...,an）,（bi，...,bn） e当Bani,W（bai（lv. .l,<ain<）n）<n,显（然bi，盘是…,b—n）个偏当点且关仅 系。并宜（B11,；）是福.
• 格 的 定 义 是 : 设 (L;S) 为 偏 序 集 ， 如 果 对 任 意 的 a,beL有最小上界与最大下界时，称L为格。
.:・定义16.3(L;S)为偏序集，当任AgL有最 大 下界,最小上异时,L显然是格,称为完 全格。 L自身的最小上界是整个格L的最
大元，记 为1 ；L自算的最大下界为业个
福L的最小 元，记为0。于是任 xcL,xS1,0Sx。
•:・注意:此处的子集A可以是有限的，也可 以是无限的。
•:・例如前面的子群格L(G)是完全格.
♦ 10.多项式环
.:.11 .扩域与单扩域
•:・线性空间与域的关 系•:•素域
•:・12代数元与代数扩
域
••::・・极13小.多根项域式
•:・根域的存在性与唯一性（同构意义下）
•:・14.有限域，形式微商 ・:.15 .本原元与本原多项式
-攵二、证明及判别、计算
•:. 1 群 I元素阶与群的阶
中 定 义 在 L 上 定 义 二 元 关 系 S: 对 任 意 a,bcL,aSb,当 且仅当avb=b,贝ij［L;S）序 集。
•:・（L;W）是否为格？
•:・关键证明存在最小上界和最大下界 •:・因it匕考虑是否能证明avb,a/\b为最小上
界 和最大下界
•:・先证明avb是a和b的上界， ❖即是否成立a<avb, b<avb
可 约多项式。
❖ p=3
基本概念要清楚 ・：!熟知的数集上性质 •:•注意按照定义和规则，不能想当 然
•:•要有一定的灵活，善于思考
f考题类型： 判断说明理由；
•:•证明，说明，计算 •:•考试时间：5月8日9:50— 11:35 •:•地点：Z2108 •占总分40%
第十六章
§1
格与布尔代数 偏序与格
❖ L2 交换律:avb二
bva,a/vb=bAa;
L3 结a合A(律b:AaCv)(b=v(acA)=b()aAvbC)；vc. ❖ L4吸收律:av(a/\b)=a, aA(avb)=ao
ET一个代数系统［L；V,A］,M中V,人为L上
的 二元运算，它们满足Li〜1_4,此时有何特
点 •:・引理16.1:在［L;V,A］中二元运算v,A
•:・例:取S={a,b,c},（P⑶；G）是一个格，
其最 大元是S={a,b,c},最元是0。任取一 个 子集合有最大下界和最小上界，如 {{a},{a,c},{c}}的最大下界是0,最小上界 是{a,c};它是一个完全格。
•:・要说明的是并不是所有的格都是完全 格.
•:•二、作为代数系统的格
•:•例：Z+表示正整数集，对任意a,beZ+,定 义:aM=（a,b）（最大公因子）
avb=[a,b]（＞小公倍数） V人是Z+上的二元运算
它们满足Li〜1«4
取 Z+的子集 P={2n|n=1,2,...} 有最大下界2,无最小上界，所以它不是 完圣格。
•:•作业P219 3,8,9
❖ L 慕等律:ava二a,a/\a=a;
*(L;<)为偏序集，如果对任意的a,bcL有最 小上界与最大下羞时，称L为格。以 avb=lub(a,b) 表 示 a,b 的 最 小 上 界,a/\b=glb(a,b)表示a,b的最大下界。而 最小上界和最大下界都是L中的元素。
•:•在格(L;V)中，对任意两个元素a,bcL,可 唯一确定avb和a/\b,且它们都属于L, v 而 人看作为集合L上的2个二元运铳
• l»2 交换
律:❖avLb3=b结va合5a律A:ba=vb(Abvac; )=(avb)vc,
・：・ aA(bAC)=(aAb)AC； ❖ L4 吸收律:av(aAb)=a, aA(avb)=ao
四慝与切分，拉格朗日定理应用，特别是补充证明
的 些结论。 •子群，正规子群的验证和证明 •设~是群G上的等价关系，并且对于G的任意三个元素
a,x,x\暑ax~ax项泌肴x ~xL证萌：与G申单彳立 元等 价的元素全体海成G的一个子群。
• H=(xeG|x-e}
•:•对任意的xwH, xe=x-e=xx 1,因此有
的根域 是GF(pn)=Zp(a)
•:・5.本原元与本原多项式
•:・有关定理和结论的证明
•:・GF(pn)的表述，化简
•:・求出所有本原元，本原多项式
•:•已知a为GF(pn)上的本原元，怎样求出 GF(pn)上的所有本原元？
•:・GF*(pn)中的每个元素可表示为a的幕
次 形式由习题14.19知，ak的阶为pn.1 当且仅当(k, pn -1)=1,即ak为本原元当 且 仅 当 (k, pn . 1 ) = 1 。 因 此 我 们 就 可 在 a,a2,...apn-1中找由所有的本原元。
•:・2.相容
•:•设“〜”为S上的等价关系，心”为S上 的二元运算。若对任意a,b,c,dGS,当 a〜 b, c~cH,必有a*c~b*d,则祢等价 关系〜 与运算*是相容的，称~为代数系 统［S;* ］的相容等价关系。
•:・3.半群，拟群，群
♦有关定理
•:・4•元素的阶和群的阶
•:・定义，结论
为 虬 以avb=lub(a,b)表示a,b的最小上
界,aAb=glb(a,b)表示a,b的最大下界。
•:・定义16.2:(L;S)为格,如果a<b,a^b(记 为 avb),且不存在 UGL-
(a,b}^a<u<b,JOi]®lb
•:・当avb时，如有c”...旧€项1<21),使Cw覆
^Cj(i=1,2.....k-1),且有 a=C[VC2V.・.vCk=b, 则祐Ci，...,Ck为连犊a,b的慰。血果L的