最新-2018届“六校联考”统一考试(文科)数学试题----

2018届“六校联考”统一考试(文科)数学试题 参考答案及评分标准 2018.9.4
第Ⅰ卷选择题（满分50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．（A ） 2．（B ） 3．（C ） 4．（D ） 5．（A ） 6．（B ） 7．（D ） 8．（C ） 9．(C) 10．（B)
第Ⅱ卷非选择题（满分100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分．(第14、15为选做题，如果两题都做，按第一题得分给分)
11．
22
12516
x y += 12．1 13．14
14．3 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）()2cos 22f x x x =
++＝π
2sin(2)26
x +
+．……4分 ∴函数()f x 的最小正周期为22T π
π=
=．………… 6分 （Ⅱ）由()3f α=，得π
2sin(2)236
α++=．
∴π1
sin(2)62
α+=． ………………………………………… 8分
()0,πα∈，∴13π2,666π
πα⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
………………………………………… 9分 ∴5266
π
π
α+
=
………………………………………… 11分 ∴π
3
α=． …………………………………………… 12分
17．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人, ……………………… 1分
第3组的频率为
30
0.300100
=, ……………………… 2分 频率分布直方图如下:
……………… 5分
（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:
第3组:
30
6360⨯=人, ……………………… 6分 第4组:20
6260⨯=人, ……………………… 7分 第5组:10
6160
⨯=人, ……………………… 8分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（Ⅲ）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C , 则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: 12(,),A A 13(,),A A 11(,),A B 12(,),A B 11(,),A C
23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C
……………………… 10分
其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的有: 11(,),A B 12(,),A B 21(,),A B 22(,),A B
31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 9中可能, ……………………… 11分
所以其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的概率为
93
155
=………………… 12分 18. (本小题满分14分) 解：（Ⅰ）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图如下(如果俯视图形状正确，但未标明边长，适当扣1分) ………………… 4分
（Ⅱ）证明：如上图，连接,AC BD 交于O 点，因为E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点，
所以在1AAC ∆中，OE 为1AAC ∆的中位线，………………… 5分
E O
D 1
C 1B 1
A 1D C
B
A
所以1//OE AC ，………………6分
OE ⊄ 平面11AC C ，………………………7分
11AC ⊂平面11AC C ，………………8分
所以//OE 平面11AC C ………………9分
（Ⅲ）多面体表面共包括10个面，2,ABCD S a =………………10分
1111
2
2
A B C D a S =………………11分 111
22
ABC B BC C DC ADD a S S S S ====，………………12分
11111111
2
132248
AA D B A B C B C DC D a S S S S ====⨯⨯=
………………13分 所以表面积222
2
23445228
a a a S a a =++⨯+⨯=………………14分 19. (本小题满分14分)
解（Ⅰ）(5)41f =………………3分
（Ⅱ）因为
(2)(1)441
(3)(2)842
(4)(3)1243(5)(4)1644
f f f f f f f f -==⨯-==⨯-==⨯-==⨯………………4分
由上式规律，所以得出(1)()4f n f n n +-=………………6分 因为(1)()4(1)()4f n f n n f n f n n +-=⇒+=+⇒
2()(1)4(1)(2)4(1)4(2) (3)4(1)4(2)4(3)
(1)4(1)4(2)4(3)4 221
f n f n n f n n n f n n n n f n n n n n =-+-=-+-+-=-+-+-+-==+-+-+-+=-+
………………9分 （Ⅲ）当2n ≥时，11111
[]()12(1)21f n n n n n
==----………………11分
所以 1111(1)(2)1(3)1()1
11111111
1[1]222334111311[1]222f f f f n n n n n
++++---=+-+-+-++
--=+-=-
………………14分 20. (本小题满分14分)
解：（1
）射线: (0)OA y x >. ……………………………1分
设(,) , () , (0,)M x y P a Q b （0 , 0a b >>），
则22a x b y =+=， ……………………………3分 又因为POQ ∆
的面积为
ab = ……………………………4分 消去,a b 得点M 的轨迹C
20xy -=（0 , 0x y >>）. …………7分 （2）设111222(,) , (,)R x y R x y ，则121x x +=， ……………………………8分
所以121212
11
))u y y x x x x ==+
+ 211212121212
12
3()3(2)x x x x x x x x x x x x =⋅+++=⋅+-⋅⋅ ……………9分 令12 t x x =⋅则10< 4t ≤
，所以有2
3(2)u t t =+-， ……………………………11分 则有：当10< 4t ≤时，/
223(1)0u t =-<，
所以23(2)u t t =+-在1
(0,]4上单调递减，
所以当14t =时，min 75
4
u =， …………………………………………………13分
所以存在最大的常数75
4
m =使u m ≥恒成立. ………………………………14分
21. (本小题满分14分) 解：（Ⅰ）()2a f x bx x '=
-，()242
a
f b '=-，()2ln 24f a b =-． ∴
432
a
b -=-，且ln 2462ln 22a b -=-++． …………………… 2分 解得2,1a b ==． …………………… 3分
（Ⅱ）()22ln f x x x =-，令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+，
则()222(1)
2x h x x x x -'=-=，令()0h x '=，得1x =（1x =-舍去）．
在1[,]e e 内，当1
[,1)x e
∈时，()0h x '>， ∴ ()h x 是增函数；
当[1,]x e ∈时，()0h x '<， ∴ ()h x 是减函数 …………………… 5分
则方程()0h x =在1[,]e e 内有两个不等实根的充要条件是1
()0,(1)0,()0.
h e h h e ⎧≤⎪⎪⎪
>⎨⎪≤⎪⎪⎩…………………7分
即2
1
12m e <≤+
． ………………………………………… 8分
（Ⅲ）2
()2ln g x x x nx =--，2
()2g x x n x
'=
--． 假设结论成立，则有21112
2221200
2ln 0, 2ln 0, 2,
220.
x x nx x x nx x x x x n x ⎧--=⎪--=⎪⎪
⎨+=⎪
⎪--=⎪⎩①②
③④
………………………………… 9分 ①－②，得221
12122
2ln
()()0x x x n x x x ----=． ∴12
012
ln
22x x n x x x =--． …………………………………………………………………… 10分
由④得00
2
2n x x =-，
∴1
2120
ln
1
x x x x x =-．即
1
21212ln 2x x x x x x =-+． 即1
12
12
2
2
2
ln 1x x x x x x -=+．⑤
………………………………………………………… 11分
令12x t x =
，22()ln 1
t u t t t -=-+（01t <<)， ………………………………………… 12分 则2
2
(1)()(1)
t u t t t -'=+＞0．∴()u t 在01t <<上增函数， ∴()(1)0u t u <=， …………… 13分 ∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴()00g x '≠． ………………………………………………… 14分。