高中数学教案-等差数列的概念与性质

等差数列的概念与性质
课程目标
知识提要
等差数列的概念与性质
∙等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母来表示．
由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项（arithmetic mean），且．
等差数列的通项公式：．
∙等差数列的性质
（1），是数列中任意两项，则．
（2）若，，，均为下标，且，则．
（3）下标（项的序号）成等差数列，且公差为的项：，，，组成公差为的等差数列．
∙等差数列的前项和
一般地，我们称为数列的前项和，用表示，即
．
等差数列的前项和公式：．
通项与的关系为：
等差数列前项和的性质
（1）等差数列中连续项的和，，，仍为等差数列，公差为．
（2）等差数列中，记奇数项的和为奇，偶数项的和为偶．
当项数为时，
偶奇，奇
偶
；当项数为时，
奇偶
，
奇
偶
．
（3）若数列为等差数列（、为常数）．，故数列仍为等差数列，且公差为．
（4）利用等差数列前项和的函数特征，可以求其最大值或最小值．
精选例题
等差数列的概念与性质
1. 设数列的前项和为，且，为等差数列，则
的通项公式．（原题看不清）
【答案】
2. 已知的三个内角，，成等差数列，且边，，则的面积等于．
【答案】
3. 已知是等差数列，若，则的值是．
【答案】
【分析】解法一：设公差为，则，即，所以．
解法二：由等差数列的性质得，所以，所以．
4. 在等差数列中，若，则．
【答案】
【分析】在等差数列中，，
由，
得，
则，
则．
5. 在等差数列中，，且其前项和有最小值．则下列命题：
①公差；②为递减数列；③，，，都小于零，，，都大于零；
④时，最小；⑤时，最小．
其中，正确命题的序号为．
【答案】①③⑤
【分析】由，且其前项和有最小值，可知，且，从而易知①③⑤正确．
6. 已知数列是等差数列，，，则
．
【答案】
【分析】因为，
．
7. 已知为等差数列的前项和，，，则．
【答案】
【分析】因为，所以，即，所以，故
．
8. 等差数列中，若，则公差，．
【答案】；
【分析】因为等差数列的前项和公式，
因此，，即，．
9. 已知等差数列，是数列的前项和，且满足，，则数列
的首项，通项．
【答案】；．
10. 设等差数列的前项和为，若，，，则正整数
．
【答案】
【分析】设等差数列的公差为，
则
解得．
11. 已知数列中，，，则数列通项．【答案】
【分析】因为，
所以，
即．
又因为，
所以是以为首项，以为公差的等差数列．
故，
所以．
12. 设等差数列的前项和为，，，则的值为．【答案】
【分析】解法一：设等差数列的首项为，公差为，由及
得整理得解之得，，所以
．
解法二：设等差数列的首项为，公差为，由得，所以，由得，整理得，所以，，
从而．
13. 等差数列，的前项和分别是，，如果，则
【答案】
【分析】
14. 已知数列是等差数列，若，
且，则．
【答案】
【分析】因为，
所以．
又因为，
所以．
15. 已知等差数列中，，且，为的两个实根，则此数列的通项公式是．
【答案】
【分析】由题意得：又，
所以解得，，
所以解得
从而，即．
16. 设数列满足，点对任意的，都有向量
，则数列的前项和．
【答案】
17. 若，两个等差数列，，，与，，，，的公差分别为和，则的值为．
【答案】
【分析】由，，得，，
所以．
18. 等差数列，的前项和分别为，，若，则．
【答案】
【分析】．
19. 在等差数列中，，，则数列的前项和．
【答案】
【分析】由题意得等差数列的公差满足，从而，因此
，故．
20. 设等差数列的公差为正数，若，，则
．
【答案】
【分析】由条件可知，从而，，得，，公差为，所以．
21. 设是等差数列的前项和，已知，与等差中项为，求数列的通项公式．
【解】由已知得
即
解得或
所以或．
经验证或均满足题意，即为所求．
22. 等差数列中，是它的前项的和，且满足，，求的最大值．
【解】解法一：因为，，
所以．
解得，即，
故．
因此，当时，取得最大值．
解法二：同解法一解得，．
数列的首项大于，公差小于，必存在某一项，满足解之得，取
．
因此，当时，取得最大值．
解法三：因为，
当时，其图象是过原点且开口向下的一条抛物线上一群孤立的点，
所以其对称轴．
即时，取得最大值．
解法四：由，不难知道，数列是单调递减的数列，由，得
，
即，
即，
又，所以，．
故当时，取得最大值．
23. 已知等差数列．
(1)，是中的项吗？试说明理由．
【解】，，．
令，
所以．
所以是数列中的第项．
令，则，
所以是中的第项．
(2)若，是数列中的项，则是数列中的项吗？并说明你的理由．
【解】因为，是中的项，
所以，．
所以，
因为，
所以是中的第项．
24. 已知数列是一个等差数列，且，．
(1)求的通项和前项和；
【解】设的公差为，
由已知条件，得解得，
所以，
．
(2)设，，证明数列也是等比数列．
【解】因为，
所以，
所以．
因为（常数），
所以数列是等比数列．
25. 已知数列的公差是正数，且，，求它的通项公式．
【解】解法1
设等差数列的首项，公差为，
则
解得或（舍去），
所以．
解法2
因为，
所以，是方程的两个根．
所以或（舍）
所以，所以，所以．
26. 已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
【解】设的公差为依题意，有
联立得解得
所以
(2)求使不等式成立的的最小值．
【解】因为所以．
令，即解得或
又，所以
所以使不等式成立的的最小值为．
27. 已知函数（），设，，求数列
的通项公式．
【解】由，得，
化简得．
由等差数列定义知数列是首项，公差的等差数列，
所以．
由的定义域且有意义，得，
所以．
28. 已知等差数列中，，．数列满足．设
，且，求的值．
【解】因为，所以．
所以．
令，得．
29. 是否存在一个等差数列，使是一个与无关的常数？若存在，求此常数；若不存在，请说明理由．
【解】假设存在一个等差数列，使，且为首项，为公差．
由，得
整理，得
式是关于的一元一次方程，且对都成立．
只需即
或
（i）当时，；
（ii）当时，．
30. 在等差数列中，已知，．
(1)求；
【解】由题意得：
解得
(2)若，设数列的前项和为，试比较与的大小．
【解】因为，所以，
所以，
所以
所以当时，；当时，．
31. 已知是一次函数，其图象过点，又、、成等数列，求
的值．
【解】设，则由题意得
由已知得
由①、③解得，．
于是，
所以．
32. 已知等差数列，设，已知，，求数列的通项公式．
【解】，且，
又，
．
由题意，，成等差数列，可设，，于是有．式变为．
令，上式为，整理可得．
或．
或．
当时，，此时，
当时，，此时．
33. 设等差数列的前项和为．已知，，．
(1)求公差的范围；
【解】依题意，得
即
又，得．代入上述不等式组，解得．
(2) 中哪一个最大？并说明理由．
【解】解法一：当时，，解不等式，
即
其中，得
．
要使只要即可，解得．
解不等式，得
要使只要即可，解得．
综上，当时，；当时，．故最大．
解法二：由题意得
，最小时，最大．
当时，，
当正整数时，最小，从而最大．
解法三：由（1）得
进而知
，．故最大．
34. 已知数列的通项公式（，且，为常数）．
(1)当和满足什么条件时，数列是等差数列；
【解】．
要使是等差数列，则应是一个与无关的常数，
，即，故当时，数列是等差数列．
(2)求证：对任意实数和，数列是等差数列．
【解】，
．
而，为一个常数，
是等差数列．
35. 设为等差数列，为等比数列，，，，分别求出数列与的前项的和及．
【解】由题意得，，．
解得或（舍去），．
所以的公差，的公比，
所以，．
36. 已知，等差数列中，，，
．求：
(1) 的值；
【解】由，得
，，
又因为，，成等差数列，所以
，
即
，
解得
或．
(2)通项．
【解】当时，，，此时
；
当时，，，此时
．
37. 已知等差数列满足，公差．
(1)求数列的通项公式；
【解】因为是等差数列，且，公差，
所以由可得，
所以数列的通项公式为，即．
(2)数列的前项和是否存在最小值？若存在，求出的最小值及此时的值；若不存在，请说明理由．
【解】方法 1：
由等差数列求和公式可得，即
．
所以，当或时，取得最小值．
方法 2：
因为，
所以，当时，；当时，；当时，，
即当时，；当时，；当时，，所以，当或时，取得最小值．
38. 已知等差数列的前三项为，，，记前项和为．
(1)设，求和的值；
【解】由已知得，，，
又，
所以，
即．
所以，公差．
由，得，
即，
解得或（舍去）．
所以，．
(2)设，求的和．
【解】由，得．
所以．
所以是等差数列．
则
所以．
39. 已知等差数列中，首项，公差为整数，且满足，，数列满足，其前项和为．
(1)求数列的通项公式；
【解】由题意，得
解得．又，
所以．
所以．
(2)若为，的等比中项，求的值．
【解】因为，
所以
因为，，，为，的等比中项，
所以，即，解得．
40. 等比数列的各项都为正数，，．
(1)求数列的通项公式
【解】由已知解得，，
．
(2)若，求的最大值及相应的值．
【解】令，
则．
当或时，最大为．
课后练习
1. 等差数列的前项和为，且，则．
2. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为．
3. 已知等差数列的公差不为，且，，成等比数列，则的值为．
4. 设等差数列的前项和为，若，，则的取值范围
是．
5. 若，且，，，和，，，，各自都成等差数列，则
．
6. 下列是关于公差的等差数列的四个命题：数列是递增数列；数列
是递增数列；数列是递增数列；数列是递增数列；其中真命
题的序号是．
7. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，若，则
．
8. 设等差数列的前项和，若，则．
9. 等差数列中，，，且，，，成等比数列，则 = ．
10. 已知公差不为的等差数列满足，，成等比数列，为数列的前
项和，则的值是．
11. 已知等差数列的首项为，公差为，则通项公式．
12. 设等差数列满足：公差，，且中任意两项之和也是该数列中的一项，若，则的所有可能的取值之和为．
13. 在等差数列中，若，则其前项和的值为．
14. 等差数列的前项和为，若，且，
，则．
15. 已知的三边长，，成等差数列，且，则实数的取值范围是．
16. 等差数列中，已知，那么的值是．
17. 等差数列，，，，前项和最小．
18. 等差数列中，，，记，则关于的表达式为．
19. 若一个等差数列前项的和为，最后项的和为，且所有项的和为，则这个数列有项．
20. 设是等差数列的前项和，若，公差，，则正整数的值是．
21. 已知是正项等差数列，，数列的前项和．
(1)求；
(2)设，，求数列的前项和．
22. 设是等差数列，前项和为．
(1)已知，，求；
(2)已知公差，，求的值；
(3)，，，求．
23. 等差数列：，，，的前项和为，求使得最大的序号的值，并求最大值．
24. 设等差数列的前项和为．
(1)已知，且，，求公差的范围；
(2)若，，则该数列前几项的和最大？说明理由．
25. 已知等差数列中，，公差．
(1)求证：方程有公共根；
(2)设(1)中方程的另一个根为，求证：为等差数列．
26. 若是等差数列，，，求的值．
27. 已知数列是等差数列，其前项和为，，．求数列的通项
公式．
28. 设等差数列的第项为，第项为，求：
(1)数列的通项公式；
(2)求的最大值．
29. 已知函数，其中．定义数列如下：，
（）．
(1)当时，求，，的值；
(2)是否存在实数，使，，构成公差不为的等差数列？若存在，请求出实数
的值；若不存在，请说明理由．
30. 在等差数列中，已知，，则这个数列有多少项在到之间？
31. 设等差数列的前项和为．已知，为整数，且对任意
恒成立，求数列的通项公式．
32. 已知等差数列的公差为（），且，求的值．
33. 设各项均为正数的无穷数列和满足：对任意，都有，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，，求和的通项公式．
34. 已知等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，求的值．
35. 已知等差数列中，，，若，求及．
36. 等差数列前项的和为，其中项数为奇数的各项的和为，求其第项及公差．
37. 设等差数列的前项的和为，且，求．
38. 设等差数列的前项和为，已知，且，，
(1)求公差的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
39. 已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求的通项公式．
(2)若数列满足，是否存在非零实数使得为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
40. 已知数列的前项和，，且是与的等差中项，求
的通项公式．
等差数列的概念与性质-出门考
姓名成绩
1. 首项是，公差为的等差数列从第项开始大于．
2. 公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则等于．
3. 设为等差数列的前项和，，，将此等差数列的各项排成如图
所示三角形数阵：若此数阵中第行从左到右的第个数是，则．
4.
其中第行、第列的那个数记为，则数表中的应记为．
5. 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为．则等差数列的通项公式
为．
6. 设等差数列满足，且，为其前项和，则中最大的
是．
7. 设等差数列的前项和为，若且
，则的值为．
8. 在等差数列中，若，则．
9. 已知递增的等差数列满足，则．
10. 已知两等差数列和，前项和分别为，，若，则
．
11. 《九章算术》"竹九节"问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上
面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为升．
12. 设等差数列的前项和，已知，，则．
13. 等差数列的首项为，公差为；等差数列的首项为，公差为，
如果，且，．则数列的通项公式为．
14. 在等差数列中，若，则．
15. 在等差数列{ }中，，，则{ }的前项和
= ．
16. 若把集合中全部元素按适当的顺序排成一列，组成一个等差数列，
则通项公式．
17. 已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，则．
18. 等差数列中，，则．
19. 有两个等差数列，，其前项和分别为，，若，则
．
20. 等差数列满足，，则使数列前项和最大的是．
21. 设数列的前项和，数列满足．
(1)若，，成等比数列，试求的值；
(2)是否存在，使得数列中存在某项满足，，成等差数列？若存在，请指出符合题意的的个数；若不存在，请说明理由．
22. 为了在学校运动会上取得好成绩，某同学决定在比赛前天进行跑步训练．已知第一天跑了，以后每天比前—天多跑，那么这名同学在这天内总共跑了多少路程？23. 设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为．
(1)若，，求数列的通项公式；
(2)若，，，求所有可能的数列的通项公式．
24. 设等差数列的前项和为．已知，，求的值．
25. 已知是一个公差大于的等差数列，且满足，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若数列和数列满足等式：（为正整数），求数列
的前项和．
26. 等差数列中，已知，，，试求的值．
27. 已知等差数列的首项，公差，前项和，求的值．
28. 已知等差数列的首项和公差均为整数，其前项和为．
(1)若，且，，成等比数列，求数列的通项公式；
(2)若对任意，且时，都有，求的最小值．
29. 已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是否存在、（），使得成等比数列？若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．
30. 给定常数，定义函数，数列满足
．
(1)若，求及；
(2)求证：对任意；
(3)是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由．
31. 数列的前项和（）．
(1)求证：是等差数列；
(2)设，求数列的前项和．
32. 已知等比数列与数列满足．
(1)判断是什么数列?并给出证明；
(2)若，求．
33. 已知二次函数．
(1)设函数的图象顶点的横坐标构成数列，求证：数列是等差数列；
(2)设函数的图象顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和．34. 已知函数二次函数，其中．
(1)设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列为等差数列；
(2)设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和．
35. 已知等差数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式．
(2)当为何值时，取得最小值．
36. 设等差数列的前项和为．
(1)若首项，公差为，求满足的正整数．
(2)求所有等差数列，使对一切正整数都有成立．
37. 在等差数列中，，前项和满足条件．
(1)求数列的通项公式和；
(2)记，求数列的前项和．
38. 若关于的方程和（）的四个根可组成首项为的等差数列，求的值．
39. 已知等差数列中，，，试问是否是此数列的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
40. 在我国古代，是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成（如图），最高层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多块，共有圈，请问：
(1)第圈共有多少块石板？
(2)前圈一共有多少块石板？。