第三章 习题课——函数单调性与奇偶性的综合应用

又f(x)是R上的偶函数,故f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),
从而有f(-2)>f(-3)>f(π).
探究一
探究二
思想方法
化归思想在解抽象不等式中的应用
典例 已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇
函数;②f(x)在定义域上单调递减;③f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取
A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(1)
C.f(-2)<f(3) D.f(-3)<f(5)
(3)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有
(1 )-(
2)
<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为
.
1 -2
)
解析:(1)因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1.
值范围.
思路点拨:要由不等式f(1-a)+f(1-a2)<0求实数a的取值范围,应利
用函数f(x)的奇偶性与单调性去掉“f”,建立关于a的不等式组求解.
解:∵f(x)是奇函数,
∴f(1-a2)=-f(a2-1).
∴f(1-a)+f(1-a2)<0⇒f(1-a)<-f(1-a2)⇒f(1-a)<f(a2-1).
4.定义域为R的奇函数满足f(0)=0.
探究一
探究二
思想方法
变式训练1本例中若把“奇函数”换成“偶函数”,求x<0时f(x)的解
析式.
解:设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1
=-2x2-3x+1.
∵f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x).
∴f(x)=-2x2-3x+1,x<0.
解析:∵f(x)在R上是偶函数,
∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).
而2<3<π,且f(x)在[0,+∞)内为增函数,
∴f(2)<f(3)<f(π).
∴f(-2)<f(-3)<f(π).故选A.
答案:A
探究一
探究二
思想方法
反思感悟利用函数性质比较大小的常用方法
在应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小时,先利用函数
范围.
解:∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,
∴f(3a-10)<-f(4-2a).
∵f(x)为奇函数,
∴-f(4-2a)=f(2a-4).
∴f(3a-10)<f(2a-4).
又f(x)在R上是减函数,∴3a-10>2a-4.
∴a>6,即a的取值范围为(6,+∞).
所以 f(x)在[0,+∞)内是减函数,且 f(-5)=f(5),f(-2)=f(2).
又 f(5)<f(4)<f(2)<f( 3),故 f(-5)<f(4)<f(-2)<f( 3).
答案:f(-5)<f(4)<f(-2)&函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值
变式训练设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,0)内是
减函数,实数a满足不等式f(3a2+a-3)<f(3a2-2a),求实数a的取值范围.
解:∵f(x)在区间(-∞,0)内是减函数,
∴f(x)的图像在y轴左侧递减.
又∵f(x)是奇函数,
∴f(x)的图像关于原点中心对称,则在y轴右侧同样递减.
(3)函数f(x)在R上的解析式为
-2 2 + 3 + 1, > 0,
f(x)= 0, = 0,
2 2 + 3-1, < 0.
反思感悟利用函数奇偶性求解析式的注意事项
1.在哪个区间求解析式,就把“x”设在哪个区间;
2.利用已知区间的解析式进行代入;
3.利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x);
间[-b,-a]上是增(减)函数;若f(x)为偶函数,且在区间[a,b](a<b)上是
增(减)函数,则f(x)在区间[-b,-a]上是减(增)函数,即奇函数在关于原
点对称的两个区间上的单调性相同;而偶函数在关于原点对称的两
个区间上的单调性相反.
(5)若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则
f(x)=f(-x)=f(|x|).
2.做一做
(1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)(
)
A.在[1,7]上是增函数
B.在[-7,2]上是增函数
C.在[-5,-3]上是增函数
D.在[-3,3]上是增函数
(2)若奇函数f(x)满足f(3)<f(1),则下列各式中一定成立的是(
)
A.f(x)=x+2 019
B.f(x)=-x+2 019
C.f(x)=-x-2 019
D.f(x)=x-2 019
解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-2 019.
又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2 019.故选A.
答案:A
3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)=
再由偶函数性质得f(3)<f(-2)<f(1).
答案:(1)C (2)A (3)f(3)<f(-2)<f(1)
探究一
探究二
思想方法
利用函数的奇偶性求解析式
例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,
求:
(1)f(0);
(2)当x<0时,f(x)的解析式;
(3)f(x)在R上的解析式.
习题课——函数单调性与奇偶性的综合应用
课 标 阐 释
思
1.掌握利用函数奇偶性求函数解
析式的方法.
2.理解并运用函数的单调性与奇
偶性解决比较大小、求最值、解不
等式等综合问题.
维
脉
络
知识点、函数的单调性与奇偶性
1.填空.
(1)函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间
上的概念,因此在判定函数的单调性的时候,一定要指出函数的单
分析:(1)利用奇函数的定义求f(0);
(2)设 x<0
-x>0
x>0 的解析式
求 f(x)
探究一
探究二
思想方法
解:(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),
即f(0)=0.
(2)当x<0时,-x>0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.
的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性
对函数值的大小作出比较.
探究一
探究二
思想方法
变式训练2若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,
则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?
解:因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).
又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0,
∴f(x)的图像在R上递减.
∵f(3a2+a-3)<f(3a2-2a),
∴3a2+a-3>3a2-2a,解得a>1,
即实数a的取值范围为(1,+∞).
1.设f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式一定成
立的是(
)
A.f(0)<f(6)
探究一
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思想方法
应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小
例2设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(2),f(π),f(-3)的大小关系是(
)
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)<f(-3)<f(-2)
D.f(π)<f(-2)<f(-3)
∵f(x)在定义域(-1,1)内是单调递减的,
1- > 2 -1,
∴ -1 < 1- < 1, 解得 0<a<1.
-1 < 2 -1 < 1,
∴a的取值范围为(0,1).
探究一
探究二
思想方法
方法点睛1.本题的解答充分体现了化归思想的作用,将抽象不等
式借助函数的性质转化成为具体不等式,问题从而解决.
解析:∵f(-2)=(-2)5+a·(-2)3+b·(-2)-8=10,
∴25+a·23+2b=-18.
∴f(2)=25+a·23+2b-8=-26.
答案:-26
.
4.若偶函数 f(x)在(-∞,0]上是增函数,则 f(-5),f( 3),f(-2),f(4)的大小关
系为
.
解析:因为 f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,
B.f(4)>f(3)
C.f(2)>f(0)
D.f(-1)<f(4)
解析:∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,
∴f(-1)=f(1).
又f(4)>f(1),
∴f(4)>f(-1).
答案:D
2.已知x>0时,f(x)=x-2 019,且知f(x)在定义域R上是奇函数,则当x<0
时,f(x)的解析式是(
所以f(x)=-x2+2,结合函数f(x)可知选C.
(2)因为f(x)是奇函数,
所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).
又f(3)<f(1),所以-f(-3)<-f(-1),
所以f(-3)>f(-1).
(3)由已知条件可知f(x)在[0,+∞)内单调递减,
∴f(3)<f(2)<f(1).
2.当然本题中还要注意以下化归与计算等细节易错问题:
(1)由函数f(x)为奇函数,将不等式f(1-a)+f(1-a2)<0等价变形时出
错;
(2)利用函数f(x)单调递减去掉“f”,建立关于a的不等式组时,因忽
略函数f(x)的定义域出错;
(3)解错不等式(组)或表示a的取值范围出错.
探究一
探究二
思想方法
调区间.
(2)在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函数都是
奇函数;f(x)=x2n(n∈Z)型函数及常数函数都是偶函数.
(3)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,则它们在公共定义域上,满足
奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.
(4)若f(x)为奇函数,且在区间[a,b](a<b)上是增(减)函数,则f(x)在区