杨辉三角的规律以及推导公式

杨辉三角的规律以及定理

李博洋

摘要杨辉三角中的一些规律

关键词杨辉三角幂二项式

引言

杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所着的《详解九章算法》一书

中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现

在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角”的

规律进行探讨和研究。

内容

1二项式定理与杨辉三角

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。

杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。

由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121

则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数

为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。

展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：

14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：

1(110)

11(111)

121(112)

1331(113)

14641(114)

15101051(115)

1615201561(116)

因此可得出二项式定理的公式为：

(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把带进了。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。

2杨辉三角的幂的关系

首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：

1(1)

11(1+1=2)

121(1+2+1=4)

1331(1+3+3+1=8)

14641(1+4+6+4+1=16)

15101051(1+5+10+10+5+1=32)

1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)

……

相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂

3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系

(1)

1(2)n=1

11(3)n=2

121(4)n=3

1331(5)n=4

14641(6)n=5

15101051n=6

1615201561

把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6

把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15

把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20

把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15

把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6

把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1

将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全

相同的。

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n 行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、…、(n-3)中第n行之前的数字之和、1。

总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：

1、

每个数等于它上方两数之和。

2、

每行左右对称，由1开始逐渐变大。

3、

第n行的数字有n+1项。

4、

第n行数字和为2^(n-1)。（2的(n-1)次方）

5

(a+b)^n的展开式中的各项依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。[1]

6、

第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是性质

上面的式子是什么意思？首先c i n＋1中的n+1，i的意思是从n+1个相同物体中选出i个物体有多少种选法。

，字谦光，时期人。在他1261年所着的《》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。在我国古老的文明中，人们发现了很多有趣的规律，而杨辉三角就是其中一个。