北京市2020年顺义一模及答案

1顺义区2020届高三第二次统练数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}32A x x =-<<，{}3,2,0=--B ，那么A B =I （A ）{}2-（B ）{}0（C ）{}2,0-（D ）{}2,0,2-（2）在复平面内，复数()i 1i z =+对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）下列函数中，既是偶函数，又在()0,+∞上单调递减的是（A ）2y x =- （B ）2y x =- （C ）cos y x =（D ）12xy =（）（4）抛物线2=4y x 上的点与其焦点的最短距离为（A ）4 （B ）2 （C ）1（D ）12（5）若角α的终边经过点(1,2)P -，则sin α的值为（A （B （C ）（D ） （6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是2（A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）24（7）若α为任意角，则满足cos()cos 4π+⋅=k αα的一个k 值为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8（8）已知,,a b c ∈R ，在下列条件中，使得a b <成立的一个充分而不必要条件是（A ）33a b < （B ）22ac bc <（C ）11a b> （D ）22a b <（9）设{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和.已知1316a a ⋅=, 314S =,若存在0n 使得012,n a a a ⋅⋅⋅，，的乘积最大，则0n 的一个可能值是 （A ）4（B ）5（C ）6（D ）7（10）已知()f x ＝21|1|,02,0x x x x x -+<⎧⎨-≥⎩，若实数[]2,0m ∈-，则()(1)f x f --在区间[],2m m +上的最大值的取值范围是（A ）[]1,4（B ）[]2,4（C ）[]1,3（D ）[]1,2数学 第3页（共6页）第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知向量(1,2)a =-，(,1)=b m ，若αb ⊥，则实数m =__________. （12）设{}n a 是等差数列，且12a =，248a a +=，则{}n a 的通项公式为__________.（13）若将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为______________.（14）若直线:l y x a =+将圆22:1C x y +=的圆周分成长度之比为1:3的两段弧，则实数a 的所有可能取值是____________.（15）曲线C 是平面内到定点3(0)2F ，和定直线3:2l x =-的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 关于y 轴对称；②若点(,)P x y 在曲线C 上，则y 满足4y ≤； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则15PF ≤≤； 其中，正确结论的序号是_____________.注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。

全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

数学 第4页（共6页）三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）已知∆ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，5a b +=，3c =， _________.是否存在以,,a b c 为边的三角形？如果存在，求出∆ABC 的面积；若不存在，说明理由.从①1cos 3C =；②1cos 3C =-；③22sin C =这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

（17）（本小题14分）如图一所示，四边形ABCD 是边长为2的正方形，沿BD 将C 点翻折到1C 点位置（如图二所示）,使得二面角1A BD C --成直二面角.,E F 分别为11,BC AC 的中点. （I ）求证：1BD AC ⊥；（II ）求平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角的余弦值.数学 第5页（共6页）（18）（本小题15分）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3,4)，[4,5) ，[5,6) ，[6,7)，[7,8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：（I ）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数；（II ）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （III ）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为1D ，2D ，试比较1D 与2D 的大小.（只需写出结论）（19）（本小题14分）已知函数2()e x f x ax =-,a ∈R .（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程； （II ）若()f x 在(0,)+∞内单调递增，求实数a 的取值范围；（III ）当1a =-时，试写出方程()1f x =根的个数.（只需写出结论）数学第5页（共6页）（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设点A 是椭圆C 的左顶点，直线,AP AQ 分别与直线4x =相交于点,M N .求证：以MN 为直径的圆恒过点F .（21）（本小题14分）给定数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅.对1,2,,1i n =⋅⋅⋅-，该数列前i 项12,,,i a a a ⋅⋅⋅的最小值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++⋅⋅⋅的最大值记为i B ，令i i i d B A =-. （I ）设数列{}n a 为2,1,6,3,写出123,,d d d 的值；（II ）设12,,,n a a a ⋅⋅⋅(4)n ≥是等比数列，公比01q <<，且10a >，证明：121,,,n d d d -⋅⋅⋅是等比数列；（III ）设121,,,n d d d -⋅⋅⋅是公差大于0的等差数列，且10d >，证明：121,,,n a a a -⋅⋅⋅是等差数列.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）数学参考答案及评分参考一、选择题（共10题，每题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）A（10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分） （11）2（12）1,N n a n n *=+∈（13）sin(2)3y x π=+（14）1a =± （15）②③注：第14题全部答对得5分，只写一个答案得3分,有错误答案得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

三、解答题（共6题，共85分） （16）（共14分）解：选①：在ABC ∆中，1cos 3C =,根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------2分 且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = ------------- 8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分∵1cos 3C =∴sin 3C =-------------12分所以三角形∆ABC的面积是1sin2ABCS ab C∆==分选②：在ABC∆中，1 cos3C=-,当1cos3C=-时，根据余弦定理2222cosc a b ab C=+-. -------------2分又5a b+=，3c=，得到12ab= ------------- 8分此时方程组512a bab+=⎧⎨=⎩无解. ------------- 12分所以这样的三角形不存在. -------------14分选③：在ABC∆中，因为sin C=所以1cos3C=±. -------------2分当1cos3C=时，根据余弦定理2222cosc a b ab C=+- -------------4分且5a b+=，3c=，得到292523abab=-- ------------- 6分所以6ab= -------------8分所以56a bab+=⎧⎨=⎩，解得23ab=⎧⎨=⎩或32ab=⎧⎨=⎩-------------10分所以三角形∆ABC的面积是1sin2ABCS ab C∆==分当1cos3C=-时，根据余弦定理2222cosc a b ab C=+-,又5a b+=，3c=，得到12ab=,此时方程组512a bab+=⎧⎨=⎩无解.所以这样的三角形不存在. ------------- 14分③法二：在ABC ∆中，因为2222()2522a b a b c ++≥=>, 根据余弦定理222cos 2a b c C ab +-=,得到cos 0C > ------------- 2分因为22sin ,C =所以1cos 3C = -------------4分 根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------6分 和5a b +=，3c =，得到6ab = -------------10分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------12分所以三角形∆ABC 的面积是1sin 222ABC S ab C ∆== -------------14分17. （共14分）解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分又Q AO ,1C O 1AC O ⊂平面 ∴1BD AC O ⊥平面 . ------------- 4分 又Q 11AC AC O ⊂平面 ∴1BD AC ⊥ ------------- 5分 （II ）Q 二面角1A BD C --是直二面角∴190C OA ∠=o ∴1C O AO ⊥∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6分∴以O 为原点，如图建系：∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11(,0,)22F∴11(,1,)22DF =u u u r ，31(0,,)22DE =u u u r -------------8分设(,,)n x y z =r是平面DEF 的一个法向量∴1102231022DF n x y z DE n y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r 令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =-r-------------11分又Q 1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC =u u u u r-------------13分∴111cos ,n OC n OC n OC ⋅=⋅r u u u u rr u u u u r r u u u u r= ∴平面DEF 与平面ABD-------------14分18.（本题15分）解：（I ）根据甲班的统计数据可知：甲班每天学习时间在5小时以上的学生频率为0.50.250.050.8++=-------------2分所以，估计高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数为6000.8480⨯=人 -------------4分（II ）甲班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.052⨯=人乙班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.14⨯=人 -------------6分X 的可能值为：0,1,234361(0)5C P x C ===,1224363(1)5C C P x C ===,2124361(2)5C C P x C === -------------9分∴的分布列为：∴X 的数学期望为()0121555E x =⨯+⨯+⨯= -------------12分(III) D D <甲乙 -------------15分19.（本题14分）（I ）1a =时，2()x f x e x =-．()2x f x e x '=-（或在这里求的()2x f x e ax '=-也可以）． -------------2分∴ 0(0)01f e =-=，0(0)01k f e '==-=． -------------4分所求切线方程为1y x =+ ---------------5分（II ）方法一：()2x f x e ax '=-.若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥-------6分即2x e a x ≤恒成立，等价于min ()2xe a x ≤． ----------------7分设()2x e g x x =，则2(1)()2x e x g x x -'=， ---------------8分令()0g x '=得1x =当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()g x 的最小值为e(1)2g = ． ------------------11分所以,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． ------------------12分方法二：()2x f x e ax '=-．若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥--------6分 等价于min (())0f x '≥．设()2x h x e ax =-，()2x h x e a '=-．当(0,)x ∈+∞时，1x e > ----------------7分分类讨论：①当21a ≤，即12a ≤时，()0h x '≥恒成立， 所以()2x h x e ax =-在(0,)x ∈+∞上单调递增， 那么()(0)1h x h ≥=， 所以12a ≤时，满足()0f x '≥． -------------------8分②当21a >，即12a >时，令()20x h x e a '=-=，得ln2x a =． 当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,ln 2)x a ∈上单调递减； 当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(ln 2,)x a ∈+∞上单调递增； 所以函数()h x 的最小值为(ln 2)2(1ln 2)h a a a =- ----------------10分 由2(1ln 2)0a a -≥解得2ea ≤，所以122ea <≤ ． -------------------11分 综上：,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． --------------------12分（III ） 2个-------------------14分20. （本题14分）（I ）由题意得222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1a b c ==---------------------3分故椭圆C 的方程为22143x y +=．-------------------5分（II ）(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-． ------------------6分 由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+,212241234k x x k -⋅=+ --------------8分直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 即116(4,)2y M x +同理：226(4,)2y N x + --------------10分 ∴116(3,)2y FM x =+u u u u r ，226(3,)2y FN x =+u u u r又1212369(2)(2)y y FM FN x x ⋅=+++u u u u r u u u r-------------------11分=121236(1)(1)9(2)(2)k x k x x x -⋅-+++=[]21212121236()192()4k x x x x x x x x -++++++=222222222412836(1)343494121643434k k k k k k k k k --++++-++++ =22229363493634k k k k -⋅+++ =990-=∴以MN 为直径的圆恒过点F . ----------------14分 21. （本题14分）解：（I ）14d =，25d =，32d =． ----------------3分（II ）因为10a >，公比01q <<， 所以 12,,,n a a a L 是递减数列．因此，对1,2,,1i n =-L ，1,i i i i A a B a +==． ----------------5分于是对1,2,,1i n =-L ，1i i i i i d B A a a +=-=-11(1)i a q q -=-． ----------------7分因此 0i d ≠ 且1i id q d +=（1,2,,2i n =-L ）， 即121,,,n d d d -L 是等比数列．----------------9分(III) 设d 为121,,,n d d d -⋅⋅⋅的公差，则0d >对12i n -≤≤，因为1i i B B +≥，所以1111i i i i i i i i i i A B d B d B d d B d A ++++=-≤-=--<-=，即1i i A A +< ------------11分又因为11min{,}i i i A A a ++=，所以11i i i i a A A a ++=<≤．从而121,,,n a a a -L 是递减数列．因此i i A a =（1,2,,1i n =-L ）．----------------12分又因为111111++B A d a d a ==>，所以1121n B a a a ->>>>L ． 因此1n a B =．所以121n n B B B a -====L ． i i i i n i a A B d a d ==-=-． 因此对1,2,,2i n =-L 都有1+1i i i i a a d d d +-=-=-，即121,,,n a a a -L 是等差数列． ----------------14分。