3.2 函数的基本性质(答案版)
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1. 函数的单调性： (1)增函数与减函数
（2）函数的单调性
（3）函数的单调区间
如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。
（4）函数单调性的求法：定义法（取值、作差、变形、定好、结论）、图像法（画出函数图像，根据图像判断单调性）、性质法（主要针对一次函数、反比例、二次函数）。常用结论： 1）复合函数单调性的确定法则--同增异减。 2）函数)(x f y =与函数)(-x f y =的单调性相反。
3）若函数)(x f 恒正或恒负时，函数)(x f y =与函数)
(1
x f y =
的单调性相反。 4）在公共定义域内，增函数+增函数=增函数；增函数-减函数=增函数；减函数+减函数=减函数；减函数-增函数
=
函数的基本性质
知识讲解
减函数。
2. 函数的最大值与最小值
（1）对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y=1x 。如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素。
（2）若函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，则)(x f 的最值必在区间端点处取得，即最大值是)()(b f a f 或，最小值是
)()(a f b f 或
3. 函数的奇偶性
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称．
(2)奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．
(3)若)(),()(),()(x f x f x f x f x f 则且=--=-既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即
,,0)(D x x f ∈=D 是关于原点对称的实数集。
(4)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么它们在公共定义域上，满足：
奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数．
例1：函数322-+=
x x y 的单调递减区间为（ ）
A. (]3--，
∞ B. (]1--，∞ C. [)∞+，1 D. []1-3-， [解析]函数32)(2-+=x x x f 的对称周为直线x=-1，由函数的图象可知该函数在区间(]1--，∞上是减函数，又因为该函数的定义域为(][)∞+⋃∞，，
13--，所以该函数在区间(]3--，∞上是减函数，答案A 。
例2：已知)()(a x a
x x
x f ≠-=
（1）若a=-2，求证：)(x f 在()2--，
∞上单调递增。 （2）若a>0且)(x f 在()∞+，
1上单调递减，求a 的取值范围。 【解析】（1）证明：任设)
2)(2()
(222)()(,2212122112121++-=+-+=
--<
（2）任设)
)(()
(-)()(,1212122112121a x a x x x a a x x a x x x f x f x x ---=--=
-<<则 10.10))(,0)(-)(,0,0212112≤<≤∴>-->∴>->a a a x a x x f x f x x a 综上所述恒成立，只需（要使
例3：已知函数)(x f y =在定义域()11
-，上是减函数，且)12()1(-<-a f a f ，求实数a 的取值范围。 【解析】由题知3201
2111211
11-<<⎪⎩