高中数学第三章概率3模拟方法——概率的应用备课北师大必修3创新
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_14
3模拟方法——概率的应用一、教学分析这部分介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的。
随机模拟部分是本节的重点内容。
几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。
它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。
如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件。
二、教学建议1、本节的教学需要一些事物模型为教具，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果。
在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精确度会越来越高。
2、注意与古典概型的对比。
三、教学目标1、知识与技能（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的计算公式。
2、过程与方法通过师生共同探究，体会几何概型知识的形成过程，提高学生利用数学知识解决实际问题的能力。
通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度价值观通过本节的教学，进一步培养学生用随机的观点认识世界，体会数学在实际生活中的广泛应用，激发学生的学习兴趣。
四、教学重点、难点教学重点：理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率。
教学难点:等可能事件的判断与几何概型和古典概型的区别。
（一）课题引入复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的。
那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢？比如：一个人到单位的时间可能是8:00至9:00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
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§3.3模拟方法——概率的应用教学设计一、教材内容分析《模拟方法——概率的应用》是北师大版高中教材必修三第3章第3节的内容,安排在《随机事件的概率》和《古典概型》两节之后。
本小节共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。
“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。
另外，本节内容的学习，可以帮助学生全面系统地掌握概率知识，体会抽象概括建立模型的思想方法和数形结合的思想方法，为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法。
二、学生情况分析学生之前已经学习了一般性随机事件，概率统计定义以及古典概型.而且有了一定的观察和归纳能力，几何概型的内容可以和古典概型的内容进行类比学习.但是，古典概型研究有限的事件，而几何概型研究无限事件，如何实现两者的过渡以及如何将问题实际背景转化为相应的长度，面积，体积等几何模型是有困难的，需要教师创设好的问题情境，选择好例题，帮助学生形成几何概型的概念，掌握计算方法。
三、教学目标1、过程与方法：通过自主探究、讨论交流，参与概念产生与发展的过程；经历观察、分析、类比等方法，养成逻辑推理能力；感知用图形解决概率问题的方法，渗透化归、数形结合等思想方法。
2、知识与技能：（1）了解模拟方法的基本思想，会用这种思想解决某些具体问题:如求某些不规则图形的近似面积；（2）记住几何概型的概念和特征，了解古典概型和几何概型的区别与联系；（3）掌握几何概型的计算方法和步骤，用几何概型来解决一些纯数学问题和实际生活问题。
3、情感态度与价值观：感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用；充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题；形成从有限向无限探究的意识，养成合作交流的习惯。
四、教学重点与难点重点：几何概型概念的建构和建立合理的几何概型进行简单的几何概率计算。
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北师大版高中数学必修(三)《概率的应用》教学设计课题：模拟方法-----概率的应用问题提出：小明家的晚报在下午5:30~6:30的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6:00~7:00的任何一个时间随机地开始晚餐。
（1）你认为晚报在晚餐之前被送到和晚餐之后被送到哪一种可能性更大？（2）晚报在晚餐之前被送到的概率是多少？猜测：（1）晚报在晚餐之前被送到可能性更大。
（2）概率大约是----（学生猜测估计）动手实践用两个转盘（或随机数表）来模拟上面的过程，一个转盘模拟晚报的送达，另个转盘模拟开始晚餐，两个转盘各转到一次并记录下结果就完成一次模拟。
（1）转动每个转盘50次，并记录下每次结果。
（2）根据全班模拟的结果，估计“晚报在晚餐之前被送到”的概率附：随机数表10 09 78 25 33 76 52 01 35 86 34 67 35 48 7617 39 29 27 49 45 37 54 20 48 05 64 89 47 42 96 24 80 52 40 37 20 63 61 04 02 29 16 65 08 42 26 89 53 19 64 50 93 03 23 20 90 25 60 15 95 33 47 64 35 08 03 36 06 99 01 90 25 29 09 37 67 07 15 38 31 13 11 65 88 67 43 97 04 43 52 76 59 02 80 79 99 70 80验证：方法一、用两个转盘分别模拟晚报送达和开始晚餐时间方法二、用随机数表替代转盘模拟晚报送达和开始晚餐时间模拟实验结果和猜测结果一致证明：方法一、利用线性规划知识可求晚报在晚餐之前被送到概率P= (过程略)方法二、P=P=思考交流（1）设晚报在下午5:45~6:45的任何一个时间随机地被送到，而小明一家人还是在下午6:00~7:00的任何一个时间随机地开始晚餐，“晚报在晚餐之前被送到”的概率较前面的问题是变大还是变小了？将你的结论与同学交流。
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模拟方法——概率的应用一．教学目标：1．通过试验初步体会几何概型及其基本特征；2．会把一些简单的实际问题转化为几何概型，会运用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率问题；3．通过亲身试验，感受数学不仅仅是抽象的符号，还和我们的生活密切相关。
通过试验体会辩证的唯物主义思想，和实事求是的科学作风。
二．教学重点、难点：重点: 将实际问题转化为几何概型求概率的问题难点:如何实际问题转化为几何概型求概率的问题三．教学方法与教学手段：自主探究、数学试验四．教学过程：（一、）复习巩固1．请同学们回忆下求随机事件的概率的方法有哪些呢?2．古典概型的基本特点是什么呢？（二、）创设情景，引入新课：问题1：取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？问题2：取一个边长为2a的正方形及其内图1切圆（如图1）随机地向正方形内射箭,假设射箭都能中靶,求射中圆内的概率为多少？问题3: 有一杯1 L的水,其中有1个微生物,用一个容器从这杯水中取出10ml,求容器中的水含有这个微生物的概率.归纳上述三个问题的特点，引入几何概型。
同时让学生思考古典概型的方法还能用吗？如何几何概率计算呢？进一步分析上述三个概率问题的求法。
问题1分析：剪刀落在中点的时候，显然能够得到符合要求的两段绳子，我继续剪可以么？到什么时候为止？落在中间的点有无穷多，我把这些点全取出。
总基本事件也有无穷多，古典概型的方法还能用吗？怎么处理？练习:取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？问题2分析:由于靶点随机的落在正方形内,而靶点落在圆内时,事件A发生解：记“射中圆内”为事件A，正方形的面积圆的面积=)(A P =4π 答：射中圆内的概率为4π由于问题2的可操作性，下面通过试验“用频率估计概率的方法”来研究它的概率问题。
两人一组合作试验，用扎针来模拟射箭，用针孔代替射箭的靶点。
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几何概型【三维目标】一、知识与技能1.理解几何概型的概念，掌握几何概型的计算公式；2.正确将几何概型问题转化为相应的几何图形，用图形的几何度量进行解决问题。
二、过程与方法1.通过对几何概型四个测度的探究，培养学生的观察力及归纳推理能力；2.通过对长度型与角度型，面积型和体积型的区分，培养学生思维的深刻性和灵活性。
三、情感态度与价值观通过概念的归纳概括，培养学生的观察、分析的能力，积极思维，追求新知的创新意【重点难点】1、重点：理解几何概型的概念，掌握其计算公式；区分几何概型的四种测度，能够准确解决几何概型问题是教学重点。
2、难点：区分几何概型的四种测度，特别是是长度和角度的区别是教学难点。
【教学方法】合作探究、引导学生理解几何概型的概念【教学设计】Ⅰ.回顾：古典概型的特征.基本事件概率的计算Ⅱ.新课引入：一. 思考1 现有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，如何剪才能使得所得两段绳长都不小于1m？思考2 图中两个转盘，甲乙两人玩游戏，规定当指针指向B区域时甲获胜，否则乙胜，在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？二、【新课讲授】知识点一几何概型的含义1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．几何概型与古典概型的异同点 类型异同古典概型 几何概型 不同点一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个 一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 相同点每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等知识点二 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．三．【典例分析】题型一 与长度有关的几何概型在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．例1 取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？变式训练：某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34题型二 与面积有关的几何概型例2 取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.变式训练：花园小区内有一块三边长分别是5 m 、5 m 、6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m 的概率是________．题型三 与体积有关的几何概型a 2例3 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少？变式训练：一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．题型四与角度有关的几何概型例4.如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．变式训练：如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．四、【课堂小结】1.几何概型适用于试验结果是无限多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).五．作业基础：P103 练习4，习题3。
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《模拟方法---概率的应用》教学设计三维目标：知识与技能：使学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；并能够运用模拟方法估计概率。
过程与方法：培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识。
情感、态度与价值观：鼓励学生动手试验，探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习的兴趣。
教学重难点：重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；应用随机数解决各种实际问题．教学过程：创设情境、导入新课：我们做这样一个试验：图1，我们往正方形中随机地撒一把芝麻，假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的（随机撒100粒芝麻，学生统计落在阴影区域A的芝麻数目）。
1.活动：观察落在区域A的芝麻数目与落在正方形内的芝麻数目的比值；计算区域A的面积与正方形的面积的比值；你能发现二者有什么关系？2．假如我们去200粒芝麻、300粒芝麻等你能猜想什么样的结论？3．假设图形换成图2，反复做如上实验，还能得出类似结论吗？动手实践、探究新知：学生动手实践，小组研究，形成结论并展示。
图1 提问1.回顾古典概型的特点和计算公式？答：特点：<1>有限性；<2>等可能性图2 提问2.大家能猜想出来什么样的结论？落在区域内的芝麻数落在正方形内的芝麻数区域的面积正方形的面积提问3.如图, 曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A, 直线x=1, 直线y=1, x轴、y轴围成一个正方形, 你能否设计一个方法求出区域A的近似面积?（小组讨论，教师指导）教师指导：借助如上结论我们可以计算区域A的面积！抽象概括、深入研究：几何概型：向平面上有限区域（集合）G 内随机地投掷点M , 若点M 落在子区域G 1⊂G 的概率与G 1的面积成正比, 而与G 的形状、位置无关, 即 则称这种模型为几何概型.问题1.几何概型与古典概型有何区别？答：<1>无限性 <2>等可能性问题2.几何概型中的这种正比关系与G 的形状、位置有关系吗？答：无关。
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《模拟方法－－概率的应用》教学设计（高中数学必修3第三章第3节）一、教材分析(一)、教材的地位和作用：“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。
本节课注重概念的建构和公式的应用，为体会随机模拟中的统计思想打下基础。
（二）、教学重点与难点重点：正确理解几何概型的概念；用随机模拟的方法估计概率。
难点：掌握几何概型的概率求法，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。
本课是一节概念新授课，因此把掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式作为教学重点。
教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。
此外，学生通过数学建模解决实际问题也较为困难，因此也是本节课的难点。
二、教学目标[知识与技能]（1）体会几何概型的意义，能够运用模拟方法估计概率；（2）了解几何概型的概率计算公式[过程与方法]了解模拟方法估计概率的过程，通过转盘游戏，将有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，感受数学的拓广过程。
通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知解决概率问题的方法。
[情感与态度价值观]体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。
三、教法、学法分析本节课是在采用信息技术和数学知识整合的基础上从生活实际中提炼数学素材，使学生在熟悉的背景下、在认知冲突中展开学习，通过试验活动的开展，使学生在试验、探究活动中获取原始数据，进而通过数与形的类比，在老师的引导、启发下感悟出模拟的数学结论，通过结论的运用提升为数学模型并加以应用，它实现了学生在学习过程中对知识的探究、发现的创作经历，调动了学生学习的积极性和主动性，同学们在亲身经历知识结论的探究中获得了对数学价值的新认识。
3.3模拟方法--概率的应用 教案(高中数学北师大版必修3)
§3 模拟方法——概率的应用●三维目标1．知识与技能使学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；并能够运用模拟方法估计概率．2．过程与方法培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识．3．情感、态度与价值观鼓励学生动手试验，探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习的兴趣．●重点难点重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率；几何概型的概念及应用；体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；应用随机数解决各种实际问题．●教学建议本节课是在采用信息技术和数学知识整合的基础上从生活实际中提炼数学素材，使学生在熟悉的背景下、在认知冲突中展开学习，通过试验活动的开展，使学生在试验、探究活动中获取原始数据，进而通过数与形的类比，在老师的引导、启发下感悟出模拟的数学结论，通过结论的运用提升为数学模型并加以应用，它实现了学生在学习过程中对知识的探究、发现的创作经历，调动了学生学习的积极性和主动性，同学们在亲身经历知识结论的探究中获得了对数学价值的新认识．本课是使学生通过试验掌握用模拟方法估计概率，主要是用分组合作试验、探究方法研究数学知识，因此评价时更注重探究和解决问题的全过程，鼓励学生的探索精神，引导学生对问题的正确分析与思考，关注学生提出问题、参与解决问题的全过程，关注学生的创新精神和实践能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：用试验的方法怎么模拟面积型几何概型⇒引导学生从实物进行试验模拟，通过试验发现利弊，进而激发学生思考其他方法⇒通过引导学生回答所提问题理解几何概型的条件、特征，讨论由几何概型能够解决的问题⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握与长度有关的几何概型问题的解题方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握与面积有关的几何概型问题的解题策略⇒通过例3及其变式训练阐明与体积有关的几何概型问题，使学生明确用几何概型解决问题的基本模式⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正课标解读1.记住几何概型的概念和特点(重点)．2．掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题(重点、难点)．3．了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等(难点).我们做这样一个试验：往一个圆木盘上随意的掷飞镖，飞镖可能落在圆盘上的任何一个位置．1．本试验的结果有多少个？ 【提示】 无数个．2．每个试验结果出现的可能性均等吗？ 【提示】 均等．3．它与古典概型有何区别？【提示】 古典概型中的结果是有限的，而本试验的结果是无限的． 1．模拟方法模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．2．几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．几何概型用来计算事件发生的概率时适用于无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．2．计算步骤①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；②计算基本事件空间与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n 和m .这是计算的难点； ③利用概率公式P (A )＝m n计算.于1 m 的概率有多大？【思路探究】 先确定概率模型为几何模型，再计算．【自主解答】 如图所示，记A ＝{剪得的两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度，为3×13＝1 m ，故事件A 发生的概率P (A )＝13.1．解决本题借助图形更容易理解．2．如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域长度全部试验结果构成的区域长度.函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，则任取一点x 0，求使f (x 0)≤0成立的概率． 【解】 令f (x )≤0，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，所以当所取的点x 0满足－1≤x 0≤2时，f (x 0)≤0成立．又区间[－5,5]的长度为10，区间[－1,2]的长度为3，因此在区间[－5,5]上任取一点x 0，使f (x 0)≤0成立的概率为310.【思路探究】 先利用图形找到点P 所落的区域，再利用面积比求概率．【自主解答】 如图，作AD ⊥BC ，垂足为D ，设ED ＝13AD ，则AE ＝23AD .过E 作MN∥BC ，则MN ＝23BC .∴S △AMN ＝12MN ·AE ＝12×23BC ×23AD ＝49×12BC ·AD ＝49S △ABC .设事件A ：“△PBC 的面积小于3”，而点P 落在△ABC 内任一点的概率相同，当点P 落在MN 上时，S △PBC ＝13S △ABC ＝3.当点P 落在线段MN 上部时，S △PBC >13S △ABC ＝3.当P 落在线段MN 下部时，S △PBC <13S △ABC ＝3.∴事件A 的概率只与四边形BCNM 的面积有关，属几何概型．∵S △ABC ＝9，S △AMN ＝49S△ABC ＝4，∴P (A )＝S △ABC －S △AMN S △ABC＝9－49＝59.如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种模型称为面积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域面积全部试验结果构成的区域面积.一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．【解】 海豚在水中自由游弋，其在水池中的哪个位置是等可能的，故为几何概型，如图所示：区域Ω是长30 m ，宽20 m 的长方形，图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积30×20－26×16＝184(m 2)．P (A )＝184600＝2375≈0.31，即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率数为0.31.1111锥M －ABCD 的体积小于16的概率．【思路探究】 解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．【自主解答】 如图，正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1.设M －ABCD 的高为h ， 则13×S ABCD ×h <16. 又S ABCD ＝1，∴h <12，即点M 在正方体的下半部分，∴所求概率P ＝12V正方体V 正方体＝12.1．这是一道与体积有关的几何概型题，事件的全部结果对应的区域就是棱长为1的正方体，所求事件须满足V M －ABCD <16，结合体积公式可确定点M 在正方体内的位置，从而解决问题．2．体积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域体积全部试验结果构成的区域体积.在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离都大于13棱长的概率．【解】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离都大于13棱长(即大于1)，则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的定义，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.选错几何度量致误在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．【错解】 设“AM ＜AC ”为事件A .在边AB 上取AC ′＝AC ，在∠ACB 内任作射线CM可看作是在线段AC ′上任取一点M ，过点C 、M 作射线CM ，则概率为P (A )＝AC ′AB ＝ACAB＝22. 【错因分析】 虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C 和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，因此不满足几何概型的条件．【防范措施】 弄清基本事件的度量是正确解答本题的关键，本题基本事件的度量是∠ACB 的大小而不是线段AB 的长度．【正解】 设“AM ＜AC ”为事件A ，在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 在任何位置都是等可能的，在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝67.5°，故满足条件的概率为P (A )＝67.590＝0.75.几何概型的计算步骤：判断是否为几何概型↓确定并计算基本事件空间↓计算事件A 所含基本事件对应的区域的几何度量↓代入公式计算图3－3－11．如图3－3－1所示，在地面上水平放置一个塑料圆盘，某人将一个玻璃球随意丢到该圆盘中，则玻璃球落在A 区域的概率应为( )A.12B.18C.14D ．1 【解析】 总区域是圆的整个区域，A 对应区域占整个圆的12，所以球落在A 区域的概率为12，故选A.【答案】 A2．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂上一盏灯，则灯与木杆两端的距离都大于2 m 的概率是( )A.13B.12C.16D.14 【解析】 把绳子三等分，当灯挂在中间一段绳上时，灯与木杆两端的距离都大于2 m ，故所求概率为13.【答案】 A3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台即乘上车的概率是________．【解析】 总的时间段长为10 min ，在车站停1 min ，∴P ＝110.【答案】 1104．在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有带麦锈病的种子的概率是多少？【解】 记D ＝{取出10毫升种子中含有带麦锈病的种子}，则P (D )＝取出的种子体积所有种子的体积＝101 000＝0.01.一、选择题1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )A ．0.008B ．0.004C ．0.002D ．0.005【解析】 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_0
几何概型的教学设计
【教学目标】
1、知识与技能
几何概型的含义及其基本特征
求解几何概型的基本步骤
情感、态度与价值观目标
化
【教学重难点】
【学情分析及教学内容分析】
本节课是在学生已经学习了用频率去估计概率以及几何概型的基础
能性的一种定
量分析。
学生已经能够较熟练的解决古典概型的相关问题。
生活中其实大量存在
的位置、向
有很多生活上本节课是在学生已经学习了用频率去估计概率以及几何
能性的一种定
量分析。
学生已经能够较熟练的解决古典概型的相关问题。
生活中其实大量存在
的位置、向
有很多生活上
是停留在感
学生在理解几何概型时因为古典概型的有限性通常会把它向古典概
几何概型的含
困难的地方。
几何概型作为等可能事件概率的另一种模型在整个概率这一章有着重要的
将实际问题给
程中体现了由数到形的思想以及转化的思想。
本节和古典概型共同构成了等可能事件概率的
完整内容。
高中数学 第三章 概率 3 模拟方法——概率的应用教案 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学教案
§3 模拟方法——概率的应用整体设计教学分析这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子.本节的教学需要一些实物模型为教具,教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件.三维目标1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式： P(A)=)(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型.思路2.图1中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?图1为解决这个问题,我们学习几何概型.思路 3.在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.推进新课新知探究提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭,假设射箭能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反).每种结果出现的概率相等,P(正,正)=P(正,反)=P(反,正)=P(反,反)=41.两次出现相同面的概率为41+41=21. (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如图2,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31, 图2于是事件A 发生的概率为P(A)=31. 第二个问题,如图3,记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的,而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的,即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式： P(A)=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件发生的概率是古典概型,还是几何概型.(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;(2)如图4所示,有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.图4活动：学生紧紧抓住古典概型与几何概型的区别与联系,然后判断.解：(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性,而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.活动：学生分析,教师引导,假设他在0—60之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但0—60之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在0—60之间的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型的概率计算公式计算.解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A,打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内则事件A 发生.由几何概型的求概率公式得P(A)=6160)5060(=-，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为61. 打开收音机的时刻X 是随机的,可以是0—60之间的任何时刻,且是等可能的.我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 称为［0,60］上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上).解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记A g ={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A g )=53=Ω的长度的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例 1 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于20分钟的概率.活动：假设他在0—60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：设A={等待的时间不多于20分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于［40,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=60)4060(-=31. 即此人等车时间不多于20分钟的概率为31. 点评：在本例中,到站等车的时刻X 是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 为［0,60］上的均匀随机数.变式训练在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30—6：30之间任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6：00—7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐,则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题,设法利用几何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐标系,如图5中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G.设晚餐在x(6≤x≤7)时开始,晚报在y(5.5≤y≤6.5)时被送到,这个结果与平面上的点(x,y)对应.于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应.图5由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐开始之前被送到,当且仅当y<x,因此图5中的阴影区域g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g 的面积为87,G 的面积为1.由几何概型的概率公式,“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为P(A)=87=的面积的面积G g . 变式训练在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫升种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率. 解：取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P(A)=0.01.答：取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.知能训练1.已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率. 答案：由几何概型知,所求事件A 的概率为P(A)=111. 2.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m 的概率.答案：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)=62=31. 3.在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是( )A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定 答案：C提示：由于取水样的随机性,所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比5002=0.004. 4.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线,把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.图6答案：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M,如图6所示,这样线段OM 长度(记作OM)的取值范围就是［0,a ］,只有当r ＜OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A 的概率就是P(A)=ar a a a r -=的长度的长度],0[],(. 拓展提升1.约会问题两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙两人各自到达的时刻)组成.以8点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以x,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20.图7这是一个几何概型问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出(如图7).所求概率为P=95604060222=-=的面积的面积G g . 2.〔蒲丰(Buffon)投针问题〕平面上画很多平行线,间距为a.向此平面投掷长为l(l<a)的针,求此针与任一平行线相交的概率.解：以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定：针的中点与最接近的平行线之间的距离x,针与平行线的交角φ(见图8).样本空间为Ω：{(φ,x)|0≤φ≤π,0≤x≤2a }为一矩形.针与平行线相交的充要条件是g ：x≤21sinφ(见图9). 所求概率是P=ππϕϕπa l a d l g 22sin )2(0=••=Ω⎰的面积的面积. 图8 图9注：因为概率P 可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N 次(或一次投针若干枚,总计N 枚),统计与平行线相交的次数n,则P≈N n .又因a 与l 都可精确测量,故从N n a l ≈π2,可解得π≈anlN 2.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3 408次,算得π≈3.141 592 9,其精确度已经达到小数点后第六位.设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径.课堂小结几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.作业习题3—3 A 组1、2.设计感想本节课首先对古典概型进行了复习,使学生掌握古典概型的适用条件,巩固了古典概型的概率计算公式,接着设计了多个试验,从课题的引入,到问题的提出都非常有针对性,引人入胜,接着从新的问题中引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型,并通过探究,归纳出几何概型的概率计算公式,同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系,通过思路1和思路2两种不同的例题类型和层次,加深理解和运用,由于它们与实际生活联系密切,所以要反复练习,达到为我们的工作与生活服务,然而这部分内容在高考中是新内容,因此同学们要高度重视,全面把握,争取获得好成绩.。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_8
模拟方法—概率的应用一、教材分析与学情分析本节课是在初中学习过的古典概型与上一节学习过的古典概型的的基础上的另一类等可能事件的概率模型，是高中数学中与现实生活联系非常密切的数学知识，是历年高考重点考察的知识点.通过初中和高中的学习，学生已经了解古典概型的特点，事件发生的结果的有限性和等可能性.会用列举法找基本事件，会用古典概型的概率计算公式求互斥事件、对立事件的概率.二、教学目标1.知识与技能：正确理解几何概型的概念，能区分与判断古典概型与几何概型，掌握几何概型的概率计算公式进行概率的计算.2.过程与方法：经历模拟试验探究几何概型的概率计算公式的过程，学习运用模拟的方法求几何概型事件的概率的方法.3.情感态度与价值观：通过本节课的学习，使学生感受到数学理论知识来源于实践，并服务于实践的辩证唯物注意观点.4.数学核心素养：三、教学重点与难点1.教学重点：几何概型的概念、公式及应用和随机模拟试验估计.2.教学难点：几何概型与古典概型的区别与联系.四、教学过程（一）复习与导课【教师活动】提问：（1）古典概型的特点是什么？（2）古典概型的概率计算公式是什么？【学生活动】回答问题：（1）试验的结果是有限的；每个试验的结果的出现是等可能的。
（2）nm A P 件数试验结果包含的基本事包含的基本事件数事件 【教师活动】问题：某同学进行投飞镖游戏，假设该同学每次投飞镖落入如图区域内每个位置的可能性是相同的。
那么，他在某一次投飞镖时，飞镖落入阴影部分的概率是多大？思考：这些试验出现的结果有多少个？是古典概型吗？【学生活动】出现的结果有无穷多个，每个结果出现的可能性相同，不是古典概型。
【教师活动】导出课题：像这样的概率问题，称之为几何概型。
（二）新课教学1. 几何概型的概念【教师活动】我们把试验的结果有无限种且每个结果都等可能出现的概率模型，称为几何模型。
其特点：（1）每次试验只有一个结果，每个结果出现的可能性相同；（2）试验出现的结果是无限的。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_11
数学高一必修3北师大版第三章第三节《模拟方法--概率的应用》第一课时教学设计教材分析：教材是在上一节古典概型基础上的另一类等可能性概型,是高中数学与现实生活联系非常紧密的一部分.在历年高考中占很大的比重,通过解决具体问题,体会数学知识与现实世界的联系,增强学生严谨的思维习惯.本文针对第一课时进行教学设计。
学情分析：学生通过前面知识的学习，知道了可以通过做大量的重复试验,用随机事件发生的频率来估计其概率.但是,人工试验费时费力,并且有时难以实现.因此我们还学习了利用古典概型的概率公式可以解决某一类特殊的概率求解的问题.但是,古典概型要求的可能的结果有限而且每一个结果出现的可能性相等.所以,对于既不是古典概型又不能直接进行大量的重复试验来求事件的概率问题,比如试验结果无限的随机事件,就需要有一种既简便又有效的方法来解决.为了解决结果无限的随机事件的概率问题,又考虑到高一学生的认知能力，关于这一问题的阐述应多采用生活实例以突破。
教学策略：本节课本着以“教师为主导，学生为主体”的教学原则，引导学生进行合作探究。
教师通过设计多种探究活动，开展小组合作探究，引导学生进行观察、比较、讨论、推测、交流、点评等一系列学习活动，成为学习的主动探索者。
本节课还采用多媒体教学手段，通过ppt图片、flash动画等，使抽象知识直观化，提高学生的学习兴趣和降低学生的认知难度。
课时：1课时课型：新授课一．教学目标：1.了解几何概型的定义及其特点.2.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.3.会用模拟方法估计某些随机事件的概率和不规则图形的面积．4.了解数形结合的思想在概率中的应用二．教学重点：几何概型的概念,公式及应用.三. 教学难点：几何概型与古典概型的区别与联系,寻找最优的几何概率模型.四.情感,态度价值观通过师生共同探讨和学习几何概型的过程,养成勤学严谨的学习习惯,培养逻辑推理能力,自觉养成动手动脑的良好习惯.五．教学方法：探究式教学法与多媒体教学法相结合六．教学准备：教学幻灯片（PPT）、本课导学稿七.教学过程：。
高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法—概率的应用学案
3模拟方法——概率的应用
学习目标课标描述：初步体会几何概型的意义.
学习目标分解：1、学生通过试验、交流，结合对实例的分析，体会学习几何概型的必要性；
2、学生通过讨论、类比，能说出古典概型和几何概型的区别和联系；
3、学生通过体验，能总结几何概型的意义，并会利用几何概型概率公式求简单
问题的概率.
学习重点：几何概型的意义.
学习难点：几何概型中随机试验结果个数的无限性理解.
学习方法：试验、交流、归纳等方法的综合应用.
学习过程：
Ⅰ、体验与思考
情境一、甲、乙二人玩转盘游戏.如图，规定当指针指向阴影区域时，甲获胜，否则乙
获胜. 分析：1、所有可能的试验结果与甲获胜包含的试验结果；2、能否用古典概型公
式求甲获胜的概率，为什么？
情境二、长为3米的绳子，从中间随机剪开，则得到的每段绳长都不小于1米的概率是多少?
归纳：以上两个问题的共同特点是什么？如何求以上两个随机事件发生的概率？
Ⅱ总结
阅读课本P135～P136，
回答：什么是几何概型？其概率公式是什么？
举例说明：举一个几何概型的实例.
比较并探究：古典概型与几何概型的区别与联系是什么？
Ⅲ应用
阅读课本P136例1.
思考：若等待时间不超过20分钟，则概率是多少？
例2 如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，
半径分别为2cm、4cm、6cm.某人站在3m外向此板投镖，设镖击中线上或没有击中都不算，可重
投.问：
(Ⅰ)投中大圆的概率是多少？
(Ⅱ)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(Ⅲ)投中大圆之外的概率是多少？
（图2）（图3）
（图1）
G。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_3
模拟方法――概率的应用一、教材分析1、教材的地位与作用模拟方法是北师大版必修3第三章概率第3节，也是必修3最后一节，本节内容是在学习了古典概型的基础上，用模拟方法估计一些用古典概型解决不了的实际问题的概率，使学生初步体会几何概型的意义；而模拟试验是培养学生动手能力、小组合作能力、和试验分析能力的好素材。
2、教学重点与难点教学重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率；几何概型的概念及应用教学难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；二、教学目标：1、知识目标：使学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；并能够运用模拟方法估计概率。
2、能力目标：培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识。
3、情感目标：鼓励学生动手试验，探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习的兴趣。
三、过程分析1、创设良好的学习情境，激发学生学习的欲望以实验和问题引导学习活动，使学生经历“数学化”、“再创造”的过程通过两个实验：（1）取一个矩形，在面积为四分之一的部分画上阴影，随机地向矩形中撒一把豆子（我们数100粒），统计落在阴影内的豆子数与落在矩形内的总豆子数，观察它们有怎样的比例关系？（2）反过来，取一个已知长和宽的矩形，随机地向矩形中撒一把豆子，统计落在阴影内的豆子数与落在矩形内的总豆子数，你能根据豆子数得到什么结论？让学生分组合作，利用课前准备的材料进行试验、讨论、分析，使学生主动进入探究状态，充分调动学生学习积极性，使他们感受到探讨数学问题的乐趣，培养学生与他人合作交流的能力以及团队精神。
根据各小组试验结果，提出问题，引导学生进行猜想，得出结论：矩形面积阴影部分面积＝落在矩形内的豆子数数落在阴影部分内的豆子 使学生了解结论产生的背景，轻易地理解了这个结论，并培养学生数据分析能力、抽象概括能力。
让他们感觉到数学定理、结论其实离他们很近，增强学生学习的动力和信心。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_13
)()()(n m A A P 基本事件的总数包含的基本事件数§3.3.1模拟方法----概率的应用一、教学目标知识与技能：理解几何概型的概念，能识别几何摡型并会用其概率公式求解； 过程与方法：经历从具体到抽象、特殊到一般的思维过程，体会数学建模的一般方法，通过问题求解，理解并领会将实际问题或一般数学问题转化为几何问题的解题策略；情感态度与价值观：在实际问题数学化的过程中，感受数学与现实世界的联系；在探索交流活动中，感受合作的乐趣，提高学习的兴趣。
二、教学重难点重点：几何摡型概念的建构。
难点：几何概率模型中基本事件的确定，几何“测度”的选择；将实际问题转化为几何概型。
本节课以直观观察为主线，采用“引导发现、归纳猜想”为主的教学方法；以“课题性问题和导向性问题解决”作为教学路径，利用多媒体辅助教学手段。
四、教学过程1.复习回顾（1）古典概型特征:1.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2.每个基本事件出现的可能性相等.（2）古典概型公式：【设计意图】复习古典概型，为后面几何概型的学习做铺垫。
2.问题引入问题1：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子（假设豆子能落在正方形区域内且豆子面积不计），求豆子落入圆内的概率．，的面积的面积落在点G G G M P 11)(=⊂.、体积)D的测度(长度、面积、体积)d的测度(长度、面积P(A)=≠思考： （1）圆的半径（或面积）和它的位置变化时，概率变化吗？（2）豆子落在圆内的结果是有限个吗？（3）豆子落在圆内的每一个位置可能性相同吗？概括——随机模拟的常用方法：（1）直接试验法：如教材中的向正方形中撒芝麻和使用转盘模拟试验过程等。
（2）随机数表法：随机数表是由数字0,1,2,···,9组成的, 并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的；（3）利用计算机或计算器产生随机数模拟试验：用计算机软件产生随机数,比如用Excel 软件产生随机数。
《模拟方法--概率的应用》公开课教学设计【高中数学必修3(北师大版)】
《模拟方法--概率的应用》教学设计模拟方法是北师大版高中数学必修3第三章第三节，也是必修3最后一节。
本节内容,是在学习了古典概型的基础上，用模拟方法估计一些用古典概型解决不了的实际问题的概率，使学生初步体会几何概型的意义；而模拟试验是培养学生动手能力、小组合作能力和试验分析能力的好素材。
【知识与能力目标】（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P（A）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。
【过程与方法目标】（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
【情感态度价值观目标】本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
【教学重点】记住几何概型的概念和特点，掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题。
◆教学重难点◆◆教材分析◆教学目标【教学难点】了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、 导入部分在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。
例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
二、研探新知，建构概念1.模拟方法：模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验。
2.几何概型：向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即 P (点M 落在G 1)＝G 1的面积（长度或体积）G 的面积（长度或体积），则称这种模型为几何概型。
最新高中数学 第三章 概率 备课资料模拟方法-概率的应用学案 北师大版必修3
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精选word 文档 下载后可编辑打印 模拟方法-概率的应用
学习提示
模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法
.学习导航
1.能用模拟方法来估计随机事件的概率.
2.了解模拟方法的基本思想,会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等.
3.结合实例，体会概率思想在实际中的应用.
知识链接
利用随机事件的等概率性，结合区域面积估计随机事件的概率.
互动学习
1.有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向A 区域时甲获胜，当指针指向B 区域时乙获胜.其中指针指向某一处的概率相同，且A 、B 两区域把圆盘面积平分，则甲乙两人获胜的概率分别为________.
2.在一个鱼缸中盛有10 L 水，里面养着10条小鱼，用一个比较大的水杯盛出1 L 水，这个水杯中用概率思想估计有________条鱼.
答案：1.
21和2
1 2.1。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_1
几 何 概 型教学目标：纵观近几年高考所涉及几何概型的考查内容特点是与实际生活密切相关，这就要求抓好破势训练，从不同角度，不同侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷1．了解几何概型的意义．基础知识 自主学习要点梳理如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度___ __(___面积_或_体积___)成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型,简称为_____几何概型_____.2.几何概型中,事件A 的概率计算公式P(A)=3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点:(1)无限性：在一次试验中,可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.4.几何概型的试验中,事件A 的概率P(A)只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A 的位置和形状无关.5.求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占区域和整个区域 的几何度量,然后代入公式即可求解.（一）与长度有关的几何概型例1:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A待的时间不多于10分钟的概率.解: 设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为1/6知能迁移1 平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm 的硬币任意平抛在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( )A. B. C. D. 解析 如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰,故所求概率为题型二 与面积(或体积)有关的几何概型在边长为2的正△ABC 内任取一点P, 则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率 是_____.解析 以A 、B 、C 为圆心,以1为半径作圆,与△ABC 交出三个扇形, 60501(),606P A -==41312132.31=P当P 落在其内时符合要求.题型三 与角度有关的几何概型【例3】在Rt △ABC 中,∠A=30°,过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M,求使|AM|>|AC|的概率.如图所示,因为过一点作射线是均匀的,因而应把在∠ACB 内作射线CM 看做是等可能的,基本事件是射线CM 落在∠ACB 内任一处,使|AM|>|AC|的概率只与∠BCC ′的大小有关,这符合 几何概型的条件.知能迁移3 在圆心角为90°的扇形AOB 中,以圆心O 为起点作射线OC,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.解 如图所示,把圆弧AB 三等分,则∠AOF=∠BOE=30°,记A为.6π3243)13π21(322=⨯⨯⨯⨯=∴P“在扇 形AOB 内作一射线OC,使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”,要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°,则OC 就落在∠EOF 内,四：几何概型的应用 例1： 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙.319030)(=︒︒=∴A P两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域,而事 件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分 表示. 由几何概型的概率公式得： 所以,两人能会面的概率是 探究提高 (1)甲、乙两人都是在6~7时内的任意时 刻到达会面地点,故每一对结果对应两个时间,分别用 x,y 轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中 正方形内的任一点.(2)找出事件A 发生的条件,并把它在图中的区域找出 来,分别计算面积即可.(3)本题的难点是把两个时间分别用x,y 两个坐标表 示,构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问 题转化为平面图形的二维面积问题,进而转化成面积 型几何概型的问题.思想方法 感悟提高方法与技巧.167600302526003604560)(222=-=-==S S A P A .1671.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关,只与该区域的大小有关.2.几何概型的“约会问题”已经是程序化的方法与技巧,必须熟练掌握.失误与防范几何概型具有无限性和等可能性两个特点.无限性是指在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的.因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的,同属于“比例解法”,即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形长度(面积或体积)”与“试验的基本事件所占总长度(面积或体积)”之比来表示.。
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高中数学 第三章 概率 3 模拟方法——概率的应用备课资料 北师
大版必修3
几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.
1.与长度有关的几何概型
例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？
分析：由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.
解：记两段木棍都不小于3米为事件A,
则P(A)=5
2103310=--. 2.与面积有关的几何概型
这里有一道十分有趣的题目：
例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的4
3,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？
分析：这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.
图10
解：不妨设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个
41×41的小正方形内(如图10),这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的8
3. 整个方几的面积为1×1=1,而中央小正方形的面积为41×41=16
1,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为16
11161
=. 例3 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？
图11
解：设甲到的时间为(9+x)小时,乙到的时间为(9+y)小时,则0≤x≤1,0≤y≤1.
点(x,y)形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形,以(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)为顶点(如图11).
由于两人都只能停留5分钟即
121小时,所以在|x-y|≤12
1时,两人才能会面. 由于|x-y|≤121是两条平行直线x-y=121,y-x=12
1之间的带状区域,正方形中除去这个带状区域是两个三角形,其面积之和为(1-121)×(1-121)=(12
11)2. 从而带形区域在这个正方形内的面积为1-(1211)2=14423,因此所求的概率为14423114423
. 3.与体积有关的几何概型
例4 在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？
分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的,取得的1升水可以看作构成事件的区域,5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可能用体积比公式计算其概率. 解：“取出1升水,其中含有病毒”这一事件记作事件A,
则P(A)=所有水的体积取出的水的体积=5
1=0.2. 从而所求的概率为0.2.
现在我们将这个问题拓展一下：
例5 在5升水中有两个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？
分析：此题目与上一题有一点区别,即现在在5升水中含有两个病毒,我们不妨将这两个病毒分别记作病毒甲和病毒乙.随机地取1升水,由上题我们可知含有病毒甲的概率为
51,含有病毒乙的概率也是5
1,而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况,所以应当将这种情况去掉.
解：记“取1升水,含有病毒甲”为事件A ；“取1升水,含有病毒乙”为事件B,则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件AB.
从而所求的概率为P=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=51+51-51×51=25
9=0.36. 4.与角度有关的几何概型
例6 在圆心角为90°的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.
图12
解：设事件A 是“作射线OC,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”,则
μa =90°-30°-30°=30°,而μΩ=90°,由几何概型的计算公式得P(A)=3
19030==Ω μμA . 注意：在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.
(设计者：王利)。