经济数学第六章不定积分

陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章不定积分【圣才出品】

第6章　不定积分6.1　复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。

（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。

2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。

（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。

2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。

三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。

若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。

（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。

这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。

对作变量代换，则。

不定积分在经济问题中的应用教学课件

《不定积分在经济问题中的应用教学课件ppt》xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•不定积分简介•不定积分在经济问题中的应用•不定积分在经济问题的实际案例分析•不定积分在经济问题中的未来发展趋势及展望01不定积分简介不定积分的定义不定积分是微分的逆运算，可以理解为求一个函数的原函数或反导数。

定义：若函数f(x)的某一原函数为F(x)，则f(x)的不定积分就是F(x)+C，其中C是任意常数。

记作：∫f(x)dx线性性质∫(kf(x))dx=k∫f(x)dx，k为常数积分区间性质若f(x)在[a,b]上连续，则有∫(f(x))dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。

微分性质d/dx∫f(x)dx=f(x)，即求不定积分时，积分符号内的函数正好是原函数的导数。

010203按照函数类型分类幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

按照难度和复杂程度分类简单不定积分和复杂不定积分。

02不定积分在经济问题中的应用通过使用不定积分，我们可以解决投资组合问题，优化资产配置。

总结词不定积分在投资组合问题中有着重要的应用。

投资组合问题主要研究如何分配资产以最小化风险，并最大化收益。

不定积分可以用于解决这类问题，通过建立数学模型，计算出最优的资产配置比例。

例如，假设我们有两个资产，每个资产都有不同的预期收益和风险，我们可以通过不定积分来找到最优的投资组合比例，以最大化收益并最小化风险。

详细描述投资组合问题总结词不定积分在消费理论中也有着重要的应用，主要研究消费者的购买行为和消费习惯。

详细描述消费理论主要研究消费者的购买行为和消费习惯。

不定积分在这个领域也有着重要的应用，例如，我们可以使用不定积分来计算消费者的最优消费路径。

假设我们有一个消费者，他有一定数量的资金，他需要在一定时间内消费完这些资金。

我们可以通过不定积分来计算出最优的消费路径，使得消费者可以最大化他的效用。

消费理论总结词不定积分在经济增长问题中也有着重要的应用，主要研究如何实现经济的持续增长。

不定积分在经济问题中的应用教学课件ppt

增强竞争力
掌握不定积分可以增强个人在经济领域的竞争力，因为不定积分在经济问题求解中具有广泛的应用前景，掌握它可以更好地理解和解决各种经济问题。
THANKS
感谢观看
04
不定积分在经济学中的进一步应用
不定积分在供需理论中的应用
供需平衡
不定积分可用于求解供需平衡方程，通过分析需求和供应的变动，为政策制定者提供依据。
弹性分析
不定积分可以用于计算需求和供应对价格的弹性，帮助政策制定者理解价格的变动对市场的影响。
不定积分在货币政策中的应用
货币供应
不定积分可以用于计算货币供应函数，解释货币供应如何影响经济活动。
区域经济学
区域经济学研究区域经济发展和规划的规律，不定积分可以用来建立和分析区域经济发展的模型，解释区域经济现象，预测区域经济发展趋势。
不定积分在经济问题中的局限性
定积分更精确
定积分比不定积分更精确，可以用来求解具体的经济问题，而不定积分只能用来建立经济模型，不能直接求解经济问题的具体答案。
以找到边际利润，这是企业进行利润最大化决策的重要依据。
不定积分在经济学中的未来发展
未来发展方向
随着经济学理论的不断发展，未来不定积分在经济学中的应用将更加广泛。例如，随着大数据和人工智能技术的不断发展，未来不定积分在经济学中可以用来建立更加精确和复杂的模型，从而更好地解释现实经济现象。
未来应用前景
通过不定积分，我们可以求出成本函数的不定积分，即得到总成本函数。总成本函数是一个关于产量或规模的函数，通过求导数，我们可以得到边际成本函数。边际成本函数可以描述每增加一单位产量所增加的总成本，从而帮助企业找到最小成本点。
利用不定积分解决收益最大化问题

经济数学不定积分的概念与性质

简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sixn co xssix n C cx os
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F (x ) f(x )，则对于任意常数 C，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数 . （2）若F(x) 和 G(x)都是 f (x) 的原函数，
3. 积分曲线,积分曲线族； 4. 平行； 5. 连续；
6.
2
5
x2
C；
7.
2
3
x2
C；
5
3
8. x 3 3 x 2 2x C ； 32
9.
x3
2
5
x2
2
3
x2
x
C；
35 3
10.
2
x
4
3
x2
2
5
x2
C.
35
二、1. x arctan x C ；
3. x sin x C ； 2
5. 4( x 2 7) C ； 74 x
f(x )d x g (x )d x f( x ) g ( x ).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2 ) k f(x )d x kf(x)dx.
（ k是常数， k0 )
例5
求积分
(13x2
2 )dx. 1x2
解
(13x2
2 )dx 1x2
311x2dx2
4. 由F ' ( x) f ( x)可知，在积分曲线族 y F( x) C
( C是任意常数)上横坐标相同的点处作切线，这

第六章不定积分《高等数学》课件

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例求co2s2xdx.
解
cos2
x 2
dx
1c2osxdx
12(dxcoxsdx)
1(xsinx)C 2
例求tan2xd.x
解 tan2xdx(se2xc1)dx
se2x cdx dx ta x x n C
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例求不定积分
1 d x. x3 x
证明：
[ k f ( x ) d x ] k [ f ( x ) d x ] k f ( x ) [ k f ( x ) d x ] .
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五、积分的应用模型实例
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由于经济函数的边际就是经济函数的导数，所以，由经济函数的边际通过计算不定积分，即可求出经济函数。步骤如下：
证明： f(x )d x F (x ) C , ( F (x ) C ) f(x ) 结论性质：2 F (x )d x F (x ) C , d(F x)F (x)C .
注：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.两个运算在一起时，
d 完全抵消， d 抵消后相差一常数。
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(12)
dx co2sx
se2cxdxtaxn C;
(13)
dx sin2 x
cs2cxdxco x tC ;
(1)4sexc taxndxsexcC;
(1)5csxcoxtdxcsxcC.
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四、不定积分的性质
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由不定积分的定义知，若 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 的原函数，即

经管类高等数学第六章

（5） f(a rc sin x )1 1 x 2d x f(a rc sin x )d (a rc sin x )
（6）
1
f(a rc ta n x )1 x 2d x f(a rc ta n x )d (a rc ta n x )
（7） f(ex)exd xf(ex)d(ex)
第六章不定积分
第一节不定积分的概念与性质第二节不定积分的基本积分公式第三节不定积分的换元积分法第四节不定积分的分部积分法
下一页
第一节不定积分的概念与性质
一、原函数二、不定积分的概念三、不定积分的性质
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引例 1 : 已知函数 f (x) x2, 则 f(x)2x, 若 f(x)2x, 则 f (x) ?
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例6.11
求

a2
1
x 2 dx
(a

0).
解
1 a2 x2dx
1 a2
1

1 x a

2
dx

1 a

1
1 x a

2
d

x a

1arctan x C
a
a
类似地,
1 dxarcsinxC.
a2x2
a
那么 sin3xdx13sinudu
1 cosu C 1cos3xC.
3
3
容易验证 1 cos 3 x 是 sin3x 的一个原函数. 3
由上面的例子可以看到,这种积分的基本思想是先凑微分的形式,再作变量代换,把要计算的积分化为基本积分公式中所具有的形式,求出积分后,再还原为积分变量.

《不定积分教学》课件

不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于求解电场、磁场、电流等物理量的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分或已知的积分。通过换元，可以将不定积分的被积函数转化为更易于处理的形式，从而简化计算过程。

《不定积分》课件

幂函数的积分
幂函数的不定积分可以通过幂函数的求导公式来推导得到。
指数函数的积分
指数函数的积分也是通过指数函数的求导公式来得到的。
三角函数的积分
三角函数的不定积分是一种特殊的求导法则，通过观察和记忆可以得到不同三角函数的积分。
逐步深入
1
分部积分法
分部积分法是用于求解复杂函数积分的
代换积分法
《不定积分》PPT课件
# 不定积分 PPT课件数学是一门神奇的学科，而不定积分是数学中的重要概念。本课程将带你深入了解不定积分的基本概念和应用，希望能够为你打开一扇新世界的门。
前言
什么是积分？
积分是求函数面积的一种方法。它们可以帮助我们理解曲线下是求函数原函数的过程。它们允许我们找到导数的反函数。
2
一种方法。它能够将一个复杂的积分问题变成两个简单的积分问题。
代换积分法是通过变量代换的方式将一
个复杂的积分转化为一个简单的积分。
3
分式积分
分式积分是对有理分式进行积分的方法。它可以帮助我们求解一些特殊的积分问题。
总结
不定积分的应用场景
不定积分在物理，经济学和工程学等领域中具有广泛的应用。它们帮助我们解决实际问题。
3 参考文献
学习不定积分的过程中，阅读参考文献可以加深理解和拓宽知识面。
总结不定积分与定积分的区别
虽然不同积分有相似的计算过程，但它们应用的场景和意义有所不同。
意义与应用
不定积分是数学中的重要工具，它们不仅可以帮助我们理解函数，还可以解决各种数学问题。
结语
1 疑问解答
如果你对不定积分还有疑惑或问题，现在是时候提问了！
2 课程反馈
帮助我们改进课程的反馈对我们来说非常重要。请在课程结束后填写反馈表。

不定积分课件

详细描述
换元积分法适用于被积函数较为复杂的情况，通过引入新的变量进行替换，可以将不定积分转化为更易计算的形式，从而简化计算过程。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行不定积分运算，将问题转化为求两个函数的导数的问题。
详细描述
分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积形式，通过将其中一个函数进行不定积分运算，将问题转化为求另一个函数的导数的问题，从而简化计算过程。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
不定积分的计算方法
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算方法，通过将原函数进行不定积分运算，得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通过凑微分、变量替换等方式，将不定积分转化为基本的初等函数形式，从而得到不定积分的结果。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换原函数中的自变量，从而简化不定积分计算的方法。
复杂不定积分题
总结词
复杂题型，涉及复合函数、三角函数等
详细描述
复杂不定积分题通常涉及复合函数、三角函数、有理函数等复杂类型的不定积分。这类题目需要灵活运用不定积分的运算规则和技巧，如分部积分法、换元法等。
含有根号的不定积分题
总结词
难度较大，涉及根号内求不定积分
详细描述
含有根号的不定积分题是难度较大的题型，通常要求对根巧和方法，如平方根函数的性质、有理化分母等。
有理函数的积分法
总结词
有理函数的积分法是通过将被积函数表示为有理函数的形式，然后利用有理函数的性质进行不定积分运算的方法。
VS
详细描述
有理函数的积分法适用于被积函数为有理函数的情况，通过将被积函数表示为有理函数的形式，利用有理函数的性质进行不定积分运算，可以得到不定积分的结果。

《不定积分概念》课件

《不定积分概念》PPT课件
欢迎来到本次《不定积分概念》的PPT课件。在本课程中，我们将介绍不定积分的定义、性质、计算方法、常见公式以及如何使用不定积分解决具体问题。
不定积分的定义
1 概念介绍
不定积分是函数积分的一种形式，表示函数的原函数。它可以用来描述函数与曲线之间的面积关系。
2 符号表示
不定积分通常使用∫表示，积分变量写在∫号下面。例如，∫f(x) dx表示对函数f(x)进行积分。
1
面积和体积
使用不定积分可以计算曲线与坐标轴之间
速度和位移
2
的面积以及旋转曲线形成的体积。
不定积分可以用于计算运动过程中的速度
和位移，例如计算物体的位移函数或速度
函数。
3
概率和统计
在概率和统计中，不定积分可以用于计算概率密度函数的面积和期望值。
注意事项与常见错误
积分常数
计算不定积分时，要记住添加积分常数，它表示不定积分的无穷多个解。

不定积分的计算方法
分部积分法
用于计算乘积函数的不定积分，通过选择合适的两个函数进行积分运算。
三角函数积分
用于计算三角函数的不定积分，通过使用特定的三角函数公式进行简化。
部分分式分解法
用于计算有理函数的不定积分，将有理函数分解为几个简单的部分分式进行积分。
常见的不定积分公式
1 基本积分公式
如多项式的积分公式、幂函数的积分公式等，是计算不定积分的基础。
2 指数函数和对数函数
的积分
指数函数和对数函数的积分公式是计算含有指数函数和对数函数的不定积分的关键。
3 三角函数和反三角函
数的积分
三角函数和反三角函数的积分公式是计算含有三角函数和反三角函数的不定积分的重要工具。

微积分第6章不定积分

详细描述
如果被积函数是奇函数或偶函数，那么在不定积分时，我们需要注意奇偶性的性质，以便简化计算过程。例如，如果被积函数是奇函数，那么其不定积分的结果将是偶函数；
反之，如果被积函数是偶函数，那么其不定积分的结果将是奇函数。
被积函数可积性问题
要点一
总结词
被积函数的可积性是解决不定积分问题的前提条件。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、可乘性等。
详细描述
不定积分具有以下性质
02
01
可乘性
∫f(x) * g(x) dx = ∫f(x) dx * ∫g(x) dx，即两个函数的乘积的不定积分等于它们不定积分的乘积。
05
03
线性性质
∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b是常数，f(x)和 g(x)是可积函数。
详细描述
幂函数不定积分是微积分中一个重要的知识点，它涉及到函数的积分和微分之间的关系，对于理解微积分的基本概念和运算规则具有重要意义。
三角函数不定积分
总结词
三角函数不定积分是微积分中的重要内容，需要掌握基本的积分公式和运算方法。
总结词
掌握三角函数不定积分的计算方法，对于解决与三角函数相关的物理问题和工程问题具有重要意义。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通过求导数的逆运算，将原函数进行不定积分，得到不定积分的结果。这种方法适用于一些简单的不定积分，但对于一些复杂的不定积分，可能需要结合其他方法一起使用。
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化不定积分的方法。

不定积分的基本公式_经济数学——微积分（第2版）（微课版）_[共2页]

第３章一元函数积分学———不定积分、定积分及其应用１１７　性质４　∫犳（狓）±犵（狓［］）ｄ狓＝∫犳（狓）ｄ狓±∫犵（狓）ｄ狓．性质３和性质４称为不定积分的线性运算性质．3．1．3　不定积分的基本公式根据不定积分的性质２，容易由求导公式得出以下积分公式．（１）∫犽ｄ狓＝犽狓＋犆；（２）∫狓μｄ狓＝狓μ＋１μ＋１＋犆（μ≠－１）；（３）∫１狓ｄ狓＝ｌｎ狓＋犆；（４）∫犪狓ｄ狓＝犪狓ｌｎ犪＋犆（犪＞０且犪≠１），特别地，当犪＝ｅ时，∫ｅ狓ｄ狓＝ｅ狓＋犆；（５）∫ｃｏｓ狓ｄ狓＝ｓｉｎ狓＋犆；（６）∫ｓｉｎ狓ｄ狓＝－ｃｏｓ狓＋犆；（７）∫ｓｅｃ２狓ｄ狓＝∫１ｃｏｓ２狓ｄ狓＝ｔａｎ狓＋犆；（８）∫ｃｓｃ２狓ｄ狓＝∫１ｓｉｎ２狓ｄ狓＝－ｃｏｔ狓＋犆；（９）∫ｓｅｃ狓ｔａｎ狓ｄ狓＝ｓｅｃ狓＋犆；（１０）∫ｃｓｃ狓ｃｏｔ狓ｄ狓＝－ｃｓｃ狓＋犆；（１１）∫１１＋狓２ｄ狓＝ａｒｃｔａｎ狓＋犆＝－ａｒｃｃｏｔ狓＋犆；（１２）∫１１－狓槡２ｄ狓＝ａｒｃｓｉｎ狓＋犆＝－ａｒｃｃｏｓ狓＋犆．这些基本积分公式是计算不定积分的基础，必须熟记，以便灵活运用．利用不定积分的运算性质和基本积分公式，可以求一些简单函数的不定积分．【例３．６】　求∫狓２＋ｓｉｎ狓－１１＋狓（）２ｄ狓．【解】　∫狓２＋ｓｉｎ狓－１１＋狓（）２ｄ狓＝∫狓２ｄ狓＋∫ｓｉｎ狓ｄ狓－∫１１＋狓２ｄ狓＝１３狓３－ｃｏｓ狓－ａｒｃｔａｎ狓＋犆【例３．７】　求∫（ｃｏｓπ－７槡槡狓狓）ｄ狓．【解】　∫（ｃｏｓπ－７槡槡狓狓）ｄ狓＝∫ｃｏｓπｄ狓－∫７狓３４ｄ狓＝狓ｃｏｓπ－４狓７４＋犆＝－狓－４狓７４＋犆。

不定积分的概念和性质

不定积分的概念和性质
也就是说，连续函数一定有原函数.下面我们进一步讨论原函数的相关知识.
由于 x2 x2 2 x2 35 2x，所以x2、x2 2、x2 35都为2x的原函数.
由此例可以看出：如果函数f x有一个原函数，则f x就有无穷多个原函数，而这些原
函数之间仅差一个常数，即
即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式），一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个常数 .
不定积分的概念和性质
性质2
被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前 .
kf xdx k f xd（x k 0，常数）.
性质3
两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和.
例3 解
设所求曲线方程为y F x，因为y F x 3x2，由不定积分定义，有
F x 3x2dx x3 C .
因所求的曲线过点1，3，代入得C 2，于是所求的曲线方程为 y x3 2.
不定积分的概念和性质
1.3 不定积分的性质性质1
不定积分与求导数或微分互为逆运算.
（1） f xdx f x 或 d f xd x f xdx. （2） F xdx F x C 或 dF x F x C.
对于每一个给定的常数C，F x C表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为f x的一条积分曲线 .由于C可以取任意
值，因此不定积分 f xdx表示f x的一族积分曲线 . 而其中任意
一条积分曲线都可以由曲线y F x沿 y 轴方向上、下平移得
到，如图4-1所示.
图4-1
不定积分的概念和性质
F x C F x f x (C为任意常数) . 所以F x C是f x的原函数.

不定积分的基本积分公式与性质

不定积分的基本积分公式与性质积分是微积分的重要概念之一、在微积分中，不定积分是指对一个函数进行求导的逆运算。

不定积分也被称为原函数或反导数。

虽然具体的函数积分求解可以有多种方法，但是基本积分公式和性质对于积分的研究和运算有着重要的意义。

首先，我们来介绍一些基本的积分公式。

这些公式可以帮助我们求得一些常见函数的不定积分。

1.常数函数的不定积分对于常数函数f(x)=C（C为常数），它的不定积分即为Cx+C0，其中C0为常数项。

2.幂函数的不定积分函数f(x)=x^n（n为实数，且n≠-1）的不定积分为：F(x)=（1/(n+1))*x^(n+1)+C，其中C为常数项。

3.三角函数的不定积分① 不定积分∫sin(x)dx = -cos(x) + C② 不定积分∫cos(x)dx = sin(x) + C③ 不定积分∫1/cos^2(x)dx = tan(x) + C4.指数函数的不定积分① 不定积分∫e^x dx = e^x + C② 不定积分∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C （其中a为正实数，且a≠1）5.对数函数的不定积分不定积分∫1/x dx = ln，x， + C （其中ln表示自然对数，C为常数项）以上是一些常见函数的不定积分公式。

通过这些公式，我们可以求得许多函数的不定积分。

但是需要注意的是，并不是所有函数的不定积分都可以通过这些公式直接求解，还需要运用一些积分的技巧和方法。

不定积分有一些基本的性质，它们在积分的计算中起到了重要的作用。

下面我们来介绍一些常见的不定积分的性质。

1.线性性质若f(x)和g(x)的不定积分都存在，则对于任意实数a、b，有∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx2.逐项积分性质若f(x)的不定积分存在，则f(x)的幂函数逐项求积分后，仍然可以求得不定积分。

即∫[f(x)]^n dx = （1/(n+1)) * [f(x)]^(n+1) + C （其中C为常数项）3.牛顿-莱布尼兹公式若F(x)是f(x)的一个原函数，则对于区间[a,b]上的任意一点x，有∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)4.整体性定理若f(x)的原函数F(x)在区间[a,b]上存在，并且F'(x)=f(x)，则对于任意曲线上的两个点a、b，有∫[a,b] f(x) dx = F(x) ，[a,b] = F(b) - F(a)以上是一些常见的不定积分公式和性质，它们在积分的计算中非常有用。

数学分析第六章课件不定积分

x2
x a2
2
x2a2a2 (x2a2)
dxx2xa2
2I22a2I2
1x 1 I22a2x2a22a2I1
类似的
In ......
总结：
前面介绍了两种重要的积分方法，利用它们可以求出许多初等函数的不定积分。但是要灵活地运用这些方法，它不象求导数那样简单和易掌握。另外，任一初等函数总可按一定的步骤求得它的导函数，且导函数还是初等函数。而求初等函数的积分不仅无一定的步骤可循，更有所不同的是初等函数的原函数有可能不再是初等函数，这时我们也说积分积不出来。
dsinx dsinx
cos2x1sin2x
由例2得，
1lnsinx1c 2 sinx1
1lnsinx1clnsecxtanxc
2 sinx1
增加 tanxdxlncosxc
cotxdxlnsinxc
例5 求
dx x(1 x)
ห้องสมุดไป่ตู้
解法1：
x(d 1xx)
dx xx2
由例3得
d
x
1 2
1 4
x
1 2
2
对于 x2 a2 ，令 x a s e c t,0 t或 t
2
2
目的在于消去根号，因为它们比较典型，故特别称之为三角代换。
2．分部积分法
由乘积的微商公式：
[ u ( x ) v ( x ) ] ' u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
u ( x ) v '( x ) [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x )
d x
x 2
d x
a 2 x 2

不定积分公式大全

1
a sect tan tdt
dx
x2 a2
a tan t
sectdt ln sect tan t C1
ln x a
x2 a2 a
C1 ln x
x2 a2 C
以下结果可以作为公式使用： ⑿ ∫tanxdx＝ln|secx|＋C ⒀ ∫cotdx＝－ln|cscx|＋C ⒁ ∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C ⒂ ∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C
求导↓ + ↓积分
2x - -cosx
∫x2sinxdx ＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx
[分部积分法的列表解法]
例如：求 ∫x2sinxdx
x2
sinx
求导↓ ＋ ↓积分
－
2x
-cosx
∫x2sinxdx ＝-x2cosx＋∫2xcosxdx
求导↓ － ↓积分
２＋ -sinx
＝-x2cosx＋2xsinx -∫2sinxdx
a
1 a2 x2
dx
a costdt a cost
dt
tC
arcsin
x a
C
(2)如果被积函数含有 a2 x2 ，可以用x＝atant换元。
例17 求
1 dx
a2 x2
解:设x a tant,则dx asec2 tdt, a2 x2 asect
1 dx a2 x2
不定积分公式大全
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明：

不定积分公式总结

不定积分公式总结不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求导的逆运算。

在数学分析、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

不定积分公式众多，熟练掌握这些公式对于解决积分问题至关重要。

下面我们就来对常见的不定积分公式进行总结。

一、基本积分公式1、常数的积分：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式，常数的积分就是常数乘以自变量再加上常数 C。

2、幂函数的积分：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）∫x^（－1) dx ＝ ln|x| ＋ C对于幂函数的积分，当指数不为－1 时，将指数加 1 然后除以新的指数，再加上常数 C；当指数为－1 时，积分结果为自然对数。

3、指数函数的积分：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）指数函数 e^x 的积分就是其本身，而对于底数为 a 的指数函数，积分结果需要除以其底数的自然对数。

4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C这是对数函数的一个重要积分公式。

二、凑微分法相关公式凑微分法是积分中的一种重要方法，通过对被积表达式进行适当的变形，将其凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。

1、例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a)∫f(u) du （令 u ＝ ax ＋ b）2、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a)sin(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）3、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a)cos(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）凑微分法需要我们对函数的形式有敏锐的观察力，能够准确地找到合适的代换。