经济数学第六章不定积分
不定积分在经济中的应用举例
C
(C为任意常数)
又因为x 0时，R 0 ，代入上式得Ｃ＝０．
所以总收入函数为
x2 R(x) 200 x
200
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学
3. 方法应用
例4
已知某商品的最大需求量为A(即价格为零时的需求量),有关部门
给出这种商品的需求量 Q 的变化率模型为 Q( p) Aln 2 (1) p
经济数学
课堂小结 1.理解不定积分应用于已知边际函数求相应经济函数的意义。 2.掌握已知边际函数应用不定积分直接或间接地求出相应的经济函数。 3.应用不定积分知识解决经济中的实际问题。
经济数学
3. 方法应用
例5
解： 由需求函数 x 100 5 p 得收益函数R:
R(x) xp 20 x 0.2x2
故边际利润为
Lx R(x) C(x)
20 0.4x (10 0.2x)
10 0.2x
令 L(x) 0 ，得 x 50
又 L(x) 0.2 0 故 x 50,即p 10 时,利润最大
(单位:件) , p 为单价(单位:元/件).又已知此种商品的边际成本
为 C(x) 10 0.2x,且C(0)=10,试确定当销售单价为多少时,总利 润为最大,并求出最大总利润.
分析: (1)边际成本－即成本函数的导数;
不定积分(上)
◆
2、全体原函数
若
F ( x)
是
f ( x) 的原函数,
是
则
F ( x) + c
是
f ( x)
的全体原函数
例:
ln x
◆
1 x
原函数,
则
ln x + c
是
1 x
全体原函数.
3、不定积分 的全体原函数记为
将
f ( x)
∫ f ( x)dx
,
称它是
f ( x)
的不定积分.
若有
F ′( x) = f ( x)
, 则
∫ f ( x)dx = F ( x) + c
例1: 解:
已知
e x f ( x)dx = x + c ∫
,
求
f ( x)
.
由不定积分定义知 即
( x + c)′ = e x f ( x) 1 2e x x
∴ f ( x) =
例2:
已知
f ( x)
的一个原函数是
2x ,
求
f ′( x)
.
解:
1 n +1 ∫ u du = n + 1 u + c
n
(2)
∫
1
3
(3 x − 2) 2
dx
经济数学课程教学大纲
经济数学课程教学大纲
一、课程的性质和目的
《应用高等数学》是高职高专教育教学计划中一门重要的基础理论课。通过本课程的学习，要使学生比较系统地获得函数、微积分、行列式、矩阵、线性方程组、古典概率等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。逐步培养学生抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和比较熟练的运算能力。
从而使学生受到数学分析方法和运用这些方法解决实际问题的训练，为学习后续课程奠定必要的数学基础。
二、课程内容与时间安排
课堂习题：随堂安排
课后作业：每次新课结束
期末考试：每学期新课结束后一周内考试
三、课程教学内容纲要
第一章函数极限
（一）主要内容
第一节函数
第二节极限的概念
第三节无穷小与无穷大
第四节极限的性质与运算法则
第五节判别极限存在的两个准则及两个重要极限
第六节函数的连续性
（二）教学要求
了解：函数的几种常用表示方法；几种常用的初等函数、经济函数。数列极限的定义及其计算；函数在某一点处的极限，左极限右极限定义。重要极限在连续复利中的应用；函数连续性的定义，间断点的分类。
理解：理解一元函数的定义及函数与图形间的关系；理解函数的几种基本特性，函数及其反函数与他们图形之间的关系，理解极限与无穷小量以及他们之间的关系，无穷小量的阶的比较和高阶无穷小量的概念，理解函数的连续性及其间断点，闭区间上连续函数的有界定理、最值定理、零点定理和介值定理。
掌握：函数的复合和分解，基本初等函数及其图形的性态，无穷小量的基本性质和极限的运算法则，掌握两个重要极限。函数的连续性及其间断点，闭区间上连续函数的基本性质。
第六章 定积分 《经济数学》PPT课件
6.6.2 经济上的应用
在第4章中,我们介绍过边际函数及其在经济上的应用.例如,收益
函数R(Q)的导函数R'(Q)为边际收益,成本函数C(Q)的导函数
C'(Q)为边际成本.由于积分运算与微分运算的互逆关系,定积分
➢ 即所求平面图形面积可看做由曲线y=f(x),直线x=a,x=b以及x轴所围成 的曲边梯形的面积与由曲线y=g(x),直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲 边梯形的面积之差.
6.6.1 平面图形面积的计算
【例6-24】计算由曲线y=x2+1,直线y=2x-2,x=-1和x=2所围 成的平面图形的面积.
6.6.2 经济上的应用
【例6-28】已知生产某产品x个单位时的边际收益为 R'(x)=100-2x(元/单位),求生产40个单位时的总收益,并求出再 增加生产10个单位时所增加的总收益.
➢ 解: • 由(6.17)式可知,生产40个单位时的总收益为:
• 再增加生产10个单位时所增加的总收益为:
和式的极限.在很多实际问题中,都会出现类似的解决问题的思想
ຫໍສະໝຸດ Baidu
方法和步骤.由此我们给出下面的定义.
➢ 定义6-1 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,用点
《经济数学》学习指导
《经济数学》学习指导
学习开始，要弄清要求，处理好知识广度和深度的关系。一定要把各章基本概念、基本公式和基本运算学好。同时要多花时间在突破重点和难点方面，以求事半功倍，提高效率。
下面逐章明确具体要求，介绍基本内容、重点和难点。
第一章函数，函数内容包括函数定义、函数性质、函数图象、复合函数、初等函数、分段函数等，是学习微积分的预备知识。读者可复习初等数学（高一代数）中关于函数部分的内容，以巩固好基础。
函数重点是函数概念和基本初等函数。要求掌握常量函数、幂函数、指数函数、对数函效、三角函数和反三角函数等六类基本初等函数的定义、定义域、性质和图象，因为由它们经有限四则运算及复合而组成的初等函数是微积分研究的主要对象。复合函数的分解是难点。正确选择中间变量,把复合函数y＝f[ψ（x）]分解为简单函数（基本初等函数和多项式）y＝f（u），u＝ψ（x）的复合，是一种基本训练，务求熟练掌握。
本章经常要求函数的定义域，定义域的求法
（1）分式中分母不能为0
（2）负数不能开偶次方
（3）对数中的真数必须大于0
（4）反三角函数arcsinx, arccosx 中的x必须满足︱x︱≤1 （5）以上解有两个以上的集合，应取交集
第二章极限与连续
极限与连续内容包括数列极限定义、函数极限的定义、函数的左极限与右极限、无穷小量与无穷大量、极限的运算法则，两个重要极限、函数连续的定义、函数间断点、闭区间连续函数的性质、利用函数连续性计算极限等。重点是函数极限的概念和求极限的方法。难点是未定式极限的计算。
极限的计算方法总结：
《经济数学》教学课件 第六章 定积分
定积分的几何意义
图 6-3
图 6-4
1.4 定积分的性质
设函数 f (x) ，g(x) 在所讨论的区间上可积，则定积分有如下性质． 性质 1 函数和（差）的定积分等于它们定积分的和（差），即
b [ f (x) g(x)]dx
xi xi xi1 ．
在每个子区间 [xi1 ，xi ] (i 1，2， ，n) 上任取一点 ξi (xi1 ξi xi ) ，得相应的函数值 f (ξi ) ；
n
作乘积 f (ξi )xi ，得和式 f (ξi )xi ． i 1
令 max{xi}，若 0 ，上述和式的极限存在，则称函数 f (x) 在区间[a ，b] 上可积，并
因
F
(b)
F
(a)
通常也记作
F(x)
b a
或
[F
( x)]ba
，故牛顿-莱布尼兹公式也可表示为
b a
f
( x) dx
F(x) b a
[F(x)]ba
F (b)
F(a) ．
这个定理通常也称为微积分基本定理．它不仅为定积分的求解提供了有效方法，同时还揭示 了定积分与不定积分的联系．换句话说，在求解定积分的时候，可以先将定积分转化为不定积分 来计算．
经济数学基础第五版电子教案
经济数学基础第五版电子教案
一、教材简介
《经济数学基础第五版》是经济学类专业本科教材，主要介绍经济学中与数学有关的基本理论和方法。本教材的目标是帮助学生掌握经济学中必要的数学知识和技巧，为他们后续学习经济学其他课程以及进行经济研究打下坚实的数学基础。
二、教学目标
•了解经济学中的数学概念和方法；
•掌握常见的经济数学模型，并能灵活运用；
•培养学生的分析和解决实际经济问题的能力；
•为学生提供继续深入学习经济学的基础。
三、课程内容
第一章：简介
1.经济学与数学的关系
2.数学在经济学中的应用方向
3.经济数学模型的概念与分类第二章：微分学基础
1.函数与图像
2.极限与连续
3.微分与导数
4.高阶导数与凹凸性
5.最值与导数应用
第三章：积分学基础
1.不定积分与定积分
2.反常积分
3.积分的应用和计算
4.微分方程简介
第四章：线性代数与矩阵运算
1.向量与矩阵
2.线性方程组的解法
3.线性方程组的应用
第五章：微分方程
1.微分方程基本概念
2.一阶微分方程的求解方法
3.高阶微分方程的求解方法第六章：优化理论
1.函数的极值与最值
2.线性规划问题
3.非线性规划问题
第七章：概率与统计基础
1.概率与条件概率
2.随机变量与概率分布
3.统计量与抽样分布
4.参数估计与假设检验
5.相关与回归分析
四、课程设计与实施
本课程采用课堂授课与实践相结合的教学模式。每章课程安排2-3个课时的理论授课时间，以便学生对数学概念和理论有更深入的理解。在理论授课之后，安排相应的实践课时，让学生通过实际操作和解决实际问题的方式巩固所学的数学知识和技巧。
教学过程将注重以下几个方面： 1. 引导学生将数学知识与实际经济问题相结合，培养他们的分析和解决问题的能力； 2. 利用案例和实例，让学生了解经济学中各种数学模型的应用场景，提高他们的应用能力； 3. 注重学生的互动参与，鼓励学生在课堂上提问和讨论，促进思维的碰撞和交流； 4. 定期组
经济数学大一知识点总结
经济数学大一知识点总结
经济数学是经济学专业的重要基础课程之一，它运用数学方法和技巧来解决经济学中的问题，对于经济学家和经济决策者具有重要意义。本文将对大一学期经济数学的主要知识点进行总结和归纳，以便帮助大家更好地理解和掌握这门课程。
一、微积分基础
1.1 极限与连续
在微积分中，极限是一个核心概念，它刻画了函数在某一点附近的局部性质。了解极限的概念和性质对于理解微积分的其他内容至关重要。同时，连续函数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的平滑性。
1.2 导数与微分
导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。研究导数的概念和性质能够帮助我们分析函数的极值、曲线的切线以及函数的增减性等问题。微分是导数的一种运算，它在实际问题中有广泛的应用。
1.3 积分与不定积分
积分是微积分中的另一个核心概念，它描述了函数在一个区间
上的累积效果。了解积分的概念和性质对于理解微积分的其他内
容非常重要。不定积分是积分的一种形式，它可用于求解函数的
原函数。
二、线性代数基础
2.1 矩阵与向量
矩阵是线性代数中的一个重要概念，它用方阵来表示。学习矩
阵的运算、性质和特征可以帮助我们理解矩阵在经济学中的应用。向量是矩阵的一种特殊形式，与矩阵有着密切的关系。
2.2 线性方程组与矩阵运算
线性方程组是线性代数中的一个重要问题，它描述了一组线性
关系。我们可以通过矩阵运算的方法来解决线性方程组，例如高
斯消元法和矩阵的逆运算等。
2.3 特征值与特征向量
特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们对于理解矩
《经济数学》教学大纲
《经济数学》教学大纲——教学的基本内容、重点和难点
第一部分《一元微积分》
第一章函数
学习基本要求：
函数是微积分研究的对象，在运用数学模型研究实际问题时，函数扮演着重要的角色．为了今后学习的需要，对函数的概念及其有关问题加以回顾，加深认识，进一步理解，使之更加系统化和条理化是很有必要的．
本章基本内容和基本要求，重点和难点：
1．正确理解函数的概念．
2．牢记六类基本初等函数的性质及其图形．
3．熟练掌握复合函数分解的方法.
重点：六类基本初等函数的性质与图形，复合函数的概念及其分解方法
难点：复合函数的概念及其分解方法
第二章极限与连续
学习基本要求：
极限方法是微积分对函数进行研究的主要方法．微积分中最主要、最基本的概念(如导数、微分和积分等概念)和运算方法(如微分法和积分法等方法)都是在极限概念的基础上建立起来的．连续性是函数的重要性态之一，具有连续性的函数在应用和理论上都是十分重要的．
本章基本内容和基本要求，重点和难点：
1．正确理解极限和连续的概念.
2．理解和记住极限的运算法则，掌握一些求极限的基本方法.
3．明确初等函数连续性这一结论的意义．
重点：极限的运算法则，两个重要极限，连续的概念及其在求极限中的应用难点：两个重要极限，求极限的基本方法，连续的概念
学习基本要求：
在自然科学和经济领域中，我们经常谈到变化率问题需要函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆之比x
y ∆∆，当0→∆x 时的极限，即x y x ∆∆→∆0lim .从而，本章所研究的导数是极限理论的一个运用.
本章基本内容和基本要求，重点和难点：
经济数学26不定积分的分部积分法
1、求不定积分dx
e x x ⎰-+)1(解：)1()1()1(原式x d e e x de x x x x +++-=+-=⎰⎰---C
e x C e e x x x x ++-=+-+-=---)2()1(2、求不定积分⎰xdx
ln 解：C x x x dx x x x xd x +-=-=-=⎰⎰ln ln )(ln ln 原式
不定积分的概念和性质
例4
解
原式
x2dx
2xdx
5dx
1 3
x3
x2
5x
Biblioteka Baidu
C
.
注意：
这里三个不定积分本来应该有三个任意常数，但经过代数和之后，只用 一个任意常数即可.
不定积分的概念和性质
例5
解
3
3
1
原式 (x2 3 x )dx x2dx 3 x2dx
1
3 1
x2 3
3 1
2
25
3
x2 2x2 C .
不定积分的概念和性质
例1 解
因为(sin x) cos x，所以
cos xdx sin x C.
如果忘记写常数C，那就意味着你只找到了cos x的一个原函数.
不定积分的概念和性质
例2
解
生产成本的导数C q 是边际成本MC，即 Cq 2q 6.
因为 q2 6q 2q 6，所以
F x C F x f x (C为任意常数) . 所以F x C是f x的原函数.
另一方面，如果F x和G x都是f x的原函数，即 F x G x f x，
则由中值定理的推论可知，F x和G x仅差一常数，即存在常数C0，使得 G x F x C0.
综合以上分析可知,设导函数f x有原函数，且F x是f x的一个原函数，那么f x的所 有原函数都可写成F x C，我们把F x C称为f x的原函数族.
第六章 定积分 《经济数学》PPT课件
如果在上面求和过程中，作为各小矩形高度 i 的取作其它
点（如取 i为各小区间的右端点xi、中点 xi1 xi 、左1/3
点 2xi1 xi 或右1/3点 xi1 2xi 等）是否会2改变所求的
3
3
面积的值．下表列出的是不同的分割数n和不同的 i 取值
n
n
所对应和式
f (i )xi
xi
i 1
02
1
1
2
1
2
2
1
10 10 10 10 10
9 2 1 0.285 10 10
所以，所求曲边梯形的面积A≈0.285。这只是一个近似
值。显然，当区间[0,1]被分割得越细，所得到的数值越接
近于曲边梯形的面积．
当n=100（此时小区间被细分为100等分）时，可计算得到 100个小矩形面积之和
(i=1,2,…,n)，其长度为Δxi=xi–xi-1，在每n 个小区间[xi-1,xi]上
任意取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作和式
f (i )，x如i 果极限
n
i 1
存f(x在)l在im，0[ai且1,bf此]上极i 是限x可i 与(积[a的,bm1，]i的ax并n [分称法xi此]以)极及限ξi值的为取f法(x无)在关[a，,b]则上称的函定数
与[c,b] ，即若 a c b ，则
不定积分的基本公式_经济数学——微积分（第2版）（微课版）_[共2页]
![不定积分的基本公式_经济数学——微积分（第2版）（微课版）_[共2页]](https://img.taocdn.com/s3/m/c177d7a67fd5360cbb1adbab.png)
第３章
一元函数积分学———不定积分、定积分及其应用
１１７
性质４ ∫犳（狓）±犵（狓［］）ｄ狓＝∫犳（狓）ｄ狓±∫犵（狓）ｄ狓．
性质３和性质４称为不定积分的线性运算性质．
3．1．3 不定积分的基本公式
根据不定积分的性质２，容易由求导公式得出以下积分公式．
（１）∫犽ｄ狓＝犽狓＋犆；
（２）∫狓μｄ狓＝狓
μ＋１
μ＋１＋犆（μ≠－１）；
（３）∫１
狓ｄ狓＝ｌｎ狓＋犆；
（４）∫犪狓ｄ狓＝犪
狓
ｌｎ犪＋犆（犪＞０且犪≠１），特别地，当犪＝ｅ时，∫ｅ狓ｄ狓＝ｅ狓＋犆；
（５）∫ｃｏｓ狓ｄ狓＝ｓｉｎ狓＋犆；
（６）∫ｓｉｎ狓ｄ狓＝－ｃｏｓ狓＋犆；
（７）∫ｓｅｃ２狓ｄ狓＝∫１
ｃｏｓ２狓ｄ狓＝ｔａｎ狓＋犆；
（８）∫ｃｓｃ２狓ｄ狓＝∫１
ｓｉｎ２狓ｄ狓＝－ｃｏｔ狓＋犆；
（９）∫ｓｅｃ狓ｔａｎ狓ｄ狓＝ｓｅｃ狓＋犆；
（１０）∫ｃｓｃ狓ｃｏｔ狓ｄ狓＝－ｃｓｃ狓＋犆；
（１１）∫１
１＋狓２ｄ狓＝ａｒｃｔａｎ狓＋犆＝－ａｒｃｃｏｔ狓＋犆；
（１２）∫１
１－狓槡２ｄ狓＝ａｒｃｓｉｎ狓＋犆＝－ａｒｃｃｏｓ狓＋犆．
这些基本积分公式是计算不定积分的基础，必须熟记，以便灵活运用．
利用不定积分的运算性质和基本积分公式，可以求一些简单函数的不定积分．
【例３．６】 求∫狓２＋ｓｉｎ狓－１
１＋狓（）２ｄ狓．
【解】 ∫狓２＋ｓｉｎ狓－１１＋狓（）２ｄ狓＝∫狓２
ｄ狓＋∫ｓｉｎ狓ｄ狓－∫１
１＋狓２ｄ狓
＝１
３狓３－ｃｏｓ狓－ａｒｃｔａｎ狓＋犆
【例３．７】 求∫（ｃｏｓπ－７槡槡狓狓）ｄ狓．
【解】 ∫（ｃｏｓπ－７槡槡狓狓）ｄ狓＝∫ｃｏｓπｄ狓－∫７狓３４ｄ狓
经济数学不定积分习题答案
P81 习作题5.1
1.求下列不定积分
()()22311+3=3x dx dx x dx x x C +=++⎰⎰⎰
(
)1213
22231122=33ln 23
x x dx xdx x dx dx x x x C x x ⎛⎫++=++=+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰()()()()21c o s
11
1
3s i n 1c o s c o s s i n 22222x x dx dx x dx dx xdx x x C -==-=-=-
+⎰⎰⎰⎰⎰
（4）解法1：()222cot csc 1csc cot xdx x dx xdx dx x x C =-=-=--+⎰⎰⎰⎰ 解法2：2cot xdx ⎰ 22222cos sin 1sin sin 1
sin cot x
dx
x x
dx x dx dx
x x x C
=-==-=--+⎰⎰⎰⎰
P86习作题5.2
1. ()()()()()556
1112+1=2+12+1=21212x dx x d x x C ++⎰⎰
()()22211
2222x x x e dx e d x e C ---=--=-+⎰⎰
()1
11
213x x x e dx e d e C x x =-=-+⎰⎰
()()()()223
14ln ln ln ln 3dx
x x d x x C x ==+⎰⎰
()sin sin sin 5cos sin x x x e xdx e d x e C ==+⎰⎰
()()322223
6cos cos cos cos sin =1sin sin sin sin sin 1sin sin 3xdx
经济数学教学大纲
《经济数学》课程教学大纲
课程代码：500108
学时数：64
课程类别：必修开课学期：第1学期
适用专业：理工管各专业开课单位：基础部
编写时间：2011年11月
一、课程性质和目的
《经济数学》是高等院校经济与管理类学科各专业学生一门必修的重要基础理论课，它是为培养高等技术应用型经济管理人才服务的。
通过《经济数学》课程的学习应使学生具备函数和极限、一元函数微分学、一元函数积分学及多元函数微分学等方面的基本概念，系统的获得将来学习专业课所必需的数学基本知识、基本理论和基本运算方法，也就是为学生提供必不可少的数学基础知识和常用的数学方法。
此外，在传授知识的同时通过各教学环节逐步培养学生的逻辑思维能力，初步的抽象概括问题的能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学生学习后续课程和进一
步深造以及今后工作奠定必要的数学基础。
二、课程教学内容、学时分配和基本要求
第一章函数极限连续
第二章一元函数微分学及其应用
第三章一元函数积分学及其应用
第四章多元函数微积分
第五章行列式、矩阵和线性方程组
第六章微分方程与数学建模
第七章概率论初步
三、各教学环节学时分配
四、本课程与其他课程的联系和分工
前期课程：高中数学知识。
后续课程：工程数学、化学、物理、力学及其它工科和管理专业课程。
五、本课程的考核方式
本课程考核方式为闭卷考试，时间120分钟。总成绩由平时成绩和期末考试成绩组成，其中平时成绩占总成绩的 30%，期末考试成绩占70% 。每次课作业布置4～5题，作业，出勤，小测试的成绩算平时成绩。
六、建议教材和教学参考书
经济数学知到章节答案智慧树2023年成都职业技术学院
经济数学知到章节测试答案智慧树2023年最新成都职业技术学院第一章测试
1.为( )
参考答案:
2.极限= ( )
参考答案:
等于1
3.设函数则 ( )
参考答案:
不存在
4.当时，与等价的无穷小是（）
参考答案:
5.下列函数中,在其定义域内连续的为( )
参考答案:
第二章测试
1.设函数在点处可导，则下列选项中不正确的是（）
参考答案:
2.设在处可导，且，请计算（）
参考答案:
2
3.若( )
参考答案:
4.f(x)=|x-2|在点x=2处的导数是( )
参考答案:
不存在
5.若在点处导数存在，则函数曲线在点处的切线的斜率为（）
参考答案:
第三章测试
1.当时，恒有，则曲线在内（）
参考答案:
下凹
2.线点处的切线方程是( )
参考答案:
3.设,则 ( )
参考答案:
4.当时，与比较是( )
参考答案:
同阶无穷小，但不是等价无穷小
5.下列结论正确的有( )
参考答案:
在处可导,则一定在处连续
第四章测试
1.若函数和函数都是函数在区间上的原函数，则有( )
参考答案:
2.有理函数不定积分等于（）．
参考答案:
3.等于( )
参考答案:
4.设是的一个原函数，则（）
参考答案:
5.( )
参考答案:
第五章测试
1.请计算出( )
参考答案:
2.定积分等于（）．
参考答案:
3.定积分等于（）．
参考答案:
4.设为连续函数,则等于（）
参考答案:
5.以下定积分结果正确的是( )
参考答案:
第六章测试
1.设在处可导，并且，则（）
参考答案:
4
2.设函数，则等于（）
参考答案:
3.设在处可导，且，则（）
参考答案:
4.设( )
参考答案:
5.若则=( )
参考答案:
29!