计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
矩阵特征值与特征向量计算
矩阵特征值与特征向量计算在数学中，矩阵是一种非常基础而且重要的概念，它可以被看做是一种线性变换的表示。
在矩阵中，特征值和特征向量是两个非常重要的概念，它们在运用矩阵进行计算、测量和定量分析时扮演着至关重要的角色。
一、矩阵特征值的计算方法特征值是一个矩阵的固有属性，它表示在进行线性变换时，各个方向上对应的比例因子，具有很重要的几何意义。
计算一个矩阵的特征值需要使用到线性代数的基础知识和运算。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax=λx，则λ是矩阵A的一个特征值，而x是对应的特征向量。
在实际计算中，我们首先需要求解方程det(A-λI)=0，其中I是指n阶单位矩阵。
这个方程的解即为矩阵A的特征值，它们可以是实数或复数。
当然，在计算特征值时，使用一些优化的方法可以更快地得出结果，例如使用特征值分析法或雅可比方法。
二、矩阵特征向量的计算方法在获得了矩阵的特征值之后，我们可以通过简单的代数运算来计算它们对应的特征向量。
设λ为矩阵A的一个特征值，x为一个对应的特征向量，我们有以下等式：(A-λI)x=0这可以被看做是一个齐次线性方程组，将它转化成矩阵形式，我们得到以下方程：(A-λI)X=0其中X=[x1,x2,...,xn]为特征向量的矩阵形式。
对于特征向量矩阵X，我们需要求解出它的非零解。
这需要使用到线性代数的基本技巧，例如高斯消元法或LU分解等。
三、矩阵特征值和特征向量的应用矩阵特征值和特征向量的应用非常广泛，从计算机科学到物理学、化学、经济学、金融学等各个领域都有它们的应用。
以下是几个主要的应用领域：1. 机器学习和人工智能在机器学习和人工智能中，特征值和特征向量经常用于降维和数据分析。
通过分析一个数据矩阵的特征值和特征向量，我们可以找到它们对应的主要特征，从而对大型数据进行有效的分析和处理。
2. 物理学和化学在物理学和化学中，特征值和特征向量可以用于计算量子力学、分析分子结构、电子轨道等问题。
四矩阵特征值与特征向量的计算
四矩阵特征值与特征向量的计算四矩阵特征值与特征向量的计算是线性代数中一个非常重要的问题。
特征值和特征向量能够帮助我们理解和描述线性变换对向量空间的影响。
在解决实际问题中，它们也有着广泛的应用，比如在物理学、工程学和计算机科学等领域中。
在矩阵特征值与特征向量的计算中，有几个重要的概念需要了解。
首先是特征向量，它是指在线性变换下保持方向不变或只改变了伸缩比例的向量。
如果一个向量v在一个线性变换A下的变换结果仍然是它的常数倍，则称v为A的特征向量。
特征向量一般用符号v表示。
对于一个矩阵A，特征向量v满足以下条件：Av=λv，其中λ是一个标量，被称为特征值。
换言之，一个特征向量在线性变换下的变换结果是它本身的伸缩。
这样的v和λ的配对称为特征对。
有两种主要的方法可以用来计算矩阵的特征值与特征向量：特征多项式方法和迭代方法。
第一种方法是特征多项式方法，它基于矩阵特征方程的解。
对于一个n阶矩阵A，特征多项式定义为：p(λ) = det(A - λI)，其中I是n阶单位矩阵。
解特征多项式p(λ) = 0可以得到矩阵A的所有特征值λ。
一旦得到特征值，就可以通过求解(A - λI)v = 0，找到对应于每个特征值的特征向量v。
第二种方法是迭代方法，它是一种数值方法，可以用于计算大型矩阵的特征对。
迭代方法的基本思想是通过不断迭代逼近特征值和特征向量。
最著名的迭代方法是幂法，它适用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
幂法的思想是通过迭代计算矩阵的幂A^k向一个方向收敛，收敛后的向量就是矩阵A的最大特征向量，而对应的特征值则可以通过A^k向量的模长逼近得到。
除了幂法，还存在其他迭代方法，如反幂法和QR方法等。
这些方法可以用来计算矩阵的其他特征值和特征向量。
反幂法通过计算矩阵的逆来找到最小特征值和对应的特征向量，而QR方法则通过QR分解来逐步收敛到矩阵的特征对。
无论是特征多项式方法还是迭代方法，对于大型矩阵的计算，都需要使用计算机进行实现。
计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
n
使得u 0
i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1
1k [1x1
n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226
0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T
0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0
1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而
矩阵特征值与特征向量的计算方法
矩阵特征值与特征向量的计算方法矩阵是一个广泛应用于线性代数、微积分和物理学等领域的数学对象。
在许多问题中，矩阵和线性变换起着重要作用，并且特征值与特征向量是矩阵理论中的两个核心概念。
本文将介绍矩阵特征值与特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得A与x的线性组合仍然是x的倍数，即有Ax = λx其中λ为常数，称λ为A的特征值，x为对应于λ的特征向量。
从几何意义上理解，特征向量是不被矩阵变换影响方向，只被影响长度的向量。
特征值则是描述了矩阵变换对于特定方向上的伸缩倍数。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征向量构成的向量空间没有零向量。
证明：设x为A的特征向量，有Ax=λx，则A(cx) =cAx=cλx=λ(cx),即A的任意常数倍(cx)仍是x的倍数，因此cx也是A的特征向量。
特别地，对于λ≠0时，x/λ也是A的特征向量。
2. A的特征值的个数不超过n个。
证明：考虑特征值λ1, λ2,…,λt，对应于各自的特征向量x1,x2,…,xt。
利用向量线性无关性可得，至少存在一个向量y不属于x1,x2,…,xt的张成空间内，此时Ay不能被表示成λ1x1,λ2x2,…,λtxt的线性组合，因此Ay与y方向没有重合部分，由此可得λ1, λ2,…,λt最多就是n个。
3. 如果特征向量x1,x2,…,xt彼此不共线，则它们就可以作为Rn空间的一组基。
证明：设x1,x2,…,xt是不共线的特征向量，考虑它们张成的向量空间V，在此空间中，A的作用就是对向量做伸缩变换，且Λ(xj) = λj。
对于每个向量y ∈ V，y可以表示成如下形式：y = c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt由于x1,x2,…,xt构成V的基，因此c1,c2,…,ct唯一确定了向量y。
因此，对于任意的向量y，可以得到:Ay = A(c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt)= c1Ax1 + c2Ax2 + ··· + ctAxt= λ1c1x1 + λ2c2x2 + ··· + λtctxt由于{x1,x2,…,xt}是V的一组基，c1,c2,…,ct是唯一确定的，因此Ay也被唯一确定了。
第四章矩阵的特征值和特征向量
即，0不是A的特征值，或者，A的任一特征值不等于零
充分性：设A的任一特征值不等于零，假设A不可逆 则 det A 0, 于是det(0E-A)=det(-A)=(-1)n det A 0 所以＝0是A的一个特征值，矛盾
m 是A的m个不同 的特征值，1， m分别是A的属于1，2 m的特征向量， 则1， m线性无关
T
特征值1的全部特征向量为c11 (c1 0, 常数)
对于3＝2，解对应的齐次线性方程组(2E A) X 0,
1 1 －1 x1 0 0 0 3 x2 0 0 0 1 x 0 3
定义4.2 A (aij )为n阶矩阵，含有未知数的矩阵 E A称为 A的特征矩阵，其行列式
E A
a11 a12 a21 a22
an1 an 2
a1n a2 n
ann
称为A的特征多项式。 det( E A) 0称为A的特征方程。
定理4.1：设A (aij )为n阶矩阵，则0是A的特征值， 是 A的属于0的特征向量的充要条件是，0为特征方程 det( E A) 0的根， 是齐次线性方程组(0 E A) X 0 的非零解。
（2）由（4.1)式知：向量 是齐次线性方程组(0 E A) 0 ( 0)的非零解。而该方程组有非零解的充分必要条件是 其系数行列式 0 E A 0.
(3) 矩阵A的特征值0，即以为变量的一元n次方程
E A 0的根。
(4) 如果已经求出方程 E A 0的根，则齐次线 性方程组(0 E A) X 0的任意非零解，都是A的 属于0的特征向量。
对于1 2, 解齐次线性方程组(2 E A) X＝0，即解 －5 －4 x1 0 x －5 －4 2 0
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的一个重要问题，它在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
本文将介绍计算矩阵特征值和特征向量的方法，包括特征方程法、幂法、反幂法和QR方法。
一、特征值和特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，满足以下方程：Ax=λx其中，x被称为A的特征向量，λ被称为A的特征值。
二、特征方程法特征方程法是计算矩阵特征值和特征向量的一种常用方法，其基本思想是通过求解矩阵的特征方程来求得特征值。
对于一个n阶方阵A，其特征方程为：A-λI，=0其中，I是n阶单位矩阵，A-λI，表示A-λI的行列式。
解特征方程可以得到n个特征值λ₁,λ₂,...,λₙ。
然后，将这些特征值带入原方程组(A-λI)x=0，求解线性方程组得到n个特征向量x₁,x₂,...,xₙ。
三、幂法幂法是一种通过迭代来计算矩阵最大特征值和对应的特征向量的方法。
首先，随机选择一个非零向量b₀，并进行归一化，得到单位向量x₀=b₀/，b₀。
然后，通过迭代的方式，计算xₙ₊₁=Axₙ，其中xₙ为第k次迭代得到的向量。
在迭代过程中，向量xₙ的模长会逐渐趋近于最大特征值对应的特征向量。
当迭代收敛后，xₙ就是矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
四、反幂法反幂法是一种通过迭代来计算矩阵最小特征值和对应的特征向量的方法。
首先，随机选择一个非零向量b₀，并进行归一化，得到单位向量x₀=b₀/，b₀。
然后，通过迭代的方式，计算xₙ₊₁=(A-σI)⁻¹xₙ，其中σ为待求的特征值。
在迭代过程中，向量xₙ的模长会逐渐趋近于特征值σ对应的特征向量。
当迭代收敛后，xₙ就是矩阵A的特征值为σ的特征向量。
五、QR方法QR方法是一种通过迭代来计算矩阵特征值和特征向量的方法。
首先，将矩阵A进行QR分解，得到矩阵A=QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然后，计算矩阵B=RQ，重复以上步骤，直到矩阵B收敛。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量
矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在众多学科领域中都有广泛的应用。
而矩阵的特征值和特征向量则是矩阵分析与应用中的核心内容之一。
本文将详细介绍矩阵特征值的计算方法，以及如何求解矩阵的特征向量。
1. 特征值和特征向量的定义首先，我们来了解一下什么是矩阵的特征值和特征向量。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个数λ以及一个非零n维列向量X，使得满足下述条件：AX = λX那么，λ就是矩阵A的一个特征值，而X则是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量的求解在很多应用中都具有重要的意义。
2. 特征值的计算方法接下来，我们介绍几种常见的特征值计算方法。
2.1 特征多项式法特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。
它利用方阵A减去λ乘以单位矩阵I之后的行列式为零的性质，构造出特征多项式，并求解多项式的根即可得到特征值。
举个例子，对于二阶方阵A = [a, b; c, d]，其特征多项式为：| A - λI | = | a-λ, b; c, d-λ | = (a-λ)(d-λ) - bc = 0解这个方程可以得到A的特征值。
2.2 幂迭代法幂迭代法也是一种常见的特征值计算方法。
它利用特征向量的性质，通过迭代计算来逼近矩阵的特征值。
其基本思想是，给定一个初始向量X0，不断迭代计算：Xk+1 = AXk然后对得到的向量序列进行归一化处理，直到收敛为止。
最后得到的向量X就是对应的特征向量，而特征值可以通过如下公式计算：λ = X^TAX / X^TX2.3 QR方法QR方法是一种数值稳定性较好的特征值计算方法。
它利用矩阵的QR分解的性质来逐步逼近矩阵的特征值。
首先，对矩阵A进行QR分解，得到一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R。
然后，将分解后的矩阵R与矩阵Q逆序相乘，得到一个新的矩阵A'。
重复进行QR分解和相乘的操作，直到收敛为止。
最后，得到的矩阵A'的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
矩阵的特征值和特征向量的计算
矩阵的特征值和特征向量的计算在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是一对重要的概念。
它们可以帮助我们了解矩阵的性质和特点，对于很多问题的求解具有重要的意义。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的计算方法。
一、特征值和特征向量的定义对于 n 阶方阵 A，如果存在非零向量 v 使得Av = λv，其中λ 是一个常数，则称λ 为矩阵 A 的特征值，v 称为对应于特征值λ 的特征向量。
特征值和特征向量的计算可以帮助我们理解矩阵的线性变换效果，以及在某些问题中起到重要的作用。
二、特征值和特征向量的计算方法要计算一个矩阵的特征值和特征向量，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们需要求解特征方程 det(A - λI) = 0，其中 A 是待求矩阵，λ 是一个待定常数，I 是单位矩阵。
这个方程是由特征向量的定义出发得到的。
2. 解特征方程可以得到一组特征值λ1, λ2, ... , λn。
这些特征值就是矩阵的特征值，它们可以是实数或复数。
3. 对于每一个特征值λi，我们需要求解方程组 (A - λiI)v = 0，其中 v 是待求特征向量。
这个方程组的解空间就是对应于特征值λi 的特征向量的集合。
4. 对于每一个特征值λi，我们需要求解出它对应的特征向量 vi。
特征向量的计算需要利用高斯消元法或其他适用的方法。
这样，我们就可以计算出矩阵的所有特征值和对应的特征向量。
三、特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量在很多领域有着广泛的应用，以下是其中一些常见的应用：1. 特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质。
例如，特征值的数量可以告诉我们矩阵的维度，而特征向量可以描述矩阵的线性变换效果。
2. 特征值和特征向量在图像处理和模式识别领域有着重要的应用。
通过矩阵的特征向量，我们可以提取图像的特征，进而进行分类和识别。
3. 特征值和特征向量在物理学中也有着广泛的应用。
它们可以用于描述量子力学中的粒子运动，电路中的振动模式等。
矩阵的特征值与特征向量的计算
矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量是线性代数中一个重要的概念，应用广泛于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、计算方法，以及其在实际问题中的应用。
一、矩阵特征值与特征向量的定义对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k 为一个标量，则称k为矩阵A的一个特征值，X为对应于特征值k的特征向量。
特征值与特征向量的计算是一个求解矩阵特征值问题的过程，这在实际中具有很大的意义。
接下来，我们将介绍矩阵特征值与特征向量的计算方法。
二、矩阵特征值与特征向量的计算方法计算矩阵的特征值与特征向量有多种方法，其中比较常用的方法是特征值分解和特征方程。
1. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵和特征值矩阵相乘的形式，即A=VΛV^-1。
其中，V是由特征向量构成的矩阵，Λ是由特征值构成的对角矩阵。
特征值分解的计算步骤如下：（1）求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0，其中I为单位矩阵。
（2）解特征方程，得到矩阵A的特征值λ1、λ2、...、λn。
（3）代入特征值，求解方程组(A-λI)X=0，其中X为特征向量。
（4）将得到的特征向量按行组成矩阵V，特征值按对角线组成矩阵Λ。
2. 特征方程法特征方程法是直接求解矩阵A的特征值的方法。
计算步骤如下：（1）求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0。
（2）解特征方程，得到矩阵A的特征值λ1、λ2、...、λn。
（3）代入特征值，求解方程组(A-λI)X=0，其中X为特征向量。
在实际计算中，可以利用计算机软件或在线计算器进行特征值与特征向量的计算，提高计算的效率。
三、矩阵特征值与特征向量的应用矩阵的特征值与特征向量在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍两个常见的应用场景。
1. 矩阵对角化对于一个n阶矩阵A，若能找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=Λ，其中Λ为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
此时，Λ的对角线上的元素为矩阵A的特征值。
第四章矩阵特征值与特征向量的计算
λ2 − λ0 0.1 1 r= = = . λ1 − λ0 3.1 31
15
原点移位法使用简便, 原点移位法使用简便 不足之处在于λ0的选取十 分困难, 通常需要对特征值的分布有一大概的了解, 分困难 通常需要对特征值的分布有一大概的了解 并通过计算不断进行修改. 才能粗略地估计λ0, 并通过计算不断进行修改
B=A－λ0I －
为代选择参数. 其中λ0为代选择参数 设A的特征值为λ1, λ2, …, λn, 的特征值为 而且A, 则B的特征值为λ1－λ0, λ2－λ0, …, λn－λ0, 而且 B 的特征值为 的特征向量相同. 的特征向量相同
13
仍设A有主特征值 仍设 有主特征值λ1, 且 λ1 > λ2 ≥ L,
7
幂法的计算公式 任取初始向量x 任取初始向量 (0)=y(0)≠0, 对k=1, 2, …, 构造向量序列 {x(k)}, {y(k)}
x ( k ) = Ay ( k − 1 ) (k ) α k = max ( x ) (k ) x (k ) y = αk α k ≈ λ1
比值越接近1, 收敛速度越慢, 比值越接近0, 收敛越快. 比值越接近 收敛速度越慢 比值越接近 收敛越快 若A的主特征值λ1为实的m重根 即λ1= λ2=…= λm, 的 为实的 重根, 重根 又设A有 个线性 且 | λ1 |> |λm+1 | ≥ |λm+2 | ≥ … ≥ | λn |, 又设 有n个线性 无关的特征向量, 此时幂法仍然适用 幂法仍然适用. 无关的特征向量 此时幂法仍然适用
(α k +1 − α k ) ˆ αk = αk − α k + 2 − 2α k +1 + α k
矩阵的特征值和特征向量的计算
矩阵的特征值和特征向量的计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中比较重要的概念。
在机器学习、信号处理、图像处理等领域都有着广泛的应用。
本文将会介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、意义以及计算方法。
一、特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n维向量v和一个常数λ，使得下面的等式成立：Av=λv那么称λ为矩阵A的特征值，v为矩阵A的特征向量。
特征向量是非零向量，因为如果v为0向量，等式就无法成立。
另外，特征向量不唯一，如果v是A的特征向量，k是任意一个非零常数，那么kv也是A的特征向量。
但特征值是唯一的。
二、特征值和特征向量的意义矩阵的特征值和特征向量有着重要的物理和数学含义。
对于一个矩阵A，它的特征向量v和特征值λ描述的是矩阵A对向量v的作用和量变化。
当一个向量v与矩阵A相乘时，向量v的方向可能会发生变化，而特征向量v就是那些方向不变的向量，仅仅发生了缩放，这个缩放的倍数就是特征值λ。
也就是说，特征向量v在被矩阵A作用后仍保持了原来的方向，并且只发生了缩放。
从物理角度理解，矩阵的特征值和特征向量可以描述线性系统的固有特性。
在某些情况下，如机械振动、电路等自然界现象中，系统本身就带有某种特有的振动频率或固有响应。
而这些系统在一些特殊的情况下可以通过线性代数描述，正是因为它们具有特征值和特征向量。
三、特征值和特征向量的计算矩阵的特征值和特征向量可以通过求解特征方程来计算。
特征方程的形式为det(A-λI)=0，其中det(A-λI)表示A-λI的行列式，I是单位矩阵。
求解特征方程可以得到矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn。
接下来，针对每个特征值λi，都可以通过求解线性方程组(A-λiI)v=0来得到一个特征向量vi。
需要注意的是，一个矩阵的特征值和特征向量并不一定都能够求出来，只有在某些情况下才可以求出。
例如，对于一个非方阵，就不存在特征值和特征向量。
另外，如果矩阵的特征值出现重复，那么对应于这些特征值的特征向量可能无法确定，可以使用广义特征向量来处理。
四矩阵特征值与特征向量的计算
四矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值和特征向量是矩阵分析中非常重要的概念，它们在各个领域的应用非常广泛。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质，解决方程组，降维和主成分分析等问题。
在本文中，我们将讨论如何计算矩阵的特征值和特征向量的方法和应用。
首先，我们来介绍一下矩阵的特征值和特征向量的定义。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个实数λ，使得Ax=λx，则λ称为A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
特征方程为，A-λI，=0，其中I是n阶单位矩阵。
求解特征方程，可以得到矩阵的特征值。
接下来，我们来讨论几种求解矩阵特征值和特征向量的方法。
1.特征值分解法特征值分解法是最常用的求解特征值和特征向量的方法之一、对于一个n阶矩阵A，特征值分解可以将其分解为A=PDP^(-1)，其中P是由特征向量组成的矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。
这种方法在计算上较为复杂，但可以得到全部的特征值和特征向量。
2.幂法幂法是一种迭代法，用来计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
幂法的基本思想是不断迭代一个向量，直到其收敛到矩阵的特征向量。
算法的步骤如下：(1)任意选择一个非零向量x0作为初始向量；(2) 迭代计算xk=Ax(k-1)，其中k表示迭代次数；(3) 标准化向量，即xk=xk/，xk，保证向量的模为1；(4) 判断向量是否收敛，如果满足收敛条件，则停止迭代，向量收敛到的值为矩阵的特征向量，特征值为Axk/ xk。
3.QR算法QR算法是一种迭代法，用于计算矩阵的全部特征值和特征向量。
QR 算法的基本思想是不断进行QR分解，直到得到上三角矩阵，对角线上的元素即为矩阵的特征值。
算法的步骤如下：(1)将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵；(2)令A=RQ，继续进行QR分解；(3)重复第二步，直到矩阵变为上三角矩阵；(4)上三角矩阵的对角线元素即为矩阵的特征值。
数值计算方法第04章矩阵特征值与特征向量的计算
• 计算出k=2时的x和y。 • (保留四位有效数字)
22
二、幂法的加速
因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖 于比值 2 ／1 ，当比值接近于1时，幂法收敛 很慢。幂法加速有多种，介绍两种。
23
幂法的加速—原点移位法 应用幂法计算矩阵A的主特征值的收敛速度主要
26
4 14 0 , 2.9, 用原点移位法求矩 例：A 5 13 0 0 1 0 2.8 -4 阵A的按模最大的特征值，要求误差不超过10 。 解：取x (0) (1,1,1)T , 按x ( k 1) ( A pI )x (k )进行计算 0 6.9 14 A 0 I 5 10.1 0 0 0.1 1 (3.1000568, 2.214326, 0.9687661) 4 3.1000568
在一定条件下, 当k充分大时: 相应的特征向量为:
x 1 x
x
( k 1)
( k 1 ) i (k ) i
10
幂法的理论依据 对任意向量x(0), 有 x ( 0 ) i ui , 设1不为零.
i 1 n
x
( k 1 )
Ax
n i 1
(k )
A
k 1
x
(0) n
1 Ak 1 i ui i k i ui i 1
k 1 1
2 k 1 n k 1 1u1 ( ) 2 u2 ( ) n un 1 1
k 1 1 1u1
故 1 xi( k 1) xi( k ) x(k+1)为1的特征向量的近似向量(除一个因子外).
矩阵特征值与特征向量的计算与应用
矩阵特征值与特征向量的计算与应用矩阵特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，广泛应用于各个科学领域。
在本文中，我们将探讨矩阵特征值与特征向量的计算方法以及它们在实际问题中的应用。
首先，让我们了解矩阵的特征值与特征向量的定义。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x使得下面的等式成立：Ax = λx其中，λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的重要性在于它们能够揭示矩阵A的重要性质与特征。
接下来，我们将讨论矩阵特征值与特征向量的计算方法。
一种常用的计算方法是通过求解矩阵的特征方程来得到特征值和特征向量。
特征方程的形式为：|A - λI| = 0式中，A是一个n阶方阵，λ是待求解的特征值，I是n阶单位矩阵。
解特征方程可得到特征值的集合。
然后，我们将每个特征值带入到原方程中，通过高斯消元法求解得到特征向量。
除了求解特征方程的方法外，还有其他相应的计算方法可用于求解矩阵特征值与特征向量。
例如，幂迭代法和QR算法等方法也常用于计算矩阵特征值与特征向量。
矩阵特征值与特征向量的应用十分广泛。
在物理学中，特征值和特征向量常被用于描述量子力学中的态函数和能量。
在机器学习中，特征值与特征向量可以用于降维算法，如主成分分析（PCA），通过选择最大的特征值对应的特征向量，可以将高维数据降至较低维度，保留其关键信息。
此外，在图像处理领域，特征值与特征向量可用于图像压缩算法。
通过选择图像的关键特征向量，可以将图像表示为更紧凑的形式，降低图像存储和传输的开销。
在工程领域中，特征值与特征向量也经常被用于结构振动分析。
通过求解结构系统的特征方程，可以确定系统的固有频率和模态形态，为设计和改进结构提供重要依据。
总的来说，矩阵特征值与特征向量在数学和科学领域中扮演着重要的角色。
通过计算特征值与特征向量，我们可以揭示矩阵的重要特征和性质，并将它们应用于各个领域的实际问题解决中。
在未来，我们可以预见矩阵特征值与特征向量的计算与应用将继续发挥重要作用，并在更多的领域带来新的突破与创新。
特征值与特征向量的计算
特征值与特征向量的计算特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学和工程问题中。
它们的计算方法也是学习线性代数的基础知识之一。
本文将介绍特征值与特征向量的概念以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵的运算中，特征值和特征向量是由方阵产生的重要结果。
对于一个方阵A，当存在一个非零向量v使得满足以下等式时：Av = λv其中，λ为标量，称为特征值，而v称为矩阵A对应于λ的特征向量。
特征值和特征向量的计算可以帮助我们理解矩阵的性质，比如矩阵的对角化、矩阵的相似性等。
二、特征值与特征向量的计算方法1. 通过特征方程求解要计算一个矩阵的特征值和特征向量，最常见的方法是通过特征方程求解。
对于一个n阶方阵A，其特征值求解的步骤如下：a) 计算矩阵A与单位矩阵的差值A-λI，其中λ为待求的特征值，I 为n阶单位矩阵。
b) 解特征方程|A-λI|=0，求得特征值λ。
c) 将求得的特征值代入方程A-λI=0，解出特征向量v。
2. 使用特征值分解方法特征值分解是另一种计算特征值和特征向量的方法，适用于对角化矩阵。
对于对角化矩阵A，其特征值分解的步骤如下：a) 求解A的特征值λ和对应的特征向量v。
b) 将特征向量v按列组成矩阵P。
c) 求解对角矩阵D，其中D的对角线元素为特征值。
d) 根据A=PDP^-1，将计算得到的矩阵P和D代入，求解出矩阵A。
三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量的计算方法在实际应用中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 机器学习中的主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的降维技术，通过特征值与特征向量的计算可以实现数据降维和分析。
2. 物理学中的量子力学量子力学中，量子态可由特征向量表示，相应的能量则为特征值，通过求解特征值和特征向量，可以揭示微观粒子的性质。
3. 图像处理中的特征提取在图像处理的过程中，通过计算图像的特征值和特征向量，可以提取出图像的关键信息，用于图像识别、分类等任务。
矩阵特征与特征向量的计算
矩阵特征与特征向量的计算首先，我们来定义矩阵的特征值和特征向量。
设A是一个n阶方阵，如果存在一个数λ和一个n维非零向量v，使得Av=λv，那么称λ是矩阵A的一个特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
接下来我们来看矩阵特征值的计算。
设A是一个n阶方阵，特征多项式定义为f(λ)=，A-λE，其中E是n阶单位矩阵。
特征多项式f(λ)是一个以λ为变量的n阶多项式。
那么矩阵A的特征值就是使得特征多项式f(λ)为0的λ的解。
特征多项式的根可以通过解方程f(λ)=0得到，但通常这样的计算是非常繁琐的，特别是对于高阶矩阵。
所以我们通常使用特征值的性质和计算方法来简化计算。
首先，特征值有一个非常重要的性质：特征值是与A的行列式相等的。
即特征值的和等于矩阵A的迹（即主对角线上元素的和），特征值的乘积等于矩阵A的行列式。
这个性质可以方便地用于计算特征值的近似值。
其次，特征值还有一个重要的性质：特征值与矩阵A的转置矩阵和逆矩阵相等。
即如果λ是矩阵A的特征值，那么对应的特征向量也是矩阵A的转置矩阵和逆矩阵的特征向量。
这个性质可以方便地用于计算特征向量。
接下来我们来看特征向量的计算。
对于给定的特征值λ，我们要找到对应的特征向量v。
我们可以将特征向量问题转化为求解线性方程组的问题，即求解(A-λE)v=0。
这个线性方程组称为齐次线性方程组，他的解空间就是特征值λ的特征向量的集合。
我们可以使用高斯消元法、矩阵的行列式等方法来求解这个线性方程组。
最后，我们来总结一下计算矩阵特征和特征向量的步骤：1.计算特征多项式f(λ)=，A-λE，展开并化简得到f(λ)=a_nλ^n+a_(n-1)λ^(n-1)+...+a_1λ+a_0。
2.解方程f(λ)=0，得到特征值λ1,λ2,...,λn。
3.对于每个特征值λ_i，求解线性方程组(A-λ_iE)v_i=0，得到对应的特征向量v_i。
4.对特征向量进行归一化处理，使其模长为1实际应用中，矩阵特征和特征向量的计算通常使用计算机进行，可以使用数值方法如幂法、反幂法、QR分解等来近似计算特征值和特征向量。
第四章方阵的特征值和特征向量的计算
4
设α 1≠0，当k充分大时有
k 1
|
2 1
| 1, ,|
n
n 1
| 1
i k [im k lim k k 1k 1 n lim[ a1 x1 ai ( i ) k xi ] a1 x1 k 1 i 2
v0 u0 max(v0 )
11
vk vk A uk 1 , uk , k 0,1, 2, max(vk ) xn 1 lim uk , lim max(vk ) k k max( xn ) n
1
注
Avk uk 1 可用解方程组 来完成，该方程组是同一个系数矩阵的一系列方程组，为 节约计算工作量，可采用三角分解法来求解。
k
这样就有
T T T T Tk Sk Sk 1 S2 S1T AS1S2 Sk 1Sk Sk Tk 1Sk
diag (1 , 2 ,, n )
( ( tijk ) , sijk ) 表示Tk 和Sk的元素。 {Tk}是相似矩阵序列，分别用
14
定义4.2
( ( vk (tijk ) )2 , wk (tijk ) ) 2 i 1 j 1 j i i 1 j 1
i k 1 { [ a1 x1 ai ( ) xi ]}m 1 i2 lim n k i k k {1 [ a1 x1 ai ( ) xi ]}m 1 i2
k 1 1 n
(vk 1 ) m lim k (v ) k m
( a1 x1 ) m ( x1 ) m 1 1 1 ( a1 x1 ) m ( x1 ) m
v u max(v)
u0
其中 max(v) 表示向量 v 的绝对值（或模）为最大的分量， v0 因此有计算公式。
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2 ，比值越小，收敛越快。 1
几点说明： 1）如果u0的选取恰恰使得1 0, 乘幂法计算仍能进行。 因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然会 产生一个向量uk , 它在x1方向上的分量不为零，可以说实际 中出现1 0的可能性几乎为零。
2）因uk 1k1 x1 , 计算过程中可能会出现溢出( 1 1) 或成为0( 1 1)的情形。解决方法：每次迭代所求的向量 都要规范化。因此，乘幂法实际使用的计算公式是
n
uk j i k 由lim( ) 0 1 = lim ,(j 1, 2, k k u 1 k 1 j
n)
uk j 1 uk 1 j
按上面式子计算矩阵A 按模最大的特征值与相应的 特征向量的方法称为乘幂法。 乘幂法的收敛速度依赖 于比值
／1 ,当比值接近于1时，乘幂法收敛很慢。 比值 2
乘幂法加速有多种，重点介绍原点平移法。
矩阵A与A pI 的特征值有以下关系：若i 是A 的特 征值，则i p就是A pI 的特征值，而且相应的特征向 量不变。如果用矩阵A pI 按uk Auk 1计算，则有 uk ( A pI )uk 1
a22 a11 2 1 t t 0 a12
解二次方程可以求出t , 容易得到 c 1 1 t
2Байду номын сангаас
s ct
（1） a 0 c s T T 11 A1 RAR ， R （1） s c 0 a 22 R T的两个列向量是相应的特征向量。
再将A 2中（2,3）和（3,2）位置上的元素变成0， 0 0 1 取R 2 0 0.975 0.226 0 0.226 0.975
做正交相似变换后得到 3.366 0.0735 0.317 T A3 =R2 AR2 0.0735 1.780 0 0.317 0 1.145
例
考虑三阶矩阵
1 0 2 A0 0 2 1 2 1 1
将A 0中（3,1）和（1,3）位置上的元素变成0， 0.707 0 0.707 取R 0 0 1 0 0.707 0 0.707
做正交相似变换后得到 0.707 0 3 T A1 =R0 AR0 0.707 2 0.707 0 0.707 1
, n) ，
1 2
n 0 ，所对应的 n 个特征向量
uk j 特征向量，1 uk -1
x1 , x2 , , xn线性无关。 任取非零的初始向量u0，构造向量序列uk Auk 1 向量uk 逼近A的主特征值（按模最大的）对应的
存在不全为零的常数 （ , n）,（这里假设1 0）， i i 1, 2, 使得u0 i xi
上述方程等价于 s a22 a11 s 2 1 2 0 c a12 c
如果(c 2 s 2 )a12 cs (a22 a11 )=0，则RART 成为对角阵， 上述方程等价于 s a22 a11 s 2 1 2 0 c a12 c
s sin 令，t = = 代入则有 c cos
（1） 令(c 2 s 2 )a pq cs (aqq a pp )=0，则a pq =0，
故只要k充分大，就有
i k uk [1 x1 ( ) i xi ] 1k1 x1 i 2 1
k 1 n
因此，可把uk 作为与1相应的特征向量的近似，uk 1k1 x1
uk j 有 uk 1 j
i k 1 x1 j ( ) i xi j i 2 1 1 n 1 x1 j ( i )k 1 i xi j i 2 1
反幂法规范后的计算格式
Auk Vk 1 Ck max(uk ) V u ／C k k k
xn limVk k max( xn )
lim C k
k
1
n
四、利用原点平移的反幂法求任一特征值和特征向量
用带原点平移的反幂法来修正特征值，并求 相应的特征向量是非常有效的。 设已知A的一个特征值i 的近似值为 ，因 接近i，一般有 0< i j ( j i )
对矩阵A1用乘幂法得 uk A-1u k 1， 因为A1 的计算 比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质 （如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解 方程组 Auk u k 1，代替迭代 uk A-1u k 1 求得uk，每 迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过 程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
uk AVk 1， uk Vk (u ) , k max
其中(uk ) max 是uk的绝对值最大的分量 lim(uk ) max 1 ,
k
x1 lim Vk k ( x1 ) max
3）重根情形乘幂法也可以计算。
二、乘幂法的加速
因为乘幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的 序列 A k ，当k越大时A k 就越接近于对角矩阵，从而 得到A特征值更好的近似。
定义n阶正交矩阵 1 1 cos R sin p
sin 1 1 cos 1
q
再将A1中（2,1）和（1,2）位置上的元素变成0， 0.888 0.460 0 取R1 0.460 0.888 0 0 0 1
做正交相似变换后得到 0 0.325 3.366 A2 =R1 AR1T 0 1.634 0.628 0.325 0.628 1
第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
工程实践中有多种振动问题，如桥梁 或建筑物 的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及 一些稳定 性分析和相关分析可转 化为求矩阵特征值与特征向 量的问题。
矩阵A aij
n n
的特征值是A的特征多项式
f ( ) I A 的n个零点.
但高次多项式求根精度低 , 一般不作为求解方 法. 目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的 有效方法.
p q 1 (q p)
(1) 记 c cos , s sin ，做正交相似变换A1 RAR T = aij
nn
，
得
(1) aij aij
(i, j p, q ) ( j p, q ) ( j p, q )
故i 是矩阵A I 的按模最小的特征值，且由 上式可知，比值 i ／ j ( j i )较小。
因此，对A I 用反幂法求i 一般收敛很快， 通常只要经过二、三次迭代就能达到较高的精度。
4.2 雅可比（ Jacobi ）方法
Jacobi方法是用来求实对称矩阵的全部特征 值和对应特征向量的一个古典算法。Jacobi方法 的基本思想是对矩阵A做一系列的正交相似变换， 使其非对角元素收敛到零，从而使该矩阵近似为 对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。
( i 2, 3,
, n)
2 n 2 n 2 n 2 2 p 1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1 因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
一、古典雅可比方法
先考虑二维问题，A为实对称矩阵，R为正交矩阵 a11 a12 cos sin A R sin cos a21 a22 做正交相似变换，记 c cos , s sin c s a11 A1 RAR =RAR a s c 21
2 p k (1 p) [1 x1 ( ) 2 x2 1 p
k
n p k ( ) n xn ] 1 p
uk ( A pI )uk 1
2 p k (1 p) [1 x1 ( ) 2 x2 1 p
k
n p k ( ) n xn ] 1 p
-1 T
a12 c s a22 s c
c 2 a11 2csa12 s 2 a22 (c 2 s 2 )a12 cs(a22 a11 ) = 2 2 2 2 s a11 2csa12 c a22 (c s )a12 cs(a22 a11 ) 如果(c 2 s 2 )a12 cs (a22 a11 )=0，则RART 成为对角阵，
a (1) pj ca pj saqj
(1) aqj sa pj caqj
2 2 a (1) c a 2 csa s aqq pp pp pq (1) aqq c 2 a pp 2csa pq s 2 aqq 2 2 a (1) ( c s ) a pq cs ( aqq a pp ) pq
常用解法 1、 乘幂法和反幂法 2、求实对称矩阵特征值的雅可比方法 3、求矩阵全部特征值的QR方法
4.1 乘幂法和反幂法
一、乘幂法
乘幂法主要是用来求矩阵的按模最大的特征值与 相应的特征向量。它是通过迭代产生向量序列，由此计 算特征值和特征向量。
设 n 阶实矩阵 A R
满足
nn
的 n 个特征值为 i (i 1, 2,
i 1 n
uk Au k 1 Ak u0 Ak ( i xi ) i ik xi
i 1 i 1
n
n
由1 0, 1 i ( i 2, 3,