22届考生考研数学寒假作业高等数学第二章(新大纲精编版,含真题与详解)

考研数学寒假作业2第二章 一元函数微分学习题（解答在后面）1.设函数()()()2()12x x nxf x e e en =---,其中n 为正整数，则(0)f '=（ ）.（A ）()()111!n n ---（B ）()()111!n n ---（C ）()11!n n --（D ）()1!nn -2.设(1)(),(0)(,0)f x af x f b a b '+==≠, 求(1)f '.3. 设函数在处可导，且，则（）. （A ）（B ）（C ）（D ）4.设函数在处连续，且，则（）.(A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D)存在5.设2(1)(1)()lim 1n x n x n x e ax bf x e --→∞++=+，问a 与b 为何值时，()f x 可导，并求()f x '． 6.曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a =（）.（A ）4e （B ）3e （C ）2e （D ）e7. 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，0x ∆>，则（ ）. （A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<< (D)0dy y <∆<8.设()f x 可导且01'()2f x =，则0x ∆→时，()f x 在点处的微分dy 是（）. A.与x ∆等价的无穷小 B.与x ∆同阶的无穷小 C.比x ∆低阶的无穷小 D.比x ∆高阶的无穷小9.设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩，()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（）. （A ）极限不存在（B ）极限存在，但不连续)(x f 0=x 0)0(=f =-→3320)(2)(limx x f x f x x )0(2f '-)0(f '-)0(f '0()f x 0x =()22lim1h f h h→=()()000f f -'=且()()010f f -'=且()()000f f +'=且()()010f f +'=且0x（C ）连续，但不可导(D)可导10.设函数可微，，则(1)g 等于（）.（A ）ln 31-.（B ）（C ）ln 2 1.--（D ）11.已知是由方程确定，则（）.（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-212.设是由方程所确定的隐函数，求22x d ydx=.13.求sin (0)x y x x =>的导数.14.求函数y =的导数.15.曲线上对应于处的法线方程为________．16.设函数，则________.17.求函数在处的阶导数()(0)n y .18. 44sin cos y x x =+，求()n y.19. 已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽w 以3/cm s 的速率增加，则当12l cm =,5w cm =时，它的对角线增加的速率为___________．20. 设函数)(x f 在[]0,1上连续，在()0,1上可导，，证明：在()0,1内存在，使得．21.证明：当0x >时,ln(1)1xx x x<+<+. 22.证明：当0b a <<时，bba b a a b a -<<-ln . 23.设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()g x 1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===ln3 1.--ln 2 1.-()x f y =()1ln cos =+-x y xy =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→12lim n f n n ()y y x =21yx y e -+=⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 1=t 123y x =+()(0)n y =)1ln(2x x y +=0=x )3(≥n n 0)1(=f ξξξξ)()(f f -='24.求.sin 2lim 0xx xe e x x x ----→25..26.求极限.27. 计算.28.求极限29.证明：当时，. 30. 证明方程在区间内有两个实根. 31. 讨论曲线与的交点个数. 32. 函数的驻点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）333. 设，则的零点个数为（）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）334.求函数的极值 .35.求的在上的最大值与最小值. 36. 设函数 ⑴求的最小值； ⑵设数列满足，证明极限存在，并求此极限．37.曲线的拐点为______.38.求椭圆在点处的曲率及曲率半径.39. 假设某公司每天生产某商品单位时的固定成本为元,边际成本函数为11ln lim (1)x xx e →+∞-xx x 2tan 4)(tan lim +→π403cos 2lim 2x x e x x -+→)]1ln([cos lim222x x x ex x x -+--→0a b π<<<sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++1ln -=exx ),0(+∞4ln y x k =+44ln y x x =+)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 2()(1)(2)f x x x x =--()f x '32)1()4()(+-=x x x f 14123223+-+=x x x y ]4,3[-xx x f 1ln )(+=)(x f {}n x 11ln 1<++n n x x n n x ∞→lim 23(5)y x x =-⎩⎨⎧==t b y ta x sin cos ),0(b Q 40（元/单位）.求（I ）总成本函数及最小平均成本;（II ）若该商品的销售价格为元,且商品全部售出,问每天生产多少单位该商品时获得最大利润,最大利润是多少?（Ⅲ）当时的边际利润,并解释其经济意义.第二章 一元函数微分学答案1.设函数()()()2()12x x nxf x e e en =---,其中n 为正整数，则(0)f '=（ ）.（A ）()()111!n n ---（B ）()()111!n n ---（C ）()11!n n --（D ）()1!nn -分析 (0)0f =，0x →时，1~xe x -，所以用导数定义求(0)f '简单.解()()()()()210012()(0)(0)lim lim11!0x x nxn x x e e en f x f f n x x-→→----'===---，所以选（A ）.2.设(1)(),(0)(,0)f x af x f b a b '+==≠, 求(1)f '. 分析 抽象函数求导数必须用导数的定义式. 解 000(1)(1)()(0)()(0)(1)limlim lim (0)x x x f x f af x af f x f f a af ab x x x→→→+---''=====. 考点2 利用导数定义求极限方法：()y f x =在点0x 处可导，则极限0000()()lim()h f x h f x f x h→+-'=存在.3. 设函数在处可导，且，则（）. （A ）（B ）（C ）（D ） 分析)(x f 在0=x 处可导，则极限0(0)(0)lim(0)h f h f f h→+-'=，再求所给极限.()0.22C Q Q '=+()C Q 2060Q =)(x f 0=x 0)0(=f =-→3320)(2)(limx x f x f x x )0(2f '-)0(f '-)0(f '0解)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则极限00(0)(0)()limlim (0)h h f h f f h f h h→→+-'== 2333300()2()()()lim lim(2)(0)x x x f x f x f x f x f x x x →→-'=-=-.所以选（B ）. 4.设函数在处连续，且，则（）.(A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D)存在 分析 由连续及左右导数的定义即可得到答案.解()f x 在0x =处连续⇒()()0lim 0x f x f →=；()()222lim1lim 0h h f h f h h →→=⇒=从而()()0lim 00x f x f →==()()()222201limlim(0)h h f h f h f f hh+→→-'===，所以选(C).5.设2(1)(1)()lim 1n x n x n x e ax b f x e --→∞++=+，问a 与b 为何值时，()f x 可导，并求()f x '． 分析 由连续及左右导数的定义即可得到答案. 解：1x >时，(1)lim n x n e -→∞=+∞；1x <时，(1)lim 0n x n e -→∞=；2,11(),12,1x x a b f x x ax b x ⎧>⎪++⎪∴==⎨⎪+<⎪⎩.由1x =处连续性得：11lim ()lim ()11x x f x f x a b -+→→==⇒+=. 由1x =处可导性得：(1)(1)f f -+''=，111(1)2(1)lim lim 11x x a b ax b ax b f f a x x ---→→+++-+-'===--， ()f x 0x =()22lim1h f h h→=()()000f f -'=且()()010f f -'=且()()000f f +'=且()()010f f +'=且21(1)(1)lim 21x x f f x ++→-'==-，故2a =.那么2a =，1b =.于是2, 1()1, 121,1x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩， 2,1()2, 1x x f x x ≥⎧'=⎨≤⎩.6.曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a =（）.（A ）4e （B ）3e （C ）2e （D ）e分析 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则它们有共同的切点及斜率，从而解出a解 因与相切，故. 在上，时，.在上，时，. ln ln 1e 2e 22222a a a a aa ⇒=⋅⇒=⇒=⇒=， 所以选择（C ）7. 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，0x ∆>，则（ ）. （A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<< (D)0dy y <∆<分析本题考查y ∆与dy 的关系，可通过画()y f x =的图像得到答案，也可举例得到答案. 解()2(),0,y f x x x ==∈+∞，且()0,()0f x f x '''>>，0x ∆>，则选项（A ）正确. 8.设()f x 可导且01'()2f x =，则0x ∆→时，()f x 在点处的微分dy 是（）. A.与x ∆等价的无穷小 B.与x ∆同阶的无穷小 C.比x ∆低阶的无穷小 D.比x ∆高阶的无穷小 分析 考查微分的计算公式和无穷小的关系.解 应选（B ）.由于()f x 在点的微分则 2x y =)0(ln ≠=a x a y 212a x x a x =⇒⋅=2x y =2ax =2a y =)0(ln ≠=a x a y 2a x =2lnaa y =2ln 21a a =0x 0x 001'()'(),2dy f x dx f x x x ==∆=∆则当时，与为同阶无穷小.9.设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩，()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（）. （B ）极限不存在（B ）极限存在，但不连续 （C ）连续，但不可导(D)可导分析 应先计算()f x 在0x =处的导数，如果可导则连续从而极限存在，解()()20000()(0)limlim lim ()00x x x f x f x g x f xg x x x----→→→-'====- ()()2330002201cos 2(0)lim lim lim 00x x x x f x f x f x x x ++++→→→--'====- 所以(0)0f '=，则选(D). 10.设函数可微，，则(1)g 等于（）.（A ）ln 31-.（B ）（C ）ln 2 1.--（D ）分析 先求()h x 的导数，再代入已知条件可得(1)g . 解 ∵ ，,(1)ln 21g =--，因此选（C ）.11.已知是由方程确定，则（）.（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 分析 给方程两边对x 求导，得到'(0)f ，再由导数求极限. 解 将代入方程得，在方程两边对x 求导，00112lim lim 2,x x xdy x x ∆→∆→∆==∆∆0x ∆→dy x ∆()g x 1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===ln3 1.--ln 2 1.-1()()()g x h x g x e +''=1(1)12g e+=()x f y =()1ln cos =+-x y xy =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→12lim n f n n 0=x 1)0(==f y得，代入1,0==y x ，知1)0(')0('==f y ． 2)0('22)0()2(lim 212lim ==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ，故应该选（A ）． 12.设是由方程所确定的隐函数，求22x d ydx=.分析 给方程两边对x 求导得到一个新的方程，再给新的方程两边对x 求导，解出202x d ydx=解 将代入原方程可得 方程21yx y e -+=两端对x 求导，有2y dy dy x e dx dx-=（1） 将0x =、0y =代入方程（1）可得，所以0x dy dx ==.再次求导得（2） 再将、0y =、0x dydx==代入方程（2）可得221x d ydx==．13.求sin (0)x y x x =>的导数.分析 利用幂指函数求导的方法，求其导数. 解法1 两边取对数,得ln sin ln y x x =上式两边对x 求导,得11cos ln sin y x x x y x'=⋅+⋅, 于是sin 1sin (cos ln sin )(cos ln )xxy y x x x xx x xx'=⋅+⋅=⋅+. 解法2sin ln x x y e =)sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅.01')')(sin(=+-+-yy xy y xy ()y y x =21yx y e -+=0x =0y =222222y y d y dy d y e e dx dx dx ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭0x =14.求函数y =的导数.分析 两边取对数，再求导. 解 先在两边取对数(假定4x >),得[ln()(1ln 1ln 2ln )(3ln )],()42y x x x x =-+-----上式两边对x 求导,得111111()21234y y x x x x '=+------, 于是1111()21234y y x x x x '=+------. 当1x <时,y =; 当23x <<时,y =用同样方法可得与上面相同的结果.注：严格来说,本题应分4,1,23x x x ><<<三种情况讨论,但结果都是一样的.15.曲线上对应于处的法线方程为________．分析 先求参数方程所确定函数的导数，再求法线方程.解 当时，，1|111|'1221=++===t t t t ty ， 所以法线方程为)4(12ln 21π--=-x y ．16.设函数，则________.分析 先一阶一阶求函数的导数，再总结规律；也可套用公式()()()()1(1)n n n ax b n x a ααααα-⎡⎤+=---⋅⎣⎦解法一 ()()()()()()123223,1232,12232,y x y x y x ---'''=+=-+⋅=--+⋅()()()()43123232y x -'''=---+⋅则，故. 解法二 ()123,1,2y x a α-=+=-=，⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 1=t 1=t 2ln 21,4==y x π123y x =+()(0)n y =()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=代入公式()()()()1(1)()n n n ax b n ax b a ααααα-⎡⎤+=---+⋅⎣⎦，得()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 17.求函数在处的阶导数()(0)n y .分析 因为()()()203k x k =≥且函数是两个函数积的n 阶导数，所以考虑用莱布尼茨公式∑=-=nk k k n k n n v u C uv 0)()()()(求()n y .解 []()()()11!ln(1)1(1)n n nn x x --+=-+[][]()[]()()(1)(2)()021222ln(1)ln(1)ln(1)n n n n n n n y C x x C x x C x x --'''=+++++()()()()()()1232121!2!3!(1)11212(1)(1)2(1)n n n nn n n n n n n x n x x x x ---------=-⋅+⋅-⋅+-⋅+++1()(1)!(0)2n n n y n --=-.18. 44sin cos y x x =+，求()n y .分析 先降幂，再求导.解4422222sin cos (sin cos )2sin cos y x x x x x x =+=+-2111cos4311sin 21cos422244x x x -=-=-=+.∴()14cos(4)2n n y x n π-=+⋅.19. 已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽w 以3/cm s 的速率增加，则当12l cm =,5w cm =时，它的对角线增加的速率为___________．分析 利用参数方程所确定函数的求导. 解 设()(),,t y w t x l ==由题意知，在0t t =时刻()120=t x ，，且， 又()s t =)1ln(2x x y +=0=x )3(≥n n ()50=t y ()()3,200='='t y t x所以()x t x t y t y t s t ''+'=所以()03x t x t y t y t s t ''+'===.20. 设函数)(x f 在[]0,1上连续，在()0,1上可导，，证明：在()0,1内存在，使得．分析()()()()()0f f F f f ξξξξξξξ'''=-⇒=+=()()()0()()()()()F x f x xf x F x f x xf x F x xf x ''''⇒=+=⇒=+⇒=证令()()F x xf x =，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 (0)0(0)0,(1)1(1)0F f F f ====,()()()F x f x xf x ''=+.由罗尔定理知，存在，使得()()()0F f f ξξξξ''=+=，即．21.证明：当0x >时,ln(1)1xx x x<+<+. 分析 给ln(1)1x x x x<+<+两边同除以x 得到1ln(1)ln(10)110x x x +-+<<+-，将ln(1)x +中的x 换为t 得到函数()ln(1)f t t =+，函数()ln(1)f t t =+在区间[]0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件，得到结论()(0)()0f x f f x ξ-'=-，再利用()f t '的单调性得到所证不等式.证 设()ln(1)f t t =+,显然()f t 在[]0,x 连续，在()0,x 上可导，由拉格朗日中值定理知，()0,x ξ∃∈，使得()(0)ln(1)ln(10)ln(1)1()001f x f x x f x x x ξξ-+-++'====--+.0)1(=f ξξξξ)()(f f -=')1,0(∈ξξξξ)()(f f -='由于()11f t t'=+在区间[]0,x 单调递减， 因此1ln(1)11()11110x f x x ξξ+'<==<=+++， 所以x x xx <+<+)1ln(1.22.证明：当0b a <<时，bba b a a b a -<<-ln . 分析由b b a b a a b a -<<-ln 得到1ln ln 1a b a a b b-<<-，将ln a 中的a 换为x 得到函数()ln f x x =，函数()ln f x x =在区间[],b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，得到结论()()()f a f b f a bξ-'=-，再利用()f t '的单调性得到所证不等式.证: 令()ln f x x =，()f x 在[],b a 上连续，在(),b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，存在(),b a ξ∈，使()ln ln 1a b f a b ξξ-'==-，由于()1f x x'=在[],b a 上单调递减，所以1ln ln 11()a b f a a b b ξξ-'<==<-，即bb a b a a b a -<<-ln .23.设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()()210f f f ξξ'=-⎡⎤⎣⎦.分析 将结论变形为()()2210()102f f f ξξ-'=-，得到()f x ，2()g x x =，函数()f x ，2()g x x =在[0,1]上满足柯西中值定理的条件，从而得到所证结论. 证 令2()g x x =，()f x ，2()g x x =在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，由柯西中值定理知在),(b a 内至少存在一点ξ ,使得(1)(0)()(1)(0)()f f fg g g ξξ'-='-即()(1)(0)2f f f ξξ'-=，所以()()()210f f f ξξ'=-⎡⎤⎣⎦ 24.求.sin 2lim 0xx xe e x x x ----→分析 该极限为型且分子分母分别求导数后的极限也存在，所以可以使用洛必达法则. 解xx x e e x x x sin 2lim 0----→x e e x x x cos 12lim 0---=-→x e e x x x sin lim 0-→-=x e e xx x cos lim 0-→+=.2= 25..分析 该极限为型，先取对数，再使用洛必达法则.解26.求极限.分析 该极限为型，先取对数，再使用洛必达法则.解. 27. 计算.分析 将分子中的函数，展开到相互抵消剩下第一项加上该项的高阶无穷小，再求极限.解从而11ln lim (1)x xx e →+∞-001211111ln 111limlimln(1)11lim1ln 1lim (1)x x x x x x xx xx e x xe e e xxe x e eeee →+∞→+∞→+∞⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭--⋅---→+∞-====xx x 2tan 4)(tan lim +→π∞144ln tan lim lim (sin 2)cot 2tan 2tan 2ln tan 1441lim (tan )lim x x x x xxx xx x x eeee eππππ++→→++-⋅-→→=====403cos 2lim 2x x e x x -+→cos x 2x e 2x e ),(!211442x o x x +++=x cos ),(!4!21442x o x x ++-=∴3cos 22-+x e x ),(!412!2144x o x +⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=403cos 2lim 2xx e x x -+→4440)(127lim x x o x x +=→.127=28.求极限 分析 将分子分母中的函数，，展开到相互抵消剩下第一项加上该项的高阶无穷小，但幂函数不展开，再求极限.解 . 29.证明：当时，. 分析 由所证结论知，只需证明，从而得到.证 令，严格单调减少又故时，，在上单调增加（严格），所以.30. 证明方程在区间内有两个实根. 分析 令欲证题设结论等价于证在内有两个零点. 证 设 令因故在内有一零点.)]1ln([cos lim222x x x ex x x -+--→cos x 22x e -ln(1)x -2224244222002321()[1()]22422!cos lim lim [ln(1)][()]2x x x x x x x o x o x x e xx x x x x x o x -→→-⎛⎫⎪⎡⎤⎝⎭-++--++⎢⎥-⎣⎦+---+＝444052()124lim 6()2x x o x x o x →-+==-+0a b π<<<sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++()sin 2cos f x x x x x π=++()()0,0,f x x π'>∈()()f b f a >()sin 2cos f x x x x x π=++()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴()cos 0f ππππ'=+=0x π<<()0f x '>()f x ()0,π()()f b f a >1ln -=exx ),0(+∞,1ln )(+-=exx x f )(x f ),0(+∞,1ln )(+-=exx x f 011)(=-='ex x f ⇒.e x =,1)(=e f ,)(lim 0-∞=+→x f x )(x f ),0(e又因在内故在内单调增加，这零点唯一. 因此, 在内有且仅有两个零点. 31. 讨论曲线与的交点个数.分析 求曲线与的交点个数即是求方程根的个数.解 令，为驻点.当时，；当时，，故为的最小值.当，即时，，两个曲线无交点.当，即时，，两个曲线仅有一个交点.当，即时，故仅有两个根，分别再与内，两个曲线仅有两个交点. 32. 函数的驻点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 分析 求，再求的点. 解由，得驻点个数为233. 设，则的零点个数为（）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3),0(e ,0)(>'x f )(x f ),0(e )(x f ),0(+∞4ln y x k =+44ln y x x =+4ln y x k =+44ln y x x =+4ln 4ln 40x x x k -+-=4()ln 4ln 4f x x x x k =-+-33444(ln 1)()ln 4x x f x x x x x-+'=-+=1x =01x <<()0f x '<1x >()0f x '>(1)4f k =-()f x (1)40f k =->4k <4()ln 4ln 4(1)0f x x x x k f =-+-≥>(1)40f k =-=4k =4()ln 4ln 4(1)0f x x x x k f =-+-≥=(1)40f k =-<4k >300lim ()lim ln (ln 4)4x x f x x x x k ++→→⎡⎤=⋅-+-=+∞⎣⎦3lim ()lim ln (ln 4)4x x f x x x x k →+∞→+∞⎡⎤=⋅-+-=+∞⎣⎦()f x ()0,1()1,+∞)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f ()f x '()0f x '=3ln 2ln 1ln )3)(2)(1(ln )(-+-+-=---=x x x x x x x f ()()()211131211()0123123x x f x x x x x x x -+'=++==------2()(1)(2)f x x x x =--()f x '分析 求，再求的点.解，，得驻点个数为3.34.求函数的极值 .分析 求，再求导数等于零的点及导数不存在的点，由的正负判断极值点. 解在内连续,;令,得驻点;为的不可导点;极大值为,极小值为.35.求的在上的最大值与最小值.分析 求的驻点及驻点处函数值，并与端点处的函数值比较，从而的到最值. 解 解方程得计算 比较得最大值最小值 36. 设函数 ⑴求的最小值； ⑵设数列满足，证明极限存在，并求此极限．分析 求的驻点，由一阶导的正负得到单调区间，从而的到最小值；利用单调有界数列必有极限证明极限存在，并求此极限.解（1）， 令，得唯驻点，()f x '()0f x '=432()32f x x x x =-+2()(494)0f x x x x '=-+=32)1()4()(+-=x x x f ()f x '()f x '()f x (),-∞+∞313)1(5)(+-='x x x f ()0f x '=1x =1x =-()f x (1)0f -=343)1(-=f 14123223+-+=x x x y ]4,3[-()f x ),1)(2(6)(-+='x x x f ,0)(='x f .1,221=-=x x ;23)3(=-f ;34)2(=-f ;7)1(=f ;142)4(=f ,142)4(=f .7)1(=f xx x f 1ln )(+=)(x f {}n x 11ln 1<++n n x x n n x ∞→lim ()f x n n x ∞→lim 22111)('xx x x x f -=-=0)('=x f 1=x当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以函数在处取得最小值． （2）证，但，所以，故数列单调递增 又由于，得到，数列有界.由单调有界收敛定理可知极限存在．令，则，而 所以．37.曲线的拐点为______.分析 求等于零及不存在的点，判断等于零及不存在的点左右邻域内的正负，若异号则为拐点，若同号则不是拐点.解，， ， 时，；时，不存在在左右附近异号，在左右附近，且 故曲线的拐点为.38.求椭圆在点处的曲率及曲率半径.分析 先计算给定点处参数方程所确定函数的一阶和二阶导数值，带入公式直接计算. 解 点对应的参数由于)1,0(∈x 0)('<x f ),1(∞∈x 0)('>x f 1=x 1)1(=f 11ln 1<++n n x x 11ln ≥+n n x x nn x x 111<+{}n x 11ln ln 1<+≤+n n n x x x e x n <<0{}n x n n x ∞→lim a x n n =∞→lim 11ln 1ln lim 1≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→a a x x n n n 11lim ln ln 1n n n x a x a →∞⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭1lim ==∞→a x n n 23(5)y x x =-()f x ''()f x ''()f x ''()f x ''5325y xx =-23131351010(2)333x y x x x -+'=-=134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-0y ''=0x =y ''1x =-y ''0x =0y ''>(1)6y -=-(1,6)--⎩⎨⎧==t b y ta x sin cos ),0(b ),0(b ,2π=t故将代入得由曲率公式,有所求曲率半径为39. 假设某公司每天生产某商品单位时的固定成本为元,边际成本函数为（元/单位）.求（I ）总成本函数及最小平均成本;（II ）若该商品的销售价格为元,且商品全部售出,问每天生产多少单位该商品时获得最大利润,最大利润是多少?（Ⅲ）当时的边际利润,并解释其经济意义. 分析 直接根据经济数学概念和术语求解. 解（I ）因为,所以总成本函数为平均成本为 即 令得(舍去); 由于实际问题,故当时,平均成本最小,且最小平均成本为（II ）总收益函数总利润函数,sin )(t a dtdxt -=='ϕ,cos )(t a t -=''ϕ,cos )(t b dtdyt =='ψt b t sin )(-=''ψ2π=t ,2a dtdx -==⎪⎭⎫ ⎝⎛'πϕ,02=⎪⎭⎫ ⎝⎛''πϕ,02==⎪⎭⎫ ⎝⎛'dt dy πψ,2b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛''πψ2/2/322)]()([|)()()()(|πψϕψϕψϕ='+''''-'''=t t t t t t t K 2ab =.2ba R =Q 40()0.22C Q Q '=+()C Q 2060Q =()0.22C Q Q '=+20()()d 40(0.22)d 400.1240,Q QC Q C t t t t Q Q '=+=++=++⎰⎰()40()0.12,C Q C Q Q Q Q==++240()0.1,C Q Q'=-()0,C Q '=1220,20Q Q ==-11203801()0,100Q C Q Q =''==>120Q =2040(20)0.12 6.Q C Q Q =⎛⎫=++= ⎪⎝⎭()20,R Q Q =令得;由于实际问题,故每天生产90单位产品时获得最大利润,且最大利润为(元).（Ⅲ）(元),其经济意义为: 销售第61件该商品时所得利润为6元.2()()()180.140,L Q R Q C Q Q Q =-=--()180.20,L Q Q '=-=190Q =90()0.20,Q L Q =''=-<()290(90)180.140270Q L Q Q ==--=60(60)180.26Q L Q ='=-=。