初中奥数系列：7.3.1一次函数的图象及性质(2).讲义学生版

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第2讲一次函数的图像及性质(讲义)解析版

（2）由图像可得： x ³ 6 ．【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．例 9.已知一次函数解析式是 y = 1 x - 3 ．
2
（1）当 x 取何值时， y = 2 ? （2）当 x 取何值时， y > 2 ? （3）当 x 取何值时， y < 2 ? （4）当 x 取何值时， 0 < y < 2 ?
2 （4）令 0 < 1 x - 3 < 2 ，解得： 6 < x < 10 ．
2 【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解．例 10.已知函数 f (x) = -3x + 1 ．
（1）当 x 取何值时， f (x) = -2 ? （2）当 x 取何值时， 4 > f (x) > -2 ? （3）在平面直角坐标系中，在直线 f (x) = -3x + 1 上且位于 x 轴下方所有点，它们的横坐标的取值范围是什么?
A． x < 0
B． x > 0
C． x < 2
D． x > 2 ．
【答案】A
【分析】根据题意在函数图像中寻找 y > 3 时函数图像所在的位置，发现此时函数图像对
应的 x 范围是小于零，从而得出答案
【详解】解：∵由函数图象可知，当 x＜0 时函数图象在 3 的上方，
∴当 y＞3 时，x＜0．
故选：A．
【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．例 8.已知 y = kx + b(k ¹ 0) 的函数图像如图所示：
（1）求在这个函数图像上且位于 x 轴上方所有点的横坐标的取值范围；（2）求不等式 kx + b £ 0 的解集．

7-2-2 一次函数的图象及性质(1).讲义学生版

内容基本要求略高要求较高要求一次函数理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解能用一次函数解决实际问题一、一次函数的概念一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线． ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．三、一次函数的性质知识点睛中考要求一次函数的图象及性质（1）1．一次函数图象的位置在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．⑵当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号． 2．一次函数图象的增减性在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．四、含绝对值的一次函数对于含有绝对值的一次函数，其图象是由若干条线段和射线组成的折线，我们通常采用零点讨论法，即先找出绝对值的零解，然后将数轴划分为若干个区间，接下来就可以在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号，进而去掉绝对值符号．我们知道，函数y x a =-，当x a =时，y 取最小值0．函数1212()y x a x a a a =-+-<，若2x a >，则121221()()2()y x a x a x a a a a =-+-=-+>-；若1x a <，则121221()()()2y a x a x a a x a a =-+-=+->-；当12a x a ≤≤时，y 取最小值1221()()y x a a x a a =-+-=-．在数学竞赛中，有这样一类问题非常普遍：设121n n a a a a -<<<<…，当x 为何值时，函数121n n y x a x a x a x a -=-+-++-+-…取最小值？下面我们给出这类问题的一般性结论．对于函数11n y x a x a =-+-，当1n a x a ≤≤时，1y 取得最小值1n a a -．同理，当21n a x a -≤≤时，函数221n y x a x a -=-+-取得最小值12n a a --；当32n a x a -≤≤时，332n y x a x a -=-+-取得最小值23n a a --；……于是我们得到：⑴ 若n 为奇数，当12n x a +=时，1122n n y x a ++=-取最小值0，此时，1212n y y y +，，…，都取得最小值，则1212n y y y y +=++…+取得最小值1112122n n n n a a a a a a -++⎛⎫⎛⎫+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……．⑵ 若n 为偶数，当122n n a x a +≤≤时，1222n n ny x a x a +=-+-取得最小值122n n a a +-，此时，122n y y y ，，…，都取得最小值，故122n y y y y =+++…取得最小值112122n n n n a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……．这一点从图象上也不难看出．当1x a <或n x a >时，图象是向左右两边向上无限延伸的两条射线，而中间各段在区间[]1(121)i i a a i n +=-，，，…，上均为线段，它们首尾相连形成折线，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值．一、一次函数的概念【例1】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？⑴15x y +=-⑵5xy =- ⑶21y x =-- ⑷35xy =--⑸()()212y x x x =--- ⑹21x y -=【例2】已知3a y ax -=，若y 是x 的正比例函数，则a 的值是．【巩固】已知函数1(2)k y k x -=- （k 为常数）是正比例函数，则k = ．【例3】已知y +m 与x +n （m,n 为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？【巩固】已知2y -与x 成正比例，当3x =时，1y =,求y 与x 之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函数．例题精讲【巩固】已知y 是z 的正比例函数，z 是x 的一次函数．求证：y 是x 的一次函数．【例4】函数已知28(3)1my m x -=-+，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？【巩固】已知1(2)2m y m x m -=-++是一次函数，求它的解析式．三、一次函数的图象及性质【例5】在坐标系中画出下列函数的图象．⑴2y x =；23y x =+；21y x =-；⑵12y x =-；122y x =-+；122y x =--【巩固】如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图像分别是1l ，2l ，3l ，4l ；那么1k ，2k ，3k ，4k 的大小关系是．ll【例6】一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是；当0k >，0b >时，直线y kx b =+过象限；当0k >，0b <时，直线y kx b =+过象限；当0k <，0b >时，直线y kx b =+过象限；当0k <，0b <时，直线y kx b =+过象限．(0)y kx b k =+≠的图像与x 轴、y 轴的交点分别为、；其中、分别叫做该一次函数在x 轴、y 轴上的截距．【例7】已知一次函数(5)1y a x a =-+-的图象如图所示，则a 的取值范围是．【巩固】如图，一次函数1y ax a=+的图象大致是（）A B C D【例8】下列图形中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 为常数且0mn ≠）的图像是下图中的（）A B C D【巩固】函数y ax b =+①和y bx a =+②（0ab ≠）在同一坐标系中的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【例9】一次函数(2)3y k x k =-+-的图象能否不经过第三象限?为什么?【巩固】若一次函数2(1)12ky k =-+-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是．【巩固】若一次函数12(1)12y k x k =-+-的图像不过第一象限，则k 的取值范围是___________．【例10】如果直线y ax b =+经过第一、二、三象限，那么ab 0（填“>”、“<”、“=”）．【例11】已知一次函数y kx b =+中，0kb <，则这样的一次函数的图像必经过的公共象限有个，即第象限．【例12】如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（）A ．00k b >>，B ．00k b ><，C ．00k b <>，D ．00k b <<，【例13】若一次函数22222m m y x m --=+-的图象经过第一、第二、三象限，求m 的值．【巩固】已知一次函数(3)(2)y k x k =-+- （k 为常数）的图象经过一、二、三象限，求k 取值范围．【例14】下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限（）A ．()23y x =- B ．()3.14πy x =-C ．π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()526y x =-【例15】已知一次函数y kx k =+，若y 随x 的减小而减小，则该函数的图象经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【巩固】若0ab >，0bc <，则a ay x b c=-+经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限【例16】已知0abc =/，并且a b b c c ap c a b+++===，则直线y px p =+一定通过象限．【巩固】已知a b c a b c a b ck c b a+--+-++===，且2596m n n +++=．问关于自变量x 的一次函数y kx m n =++的图像一定经过哪几个象限？【例17】已知一次函数y kx b =+的图象经过（1x ，1y ）和（2x ，2y ）两点，且12x x <,12y y <，则（）A ．0k >B ．0k <，0b >C ．0k <，0b <D ．0k <【巩固】已知点()()1242y y -，，，都在直线122y x =-+上，则12y y ，大小关系是（） A ．12y y > B ． 12y y = C ．12y y < D ．不能比较【巩固】若11,A x y （），22(,)B x y 为一次函数，31y x =-的图象上的两个不同点，且120x x ≠，设111y M x +=，221y N x +=，则（） A ． M N > B ． M N < C ． M N = D ．以上都不对课后作业1. 已知2(1)1y m x m =-+-，当m 取何值时，y 是x 的正比例函数？2.函数()2211m y m x mn -=-+在条件下，y 是x 的一次函数；在条件下，y 与x 成正比例函数．3.已知正比例函数y kx = （0k ≠，k 为常数），经过点（2，4），以下哪个点不在该正比例函数图图象上（） A ．（-2，-4）B ．（0，0）C ．（1，2）D ．()1,2y x =4.已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（）ABCD5. 如果直线y ax b =+不经过第四象限，那么ab 0（填“≥”、“≤”、“=”）．6.若0ab >，0bc <，则a ay x b c =--经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限7.已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数． ⑴求a b 、的取值范围；⑵a b 、为何值时，此函数的图象过一、三象限．8.已知关于x 的一次函数()372y a x a =-+-的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围．。

一次函数的图象和性质PPT教学课件

动物对具体信号刺激形成的条件反射。动物和人共有。
第二信号系统：人体对抽象的语言符号的刺激形成的条件反射，人类特有。谈梅止渴
四、兴奋的传导和传递
（一）单个神经细胞的神经纤维上的传导
刺激局部电流方向
传导方向
动画
神经纤维传导的一般特征：
1、生理完整性 2、绝缘性 3、双向传导性 4、相对不疲劳性
髓
2
反射
1
功能:
传导
二、脊神经
1、脊神经由_脊__髓__发出,共_3_1 _对,分布于 __躯__干_、__四_肢__的_皮__肤_和__肌_肉___
2.
[1]__前__根__(由__运__动____神经纤维构成)
脊神经 [2]__后__根__(由___感__觉___神经纤维构成)
3、运动神经元细胞体位于脊髓
（0，b）
（
b k
，0）
y y = 2x + 1 y = 3x - 3
ox
5、一次函数的图象有什么性质？
y = -2x+1 y = -3x-3
（1）当 k > 0时（2）当 k < 0时
y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小
6、你能从下列函数图象中归纳出函数 y = kx + b
图象经过的象限与 k 和 b 的符号的关系吗？
_灰_质___内;感觉神经元 2 细胞体位于脊髓
附近的_神_经__节__里. 1
二、神经细胞——神经元
树突细胞体细胞核
轴突髓鞘
轴突末梢功能：接受刺激、产生兴奋、传导兴奋
三、反射及反射弧
1、反射：通过神经系统，对各种刺激所发生的有规律的反应。

一次函数图象与性质课件

一次函数在金融实务中的应用场景有哪些？
1 期权 delta 值与股价变化
一次函数可以描述股票价格变化与隐含波动率间的关系
2 国债收益率
投资者可以基于对市场预期的不同，构建出一个关于利率的一次函数。研究这个函数不仅可以分析国债发行的吸引力，还可以判断政府是否刻意干预市场
如何求出一次函数的最大值和最小值？
如何画一次函数的图象？
1
确定截距 b
画出 y 轴与函数图象的交点
2
确定斜率 k
计算斜率并在图象上标出另一个点
3
画出函数图象
用直尺连接两个点画出一次函数的图象
如何求一次函数的斜率和截距？
斜率 k
通过两个点的坐标公式求斜率 k = (y2 y1)/(x2 - x1)
截距 b
在坐标系上通过 y 轴与一次函数图象的交点可得函数的截距 b
二次函数呈现为抛物线形状，直观上与一次函数图象完全不同
指数函数
指数函数的图象呈现出指数增长的特性
如何应用一次函数图象解决实际问题？
1
计算成本
一次函数图象在成本计算中十分常见，构建成本模型可以帮助企业削减成本
2
预测趋势
通过画出一次函数图象，可以预测诸如销售额、订阅量等未来趋势
3
量化风险
投资人可以在价格变化及其它趋势的基础上建立一次函数来量化风险，并根据结果决策何时买进或卖出股票
一次函数图象的特点有哪些？
• 斜率 k 决定了函数图象的倾斜程度，正的 k 表示函数上升，负的 k 表示函数下降
• 截距 b 决定了函数图象与 y 轴的交点位置 • 零点为函数图象与 x 轴的交点坐标，方程的解为 x = -b/k
一次函数图象与线性函数的图象有什么不同？

第07讲一次函数-—图象与性质(教案)

-根据图象分析一次函数的性质
-一次函数图象的变换与识别
4.练习与巩固
-判断一次函数的增减性
-根据斜率和截距绘制一次函数图象
-解答与一次函数相关的问题，运用图象分析解决实际问题
二、核心素养目标
1.培养学生的数感与符号意识，通过一次函数的学习，使学生能够理解数学符号表示的实际意义，提高运用符号进行表达和交流的能力。
-图象的变换：难点在于掌握一次函数图象的平移、压缩、拉伸等变换规律，以及这些变换对斜率和截距的影响。
-例如：当一次函数图象进行平移时，斜率k保持不变，截距b发生变化，学生需要理解这种变换背后的数学原理。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数—图象与性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体以固定速度移动的情况？”（如骑自行车匀速前进）。这个问题与我们将要学习的一次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数图象与性质的奥秘。
2.教学难点
-一次函数图象的理解：难点在于理解一次函数图象的几何意义，如何从图象中获取信息，以及如何将实际问题转化为一次函数图象。
-例如：学生可能难以理解图象上某点的坐标如何对应实际问题中的具体情境。
-一次函数性质的深入理解：难点在于理解斜率和截距对一次函数图象的精确影响，以及如何通过性质预测图象的形态。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率和截距这两个重点。对于难点部分，如斜率的意义和截距的物理含义，我会通过举例和图象分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如物体的匀速运动。

一次函数的图像与性质

销售预测等。
一次函数与其他数学知识的联系
与二次函数的关系
一次函数与二次函数的定义域和值域相同一次函数和二次函数的图像都是直线或抛物+bx+c，可以转化为一次函数的形式y=ax+b
与线性代数的关系
一次函数是线性代数的基本概念之一，是线性方程组的一种形式。
图像的绘制方法
确定函数表达式
确定自变量的取值范围
计算对应的函数值
将自变量和函数值对应在坐标系上描点
图像的特性
一次函数的图像是一条直线
图像的斜率表示一次函数的增减性
图像上的点满足一次函数的解析式
图像上的点满足函数的定义域和值域
一次函数的性质
斜率
一次函数图像的斜率等于函数的系数
积分与一次函数：积分是微分的逆运算，与一次函数有密切的联系，可以通过积分来研究一次函数的图像和性质。
微分方程与一次函数：微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，一次函数是微分方程的解的一种形式，可以用来解决实际问题。
线性代数与一次函数：线性代数是研究线性方程组的数学工具，一次函数是线性方程组的一种特例，可以通过线性代数来研究一次函数的解和性质。
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一次函数的图像与性质
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CONTENTS
01 一次函数的图像
02 一次函数的性质
03 一次函数的应用
04 一次函数与其他数学知识的联系
一次函数的图像
一次函数图像是一条直线
图像的形状
斜率表示函数图像的倾斜程度
y截距表示函数图像与y轴的交点
图像随x的增大而增大或减小
感谢您的耐心观看
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值域和定义域

一次函数的图象和性质

周期性和对称性的应用
周期性在物理学中的应用：描述振动、波动等现象周期性在数学分析中的应用：研究函数的性质和图像对称性在几何学中的应用：研究图形的形状和性质对称性在物理学中的应用：描述晶体结构和光学现象
周期性和对称性的证明
周期性证明：通过函数表达式和图像的观察，证明一次函数的周期性。对称性证明：通过函数表达式和图像的观察，证明一次函数的对称性。周期性和对称性的关系：探讨一次函数的周期性和对称性之间的关系。实际应用：介绍一次函数的周期性和对称性在实际问题中的应用。
周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取值时， f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
周期函数的性质：周期函数的图像是具有规律性的重复图形，其性质与周期T 有关。例如，正弦函数和余弦函数是常见的周期函数，其周期分别为2π和π。
一次函数的周期性：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，不具备周期性。
一次函数的图象和性质
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一次函数的图象一次函数的奇偶性一次函数的零点
一次函数的单调性
一次函数的周期性和对称性
01
一次函数的图象
函数表达式和图象
函数表达式：y=kx+b，其中 k≠0
截距：表示函数图像与y轴的交点， b>0时，交点在y轴正半轴；b<0 时，交点在y轴负半轴
确定函数表达式确定自变量的取值范围计算对应的函数值绘制点，连接成线
函数图象的性质
斜率表示函数的增减性
一次函数图象是一条直线
y截距表示函数与y轴交点的位置
函数的图象可以平移和翻转

初二一次函数图像及其性质优质讲义(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑教学内容一、同步知识梳理1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式vts 中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______.在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x(4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.例题：1、若关于x 的函数1(1)m y n x -=+是一次函数，则m = ，n .2、函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）3、将直线y ＝3x 向下平移5个单位，得到直线；将直线y ＝-x -5向上平移5个单位，得到直线 .4、若直线a x y +-=和直线b x y +=的交点坐标为(8,m ),则=+b a ____________.5、已知函数y ＝3x +1，当自变量增加m 时，相应的函数值增加（）Ａ．3m +1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m －111、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即垂直。

一次函数图像与性质课件

03 一次函数的性质
单调性
一次函数在其定义域内要么是增函数，要么是减函数。
当一次函数的比例系数大于0时，函数是增函数；当比例系数小于0时，函数是减函数。
通过观察一次函数的图像，可以直观地判断函数的单调性。
奇偶性
一次函数既不是奇函数也不是偶函数，因为它不满足奇函数或偶函数的定义。
奇函数和偶函数的定义是基于原点对称的，而一次函数的图像是一条直线，不一定关于原点对称。
04 一次函数的应用
实际问题中的一次函数模型
匀速运动模型
01
当物体以恒定速度移动时，其位移和时间之间呈一次函数关系。
线性增长或减少模型
02
例如，人口自然增长、产品均匀生产等问题中，数量随时间呈
线性增ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ或减少。
比例关系模型
03
在实际问题中，两个变量之间往往存在比例关系，这种关系可
以用一次函数来描述。
利用一次函数解决实际问题
求解最值问题
通过一次函数的单调性，可以方便地求解实际问题中的最大值或最小值。
预测和决策
利用一次函数模型对实际数据进行拟合，可以预测未来趋势，为决策提供科学依据。
优化资源配置
在生产、销售等领域，通过一次函数模型可以优化资源配置，降低成本，提高效率。
一次函数在其他领域的应用
一次函数图像与性质课件
目录
• 引言 • 一次函数的图像 • 一次函数的性质 • 一次函数的应用 • 一次函数的综合题型 • 一次函数与其他知识点的联系
01 引言
函数的定义与分类
函数的定义
函数是一种特殊的对应关系，它表达了自变量与因变量之间的依赖关系。
函数的分类

(完整版)一次函数的图像与性质知识点总结

一次函数的图像与性质知识点总结知识点1 、一次函数和正比例函数的概念若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k ，b 为常数,k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量)，特别地,当b=0时，称y 是x 的正比例函数。

例如：y=2x+3，y=—x+2,y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.知识点2、函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步:列表、描点、连线．知识点 3、一次函数的图象由于一次函数y=kx+b(k,b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点(0，b)，直线与x 轴的交点（-kb ,0）。

但也不必一定选取这两个特殊点。

画正比例函数y=kx 的图象时,只要描出点（0，0），（1,k ）即可. 知识点4 、一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质（1)k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）｜k ｜大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小(直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置;①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上;②当b＜0时,直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）;②当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）;④当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同,说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此,它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点5、正比例函数y=kx（k≠0)的性质(1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2)当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（3)当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点6、点P（x0,y）与直线y=kx+b的图象的关系(1）如果点P(x0，y）在直线y=kx+b的图象上，那么x，y的值必满足解析式y=kx+b；(2）如果x0，y是满足函数解析式的一对对应值,那么以x，y为坐标的点P（1，2)必在函数的图象上．例如:点P（1,2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2,则点P（1,2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3,所以点P′（2,1）不在直线y=x+l的图象上．知识点7、确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x,y 的值或一个点）就可求得k的值．（2)由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x,y的值．知识点8、待定系数法先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数)，再根据条件列出方程(或方程组)，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如:函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．知识点9、用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤(1）设函数表达式为y=kx+b;（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组)；（3）求出k与b的值,得到函数表达式．。

一次函数的图象及性质2

5.对于函数y=5x+6,y的值随x值的减小而__减__小__. 6.函数y=2x－1经过一、三、四象限.
1.已知函数y=kx的图象在二、四象限，那么函数y=kx-k 的图象可能是（ B ）
y
y
y
O
x
Ox
Ox
AD
2．（济南·中考）一次函数 y 2x 1
的图象经过（ B ） A．一、二、三象限 C．一、三、四象限
1.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是( C )
A.y=-2x B.y=-2x+1 C.y=x-2
D.y=-x-2
2. 一次函数y=x-2的大致图象为（ C ）
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
3.直线y=－0.5x＋1与x轴的交点为与y轴的交点为（0，1） .
（2，0），
4.直线y=3x-2可由直线y=3x向下平行移动 2 个单位长度得到.
… -2 -1 0 1 2 … … -2 -1 0 1 2 … …0 1 2 3 4… … -4 -3 -2 -1 0 …
.
.
.
y
...0...
.
.
.
.
y=x+2 y=x
.
2.
y=x-2 x
正比例函数y=x与一次函数y=x+2 ,y=x-2图象有什么不同点?
归纳：
1.这几个函数的图象形状都是 _直_线___，并且倾斜程度_相__同__，函数
B．一、二、四象限 D．二、三、四象限
3.（成都·中考）若一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k,b的符号判断正确的是( D )

人教版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第20讲一次函数的图象及性质(2)

人教版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第20讲一次函数的图象及性质（2）第一局部知识梳理知识点一：函数图象上坐标〔1〕、判定点能否在函数图象上〔或函数图象能否经过点〕的方法：将这个点的横坐标代入函数解析式，失掉的函数值假设等于点的纵坐标，这个点就在函数的图象上，假设不满相等，这个点就不在其函数的图象上．〔2〕、是经过〔，0〕与〔0，b〕两点的直线。

因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b〔3〕、〔，0〕是直线与x轴的交点坐标，〔0，b〕是直线与y轴的交点坐标。

这两．．点也是求．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．直线与坐标轴围成的三角形面积时要用到的两点描点法画函数图形的普通步骤〔通常选五点法〕第一步：列表〔依据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值〕；第二步：描点〔在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点〕；第三步：连线〔依照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线衔接起来〕。

知识点二：函数图象与几何变换〔1〕直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系：〔a〕两直线平行：k1=k2且b1≠b2 〔b〕两直线相交：k1≠k2〔c〕两直线重合：k1=k2且b1=b2 〔d〕两直线垂直：即k1﹒k2=－1〔e〕两直线交于y轴上同一点: b1=b2〔2〕图象平移效果b>0,向上平移，b<0,向下平移。

反之，b>0,向下平移，b<0,向上平移。

关于点的距离的效果方法：点到x轴的距离用纵坐标的相对值表示，点到y轴的距离用横坐标的相对值表示；恣意两点(,),(,)A A B B A x y B x y 的距离为22()()A B A B x x y y -+-；假定AB ∥x 轴，那么(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -；假定AB ∥y 轴，那么(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -；点(,)A A A x y 到原点之间的距离为22A A x y +知识点三：待定系数法求函数解析式普通步骤(一设二代三解四恢复)：〔1〕依据条件写出含有待定系数的函数关系式；〔2〕将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中失掉以待定系数为未知数的方程；〔3〕解方程得出未知系数的值；〔4〕将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.第二局部考点精讲精练考点1、函数图象上点的坐标例1、假定正比例函数为y=3x ，那么此正比例函数过〔m ，6〕，那么m 的值为〔〕A 、－2B 、2C 、−23D 、23例2、如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y 轴上，点B 1，B 2，B 3，…都在直线y=33x 上，那么A 2021的坐标是．例3、P 1〔1，y 1〕，P 2〔2，y 2〕是正比例函数y=x 的图象上的两点，那么y 1 y 2〔填〝＞〞或〝＜〞或〝=〞〕．例4、如图，在平面直角坐标系中，点C 〔0，4〕，射线CE ∥x 轴，直线y=21-x+b 交线段OC 于点B ，交x 轴于点A ，D 是射线CE 上一点．假定存在点D ，使得△ABD 恰为等腰直角三角形，那么b 的值为．例5、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为〔0，6〕，将△OAB 沿x 轴向左平移失掉△O′A′B′，点A 的对应点A′落在直线y=43-x 上，那么点B 与其对应点B ′间的距离是多少？例6、如图，在平面直角坐标系中，点A 〔2，n 〕，B 〔m ，n 〕〔m ＞2〕，D 〔p ，q 〕〔q ＜n 〕，点B ，D 在直线121+=x y 上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD 是矩形．举一反三：1、在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是〔〕A 、M 〔2，－3〕，N 〔－4，6〕B 、M 〔－2，3〕，N 〔4，6〕C 、M 〔－2，－3〕，N 〔4，－6〕D 、M 〔2，3〕，N 〔－4，6〕2、如图，直线y=32x+4与x 轴、y 轴区分交于点A 和点B ，点C 、D 区分为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC+PD 值最小时点P 的坐标为〔〕A 、〔﹣3，0〕B 、〔﹣6，0〕C 、〔23- ，0〕D 、〔25-，0〕 3、点M 〔1，a 〕和点N 〔2，b 〕是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，那么a 与b 的大小关系是〔〕A 、a ＞bB 、a=bC 、a ＜bD 、以上都不对4、在一次函数y=﹣2x+5的图象上有两个点A 〔X 1，y 1〕、B 〔X 2，y 2〕，X 1＞X 2，那么y 1－y 2 0．5、一次函数y=kx+b 的图象经过点A 〔2，－3〕及点B 〔1，6〕．〔1〕求此一次函数解析式；〔2〕画出此一次函数图象草图；〔3〕求此函数图象与坐标围成的三角形的面积．6、在平面直角坐标系中，过一点区分作坐标轴的垂线，假定与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，那么这个点叫做谐和点.例如，图中过点P 区分作x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，那么点P 是谐和点.〔1〕判别点能否为谐和点，并说明理由；〔2〕假定谐和点在直线上，求点的值.考点2、函数图象与几何变换例1、将函数y=－2x 的图象向下平移3个单位，所得图象对应的函数关系式为〔〕A 、y=－2〔x+3〕B 、y=－2〔x －3〕C 、y=－2x+3D 、y=－2x －3例2、在平面直角坐标系中，将直线x=0绕原点顺时针旋转45°，再向上平移1个单位后失掉直线a ，那么直线a 对应的函数表达式为〔〕A 、y=xB 、y=x －1C 、y=x+1D 、y=－x+1例3、将直线y=21x+1向右平移4个单位长度后失掉直线y=kx+b ，那么k ，b 对应的值是例4、如图，直线834+-=x y 与x 轴、y 轴区分交于A 、B 两点，点M 是OB 上一点，假定直线AB 沿AM 折叠，点B 恰恰落在x 轴上的点C 处，那么点M 的坐标是例5、如图，一条直线经过点A 〔0，2〕、点B 〔1，0〕，将这条直线向左平移与x 轴、y 轴区分交与点C 、点D ．〔1〕求直线AB 的表达式；〔2〕假定DB=DC ，求点C 坐标及直线CD 的表达式．例6、如图，在平面直角坐标系中，直线l ：434+-=x y 区分交x 轴，y 轴于点A 、B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后失掉△A′OB′。

(精心整理)一次函数的图像及性质

一次函数（四）一次函数图象及性质知识点一：一次函数的图象及其画法例1：已知一次函数2y x =，画出图象。

方法一：①列表方法二：①列表②描点 ③连线 ②描点 ③连线④两种方法画出的图象（相同或不同）；正比例函数的图象是一条。

例2：已知一次函数1y x =+，画出它的图象。

方法一：①列表方法二：①先求与x 轴和y 轴的交点坐标②描点 ③连线 ②描点 ③连线④两种方法画出的图象（相同或不同）；一次函数的图象是一条；x … -2 -1 0 1 2 … y … … （x ，y ） … …x 0 1 y（x ，y ） x … -2 -1 0 1 2 … y … … （x ，y ） … …x 0 1 y（x ，y ）总结归纳：⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是．⑵由于确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可，这种方法叫两点法． ①如果这个函数是正比例函数，通常取两点；②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取两点，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．练习：1、已知一次函数21y x =-，求直线与x 轴和y 轴的交点坐标，并画出它的图象。

解：（1）先求与x 轴和y 轴的交点（2）描点（3）连线2、已知一次函数1y x =-+，求直线与x 轴和y 轴的交点坐标，并画出它的图象。

解：（1）先求与x 轴和y 轴的交点（2）描点（3）连线知识点二：正比例函数和一次函数的性质一、正比例函数性质复习回顾1、正比例函数的概念：形如y kx =（k 是常数，0k ≠）的函数叫做，其中k 叫做。