2.1.3三角形的性质(国子监刘嵩)
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因为 AD是△ABC的角平分线， 所以 ∠DAC = 1∠BAC = 34 ° . 36° 76° C D
2
B
3. 如图，∠CAD＝100°，∠B＝ 30°，求∠C 的度数. A 解 因为∠CAD是△ABC的外角， 所以 ∠B+∠C= ∠CAD ， B 30° C D
100°
如图2-15， 把△ABC的一边BC延长， 得到 ∠ACD. 像这样， 三角形的一边与另一边的延长线
所组成的角， 叫作三角形的外角（exterior angle）. A
对外角∠ACD来说， ∠ACB是 与它相邻的内角， ∠A， ∠B 是与它不相邻的内角. B C D
图2-15
探究
在图2-15 中， 外角∠ACD 和与它不相邻 的内角∠A， ∠B 之间有什么大小关系？
上述两种操作都是将三角形的 三个内角拼到一起构成一个平 角.
由此受到启发：
如图2-13， 将△ABC的边BC 所在的直线平移，
使其像经过点A， 得到直线B′C′.
因为直线在平移下的像是与它平行的直线， 所以B′C′∥BC. 则∠B′AB ＝∠B，∠C′AC ＝∠C. 又∠B′AB +∠BAC +∠C′AC = 180°， 所以∠B +∠BAC +∠C ＝ 180°. B C B′ A C′
练习
1. 填空： （1） 在△ABC中， ∠A= 60°， ∠B=∠C， 则∠B= 60° ；
（2） 在△ABC中， ∠A－∠B= 50°，
∠C－∠B= 40°， 则∠B=
30°
.
2. 如图， AD是△ABC的角平分线， ∠B= 36°， ∠C= 76°， 求∠DAC的度数. 解 因为∠B= 36°， ∠C= 76° 又 ∠BAC+∠B＋∠C=180°， A
于是∠C = ∠CAD -∠B
= 100°-30°=70°
中考 试题
如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC
66.5 ° 和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=______
解析
∵∠B=47°， ∴ ∠BAC+∠BCA=180°– 47°=133°， A ∴∠CAD+∠ACF=360°–133°=227°，
图2-13
结论
三角形的内角和等于180°.
三角形内角和定理还有没有别的证法呢？ 多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功 能，将三个角转化成一个平 角.
例3
在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3
倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解 设∠B为x°，则∠A为（3x ）°，∠C为（x ＋ 15） °， 3x ＋ x ＋（ x ＋ 15 ）＝ 180. x ＝ 33.
D
又 AE和CE是角平分线，
∴∠CAE+∠ACE=113.5°，
B C F
E
∴∠E=180°–113.5°=66.5.
小结
1.这节课我们研究的是什么？为什么要这么研究？
2.从方法上你有哪些收获？
3.“一题多解，多解归一”，需要把多种解法的共
性挖掘出来，归纳成解决一类问题的方法.
结
束
北京国子监中学 刘嵩
因为∠ACD +∠ACB = 180°， 我觉得可以利用“三角 ∠A +∠B +∠ACB = 180°， 形的内角和等于180° ” 所以∠ACD -∠A -∠B = 0 （等量减 的结论 . 差相等）. 等量，
A
B
C
D
于是∠ACD =∠A +∠B.
图2-15
结论
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
本课内容 本节内容 2.1
三角形
——2.1.3 三角形的性质
动脑筋
在小学， 我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼 等操作（如图2-12）， 知道三角形的内角和是 180°，你能说出这些方法的原理吗？
图2-12 折叠三角形纸板，可以把它 可以将∠A，∠B剪下并移 的三个角拼成一个角. 至顶点C处拼接成一个角.
从而有
解得
所以
3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
探究
三角形按角如何分类呢？
说一说
一个三角形的三个内角中， 最多有几个直角？
最多有几个钝角？
三角形的内角和等于180°，
因此最多有一个直角或一个 钝角.
三角形中， 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，
有一个角是直角的三角形叫直角三角形， 有一个角 是钝角的三角形叫钝角三角形， 如图2-14.
锐角三角形
直角三角形
图2-14
钝角三角形
直角三角形可用符号“Rt△” 来表示， 例如直角三 角形ABC 可以记作“Rt△ABC”. 在直角三角形中， 夹直角的两边叫作直角边， 直角的对边叫作斜边. 两 条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
2
B
3. 如图，∠CAD＝100°，∠B＝ 30°，求∠C 的度数. A 解 因为∠CAD是△ABC的外角， 所以 ∠B+∠C= ∠CAD ， B 30° C D
100°
如图2-15， 把△ABC的一边BC延长， 得到 ∠ACD. 像这样， 三角形的一边与另一边的延长线
所组成的角， 叫作三角形的外角（exterior angle）. A
对外角∠ACD来说， ∠ACB是 与它相邻的内角， ∠A， ∠B 是与它不相邻的内角. B C D
图2-15
探究
在图2-15 中， 外角∠ACD 和与它不相邻 的内角∠A， ∠B 之间有什么大小关系？
上述两种操作都是将三角形的 三个内角拼到一起构成一个平 角.
由此受到启发：
如图2-13， 将△ABC的边BC 所在的直线平移，
使其像经过点A， 得到直线B′C′.
因为直线在平移下的像是与它平行的直线， 所以B′C′∥BC. 则∠B′AB ＝∠B，∠C′AC ＝∠C. 又∠B′AB +∠BAC +∠C′AC = 180°， 所以∠B +∠BAC +∠C ＝ 180°. B C B′ A C′
练习
1. 填空： （1） 在△ABC中， ∠A= 60°， ∠B=∠C， 则∠B= 60° ；
（2） 在△ABC中， ∠A－∠B= 50°，
∠C－∠B= 40°， 则∠B=
30°
.
2. 如图， AD是△ABC的角平分线， ∠B= 36°， ∠C= 76°， 求∠DAC的度数. 解 因为∠B= 36°， ∠C= 76° 又 ∠BAC+∠B＋∠C=180°， A
于是∠C = ∠CAD -∠B
= 100°-30°=70°
中考 试题
如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC
66.5 ° 和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=______
解析
∵∠B=47°， ∴ ∠BAC+∠BCA=180°– 47°=133°， A ∴∠CAD+∠ACF=360°–133°=227°，
图2-13
结论
三角形的内角和等于180°.
三角形内角和定理还有没有别的证法呢？ 多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功 能，将三个角转化成一个平 角.
例3
在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3
倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解 设∠B为x°，则∠A为（3x ）°，∠C为（x ＋ 15） °， 3x ＋ x ＋（ x ＋ 15 ）＝ 180. x ＝ 33.
D
又 AE和CE是角平分线，
∴∠CAE+∠ACE=113.5°，
B C F
E
∴∠E=180°–113.5°=66.5.
小结
1.这节课我们研究的是什么？为什么要这么研究？
2.从方法上你有哪些收获？
3.“一题多解，多解归一”，需要把多种解法的共
性挖掘出来，归纳成解决一类问题的方法.
结
束
北京国子监中学 刘嵩
因为∠ACD +∠ACB = 180°， 我觉得可以利用“三角 ∠A +∠B +∠ACB = 180°， 形的内角和等于180° ” 所以∠ACD -∠A -∠B = 0 （等量减 的结论 . 差相等）. 等量，
A
B
C
D
于是∠ACD =∠A +∠B.
图2-15
结论
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
本课内容 本节内容 2.1
三角形
——2.1.3 三角形的性质
动脑筋
在小学， 我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼 等操作（如图2-12）， 知道三角形的内角和是 180°，你能说出这些方法的原理吗？
图2-12 折叠三角形纸板，可以把它 可以将∠A，∠B剪下并移 的三个角拼成一个角. 至顶点C处拼接成一个角.
从而有
解得
所以
3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
探究
三角形按角如何分类呢？
说一说
一个三角形的三个内角中， 最多有几个直角？
最多有几个钝角？
三角形的内角和等于180°，
因此最多有一个直角或一个 钝角.
三角形中， 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，
有一个角是直角的三角形叫直角三角形， 有一个角 是钝角的三角形叫钝角三角形， 如图2-14.
锐角三角形
直角三角形
图2-14
钝角三角形
直角三角形可用符号“Rt△” 来表示， 例如直角三 角形ABC 可以记作“Rt△ABC”. 在直角三角形中， 夹直角的两边叫作直角边， 直角的对边叫作斜边. 两 条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.