固体力学3-1_417302477

固体力学1.课程概述2.张量分析基础3.运动与变形4.应力与平衡5.固体材料的本构关系弹性力学的基本6.弹性力学的基本理论7.弹塑性力学问题88.固体力学专题3.运动与变形3.1 Lagrange 描述与Euler 描述3.2 变形梯度与应变度量变梯度变度3.3 小变形应变张量3.4 应变协调方程与位移单值条件3.5 物质导数353.6 速度梯度与应变率张量3.7 正交曲线坐标系中的几何方程（略）不考虑连续介质发生变形的原因与机理、剔除连续介质的物质属性，纯粹从几何角度讨论变形的描述与度量等问题…量等问题3.1 Lagrange 描述与Euler 描述 构型的演化将研究对象抽象为构型…构型：有形有序的紧致区域（布袋装豆子…）。

变形就是构型演化过程…0t tx X u3X 3d x I I 3I 2i 3i 1x 2x 1X 2X121i构型的演化0t tx X u3X x 3Xd x 1I 2I 3I 2i 3i 初始构形（t 0）⇒现时构形（t ）1x 21X 21iLagrange 坐标系（I K ）⇒Euler 坐标系（i k ）Lagrange 坐标（X K ）⇒Euler 坐标系（x k ）构型的演化0t tx X u3X x 3Xd x 1I 2I 3I 2i 3i 1x 21X 21i))演化方程(,t =x x X (,t =X X x 演化方程：（J ≠0）0t t两种描述方法X uX 3x d x 33I 2i 3i1x 2x 1X 2X1I 2I 1iLagrange 描述：以Lagrange 坐标（物质坐标）为自变量来描述其它物理量。

描述以Euler 描述：以Euler 坐标（空间坐标）为自变量来描述其它物理量。

举例交通流的描述方法举例：交通流的描述方法...3.1 Lagrange 描述与Euler 描述0t t位移X uX 3x d x 33I 2i 3i1x 2x 1X 2X1I 2I 1i 几何关系：+=+d x X u特别取两坐标系重叠情况（重叠而不同）：位移：=−i i iu x X =−=−u x X E (,)(,)t t ：u x x X x (,)(,)t t L：=−u X x X X3.1 Lagrange 描述与Euler 描述0t t位移x X u 3X 3d x I I 3I 2i 3i 1x 2x 1X 2X 121i例均匀变形例：均匀变形(,)t =x x X 演化方程：i ij j i ij i x A X B A B （和为常数）=+均匀变形：位移x A X B A B （和为常数）=+均匀变形：例：均匀变形i ij j i ij i L:()i ij ij j i ij j i u A X B C X B δ=−+=+讨论：=0（刚体平移）ij i C B （1）表示刚体位移。

11=00:C （2），其它元素均为表示均匀伸长ε1123=,u X u u 表示均匀伸长。

ε==为常数 位移i ij j i ij i x A X B A B （和为常数）=+均匀变形：+L:()i ij ij j i ij j i u A X B C X B δ=−+=讨论：1221=0C C （3），其它元素均为表示均匀纯剪切变形ε=12213=,=,0:u X u X u 表示均匀纯剪切变形。

εε==（4）−=1221122130=,=,0:C C u X u X u （），其它元素均为表示刚体转动。

εεε−=3.1 Lagrange 描述与Euler 描述位移t t XuX 3x dx33I 2i 3i 1x 2x 1X 2X1I 2I 1i 位移构型各点在变形过程中的位置改变量位移：构型各点在变形过程中的位置改变量。

它给出了变形的充分描述，但是它没有充分揭示应变如何描述构型的局部邻域的变形情况？构型的局部变形特征，例如布袋装豆子…应变：如何描述构型的局部邻域的变形情况？变形梯度变梯度的极分解=⋅=⋅F R U V R 变形梯度的极分解：R 为单位正交张量，表示旋转：其中单位交张示旋转U 、V 为正定对称张量，代表纯变形。

UR=⋅F R URV=⋅F V R微元的变化（L 描述）（4）体元的变化))(1)(2)(3)(1)(2)(3)dV d d d dv d d d i i =×⇒=×XXXx xx(((2)d X (3)d X d Vd v(2)d x (3)d x(1)d (1)d X x d d v j V=作业：3.2 变形梯度与应变度量„ 应变张量1 ξ IJ = ( u I , J +u J , I +u K , I u K , J ) 2记号ξij的特点： （1）它给出了 ）它给出了一点领域内变形状态的全部信息； 点领域内变形状态的全部信息； （2）它构成了一个二阶对称张量。

1 L：ξ IJ = ( u I , J +u J , I +u K , I u K , J ) 2——Green有限应变张量Zheng Xiaoping 20133.2 变形梯度与应变度量1 „ 应变张量 ξ IJ = ( u I , J +u J , I +u K , I u K , J ) 22 2 2 ⎡ ⎛ ∂u2 ⎞ ⎛ ∂u3 ⎞ ⎤ ∂ u1 1 ⎛ ∂ u1 ⎞ + ⎢⎜ ξ 11 = ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ ∂X 1 2 ⎢⎝ ∂X 1 ⎠ ⎝ ∂X 1 ⎠ ⎝ ∂X 1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 ⎛ ∂u2 ⎞ ⎛ ∂u3 ⎞ ⎤ ∂u2 1 ⎡ ⎛ ∂ u1 ⎞ + ⎢⎜ ξ 22 = ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ ∂X 2 2 ⎢⎝ ∂X 2 ⎠ ⎝ ∂X 2 ⎠ ⎝ ∂X 2 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 ⎛ ∂u2 ⎞ ⎛ ∂u3 ⎞ ⎤ ∂ u3 1 ⎡ ⎛ ∂ u 1 ⎞ ξ 33 = + ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ ∂X 3 2 ⎢⎝ ∂X 3 ⎠ ⎝ ∂X 3 ⎠ ⎝ ∂X 3 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ∂ u3 ∂ u3 ⎞ ∂u2 ∂ u1 ∂ u1 ∂u2 ∂u2 1 ⎛ ∂u1 = ξ 21 = ⎜ + + + + ⎟ 2 ⎝ ∂X 2 ∂X 1 ∂X 1 ∂X 2 ∂X 1 ∂X 2 ∂X 1 ∂X 2 ⎠ξ 12ξ 23 = ξ 32 =ξ 31 = ξ 13∂u3 ∂u3 ∂u3 ⎞ 1 ⎛ ∂u2 ∂ u1 ∂ u1 ∂u2 ∂u2 + + + + ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂X 3 ∂X 2 ∂X 2 ∂X 3 ∂X 2 ∂X 3 ∂X 2 ∂X 3 ⎠∂u3 ∂u3 ⎞ ∂ u1 ∂ u1 ∂ u1 ∂u2 ∂u2 1 ⎛ ∂u3 = ⎜ + + + + ⎟ 2 ⎝ ∂X 1 ∂X 3 ∂X 3 ∂X 1 ∂X 3 ∂X 1 ∂X 3 ∂X 1 ⎠Zheng Xiaoping 20133.2 变形梯度与应变度量„ 应变张量 类似地采用Euler描述：E：X = X ( x , t ) 可以得到相似的定义： 可以得到相似的定义1 E：ηij = ( u i , j +u j ,i −u k ,i u k , j ) 2 ——Almansi有限应变张量κdl − dL dlκ（1）=1 − κ（2）=1 1− κ（3）=1 −(1 + 2η 11 ) (1 + 2η 22 )(1 + 2η 33 )Zheng Xiaoping 20133.2 变形梯度与应变度量„ 应变张量（1） = Κ1 (1 + 2ξ 11 ) − 1 λ − 1 κ（1）=1 − (1 + 2η 11 ) = 1 −λ考虑一圆杆的发生轴向均匀变形，设变形前长 考虑 圆杆的发生轴向均匀变形 设变形前长L，变形后 变形后 为l，则几种不同的应变分别为12 1.2 1.1 Normal lized strai in 1 0.9 0.8 07 0.7 0.6 Nominal True Green Eulerl−L = λ −1 L λ 2 −1 Green ξ11 = 2 1 − λ −2 Euler η11 = 2名义Κ (1) =0 0.05 0 05 0.1 0 1 0.15 0 15 0 0.2 2 0.25 0 25 0.3 0 3 0.35 0 35 0.4 04 λ-1 当λ→1时，三者结果彼此趋于一致 Zheng Xiaoping 2013作业3.1 设： dV = ( dX (1) × dX (2) )idX (3) ⇒ dv = ( dx (1) × dx (2) )idx (3) 证明： dv= jdV3 2 设某简单剪切变形的演化方程为： 3.2 设某简单剪切变形的演化方程为x1 = X 1 + kx2 , x2 = X 2 , x3 = X 3 (k = const.)试计算相应的Green和Almansi应变张量。

Zheng Xiaoping 2013。