安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科数学(含答案)

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1.安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学试题(理)含答案

安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试
数学（理科）
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
2
2
（1）求角 C 的大小；
（2）若 c 4 ， | CA CB | 38 ，求△ABC 的周长．
18．（12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAB 为等腰直角三角形， BC 平面 PAB , PA PB ，
AB BC 2 ， AD BD 5 ．
P
（1）求证： PA 平面 PBC ；
1 解得 cosC ，所以 C 60 ．
2
（2）由余弦定理， c2 a2 b2 ab 16 ，再由 | CA CB |2 a2 b2 ab 38 ，
（6 分）
解得 a2 b2 27 ， ab 11 ，所以 (a b)2 49 ， a b 7 ，
故 △ABC 的周长为11 ．
1
6
从而离心率 e 1 (0, ) ．
a2
3
三、解答题：共 70 分。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
【解析】（1）由题， 2sin2 A B 2cos2 A B 2cos Acos B
2
2
1 cos(A B) 1 cos( A B) 2cos Acos B 2 2cos( A B) 2 2cosC 1 ，
2
2
角形， MF MN ，故 2PM 2MN 2(PM MN ) （2 EM MF） 2AA1 2 ．

安徽省合肥市2020年高三第二次教学质量检测理科数学试题(含答案)

A. -5
3.r+ 2y- 3
B. -4
C. 7
· D. 16
4.已知 f(:r）为奇函数，当 .T < （：）时， f（�T) = e-.-r … ex2 ( e 是自然对数的底数〉，则曲线
Y = f(.r）在 .T = 1处的切线方程是
A. y ＝一町＋ e B. y = er +e
C. y ＝町－ e
充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥气若复数 z 满足（eiir +
cost)
i) •
和 sin8 联系在一起，
z = i，则 I zl =
A ....
R号
已号
nD. ..!?.
2.r+y-4 注。
时崎旧隅
；：三。 3.若实数 .T 'y 满足约束条件 x-y 十 4 ；主 0，则 z = 2x-y 的最小值是
同理得，CN 平面 ABEF ，∴ DM // CN . 又∵ DM CN ∴四边形CDMN 为平行四边形 ∴CD // MN .
∵M，N 分别是 AF，BE 的中点 ∴MN // AB
∴CD // AB .
………………………………5 分
(2)在 AB 边上取一点 P ，使得 AP DF .
由图(1)可得， ADFP 为正方形，即 AP FP . ∵M 为 AF 的中点 ∴MP MA .
合肥市 2020 年高三第二次教学质量检测
数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12

安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科综合试卷

后，这种软体动物体内便存在叶绿体并可以进行光合作用。在光学显微镜下观察绿叶海
蜗牛的细胞，可以分辨的结构有
A．叶绿体和核糖体
B．叶绿体和细胞壁
C．叶绿体和细胞核
D．细胞核和细胞壁
2． PTEN 是一种抑癌基因，表达的 PTEN 蛋白可以提高生物体的抗癌能力，但泛素连接酶
可导致 PTEN 蛋白被降解。西兰花经消化生成的 3-吲哚甲醇能与泛素连接酶结合，调
安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试
理科综合能力测试
注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
种类
叶片形态
叶片厚度叶片面积
/ mm
/ mm2
叶片被毛
渗透压气孔开放度日均值 / kPa （/ mmol H2O·m-2·s-1）
A种 B种 C种
平展或微瓦状瓦状卷筒状
0.208 0.235 0.323
95.10 14.88 11.90
少许绿色柔毛密灰色柔毛
密直立或伏贴绢毛
1 276 1 807 2 286
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。可能用到的相对原子质量：H-1，C-12，O-16，Na-23，S-32，Ca-40
一、选择题：本题共 13 小题，每小题 6 分，共 78 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．绿叶海蜗牛能从它的藻类食物中“偷”来叶绿体，并吸收入自己的细胞内。首次捕食绿藻
10．下列对实验现象的解释正确的是

安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理综试题 word含答案.doc

安徽六校教育研究会2020届高三第二次素质测试理科综合能力测试注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。

2．回答选择题时,选出每小题参考答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的参考答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他参考答案标号。

回答非选择题时,将参考答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H-1,C-12,O-16,Na-23,S-32,Ca-40一、选择题：本题共13小题,每小题6分,共78分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．绿叶海蜗牛能从它的藻类食物中“偷”来叶绿体,并吸收入自己的细胞内。

首次捕食绿藻后,这种软体动物体内便存在叶绿体并可以进行光合作用。

在光学显微镜下观察绿叶海蜗牛的细胞,可以分辨的结构有A．叶绿体和核糖体B．叶绿体和细胞壁C．叶绿体和细胞核D．细胞核和细胞壁2．PTEN是一种抑癌基因,表达的PTEN蛋白可以提高生物体的抗癌能力,但泛素连接酶可导致PTEN蛋白被降解。

西兰花经消化生成的3-吲哚甲醇能与泛素连接酶结合,调节其效用,抑制肿瘤生长。

下列叙述正确的是A．PTEN基因突变细胞就会癌变B．PTEN蛋白能控制细胞正常生长和分裂的进程C．3-吲哚甲醇对泛素连接酶的效用起促进作用D．3-吲哚甲醇可能改变了泛素连接酶的空间结构3．光合作用的发现是众多科学家不断努力的结果。

1937年,英国科学家希尔首次获得了离体叶绿体悬浮液,将此悬浮液（含水,不含CO2）与黄色的高铁（Fe3+）盐混合,照光后发现叶绿体有气泡放出、溶液由黄色变为浅绿色（Fe2+）。

在遮光下,则没有气泡产生,也没有颜色变化。

下列叙述错误的是A．实验过程中可以检测到糖的生成B．实验表明氧气是叶绿体在光照的条件下产生的C．溶液颜色变化的原因是叶绿体在光照条件下生成的还原剂将Fe3+还原为Fe2+D．与恩格尔曼的水绵实验相比,希尔的实验排除了细胞内其他结构的影响4．下表是对某单基因遗传病进行调查后整理出的数据。

2024.02.23安徽六校教育研究会2023-2024学年高三下学期第二次素养测试数学答案

安徽六校教育研究会2024届高三年级第二次素养测试数学试卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．323 13 14．2a r -四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）解：（1）由πsin 62a b B c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2sin sin cos 6a b c B B c B π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭．…………2分由正弦定理得sin sin sin sin cos A B B C C B +=+， ……………………3分得()sin sin sin sin cos B C B B C C B +++，得cos sin sin sin C B B C B +=．因为sin 0B ≠cos 1C C -=， ……………………5分即1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ……………………6分又0πC <<，所以πC =． ……………………7分+ba解：（1）取棱AE 上一点H ，使得2AH HF =，连接GH ，HD ， ……………………1分 ∵2AH HF =，2BG GE =∴GH ∥AB ，且13GH AB =，………2分∵2CF FD =∴FD ∥AB ，且13FD AB =，…………3分∴GH ∥FD ，且GH =FD ,∴FG ∥DH ……………………………………5分又∵FG ⊄平面ADE ，DH ⊂平面ADE∴FG ∥平面ADE ……………………6分（2）取AD 中点O ，连接OE ，OB ，作EK OB ⊥，垂足为K ， ∵菱形ABCD 中，2AD BD ==， ∴△ABD 为等边三角形，∵,OE AD OB AD ⊥⊥，OE OB O =∴∠BOE 是二面角E AD B --的平面角，即∠EOK =180°-∠BOE =60°，且AD OBE ⊥平面 ∴3cos602OK OE ==，即2OB OK = 又∵2BG GE =,∴OG ∥EK又∵EK ⊂平面OBE ∴EK AD ⊥又∵,EK OB AD OB O ⊥=∴EK ⊥平面ABD∴OG ⊥平面ABD …………………………………………9分分别以为,,OA OB OG 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -………………10分则点(1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)A B D G -， …………………………………………11分所以(0,3,1),(2,0,0)BG BC AD =-==-，114(,333FG FD DO OG CD DO OG BA DO OG =++=++=++= ……………………12分设n BCG ⊥平面，(,,)n x y z =，记FG 与平面BCE 所成角大小为θ，由2030n BC x n BG z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取(0,1,3)n = …………………………………………13分4(3sinFG n FG nθ⋅==，综上，FG 与平面BCE ．……………………15分C证明：（1）令()e 1x f x x =--，0,()e 10x x f x '∀>=->则)(x f 在),0(+∞单调递增，所以0)0()(=>f x f 即e 1x x >+； ……………………3分令x x x x g +-+=1)1ln()(，0)1()1(111)(,022>+=+-+='>∀x xx x x g x 则)(x g 在),0(+∞单调递增，所以0)0()(=>g x g 即xxx +>+1)1ln( ……………………5分所以x x x x x x >+>+++)1()1ln(,)1ln(1）（，所以1e (1)x x x +<+综上，11e (1)x x x x ++<<+； …………………………………………7分（2）结合第（1）问，e 1x x +≥对任意的x ∈R 恒成立，………………………………………8分令(1,2,,)kx k n n=-=，则e10k nkn--≥≥， …………………………………10分(1)e n k k n --≤即11(1)e n n --≤，22(1)e n n --≤，…，(1)e n n nn--≤ ……………………12分112112e (1e )1(1)(1)(1)e e ee 11e n n n n nnn nn--------+-++-+++=<--≤. ……………………14分所以*1()e 1nnnk n n k n =-<∈-∑N （）. ………………………………………………………………15分18. （17分）解:（1）依据表中数据，220.188(3371038)0.837 2.70643457117x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯， ……………………2分依据0.100α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没．有．关联． ………………………………4分（2）设i A =“第i 天去甲餐厅用餐”，i B =“第i 天去乙餐厅用餐”，i C =“第i 天去丙餐厅用餐”，则i A 、i B 、i C 两两互斥，1,2,,.i n = …………………………………………5分根据题意得()()()11111,42P A P B P C ===，()1|12i i P A A +=，()1|13i i P A B +=，()1|12i i P A C +=，()1|12i i P B A +=，()1|12i i P B C +=，()1|23i i P C B +=. ……………………………………7分(i)由22121B B A B C =+，结合全概率公式，得2212112112111113()()()(|)()(|)42228P B P B A B C P A P B A P C P B C =+=+=⨯+⨯=，因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为38. …………………………………………9分(ii)记第()n n *∈N 天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为n p ，n q ，n r ，则11111,42p q r ===，由全概率公式，得()()()111111111111()()()()()()()(||)|n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n P A P A A A B A C P A A P A B P A C P A P A A P B P A B C P A p P C ------------=++=++=++=……………………11分故 111111(2)232n n n n p p q r n ---=++≥ ① 同理1111(2)22n n n q p r n --=+≥ ②12(2)3n n r q n -=≥ ③1n n n p q r ++= ④由①②，113n n n p q q -=+，由④，1111n n n p q r ---=--，代入②，得：11122n n q q -=-，即1111()323n n q q --=--，故13n q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为112-，公比为12-的等比数列， ……………………14分即1111()3122n n q --=--, 所以1111()32n n q +⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦…………………………………………………………15分于是，当2n ≥时 1111311111()1()3292411()992n n n n n n p q q -++=+⎡⎤⎡⎤=--+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-- ………………………………………………………………16分综上所述，11,(1)4411(),(2)992n n n p n +⎧=⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩≥. …………………………………………17分19.（17分）解:（1）由题意可得|OM |＝1，且M 为NF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以OM ∥NF 2，且|NF 2|＝2|OM |=2.因为点F 1关于点M 的对称点为N ，线段F 1N 的中垂线与直线F 2N 相交于点T ，由垂直平分线的性质可得|TN |＝|TF 1|，所以||TF 2|－|TF 1||＝||TF 2|－|TN ||＝|NF 2|＝2＜|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点T 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线.1211,2,2a c F Fb ====故曲线C 的方程为2213y x -= …………………………………………7分（2）由题意可知：直线DE 的斜率存在，设()()()1122:11,,,,DE y k x D x y E x y =-+，联立方程()221113y k x x y ⎧⎪⎨-==-+⎪⎩，消去y 得：()()()222321130k x k k x k ------=，……………8分则()()()()()2222230Δ4143132420k k k k k k ⎧-≠⎪⎨=-+--+=->⎪⎩，解得2k <，且k ≠ …………………………………………10分()()21212222113,33k k k x x x x kk----+==--， ① …………………………………………11分由()1,0A ，得直线()11:11y AD y x x =--，令2x =，解得111y y x =-，即110,1y P x ⎛⎫⎪-⎝⎭，同理可得220,1y Q x ⎛⎫⎪-⎝⎭，……………………12则()()2121122111111111k x k x x y yx x x -+-++=+----()()()()()()122112111111kx k x kx k x x x +--++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--()()()()12121212212211kx x k x x k x x x x +-+--=-++()()()()()()()22222222221321212213313211332(1)62(1)(12)2(1)(3)(1)321(3)616k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----⋅+-⋅----=-----+-----+-----=-----+--=-= ……………………………………………………………………………………16分所以PQ 的中点为定点(2,3). ………………………………………………………………17分。

合肥市2020届高三第二次教学质量检测(理科数学)详细解析

x x
y1 ，
∴ 的分布列为
60x y1
60
3 4
x
x
y1
60 x x y1
p
0.4
0.4
0.2
E
0.4 60x
y1
0.4
60
3 4
x
x
y1
0.2 60
x x
y1
2 3
x3
15 2
x2
50x
160
.
………………………………9 分
设f
x E
2 3
x3
15 2
x2
50x
160
，0 x 20 ，∴ f x 2x2
15x 50 .
f x 0 0 x 10 ， f x 0 10 x 20 .
高三数学试题（理科）答案第 1 页（共 4 页）
设平面 DFE 的一个法向量为m x，y，z .
由 FFDE
m m
0 0
得 xxzy00
.
令 x 1 ，则 y 1，z 1 ，∴m (1，1，-1).
由平面 ADF 是坐标平面 xMz 可得：平面 ADF 一个法向量为n (0，1，0).
由(1)知，MD 平面 ABEF ，∴MA，MP，MD 两两垂直.
以M 点为坐标原点，直线MA，MP，MD 分别为坐标轴建立空间直角坐标系M xyz ，如图.
设AF 2 ，则 D (0，0， 1)， A (1，0，0)， P (0，1，0)， F (-1，0，0)， ∴ FD (1，0，1)， FE AP (-1，1，0).
∵b1 b2 b3 bn 2 2 2 2 ，∴b1 b2 b3 bn1 2 2 ( n 2 )，

安徽省六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题文(含解析)

所以函数
在
2
,
0 上单调递增，
h x cos x 1 hx sin x
令
，
，
x 2 , hx sin x 0
当
时，
，故切线的斜率变大，
当 x , 0时， hx sin x 0 ，故切线的斜率变小，可排除 C，
故选：D
【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，
所以 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的 0.7 35 .
故选：C 【点睛】本题主要考查数学期望的实际应用，同时考查了学生的分析问题能力，属于简单题.
5.已知首项为正数的等比数列
an
a2 a4
中，
9 24
, a7 a9
9 214
，则 a13
（
）
3 A. 29
3 B. 212
所以函数在0, 2 上单调递增，
g x cos x 1 gx sin x
令
，则
，
根据三角函数的性质，
x 0, gx sin x 0
当
时，
，故切线的斜率变小，
x , 2 gx sin x 0
当
时，
，故切线的斜率变大，可排除 A、B；
当 x 0 时， y sin x x ，则 y cos x 1 0 ，
q10
1 210
a13
，
a3q10
3 22
1 210
3 212
.
故选：B
【点睛】本题主要考查等比数列的性质，同时考查了等比中项，属于中档题.
6.已知函数
y
sin
x
3
的定义域为

2020-2021学年安徽省六校教育研究会高三(下)学期第二次联考数学试卷(理科)(解析版)

2020-2021学年安徽省六校教育研究会高三（下）第二次联考数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（共12小题）.1．设全集为实数集R，集合P＝{x|x≤1+，x∈R}，集合Q＝{1，2，3，4}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4} 2．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z的虚部为（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i3．实数x，y满足不等式组，则x2+y2的最小值为（）A．B．1C．D．24．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知x2020+y2＝2y，（x∈Z，y∈Z），则该方程的整数解有（）组．A．1B．2C．3D．45．已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．36．直线1：2x+y+3＝0倾斜角为α，则sin2α+cos2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣7．已知点M（2，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若8|MF|＝7|MO|．则p的值为（）A．1或B．或3C．3或D．1或8．函数f（x）＝sin x+x3+x，则a＞﹣1是f（a+1）+f（2a）＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，将数列{a n}依原顺序按照第n组有2n项的要求分组，则2021在第几组（）A．8B．9C．10D．1110．已知三棱锥A﹣BCD满足：AB＝AC＝AD，△BCD是边长为2的等边三角形．其外接球的球心O满足：++＝，则该三棱谁的体积为（）A．B．C．D．111．圆O半径为1，PA，PB为圆O的两条切线，A，B为切点，设∠APO＝α，则最小值为（）A．﹣4+B．﹣3+C．﹣4+2D．﹣3+212．已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且首项a1＞0，给出下列命题：p1：若，则（a3﹣1）（q﹣1）≤0；p2：若a1+a2＝，则．则下列说法正确的是（）A．p1为真命题，p2为假命题B．p1，p2都为真命题C．p1为假命题，p2为真命题D．p1，p2都为假命题二、填空题（共4小题）.13．从编号为1，2，…，88的88个网站中采用系统抽样的方法抽取容量为8的样本，所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站的最小编号为．14．若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n＝．15．双曲线mx2﹣ny2＝1左右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，P为双曲线渐近线上一点，若以F1F2为直径的圆经过P点，且∠APB＝．则该双曲线的渐近线方程为．16．A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是（个人不投自己的票），则仅A一人是最高得票者的概率为．三、解答题：共70分．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

安徽六校教育研究会2020 届高三第二次素质测试

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。可能用到的相对原子质量：H-1，C-12，O-16，Na-23，S-32，Ca-40
一、选择题：本题共 13 小题，每小题 6 分，共 78 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．绿叶海蜗牛能从它的藻类食物中“偷”来叶绿体，并吸收入自己的细胞内。首次捕食绿藻
A．朴消是黑火药的成分之一
理科综合试题第2页（共 15 页）
B．上述过程发生的是置换反应 C．此记载描述的是鉴别绿矾的方法 D．“色赤”物质可能是单质铜 8. 有机物 X 的结构简式如右图所示，下列有关说法错误的是 A．X 的分子式为 C13H10O5 B．X 分子中有五种官能团 C．X 能使溴的四氯化碳溶液褪色 D．X 分子中所有碳原子可能共平面 9． NA 代表阿伏加德罗常数的值。下列叙述正确的是 A．46g 乙醇中存在的共价键总数为 7NA B．34g 硫化氢在足量的氧气中燃烧转移电子总数为 8 NA C．标准状况下，22.4 L HF 含有的原子数为 2NA D．64gCaC2 晶体中阴离子和阳离子总数为 2 NA
A．实验过程中可以检测到糖的生成
B．实验表明氧气是叶绿体在光照的条件下产生的 C．溶液颜色变化的原因是叶绿体在光照条件下生成的还原剂将 Fe3+还原为 Fe2+
D．与恩格尔曼的水绵实验相比，希尔的实验排除了细胞内其他结构的影响
理科综合试题第1页（共 15 页）
4．下表是对某单基因遗传病进行调查后整理出的数据。下列叙述正确的是
节其功能，抑制肿瘤生长。下列叙述正确的是
A．PTEN 基因突变细胞就会癌变
B．PTEN 蛋白能控制细胞正常生长和分裂的进程
C．3-吲哚甲醇对泛素连接酶的功能起促进作用

安徽省六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题理(答案)

安徽省六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题理一、选择题：本大题共12小题，每题5分．满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．己知集合A={x ∈R|x1>-1}，集合B={ x ∈R||x|>1}，则A ∩B= A ．(1,+ ∞) B ．(0,+ ∞) C ．(-∞,-1) ∪ (0,+ ∞) D ．(-∞,-1) ∪ (1,+ ∞)2．已知复数z 满足：zi=3+4i （i 为虚数单位），则z =A. 4+3iB.4- 3iC.-4+3iD. -4-3i3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的A ．2837 倍 B ．3547倍 C. 3548倍 D ．57倍 4．函数y=sin|x|+x 在x ∈[-2π，2π ]上的大致图象是5．已知双曲线C: 2222by a x -=l （a>0，b>0）的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点A )23,23(，则双曲线C 的方程为 A ．1322=-y x B ． 16222=-y x C ．1322=-y x D. 12622=-y x6．已知实数x,y满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+44421yxyxyx，则|3x+4y|的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 57．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π8．《易经>包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响，下图就是《易经》中记载的几何图形一一八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为l0m，代表阴阳太极图的圆的半径为4m，则每块八卦田的面积约为A．47.79m2 B. 54.07m2 C．57.21m2 D．114.43 m29．已知数列{a n}中，a1=l，a2 =2，且当n为奇数时，a n+2-a n=2；当n为偶数时，a n+2+l= 3(a n+1)．则此数列的前20项的和为A．23311-+90 B．23311-+100 C．23312-+90 D．23312-+10010．函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=AxAxf的部分图象如图所示，己知3)65()0(==πgg，函数y=f（x）的图象可由y= g(x)图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数f(x)的解析式为A. x x f 2sin 2)(=B. )32sin(2)(π+=x x f C. x x f 2sin 2)(-= D. )32sin(2)(π+-=x x f11．已知函数f(x)=(lnax-1)(x 2+ax-4)．若x>0时，f(x)≥0恒成立，则实数a 的值为 A ．2e B ．4e C ．ee -4 D ．2-e e12．如图所示，棱长为l 的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AB 1的中点，M ，N 分别为线段AC 1和棱B 1C 1,上任意一点，则MN PM 22+的最小值为A.22B ．2C ．3D ．2 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题文(含解析)

六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题文（含解析）一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合或，集合，则集合中的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出，再求出元素个数即可.【详解】因为，所以中元素的个数为.故选：B【点睛】本题主要考查集合的运算，属于简单题.2.已知复数满足：（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解.详解】由，则，所以.故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.3.已知命题，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题，，，.故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先算出2019年的年脱贫率，再与年以前的年均脱贫率相比即可.【详解】由图表得，2019年的年脱贫率为.所以年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的.故选：C【点睛】本题主要考查数学期望的实际应用，同时考查了学生的分析问题能力，属于简单题.5.已知首项为正数的等比数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据求出，再根据得到，再由计算即可.【详解】因为，，所以，即.因为，.故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的性质，同时考查了等比中项，属于中档题.6.已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先设，根据的图象和值域得到的范围，即可得到的范围，从而得到的最大值和最小值，再结合选项即可得到答案.【详解】令，的图象如下所示：因为值域为，所以的最大范围为，最小范围为.所以，，，.即的最大值为，最小值为.所以可能为.故选：B【点睛】本题主要考查正弦函数的图象，同时开心了正弦函数的值域和定义域，属于中档题.7.已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.【详解】由双曲线，则渐近线方程：，，连接，则，解得，所以，解得.故双曲线方程为.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.8.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先设，，根据余弦定理得到，再根据图形计算八卦田的面积即可.【详解】如图所示：设，.，解得：.因为.所以每块八卦田的面积.故选：C理计算三角形面积，属于中档题.9.锐角中，角，所对的边分别为，若，，则角的大小为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化简得到，根据余弦定理得到，再利用正弦定理得到，即.【详解】因为，所以.因为为锐角三角形，所以，即.，即.因为，即，解得：.因为为锐角三角形，所以.故选：D查了三角函数的恒等变换，属于中档题.10.函数在上的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时，，则，所以函数在上单调递增，令，则，根据三角函数的性质，当时，，故切线的斜率变小，当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；当时，，则，所以函数上单调递增，令，，当时，，故切线的斜率变大，当时，，故切线的斜率变小，可排除C，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.11.若定义在上的增函数的图象关于点对称，且，令，则下列结论不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到函数为定义在上奇函数，B选项，计算即可判定B正确，C选项，计算，即C正确，D选项，计算，根据的单调性即可判断D正确.【详解】因为函数向左平移一个单位得到，函数的图象关于点对称，所以的图象关于点，即函数为定义在上奇函数.B选项，，故B正确.C选项，，故C正确.D选项，，因为在上为增函数，所以，即.所以，故D正确.故选：A【点睛】本题主要考查奇函数的性质，同时考查了函数图象的平移变换，属于中档题.12.如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】首先连接，过作，连接，过作.根据面面垂直的性质得到平面，即.再根据相似三角形得到，，即.再将转化为，求其最小值即可.【详解】连接，过作，连接，过作.因为平面平面，所以平面.因为平面，所以.所以.又因为，所以.即.因为，所以.在中，.因为，所以.即，.所以.即的最小值为故选：C【点睛】本题主要考查立体几何中的最短距离问题，同时考查了面面垂直的性质，属于难题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知平面向量，满足，则向量的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】首先化简得到，再计算即可得到.【详解】，，解得.因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，同时考查了向量数量积的运算，属于简单题.14.已知函数，则使得的的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到：，再根据的范围解不等式即可.【详解】由题知：，即.因为，所以.因为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查三角不等式的解法，同时考查了正弦函数的图象，属于中档题.15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为___________【答案】【解析】【分析】首先将三视图还原得到直观图为直三棱柱，从而得到直三棱柱的外接球球心为上下底面外心连线的中点处，再计算外接球半径及表面积即可.【详解】由题知：三视图的直观图为直三棱柱，由图知：几何体外接球球心为上下底面外心连线的中点处.在中，如图所示：为中点，，所以.，，.，.故答案为：【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球表面积，同时考查三视图的还原，属于中档题.16.已知点为直线上一点，是椭圆的两条切线，若恰好存在一点使得，则椭圆的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】首先设，过点切线为，根据直线与椭圆相切，联立得到，因为，得到，即.从而得到到直线的距离为，利用点到距离的公式即可求出，再求离心率即可.【详解】设，过点切线为，由题知：联立，因为直线与椭圆相切，所以，整理得：.设切线，的斜率分别为，，因为，所以，即.所以点在以为圆心，为半径的圆上，即到直线的距离为.，解得.又因为，所以，.故答案为：【点睛】本题主要考查离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于难题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答.17.已知数列前项和为，且（1）设，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设，求【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】【分析】（1）由题知：①，当时，②，①②化简得：，即，又因为当时，，，所以是以首项为，公差为的等差数列.即，.（2）由（1）知，再利用分组求和的方法即可得到.【详解】（1）由题知：①，当时，②，①②得：.所以，即：.当时，，解得，则.所以是以首项为，公差为的等差数列.，即.（2）..【点睛】本题第一问考查等差数列的证明，第二问考查数列求分组求和，属于中档题.18.受“非洲猪瘟”的影响，月份起，某地猪肉的单价随着每周供应量的不足而上涨，具体情形统计如下表所示：自受影响后第周猪肉单价（元/斤）（1）求猪肉单价关于的线性回归方程（2）当地有关部门已于月初购入进口猪肉，如果猪肉单价超过元/斤，则释放进口猪肉增加市场供应量以调控猪肉价格，试判断自受影响后第几周开始需要释放进口猪肉？参考数据：，参考公式：【答案】（1）；（2）应从第周开始【解析】【分析】（1）根据图表中数据，利用最小二乘法公式计算，，即可得到回归直线方程.（2）分别计算当和时对应的值，比较即可得到结论.【详解】（1），.，.所以，.故.（2）当时，，当时，，所以应从第周开始释放进口猪肉.【点睛】本题主要考查回归直线方程的求解和应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19.如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，平面，.（1）求证：平面；（2）求顶点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先由已知得到，根据平面得到，再利用线面垂直的判定即可证明平面.（2）首先取的中点，连接，，根据，得到平面，设点到平面的距离为，再利用等体积转化即可求出.【详解】（1）因为为等腰直角三角形，所以.平面，平面，所以.平面.（2）取的中点，连接，.因为和均为等腰三角形，所以，.因平面，平面，所以.平面.在中，，所以.在中，，，所以.又因为，，，所以四边形为矩形，即，.在中，，，所以.因为在中，，，所以.设点到平面的距离为，因为，即，.【点睛】本题第一问考查线面垂直的证明，第二问考查点到面的距离，等体积法为解题的关键，属于中档题.20.已知函数，直线是曲线在处的切线经过点.（1）求实数的值；（2）若函数，试判断函数的零点个数并证明.【答案】（1）；（2）一个，证明见解析【解析】【分析】（1）首先求导，计算得到切点为，计算得到切线斜率，再利用点斜式即可写出切线方程，代入解即可.（2）求导得到，函数在上单调递增，根据计算，，即可得到函数在区间上存在唯一零点.【详解】（1）.因为，所以切点为..所以曲线在处的切线方程为.将代入，解得：.（2）所以函数在上单调递增，又，.所以函数在区间上存在唯一零点，即函数存在唯一零点.【点睛】本题第一问考查导数中的切线问题，第二问考查利用导数求函数零点个数问题，属于中档题.21.已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点为坐标原点.（1）若的最小值为，求实数的值；（2）若梯形内接于抛物线，，的交点恰为，且，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）分别讨论和时的最小值，根据图形即可求出的值.（2）首先设，，，根据得到点在与中点连线上，从而得到点的坐标及.再设出直线的方程为，与抛物线方程联立，利用根系关系即可得到，解出的值即可得到直线的方程.【详解】（1）①当线段与抛物线没有公共点，即时,设抛物线的准线为，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则，故.②当线段与抛物线有公共点，即时，.故或（舍去）.综上.（2）设，，，则，.因为，所以，即.即线段与的中点纵坐标相同，故中点与中点连线平行于轴.由平面几何知识知：点在与中点连线上，故.于是，.设直线的方程为，.，.所以.解得：，故直线的方程为，即.【点睛】本题第一问考查根据抛物线的定义求最值问题，第二问考查根据直线与抛物线的弦长求直线方程，属于难题.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为．（1）求线段长的最小值；（2）求点的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将曲线的方程化成直角坐标方程为，当时，线段取得最小值，利用几何法求弦长即可.（2）当点与点不重合时，设，由利用向量的数量积等于可求解，最后验证当点与点重合时也满足.【详解】解曲线的方程化成直角坐标方程为即圆心，半径，曲线为过定点的直线，易知在圆内，当时，线段长最小为当点与点不重合时，设，化简得当点与点重合时，也满足上式，故点的轨迹方程为【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.23.已知非零实数满足．（1）求证：；（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）利用作差法即可证出.（2）将不等式通分化简可得，讨论或，分离参数，利用基本不等式即可求解.【详解】又即即①当时，即恒成立（当且仅当时取等号），故②当时恒成立（当且仅当时取等号），故综上，【点睛】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题文（含解析）一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合或，集合，则集合中的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出，再求出元素个数即可.【详解】因为，所以中元素的个数为.故选：B【点睛】本题主要考查集合的运算，属于简单题.2.已知复数满足：（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解.详解】由，则，所以.故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.3.已知命题，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题，，，.故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先算出2019年的年脱贫率，再与年以前的年均脱贫率相比即可.【详解】由图表得，2019年的年脱贫率为.所以年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的.故选：C【点睛】本题主要考查数学期望的实际应用，同时考查了学生的分析问题能力，属于简单题.5.已知首项为正数的等比数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据求出，再根据得到，再由计算即可.【详解】因为，，所以，即.因为，.故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的性质，同时考查了等比中项，属于中档题.6.已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先设，根据的图象和值域得到的范围，即可得到的范围，从而得到的最大值和最小值，再结合选项即可得到答案.【详解】令，的图象如下所示：因为值域为，所以的最大范围为，最小范围为.所以，，，.即的最大值为，最小值为.所以可能为.故选：B【点睛】本题主要考查正弦函数的图象，同时开心了正弦函数的值域和定义域，属于中档题.7.已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.【详解】由双曲线，则渐近线方程：，，连接，则，解得，所以，解得.故双曲线方程为.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.8.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先设，，根据余弦定理得到，再根据图形计算八卦田的面积即可.【详解】如图所示：设，.，解得：.因为.所以每块八卦田的面积.故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理计算三角形面积，属于中档题.9.锐角中，角，所对的边分别为，若，，则角的大小为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化简得到，根据余弦定理得到，再利用正弦定理得到，即.【详解】因为，所以.因为为锐角三角形，所以，即.，即.因为，即，解得：.因为为锐角三角形，所以.故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.10.函数在上的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时，，则，所以函数在上单调递增，令，则，根据三角函数的性质，当时，，故切线的斜率变小，当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；当时，，则，所以函数上单调递增，令，，当时，，故切线的斜率变大，当时，，故切线的斜率变小，可排除C，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.11.若定义在上的增函数的图象关于点对称，且，令，则下列结论不一定成立的是（）A. B.C. D.【分析】首先根据题意得到函数为定义在上奇函数，B选项，计算即可判定B正确，C 选项，计算，即C正确，D选项，计算，根据的单调性即可判断D正确.【详解】因为函数向左平移一个单位得到，函数的图象关于点对称，所以的图象关于点，即函数为定义在上奇函数.B选项，，故B正确.C选项，，故C正确.D选项，，因为在上为增函数，所以，即.所以，故D正确.故选：A【点睛】本题主要考查奇函数的性质，同时考查了函数图象的平移变换，属于中档题.12.如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】C首先连接，过作，连接，过作.根据面面垂直的性质得到平面，即.再根据相似三角形得到，，即.再将转化为，求其最小值即可.【详解】连接，过作，连接，过作.因为平面平面，所以平面.因为平面，所以.所以.又因为，所以.即.因为，所以.在中，.因为，所以.即，.所以.即的最小值为故选：C【点睛】本题主要考查立体几何中的最短距离问题，同时考查了面面垂直的性质，属于难题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知平面向量，满足，则向量的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】首先化简得到，再计算即可得到.【详解】，，解得.因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，同时考查了向量数量积的运算，属于简单题.14.已知函数，则使得的的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到：，再根据的范围解不等式即可.【详解】由题知：，即.因为，所以.因为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查三角不等式的解法，同时考查了正弦函数的图象，属于中档题.15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为___________【答案】【解析】【分析】首先将三视图还原得到直观图为直三棱柱，从而得到直三棱柱的外接球球心为上下底面外心连线的中点处，再计算外接球半径及表面积即可.【详解】由题知：三视图的直观图为直三棱柱，由图知：几何体外接球球心为上下底面外心连线的中点处.在中，如图所示：为中点，，所以.，，.，.故答案为：【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球表面积，同时考查三视图的还原，属于中档题.16.已知点为直线上一点，是椭圆的两条切线，若恰好存在一点使得，则椭圆的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】首先设，过点切线为，根据直线与椭圆相切，联立得到，因为，得到，即.从而得到到直线的距离为，利用点到距离的公式即可求出，再求离心率即可.【详解】设，过点切线为，由题知：联立，因为直线与椭圆相切，所以，整理得：.设切线，的斜率分别为，，因为，所以，即.所以点在以为圆心，为半径的圆上，即到直线的距离为.，解得.又因为，所以，.故答案为：【点睛】本题主要考查离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于难题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答.17.已知数列前项和为，且（1）设，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设，求【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】【分析】（1）由题知：①，当时，②，①②化简得：，即，又因为当时，，，所以是以首项为，公差为的等差数列.即，.（2）由（1）知，再利用分组求和的方法即可得到.【详解】（1）由题知：①，当时，②，①②得：.所以，即：.当时，，解得，则.所以是以首项为，公差为的等差数列.，即.（2）..【点睛】本题第一问考查等差数列的证明，第二问考查数列求分组求和，属于中档题.18.受“非洲猪瘟”的影响，月份起，某地猪肉的单价随着每周供应量的不足而上涨，具体情形统计如下表所示：自受影响后第周猪肉单价（元/斤）（1）求猪肉单价关于的线性回归方程（2）当地有关部门已于月初购入进口猪肉，如果猪肉单价超过元/斤，则释放进口猪肉增加市场供应量以调控猪肉价格，试判断自受影响后第几周开始需要释放进口猪肉？参考数据：，参考公式：【答案】（1）；（2）应从第周开始【解析】【分析】（1）根据图表中数据，利用最小二乘法公式计算，，即可得到回归直线方程.（2）分别计算当和时对应的值，比较即可得到结论.【详解】（1），.，.所以，.故.（2）当时，，当时，，所以应从第周开始释放进口猪肉.【点睛】本题主要考查回归直线方程的求解和应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19.如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，平面，.（1）求证：平面；（2）求顶点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先由已知得到，根据平面得到，再利用线面垂直的判定即可证明平面.（2）首先取的中点，连接，，根据，得到平面，设点到平面的距离为，再利用等体积转化即可求出.【详解】（1）因为为等腰直角三角形，所以.平面，平面，所以.平面.（2）取的中点，连接，.因为和均为等腰三角形，所以，.因平面，平面，所以.平面.在中，，所以.在中，，，所以.又因为，，，。

安徽省六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学试题(理)(解析版)

安徽省六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学试题（理）一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}11,1A x B x x x ⎧⎫=∈>-=∈>⎨⎬⎩⎭R R ，则A B =（） A. ()1,+∞ B. ()0,∞+C. ()(),10,-∞-+∞ D. ()(),11,-∞-+∞『答案』D『解析』由11A x x ⎧⎫=∈>-⎨⎬⎩⎭R{0x x =>或}1x <-， {}1B x x =∈>R {1x x =>或}1x <-，所以AB =()(),11,-∞-+∞.故选：D.2.已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（） A. 43i +B. 43i -C. 43i -+D. 43i --『答案』A『解析』由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--，所以z =43i +. 故选：A.3.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（） A.2728倍 B.4735倍 C.4835倍 D.75倍『答案』B『解析』设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a aP a⨯⨯+⨯⨯==，所以000094477035=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的4735倍. 故选：B.4.函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（）A. B.C. D.『答案』D『解析』当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥，所以函数在[]0,2π上单调递增，令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-，根据三角函数的性质，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小，当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥，所以函数在[]2,0π-上单调递增，令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大，当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ，故选：D.5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点3,22A ⎛⎝⎭，则双曲线C 的方程为（） A. 2213y x -=B. 22126x y -=C. 2213x y -=D. 22162x y -=『答案』C『解析』由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则渐近线方程：by x a=±，b ∴=，连接FA，则FAb AO a ===2c =，所以2224c a b =+=，解得223,1a b ==.故双曲线方程为2213x y -=.故选：C.6.已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（）A.2 B. 3C.4 D. 5『答案』B『解析』作出实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）令34z x y =+，则344z y x =-+，作出34y x =-，平移直线，当直线经过点1,0A 时，截距最小，故min 3103z =⨯+=，即34x y +的最小值为3. 故选：B.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π『答案』C『解析』由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为1的等腰三角形，侧棱长为4，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为120，由正弦定理可得24sin120AD ==，解得2AD =，三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，所以OA ==该几何体外接球的表面积为：(2432S ππ=⋅=.故选：C.8.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（）A. 247.79m B. 254.07mC. 257.21m D. 2114.43m 『答案』B『解析』由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为360458=，设三角形的腰为a，由正弦定理可得10135sin45sin2a=，解得1352a=，所以三角形的面积为：()211351cos135sin455022521222S⎛⎫-=⨯=⋅=+⎪⎝⎭，所以每块八卦田的面积约为：)21251454.078π-⨯⨯≈.故选：B.9.已知数列{}n a中，121,2a a==，且当n为奇数时，22n na a+-=；当n为偶数时，()2131n na a++=+．则此数列的前20项的和为（）A.1133902-+ B.11331002-+C.1233902-+ D.12331002-+『答案』A『解析』当n为奇数时，22n na a+-=，则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列，当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+，则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列. 所以201232013192420S a a a a a a a a a a =++++=+++++++()()()24201091012111102a a a ⨯=⨯+⨯++++++-()1101313100101333902-=+--+=-.故选：A.10.函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()506g g π⎛⎫==⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（）A. ()2sin 2f x x =B. ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. ()2sin f x x =-D. ()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭『答案』A『解析』由图像可知522662T πππ=-⨯=，即T π=，所以2T πω=，解得2ω=，又sin 2066g A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，由02ϕπ<<，所以23ϕπ=或53π，又()0g =所以sin A ϕ=，()0A >，所以23ϕπ=，2A =，即()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为函数()y f x =的图象由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，所以()22sin 22sin 233y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A.11.已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（） A. 2eB. 4eC.D.『答案』D『解析』如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，因为0x >时，()0f x ≥恒成立，于是两函数必须有相同的零点t ，所以2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩24at t e =-=，解得a = 故选：D.12.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和棱 11B C 上任意一点，则2PM +的最小值为（）A.B.C.D.2『答案』D『解析』取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，MF =，故()1222222PM PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知正项等比数列{}n a 中，247941499,22a a a a ==，则13a =__________．『答案』1232 『解析』由247941499,22a a a a ==，所以1055792412a a q q a a ⋅⎛⎫=⋅= ⎪⋅⎝⎭，解得12q =.2243492a a a ==，所以3232a =，所以1010133212313222a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：1232 14.6⎛⎝__________．『答案』160-『解析』(()5636616612rrrr rr rr T C C x ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，由51362r-=，可得3r =. ∴系数为()3633612160C --⋅⋅=-.故答案为：160-15.如图，两个同心圆O 的半径分别为2，AB 为大圆O 的一条直径，过点B 作小圆O 的切线交大圆于另一点C ，切点为M ，点P 为劣弧BC 上的任一点（不包括 ,B C 两点），则()AM BP CP +的最大值是__________．『答案』8『解析』以O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()2,0A -、()2,0B ，由2,OB OM ==OM BC ⊥，所以45BOM ∠=，所以()1,1M ，即()3,1AM =又OM 平分BC ，所以90BOC ∠=，则()0,2C ,设()2cos ,2sin P θθ，则()2cos 2,2sin BP θθ=-，()2cos ,2sin 2CP θθ=-，所以()4cos 2,4sin 2BP CP θθ+=--，所以()()12cos 64sin 28AM BP CP θθθϕ+=-+-=+-()8θϕ=+-，sinϕϕ⎛== ⎝，所以()AM BP CP +的最大值是8.故答案为：8.16.已知两动点,A B 在椭圆()22211x C y a a+=>上，动点P 在直线34100x y +-=上，若APB ∠恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围为__________．『答案』0,3⎛ ⎝⎭『解析』根据题意可得，圆2221x y a +=+上任意一点向椭圆C 所引的两条切线互相垂直，因此当直线 34100x y +-=与圆2221x y a +=+相离时， APB ∠恒为锐角，故2214a +<=，解得213a <<从而离心率0,3e ⎛= ⎝⎭.故答案为：0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答.（一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin 2cos 2cos cos 122A B A B A B -+++= （1）求角C 的大小（2）若4,38c CA CB =+=，求的周长解：()1由题222sin 2cos 2cos cos 22A B A B A B -+++()()1cos 1cos 2cos cos A B A B A B =--++++()22cos 22cos 1A B C =++=-= 解得1cos 2C =，所以60C ︒= ()2由余弦定理，22216c a b ab =+-=，再由22238CA CB a b ab +=++= 解得：2227,11a b ab +==所以()249,7a b a b +=+=故ABC ∆的周长为1118.如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB 为等腰直角三角形，BC ⊥平面, ,2,PAB PA PB AB BC AD BD =====（1）求证：PA ⊥平面PBC ；（2）求直线PC 与平面PAD 所成的角的正弦值．()1证明：因为BC ⊥平面,PAB PA ⊂平面PAB ，所以BC PA ⊥由PAB ∆为等腰直角三角形，所以PA PB ⊥又PB BC B ⋂=，故PA ⊥平面PAB .()2解：取AB 的中点O ，连接,OP OD ，因为, PA PB AD BD ==，所以,PO AB DO AB ⊥⊥，因为BC ⊥平面PAB ，所以PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面,ABCD PO OD ⊥，如图，以O 为坐标原点，,,OD OB OP 分别为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系,O xyz -则 1AO BO PO ===， 2DO =，又,BC AB DO PA ⊥⊥，所以//OD BC 且,OD BC =于是 ()()()(),,0,0,10,1,02,0,02,10,,P A D C -()()()2,1,10,1,12,,,,10PC AP AD =-==，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则·0·20n AP y z n AD x y ⎧=+=⎨=+=⎩ 令1x =得平面PAD 的一个法向量()1,2,2n =-设直线PC 与平面PAD 所成的角为α，则6sin cos ,963PC nPC n PC n α====19.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(),3A a ，点P 为抛物线C 上的动点．（1）若PA PF +的最小值为5，求实数a 的值；（2）设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若MOA MAO AOF ∠=∠=∠，求OPA ∆的面积．解：()1由题，()1,0F ，若线段AF 与抛物线C 没有公共点，即94a >时，设点P 在抛物线准线1x =-上的射影为D ，则,,D P A 三点共线时， PA PF +的最小值为()15AD a =--=，此时4;a =若线段AF 与抛物线C 有公共点，即94a ≤时，则,,A P F 三点共线时， PA PF +的最小值为：5PF ==，此时3a =-综上，实数a 的值为3-或4.()2因为MOA MAO AOF ∠=∠=∠，所以//MA x 轴且 MO MA MP ==，设(),3M t ，则()2,6P t ，代入抛物线C 的方程解得29,t =于是 MO MA MP ===，所以191322OPA p S MA y ∆== 20.已知函数()()2cos 1x x f x e e x R λλ=--∈，直线l 是曲线()y f x =在0x =处的切线．（1）求证：无论实数λ取何值，直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若直线l 经过点()1,6，试判断函数()f x 的零点个数并证明．解：()()()()()2 1 '2'022,,0x x f x e e sinx cosx f f λλ=+-=-=-所以直线l 方程为()2,y x λλ=--即()()212y x λ=-+-，恒过点()1,2.--()2将()1,6代入直线l 方程，得 2.λ=-考虑方程()0,f x =即2210x x e cosxe +-=，等价于20,x x e ecosx --+= 记()2x x g x e e cosx -=-+，则()'22220,x x g x e e sinx sinx sinx -=+-≥=-≥于是函数()g x 在R 上单调递增，又()220,0202g e e g πππ-⎛⎫-=-<=> ⎪⎝⎭ 所以函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一零点，即函数()f x 存在唯一零点. 21.某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X ．（1）求X 的分布列及其期望；（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数．解：（1）()11k P X p k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由题，X 的可能取值为 1k 和1k k+ ()111k k P X p k +⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，故X 的分布列为()()()()11111111k k k k E X p p p k k k+⎡⎤=-+--=--+⎣⎦()()2i 由()1记()()111k f p p k=--+，因为0k >，所以 ()f p 在()0,1p ∈上单调递增，故p 越小，()f p 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理()ii 记()()11g 1110.9k k k p k k=--+=-+ 当()1g k <且取最小值时，该方案最合理，因为()()1 1.1,20.69g g ==，()()30.604,40.594g g ≈≈，()50.61g ≈所以4k =时平均检验次数最少，约为10000.594594⨯=次．（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为实数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=，曲线1C 与曲线2C 交于,A B ，两点，线段AB 的中点为M ．（1）求线段AB 长的最小值；（2）求点M 的轨迹方程．解：()1曲线2C 的方程化成直角坐标方程为228x y y += 即()22416,x y +-=圆心()20,4C ，半径4r =，曲线1C 为过定点()2,2P 的直线，易知()2,2P 在圆2C 内，当2PC AB ⊥时，线段AB 长最小为==()2当点M 与点P 不重合时，设()2,, M x y C M PM ⊥，()()()22420C M PM x x y y ∴=-+--=，化简得()()223:12x y -+-=，当点M 与点P 重合时，也满足上式，故点M 的轨迹方程为()()2213 2.x y -+-=23.已知非零实数,a b 满足a b <．（1）求证：332222a b a b ab -<-；（2）是否存在实数λ，使得2211b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由解：()()()()()3322221222a b a b ab a b a ab b ab a b ---=-++--()()()2222324b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫=--+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,0a b a b <∴-< 又223024b a b ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭ 332222a b a b ab ∴-<- ()22211b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭即3322b a b a a b abλ--≥ 即()2222*b ab a a b abλ++≥ ①当0ab >时，()*即22221b ab a b a a b a bλ++≤=++恒成立 22b a b a a b a b+≥= （当且仅当a b =时取等号），故3λ≤②当时()0,*ab <22221b ab a b a a b a bλ++≥=++恒成立 22b a b a b a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+-≤---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（当且仅当=-a b 时取等号），故1λ≥-综上，[]1,3λ∈-。

安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试(2月)数学

安徽六校教育研究会2024届高三年级第二次素养测试数学试题2024.2考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U =R ，集合{}10,13x M x N y y x x ⎧⎫-=<=∈=+⎨⎬+⎩⎭R ，则MN 等于（）A ．[)1,1-B ．[)0,1C ．()3,0-D ．()3,1--2．若()1i 2i z -=，则2i z -=（） A ．0B ．1C 2D ．23．6(1)ax -的展开式中3x 的系数为160，则a =（）A ．2B ．2-C ．4D ．4-4．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为35．椭圆222214x y a a +=-经过点()2,3，则其离心率e =（） A ．12B ．22C ．32D ．336．若函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间()0,π恰存三个零点，两个极值点，则ω的取值范围是（） A ．717,36⎛⎤⎥⎝⎦B ．117,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．720,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π8．已知函数22()e ln ln (0)f x a x x x a a =-+>，若方程()0f x =有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（） A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,c⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,1e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分。

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