2016秋新人教A版高中数学必修一3.1.1《方程的根与函数的零点(1)》Word精讲精析

课题：3.1.1方程的根与函数的零点 （1）精讲部分学习目标展示（1）理解函数的概念，会求一般函数的零点，了解函数零点与方程根的关系 （2）会求二次函数的零点及零点个数的判定衔接性知识1.解下列方程：（1）240x += (2)2210x x -+= （3）2320x x -+= （4）2240x x -+= 2.求下函数的图象与x 轴交点坐标：（1）()24f x x =+ (2)2()21f x x x =-+ （3）2()32f x x x =-+ （4）2()24f x x x =-+3.由上述1与2说明方程()0f x =与()y f x =的图象的交点之间有什么关系？例1. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点.(1)3()x f x x+=(2)2()24f x x x =++ (3)2()44f x x x =++ (4)3()1log f x x =- (5)2()(23)(4)x f x x =--解：(1)设30x x +=，解得3x =-，所以函数3()x f x x+=的零点是3- (2) 设2240x x ++=，由于22414120∆=-⨯⨯=-<，所以方程2240x x ++=无实数根，从而2()24f x x x =++无零点.(3) 设2440x x ++=，解得4x =-，所以函数2()44f x x x =++的零点为2-. (4)设31log 0x -=，解得3x =，所以函数3()1log f x x =-的零点为3.(5)设2(23)(4)0x x --=，得23x =或24x =，所以2log 3x =或2x =±从而函数2()(23)(4)x f x x =--的零点为2log 3，2与2-.例2. 已知函数()2f x x ax b ++=的两个零点是2和4-，求函数2()1g x bx ax =++的零点解：因为函数()2f x x ax b ++=的两个零点是2和4-所以20x ax b ++=的两个根为2和4-，所以2(4)2(4)a b -=+-⎧⎨=⨯-⎩，解得28a b =⎧⎨=-⎩，2()821g x x x ∴=-++令()0g x =，得28210x x --=，(21)(41)0x x ∴-+=，即12x =或14x =- 所以()g x 的零点为12与14- 例3.函数()21f x ax x --＝仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解：当0a =时，()1f x x =--，令()0f x =，得1x =-，此时()f x 仅有一个零点－1；当0a ≠时，由()f x 仅有一个零点，得方程210ax x --=有两个相等的实数根，140a ∴∆=+=，即14a =-.从而实数a 的取值范围是1{0,}4-例4. 已知二次函数2()f x ax bx c =＋＋，并且·0a c <，判断函数()f x 的零点的个数解：法1.()()000c f a c a f =∴⋅=⋅< ，，0(0)0a f >⎧∴⎨<⎩或0(0)0a f <⎧⎨>⎩∴由二次函数的图象知()f x 有两个零点．法2.2040ac b ac <∴∆=-> ，，20ax bx c ∴=＋＋有两个不相等的实数根 ∴()f x 有两个零点．精练部分A 类试题（普通班用）1.函数()23f x x =-的零点为 ( ) A.3(,0)2 B. 3(0,)2 C. 32 D. 23解：由()0f x =，得230x -=，32x ∴=，所以函数()23f x x =-的零点为32，选C2.函数()22302ln 0x x x f x xx ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为( )A．0B．1 C．2D．3解：令2230x x -=+，∴3x =-或103x x ≤∴= ，-；令20lnx -+=，2lnx ∴=，20x e ∴=>，故函数()f x 有两个零点．选C3. 已知二次函数()y f x =的零点是2-和3，且(6)36f -=，求二次函数的解析式． 解：由二次函数()y f x =的零点是2-和3，设(()23)()f x a x x +-=6()36f -= ，∴(6)(62)363a --=+-，即1a =，∴2()23()6)(f x x x x x -=+--= 故二次函数的解析式为2()6f x x x --=4．已知函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3，求函数2()1g x bx ax ++=的零点解：()2f x x ax b =-+ 有两个零点2和3，20x ax b ∴+=-的根为2和3，235236a b =+=⎧∴⎨=⨯=⎩，2()651g x x x +∴+=令()0g x =，得26510x x ∴++=，(21)(31)0x x ++=，即12x =-或13x =-∴()g x 有两个零点12-和13-5．已知()()()2f x x a x b -=--，并且α、β是函数()f x 的两个零点，且αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( ) 解：∵α、β是函数()f x 的两个零点， ∴()()0ff αβ＝＝，又()()()2f x x a x b ＝－－－，()()20f a f b =-∴<=.结合二次函数()f x 的图象可知，a 、b 必在α、β之间．所以有a b αβ<<< B 类试题（3+3+4）（尖子班用）1.函数()23f x x =-的零点为 ( ) A.3(,0)2 B. 3(0,)2 C. 32 D. 23解：由()0f x =，得230x -=，32x ∴=，所以函数()23f x x =-的零点为32，选C2.函数1()f x x x=+的零点个数为( ) A ．0个B ．1个C ．至少1个D ．至多1个解：易知函数定义域为{|0}x x ∈≠R ，令()0f x =，得10x x +=，即210x x+=，由0x ≠得21x =-，它无实数根，所以()f x 无零点，选A3．函数()22302ln 0x x x f x xx ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为( )A．0B．1 C．2D．3解：令2230x x -=+，∴3x =-或103x x ≤∴= ，-；令20lnx -+=，2lnx ∴=，20x e ∴=>，故函数()f x 有两个零点．选C4．函数()ln 1f x x =+，则函数()f x 的零点为解：令()0f x =，得ln 1x =-，1x e∴=，所以函数()f x 的零点为1e ，填1e5．若函数()f x ax b ＝＋的零点是2，则函数()2g x bx ax ＝－的零点是解：由条件20a b +=，2b a ∴=-，(()21)g x ax x ∴=-+令()0g x =，得0x =或12x =-，所以()g x 的零点为0和12-.填0和12- 6．已知()()()2f x x a x b -=--，并且α、β是函数()f x 的两个零点，且αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( ) 解：∵α、β是函数()f x 的两个零点， ∴()()0ff αβ＝＝，又()()()2f x x a x b ＝－－－，()()20f a f b =-∴<=.结合二次函数()f x 的图象可知，a 、b 必在α、β之间．所以有a b αβ<<< 7．已知二次函数()y f x =的零点是2-和3，且(6)36f -=，求二次函数的解析式． 解：由二次函数()y f x =的零点是2-和3，设(()23)()f x a x x +-=6()36f -= ，∴(6)(62)363a --=+-，即1a =，∴2()23()6)(f x x x x x -=+--= 故二次函数的解析式为2()6f x x x --=8．已知函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3，求函数2()1g x bx ax ++=的零点解：()2f x x ax b =-+ 有两个零点2和3，20x ax b ∴+=-的根为2和3，235236a b =+=⎧∴⎨=⨯=⎩，2()651g x x x +∴+= 令()0g x =，得26510x x ∴++=，(21)(31)0x x ++=，即12x =-或13x =- ∴()g x 有两个零点12-和13-9．定义在R 上的偶函数()y f x =在(0]∞－，上递增，函数()f x 的一个零点为12-，求满足14(log )0f x ≥的x 的取值集合．解：∵12-是函数的零点，∴1()02f -=，∵()f x 为偶函数，∴1()02f =， ∵()f x 在(0]∞－，上递增，141(log )0()2f x f ≥=-，∴1410log 2x ≥≥-，111444log 1log log 2x ≥≥，∴12x ≤≤， ∵()f x 为偶函数，∴()f x 在[0,)+∞上单调减， ∵14(log )0f x ≥，又141(log )()2f x f ≥，∴1410log 2x ≤≤，1114441log 1log log 2x ≤≤，∴112x ≤≤，∴12≤x ≤2.从而112x ≤≤或12x ≤≤，即故x 的取值集合为1{|2}2x x ≤≤． 10．已知a R ∈，讨论函数2(8)6||x f x x a =--+的零点的个数.解：令()0f x =，得28|6|x x a +-=，令2(|)8|6g x x x -+=，()h x a =，则()f x 的零点的个数等于()g x 与()h x 的图象的交点的个数，在同一坐标系中画出()g x 与()h x 的图象，如图所示，2268(||(3)1||)g x x x x +=--=-，下面对a 进行分类讨论，由图象得，当0a <时，()g x 与()h x 的图象无交点，()f x 的零点的个数为0； 当0a =时，()g x 与()h x 的图象有3个交点，()f x 的零点的个数等于3； 当01a <<时，()g x 与()h x 的图象有4个交点，()f x 的零点的个数等于4；当1a >或0a =时，()g x 与()h x 的图象有2个交点，()f x 的零点的个数等于2.。