高数课件19定积分的分部积分
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定积分的分部积分法微课课件
b
uv
b a
a vu dx .
b
定积分的分部积分公式
注：将被积的两个函数按照“反、对、幂、指、三”的顺 序排到前面的选为u，后面的选为v’。 如， 幂 原式= 三
选x为u，cosx为v’ 则v为sinx
二、例题分析
例1 计算
（反、对、幂、指、三)
幂 对 解：选lnx为u，x为v’,则v为
0
1
(3) x arctan xdx
0
1
下节请关注 “反常积分”
原式=
例2 计算
幂 对
解：选lnx为u，1为v’,则v为 原式=
4本节小结
1、定积分的分部积分法
a uvdx uv a a部积分法计算简单定积分
5课后练习
请计算下列定积分
(1) arctan xdx
1 e
(2) xe x dx
定
微
列
------之七分部积分法
目录
1 2 3 4 5
CONTENTS
曲边梯形的面积 定积分的概念 定积分的几何意义 微积分基本定理1 微积分基本定理2
6 7
8 9 11
定积分的换元积分法
分部积分法
反常积分
定积分的应用一面积 定积分的应用三
10 定积分的应用二旋转体的体积
一、复习引入
设函数 u( x )、v ( x )在区间a , b上具有连续导数， 则有 uv dx uv
u vdx .
不定积分的分部积分公式
注：一般情况下，将被积的两个函数按照“反、对、幂、 指、三”的顺序排到前面的选为u，后面的选为v’。
如， 幂 原式= 三 选x为u，cosx为v’ 则v为sinx
uv
b a
a vu dx .
b
定积分的分部积分公式
注：将被积的两个函数按照“反、对、幂、指、三”的顺 序排到前面的选为u，后面的选为v’。 如， 幂 原式= 三
选x为u，cosx为v’ 则v为sinx
二、例题分析
例1 计算
（反、对、幂、指、三)
幂 对 解：选lnx为u，x为v’,则v为
0
1
(3) x arctan xdx
0
1
下节请关注 “反常积分”
原式=
例2 计算
幂 对
解：选lnx为u，1为v’,则v为 原式=
4本节小结
1、定积分的分部积分法
a uvdx uv a a部积分法计算简单定积分
5课后练习
请计算下列定积分
(1) arctan xdx
1 e
(2) xe x dx
定
微
列
------之七分部积分法
目录
1 2 3 4 5
CONTENTS
曲边梯形的面积 定积分的概念 定积分的几何意义 微积分基本定理1 微积分基本定理2
6 7
8 9 11
定积分的换元积分法
分部积分法
反常积分
定积分的应用一面积 定积分的应用三
10 定积分的应用二旋转体的体积
一、复习引入
设函数 u( x )、v ( x )在区间a , b上具有连续导数， 则有 uv dx uv
u vdx .
不定积分的分部积分公式
注：一般情况下，将被积的两个函数按照“反、对、幂、 指、三”的顺序排到前面的选为u，后面的选为v’。
如， 幂 原式= 三 选x为u，cosx为v’ 则v为sinx
《高等数学》PPT课件-第三章分部积分
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn } 趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
二、定积分的定义
x arcsin x 1 x2 C
合理选择
u, v ，正确使用分部积分公式
u dv u v vdu
1. 使用原则 : v易求出, v d u 易积分
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后v ′
3. 题目类型 :
分部化简— 降幂法；转换法； 循环法.
【注意】 循环法两次分部选择的 u , v 函数类型不 变 , 解出积分后加 C .
四、定积分的几何意义
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积
a
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积的负
a
值
A1 A2
A3 A4
b
a
f
(
x
)dx
A1 A2
A3 A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限 被 积 函 数
定积分的分部积分法广义积分
a
b
(5.3.3)
分部积分法
例(补充)
计算
0
4
0
xdx . 1 cos 2 x
2
解 1 cos2x 2cos x,
4
0
xdx 1 cos 2x
4
4
xdx 2 cos x
2
0
4
4
0
x d tan x 2
1 1 x tan x 0 2 2 1 4
dx
1
dx x
lim
1
b 1
b
dx x
令 x t，则x t 2，dx 2tdt 且x 1 t 1 ，x b t b
b 2tdt lim 2dt lim 2t b 1 b t
lim
b 1
b
b 1
lim 2( b 1)
1 x
dx
b 0
lim (arctan x)
a
a
lim (arctan x)
b
b
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)
2
注意 有限区间上 定积分的计 算和对积分 结果求极限 的运算的正 确性.
2
广义积分
b
b
1 1
所以，广义积分
-x
e dx 收敛 .
0
广义积分
例3 求广义积分
解
0
b
(5.3.3)
分部积分法
例(补充)
计算
0
4
0
xdx . 1 cos 2 x
2
解 1 cos2x 2cos x,
4
0
xdx 1 cos 2x
4
4
xdx 2 cos x
2
0
4
4
0
x d tan x 2
1 1 x tan x 0 2 2 1 4
dx
1
dx x
lim
1
b 1
b
dx x
令 x t，则x t 2，dx 2tdt 且x 1 t 1 ，x b t b
b 2tdt lim 2dt lim 2t b 1 b t
lim
b 1
b
b 1
lim 2( b 1)
1 x
dx
b 0
lim (arctan x)
a
a
lim (arctan x)
b
b
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)
2
注意 有限区间上 定积分的计 算和对积分 结果求极限 的运算的正 确性.
2
广义积分
b
b
1 1
所以，广义积分
-x
e dx 收敛 .
0
广义积分
例3 求广义积分
解
0
定积分的换元法和分部积分法课件
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
高数课件-定积分的换元积分法与分部积分法
0 ( 1
sin t
t
dt )d(
x2 2
)
[ x2
2
x 1
2
sin t
t
dt
]10
1 0
x2 2
sin x2 x2
2 xdx
0
1
0
x
sin
x
2dx
1 (cos1 1) 2
1
例13 设f (t)连续, f (1) 0 , 解
1
例14 證明
n1n331 ,
n n2 4 2 2
n 為偶數
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
2
∴
原式 = a 2
2 cos2 t d t
0
a2 2
2 0
(1
cos
2
t)d
t
y
y
a2 x2
a2
4
o
ax
1
例2 求 0a
1
dx
(x2 a2)3
(a 0)
解 令x a tant, dx a sec2 t d t
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
t dt 1
1 t2
2
1
12(1
t
2
)
1 2
d (1 t 2 )
3
12 1t2 2
1 2
1 3
2 2 3
3 2
1
例4
1 x2 1
1
x4
dx 1
1 x2
1
2x 1 x4 1
2x dx
1
1 x2
1
dx
2x 1
1 1
x
2x 4 1
sin t
t
dt )d(
x2 2
)
[ x2
2
x 1
2
sin t
t
dt
]10
1 0
x2 2
sin x2 x2
2 xdx
0
1
0
x
sin
x
2dx
1 (cos1 1) 2
1
例13 设f (t)连续, f (1) 0 , 解
1
例14 證明
n1n331 ,
n n2 4 2 2
n 為偶數
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
2
∴
原式 = a 2
2 cos2 t d t
0
a2 2
2 0
(1
cos
2
t)d
t
y
y
a2 x2
a2
4
o
ax
1
例2 求 0a
1
dx
(x2 a2)3
(a 0)
解 令x a tant, dx a sec2 t d t
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
t dt 1
1 t2
2
1
12(1
t
2
)
1 2
d (1 t 2 )
3
12 1t2 2
1 2
1 3
2 2 3
3 2
1
例4
1 x2 1
1
x4
dx 1
1 x2
1
2x 1 x4 1
2x dx
1
1 x2
1
dx
2x 1
1 1
x
2x 4 1
定积分的分部积分法
定积分的分部积分法
定积分的分部积分法：分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求
结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、
三角函数的积分。
不定积分的公式
1、∫adx=ax+c，a和c都是常数。
2、∫x^adx = [x^（a + 1）]/（a + 1）+c，其中a为常数且a≠-1。
3、∫1/xdx =ln|x|+c。
4、∫a^xdx =（1/lna）a^x+c，其中a\ue0且a≠1。
5、∫e^xdx =e^x+c。
《高数定积分》课件
05
广义积分及其收敛性判别法
广义积分的概念及分类
广义积分的定义
广义积分是相对于正常积分而言的一种特殊积分，其积分区间可能包含无穷大或者无界 函数。
广义积分的分类
根据被积函数和积分区间的不同，广义积分可分为无穷限广分的收敛性判别法
比较判别法
通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数，来判断广义积分的收敛性。
换元法求解定积分
01
换元法的基本思想
通过变量代换简化定积分的计算 。
02
常见的换元方法
03
换元法的注意事项
三角函数代换、倒代换、根式代 换等。
代换后需调整积分上下限，并验 证代换的可行性。
分部积分法求解定积分
分部积分法的基本思想
将复杂函数拆分为简单函数 进行积分。
常见的分部积分公式
幂函数与三角函数、幂函数 与指数函数、幂函数与对数 函数等。
06
定积分在经济学等领域的应用
由边际函数求原经济函数
边际函数与定积分的关系
边际函数描述的是经济量变化的瞬时速率，而定积分则可用于求取原经济函数，即总量 函数。
求原经济函数的步骤
首先确定边际函数的表达式，然后根据定积分的定义，对边际函数进行积分，得到原经 济函数的表达式。
示例
已知某产品的边际收益函数为MR(q)，通过对其进行定积分，可以得到总收益函数 TR(q)。
曲线的长度、图形的面积等。
THANKS
感谢观看
原函数与不定积分概念
原函数定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。根据微积分基本定理，不定积分就是求原函数的过 程。
不定积分性质
不定积分具有线性性质、常数倍性质和积分区间可加性。这些性质在求解复杂函数的定积分时非常有 用。
定积分的分部积分公式
避免计算错误
01
在使用分部积分公式时，应注意运算的顺序和符号，确保每一 步计算都是正确的。
02
在计算过程中，应仔细核对每一步的计算结果，避免因为粗心
大意而导致的计算错误。
对于一些复杂的积分，可以使用数学软件进行验证，以确保计
算结果的准确性。
注意公式的适用范围
01
分部积分公式适用于可积函数，即被积函数在积分区间内连续 或存在有限个间断点的情况。如果被积函数不满足这些条件，
分部积分公式可以与定积分结合使用，通过 将定积分转化为不定积分的形式，再利用分 部积分公式进行计算，可以简化计算过程。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
分部积分公式在实变函数中也有广泛的应用，实变函 数是研究可测函数的数学分支。通过分部积分公式， 可以解决实变函数中的一些积分问题。
在复变函数中的应用
公式推导过程
首先，根据乘积法则，(uv)' = u'v + uv'
接着，将不定积分的结果进行展开， 得到∫u'vdx + ∫uv'dx
然后，对等式两边分别进行不定积分， 得到∫(uv)'dx = ∫(u'v + uv')dx
最后，根据不定积分的性质，将等式 右边的两个不定积分相加，得到定积 分的分部积分公式：∫(uv)'dx = ∫u'vdx + ∫uv'dx
THANKS
谢谢
03
CHAPTER
分部积分公式的注意事项
正确选择u和v'
选择u和v'时，应尽量选择容易 计算不定积分的函数作为u， 而将其他函数作为v'。这样可 以简化计算过程，减少出错的 可能性。
定积分的分部积分法
例4 求
∫
π
2 0
3cos 2 x sin xdx.
解 设 u
u = cos x， 则du = sin xdx，当x = 0时，
= 1；当x =
π
2
时，u = 0.于是
∫
π
2 0
0 3cos 2 x sin xdx = ∫ 3u 2 dux )在区间[ a , a ]上连续, 证明 :
si ≈ v (ξ i ) ti
s≈
∑ v (ξ ) t
i =1 i
n
n
i
s = lim ∑ v(ξi )ti
λ →0
i =1
二 定积分的定义 设函数 y = f ( x ) 在[a，b] 上有定义, 任取分点
a = x0 < x1 < x2 < < xn 1 < xn = b 将[ a，b]分为n个小区间[ x i 1， x i ],
a x
在[ a, b]上可导, 且其导数是
Φ′( x ) = dx ∫ d
x a
f (t ) dt = f ( x ),
(a ≤ x ≤ b).
推论 连续函数的原函数一定存在． 例1 计算 Φ ( x) =
∫
x
0
sin t 2 dt 在x = 0,
故
π
2
π
2
π
4
处的导数.
d x 解 因为 sin t 2 dt = sin x 2 , dx ∫0
∫
1
1
e
2
x2
dx 的值．
x 解 先求 f ( x) = e 在[－1，1]上的最大值和最小值． [ 1 1]
f ′( x) = 2 xe x ,
定积分的分部积分法和应用(面积、体积).ppt
2 2
π
π
∫
a +T
a
f (x ) dx =
∫
T
0
f (x ) dx ．
以T为周期的周期函数 为周期的 在任一长度为T的区间上的定积分值相等 在任一长度为 的区间上的
例
∫π
∫
0
100π
|sinx | dx = ，
∫π
4
9π 4
|sinx | dx = ．
2π
sin n x dx = ，
∫
10π n
30π n
(3) 极坐标系下 极坐标系下
极点在区域内部 ① 极点在区域内部 A = 2 π 1 r 2 (θ ) d θ (3) 极坐标系下 坐标系 ∫0 2 θ θ 设 r = r (θ) (α ≤ θ ≤ β ) ，求由 r = r (θ) ， θ = α ， θ = β 极点在区域外 ② 极点在区域外部 所围图形的图形的面积． 所围图形的图形的面积 = β 1 r 2 (θ ) − r 2 (θ ) d θ A ∫ 2 α 2 1 [ 求曲边扇形的 面积 A ，积分 变 是θ ， θ∈ α, β]． 量
解： 10 作草图
(0，2)，(12，4)． ， ， ， ． 30 确定“横分”还是“竖分”y 型区域， 右减左 确定“横分”还是“竖分” 型区域， 为积分变量） （以 y 为积分变量还是以 x 为积分变量）
20 求交点
法一： 横分” “ （ 为积分变量） 法一： 横分” 以 y 为积分变量）
A= ∫
f ( x) ∈ C ，
求
∫
1
x 0
1 tf (2 x − t )dt = arctan x 2 ， f (1) = 1 ， 2
π
π
∫
a +T
a
f (x ) dx =
∫
T
0
f (x ) dx ．
以T为周期的周期函数 为周期的 在任一长度为T的区间上的定积分值相等 在任一长度为 的区间上的
例
∫π
∫
0
100π
|sinx | dx = ，
∫π
4
9π 4
|sinx | dx = ．
2π
sin n x dx = ，
∫
10π n
30π n
(3) 极坐标系下 极坐标系下
极点在区域内部 ① 极点在区域内部 A = 2 π 1 r 2 (θ ) d θ (3) 极坐标系下 坐标系 ∫0 2 θ θ 设 r = r (θ) (α ≤ θ ≤ β ) ，求由 r = r (θ) ， θ = α ， θ = β 极点在区域外 ② 极点在区域外部 所围图形的图形的面积． 所围图形的图形的面积 = β 1 r 2 (θ ) − r 2 (θ ) d θ A ∫ 2 α 2 1 [ 求曲边扇形的 面积 A ，积分 变 是θ ， θ∈ α, β]． 量
解： 10 作草图
(0，2)，(12，4)． ， ， ， ． 30 确定“横分”还是“竖分”y 型区域， 右减左 确定“横分”还是“竖分” 型区域， 为积分变量） （以 y 为积分变量还是以 x 为积分变量）
20 求交点
法一： 横分” “ （ 为积分变量） 法一： 横分” 以 y 为积分变量）
A= ∫
f ( x) ∈ C ，
求
∫
1
x 0
1 tf (2 x − t )dt = arctan x 2 ， f (1) = 1 ， 2
《高数》定积分课件
《高数》定积分PPT课件
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
定积分的分部积分法
定积分的分部积分法定积分是微积分里一项重要的运算，它可以帮助我们求出曲线下的面积、弧长、质心等等。
分部积分法是一个常用的定积分计算方法，它将一个定积分转化成一个求导和一个积分的组合，从而简化计算过程。
本文将介绍分部积分法的基本原理和具体应用。
1. 分部积分的基本原理分部积分法的基本原理可以用以下公式来概括：$\int udv=uv-\int vdu$其中，$u$和$v$是两个可微的函数，$du$和$dv$分别是它们的微分。
这个公式的意义是将一个不易求解的积分转化成一个更容易求解的积分。
在这个公式中，我们将积分$\int udv$分成了两个部分，一个是$uv$，另一个是$\int vdu$。
对于$uv$，我们可以直接求解，而对于$\int vdu$，我们可以再次使用分部积分法，重复这个过程，直到积分可以计算出来为止。
2. 分部积分法的具体应用接下来，我们来看一些具体的例子，了解分部积分法的应用方法。
例1：计算$\int x \cos x dx$我们可以将$x$视为$u$，$\cos x$视为$dv$，那么$du=dx$，$v=\sin x$。
代入分部积分公式，有：$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx$$=x \sin x + \cos x + C$这个方法不仅可以用于求$\cos$函数的积分，同样也适用于求$\sin$函数的积分。
例2：计算$\int x^2 e^x dx$这个积分可以看做是$x^2$乘以一个$e^x$函数，并且它的导数和原函数都可以比较容易地计算出来。
因此，我们可以将$x^2$视为$u$，$e^x$视为$dv$，那么$du=2xdx$，$v=e^x$。
代入分部积分公式，有：$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$$=x^2 e^x - 2 \int x d(e^x)$$=x^2 e^x - 2xe^x + 2 \int e^x dx$$=x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x + C$这个例子中，我们用到了分部积分法的多次迭代，每次迭代都将积分的难度降低了一些，最终得到了一个容易计算的式子。
定积分的分部积分公式
解决微分方程问题
总结词
分部积分公式还可以用于解决微 分方程问题，通过将微分方程转 化为多个一阶线性微分方程，降 低求解难度。
详细描述
在解决微分方程问题时，分部积 分公式可以将一个微分方程问题 转化为多个一阶线性微分方程问 题，从而更容易找到微分方程的 解。
举例
对于微分方程$y' = x^2 + y$，
例如，在积分∫(x^2)e^x dx中，选择 x^2作为u，e^x作为dv。
计算过程中的错误来源
错误地识别了u和dv
01
如果选择的u和dv不正确，可能会导致计算结果不准确。
计算dv的积分时出错
02
在计算dv的积分时，任何计算错误都会影响最终结果。
忽略了一些特殊函数的分部积分公式
03
对于一些特殊函数ห้องสมุดไป่ตู้如三角函数、指数函数等，需要使用特定
03
= -cos x / x + (sin x / x^2) + ∫(sin x / x^2) dx
04
= -cos x / x + (sin x / x^2) - cos x / x^2 +C
练习题三及解答
练习题三：求∫(e^(2x)) * (sin x) dx
∫(e^(2x)) * (sin x) dx = ∫(e^(2x)) d(-cos x)
理解难点
分部积分公式的理解难点在于如何选择合适的函数对，以便于简化计算。选择合 适的函数对是关键，需要一定的技巧和经验。
公式推导
推导过程
分部积分公式的推导过程涉及到微积 分的基本定理和性质。通过将一个函 数的导数与另一个函数相乘，然后对 结果进行积分，可以得到分部积分公 式。
2019年-065-定积分的分部积分法-PPT精选文档
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
证 设 usinn1x, dv six nd, x
d u (n1 )sin 2 n xco xs d , v x co x , s
第6页
I n sn 1 i x c n x 0 2 o ( n s 1 ) 0 2 sn 2 i x c n 2 x d o
budvuvb
b
vd.u
a
aa
第1页
1
例1 计算 2arcsixndx. 0
解 令 uarcsx,indvdx,
则 du dx , vx, 1 x2
1 2 0
arcsixndxxarcsxin012
1 2
0
1 26
1
1 2
20
1 d(1x2) 1x2
6.5 定积分的分部积分法一、分部积分公式
设 函 数 u(x)、 v(x)在 区 间 a,b上 具 有 连 续
导 数 ， 则 有 a budvub a va bvd.u
定积分的分部积分公式
推导 uvuvuv, ab(uv)dxuvba,
ub a va bu vd xa bu vd,x
xdx 1 x2
12
1
1x2
2
0
31.
12 2
第2页
例2 计算 4
xdx .
0 1x,s
4
xdx
0 1cos2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtanx
2
12xtanx04
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1 1 1 2 f (1) 0 x f ( x )dx 2 2
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f ( x ) 1
x2
sin t dt , t
sin t f (1) 1 dt 0, t
1
sin x 2 2 sin x 2 f ( x ) 2x , 2 x x
t G ( x ) f ( u)dudt 0 0
54356621
例5
证明定积分公式
3 1 n 1 n 3 为正偶数 , n n n2 4 2 2 n 1 n 3 4 2 , n为大于1的正奇数 n n2 5 3
证 设 u sinn1 x , dv sin xdx,
4
1 cos 2 x 2 cos x ,
2
xdx xdx 4 x 4 d tan x 2 0 1 cos 2 x 0 2 0 2 cos x 1 1 4 4 x tan x 0 tan xdx 2 2 0 1 ln 2 4 ln sec x 0 . 8 2 8 4
n3 I n4 , n2
2m 1 2m 3 5 3 1 I 0 , 2m 2m 2 6 4 2 2m 2m 2 6 4 2 I 1 , 2m 1 2m 1 7 5 3
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1 1 1 x 2 x ln 2 1 ln(1 x ) ln(2 x )0 3
5 ln 2 ln营口地区成人高等教育 3. QQ群 3 54356621
ln 2 3
1 1 dx 0 2 x 1 x
1
例4 设 f ( x ) 1
解
x2
1 1 2 1 0 xf ( x )dx f (1) 0 x f ( x )dx 2 2
1
1 1 1 1 2 0 2 x sin x dx 0 sin x 2dx 2 2 2
1 1 2 1 cos x 0 (cos 1 1). 2 2 营口地区成人高等教育 QQ群
0
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1 sin x
2
I n ( n 1)02 sinn 2 xdx ( n 1)02 sinn xdx
(n 1) I n2 (n 1) I n
n1 In I n 2 n I n 2
I 2m
积分I n关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止
定积分的分部积分法
一、分部积分公式
定积分也可以象不定积分一样进行分部积分， 设函数u( x ) 、v ( x ) 在区间a , b 上具有连续导数，则 有 a udv uv a a vdu .
b b b
定积分的分部积分公式
推导
b a
uv uv uv,
b b
uv a uvdx a uvdx, b b b udv uv vdu. a a
sin t dt , 求 t
xf ( x )dx.
0
1
sin t 因为 没有初等形式的原函数， t 无法直接求出 f ( x ) ，所以采用分部积分法
1
1 1 2 xf ( x ) dx 0 f ( x )d ( x ) 0 2
1 1 2 1 2 1 x f ( x )0 x df ( x ) 2 2 0
解 令
xdx 2 1 x
1 1 1 1 2 2 0 d ( 1 x ) 2 2 6 2 1 x
12
1 x
2
1 2
0
3 1. 12 2
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例2 计算
xdx 0 1 cos 2 x .
4
解
a
a (uv )dx uva ,
b
b
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例1
计算
arcsin xdx.
0
1 2
u arcsin x , dv dx , dx , v x, 则 du 2 1 x 1 1 1 2 2 2 0 arcsin xdx x arcsin x 0 0
( m 1,2,)
I 2 m 1
I0
0
2
于是 I 2m 1 2m 3 5 3 1 , 2m 2m 2m 2 6 4 2 2 2m 2m 2 6 4 2 I 2 m 1 . 2m 1 2m 1 7 5 3
I n 0 sin n xdx 0 cos n xdx
2
2
I n sin n1 x cos x 0 ( n 1)0 sin n 2 x cos 2 xdx
2 2
du (n 1) sin
n 2
x cos xdx, v cos x ,
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例3 计算
解
1
0
ln(1 x ) dx . 2 (2 x )
0
1
1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x
1
ln(1 x ) 1 1 d ln(1 x ) 0 2 x 2 x 0
dx , 2
I1 sin xdx 1,
0
2
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例6 设 f ( x ) 连续 证明
t ( x t ) f ( t )dt f ( u)dudt 0 0 0 x
x x
证一 记 F ( x ) ( x t ) f ( t )dt