课时18.二次函数及其图像
第一轮导学案2013-18二次函数及图象
OyxBAyx O课时18 二次函数及其图像【考点链接】1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0a ＜0图 象开 口 对 称 轴 顶点坐标最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减性在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧y 随x 的增大而y 随x 的增大而2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中h ＝ k ＝ . 3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定方法：( )确定a ，( )和( )确定b ，( )确定c. 【典例精析】例1 (06遂宁)已知二次函数24y x x =+，(1) 用配方法把该函数化为2()y a x h k =++ (其中a 、h 、k 都是常数且a ≠0)形式，并画出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标. (2) 求函数的图象与x 轴的交点坐标.例2 （08大连）如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A(1，0)，B(3，2)．⑴ 求m 的值和抛物线的解析式； ⑵ 求不等式m x c bx x +>++2的解集．(直接写出答案)D C B Ao y x o y x oy x o yxyxO【巩固练习】1． （08南昌）将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．2. （07四川） 如图1所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．3.（08贵阳）二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ）A.－2 B.2 C.－1 D.14.（08沈阳）二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ）A.（1,3）B.（－1,3）C.（1,－3）D.（－1,－3） 5. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. a b c ><>000，，B. a b c <<>000，，C. a b c <><000，，D. a b c <>>000，，【中考演练】1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2. （2012威海 3分）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x －1）2+1的图象上，若 x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2.3.（07江西）已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．4. 函数2y ax =与(0,0)y ax b a b =+>>在同一坐标系中的大致图象是（ ）5. (06浙江) 二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个6. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 (填正确结论的序号)．① abc ＜0；②a－b ＋c ＜0；③3a＋c ＜0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0．7.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠O)的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0 ②b 2－4ac<0 ⑤c<4b ④a＋b>0，则其中正确结论的个数是【 】A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8. （2012山东威海3分）已知二次函数()2y=ax +bx+c a 0≠的图象如图所示，下列结论错误的是【 】A.abc ＞0B.3a ＞2bC.m （am ＋b ）≤a－bD.4a －2b ＋c ＜。
九年级二次函数知识点大全
九年级二次函数知识点大全在数学学科中，二次函数是一个非常重要且常见的概念。
九年级是中学阶段的最后一年，学生将接触到更加复杂的数学内容。
在这篇文章中，我们将回顾九年级学生所学习的二次函数的所有重要知识点。
通过深入了解这些知识点，学生们可以更好地掌握和应用二次函数的概念。
一、二次函数及其图像二次函数是一种以二次方程为代数表达式的函数。
二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b和c是实数常数且a≠0。
其中，a为二次项系数，b为以x为一次项的系数，c为常数项。
二次函数的图像通常呈现为一条抛物线。
抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线上最高或最低的点。
顶点的坐标可以通过求解二次函数的轴对称线对应的x值，再带入二次函数中得到。
顶点的横坐标为：x = -b / 2a将x带入二次函数中得到纵坐标：y = f(x) = ax² + bx + c三、二次函数的对称轴对称轴是二次函数图像的一条直线，将抛物线分为两个对称的部分。
对称轴是通过顶点，并与横坐标轴（x轴）垂直。
对称轴的方程为：x = -b / 2a。
即对称轴的方程是将二次函数的轴对称线对应的x值表达出来。
四、二次函数的零点/根零点（或根）是二次函数的图像与x轴相交的点，即函数值等于0的x值。
零点的求解可以通过二次函数的解析解公式求得。
二次函数的解析解公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a五、二次函数的判别式判别式是一个用于确定二次函数的零点个数和类型的数值。
判别式的值可以为正、零或负。
判别式的公式为：Δ = b² - 4ac当判别式Δ>0时，二次函数有两个不同的实根；当判别式Δ=0时，二次函数有一个实根；当判别式Δ<0时，二次函数无实根，但是可以有复数根。
二次函数及其图像
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 +b (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移b个单位得到.
（3）由具体到一顶点和坐标轴呢 函数
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出 它的对称轴和顶点坐标.
y ax bx c
二次函数及其图像
奥运赛场腾空的篮球
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从 (n-3) 一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作 条 对角线.
因为像线段MN与NM那样,连 M N 接相同两顶点的对角线是同一条 对角线,所以多边形的对角线总数 1 ②式表示了多边形 d n n3 的对角线数d与边数n 2 之间的关系,对于n的每 1 3 即 d 2 n② n 一个值,d都有唯一的对 2 2 应值,即d是n的函数。
开口方向
开口大小
15
ⅱ、b与图象的关系
当b=0时对称轴为y轴 b影响 对称轴 的位置 当ab>0时对称轴在y轴左侧 当ab<0时对称轴在y轴右侧
b 因为它的对称轴是 2a
16
ⅲ、 c与图象的关系
C 确定图 象与y轴 的交点
当c＝0时图象过原点
当 c > 0时图象与y轴正半轴相交 当c < 0时图象与y轴负半轴相交
2 y ax bx c 的图象是一条抛物线. 因此,二次函数
2
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b 2 它的顶点是 2a , 4 a .
转 化
二次函数 y ax bx c
2
y=a(x-h)2+k的形式
《二次函数的图像》第一课时教学课件
1 顶点坐标
顶点的x坐标为-Vx，y坐标为Vy。
2 轴对称线方程
轴对称线的方程为x = Vx。
二次函数图像的几个特殊情况
当二次函数的a、b和c的值满足特定条件时，图像可能具有一些特殊的形状和 性质。这些特殊情况需要我们额外关注和分析。
一元二次方程与二次函数的联 系
一元二次方程的一元二次项系数可以决定二次函数的图像开口方向以及顶点 的坐标。通过对一元二次方程进行因式分解，可以找到对应的二次函数的顶 点。
二次函数图像的坐标变化规律
1
沿x轴方向平移
2
当在二次函数中加上或减去常数时，
图像会沿x轴左右平移。
3
缩放
4
当对二次函数进行拉伸或压缩时， 图像会沿x轴或y轴方向进行缩放。
二次函数图像的基本性质
开口方向
当a大于0时，图像开口向上；当a小于0时， 图像开口向下。
顶点
顶点是图像的最高点或最低点，记为(Vx, Vy)。当a大于0时，Vy是最小值；当a小于 0时，Vy是最大值。
轴对称线
轴对称线是通过顶点并垂直于x轴的直线。 它将图像分成对称的两部分。
零点
零点是二次函数图像与x轴相交的点，即 使y等于0的点。
《二次函数的图像》第一 课时教学课件
欢迎来到《二次函数的图像》第一课时教学课件！本课程将介绍二次函数的 定义、图像的基本性质、与一元二次方程的联系，以及图像的坐标变化规律。 还将讨论平移、翻折和缩放，特殊情况的图像以及顶点坐标和轴对称线。
二次函数的定义
二次函数是一个以二次方程表示的函数，形如：y = ax^2 + bx + c。其中，a、b 和c是常数，a不等于0。
沿y轴方向平移
高中数学二次函数及其图像性质的分析与解答
高中数学二次函数及其图像性质的分析与解答一、二次函数的定义与性质二次函数是指具有形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的图像特点1. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标。
求二次函数的零点可以通过解方程ax^2+bx+c=0来实现。
例如，对于函数y=x^2-3x+2，解方程x^2-3x+2=0，得到x=1和x=2，因此函数的零点为x=1和x=2。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的中心轴线，对称轴的方程为x=-b/2a。
例如，对于函数y=2x^2+4x-3，对称轴的方程为x=-4/(2*2)=-1，因此对称轴为x=-1。
3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点（当抛物线开口向下时）或最低点（当抛物线开口向上时）。
顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标可以通过将对称轴的横坐标代入函数得到。
例如，对于函数y=-x^2+2x+3，对称轴的横坐标为x=2/(-2)=-1，将x=-1代入函数得到y=-(-1)^2+2*(-1)+3=4，因此顶点为(-1, 4)。
三、二次函数图像的平移与伸缩1. 平移：二次函数的图像可以通过平移来改变其位置。
平移的方式有两种：水平平移和垂直平移。
水平平移是指将整个图像沿x轴平行移动，垂直平移是指将整个图像沿y轴平行移动。
平移的规律为：y=a(x-h)^2+k，其中(h, k)为平移的距离。
2. 伸缩：二次函数的图像可以通过伸缩来改变其形状。
伸缩的方式有两种：水平伸缩和垂直伸缩。
水平伸缩是指将整个图像沿x轴方向拉伸或压缩，垂直伸缩是指将整个图像沿y轴方向拉伸或压缩。
伸缩的规律为：y=a(bx-c)^2+d，其中a为垂直伸缩的比例因子，b为水平伸缩的比例因子，c为水平方向的平移距离，d为垂直方向的平移距离。
初三中考数学二次函数及其图像
y xO y xO 课时18．二次函数及其图像【课前热身】1．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ． 2.如图1所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．3.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ）A.－2B.2C.－1D.1 4.二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ）A.（1,3）B.（－1,3）C.（1,－3）D.（－1,－3）5. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. a b c ><>000，，B. a b c <<>000，，C. a b c <><000，，D. a b c <>>000，，【考点链接】 1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0 a ＜0图 象开 口 对 称 轴 顶点坐标最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最值增减性在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而y 随x 的增大而2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.O yx BA D CB Ao y x o y x oy x o y x4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定.【典例精析】例1 已知二次函数24y x x =+，(1) 用配方法把该函数化为2()y a x h k =++ (其中a 、h 、k 都是常数且a ≠0)形式，并画 出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称 轴和顶点坐标.(2) 求函数的图象与x 轴的交点坐标.例2 如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A(1，0)，B(3，2)．⑴ 求m 的值和抛物线的解析式； ⑵ 求不等式m x c bx x +>++2的解集．(直接写出答案)【中考演练】1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .3.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．4. 函数2y ax =与(0,0)y ax b a b =+>>在同一坐标系中的大致图象是（ ）5. 已知函数y=x 2-2x-2的图象如图1所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（）A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1 C．x≥-3 D．x≤-1或x≥3 6. 二次函数c+=2（0axy+bxa）的图象如图所示，则下列结论：≠①a＞0；②c＞0；③b2-4a c＞0，其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（第5题）（第6题）7. 已知二次函数243=-+的图象经过点（－1，8）.y ax x（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1x 0 1 2 3 4y（3。
二次函数及其图像教案
二次函数及其图像教案一、教学目标：1. 让学生理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；2. 培养学生利用配方法、顶点式求解二次函数的能力；3. 让学生熟悉二次函数的图像特点，理解二次函数图像与系数之间的关系；4. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生对二次函数的应用意识。
二、教学内容：1. 二次函数的概念及一般形式；2. 配方法求解二次函数；3. 顶点式求解二次函数；4. 二次函数的图像特点；5. 二次函数图像与系数之间的关系。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：二次函数的概念、一般形式，配方法、顶点式求解二次函数，二次函数的图像特点；2. 教学难点：配方法、顶点式求解二次函数的运用，二次函数图像与系数之间的关系。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图像特点；3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习一次函数、正比例函数的图像，引导学生思考二次函数的概念及图像特点；2. 讲解二次函数的概念及一般形式，让学生掌握二次函数的基本知识；3. 运用配方法求解二次函数，让学生理解配方法的原理及步骤；4. 运用顶点式求解二次函数，让学生掌握顶点式的运用方法；5. 分析二次函数的图像特点，让学生了解二次函数图像的形状及对称性；6. 探讨二次函数图像与系数之间的关系，让学生理解系数对图像的影响；7. 运用实例分析，让学生解决实际问题，提高应用意识；8. 课堂小结，梳理本节课的主要知识点；9. 布置作业，巩固所学内容。
六、教学活动：1. 让学生通过数学软件或图形计算器绘制二次函数图像，观察图像与系数之间的关系；2. 组织小组讨论，让学生分享各自绘制二次函数图像的心得，探讨如何快速判断二次函数的图像特点；3. 安排课堂练习，让学生运用所学知识解决实际问题，如：抛物线射击、最大（小）值问题等。
二次函数及其图像解答题
（1）求一次函数y=kx+b的解析式；
（2）若二次函数y=x2+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；
（3）当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣4，求m，n的值．
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，它们的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F.已知点A的坐标为（﹣1，0）.
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
11．求抛物线y=﹣2x2+8x﹣8的开口方向、对称轴及顶点坐标．
12．如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．
（3）当a取a1，a2时，二次函数图象与x轴正半轴分别交于点M（m，0），点N（n，0）．如果点N在点M的右边，且点M和点N都在点（1，0）的右边．试比较a1和a2的大小．
10．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线AB上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；
二次函数及其图像 教案
课题26．1二次函数及其图像教学目标重点难点教学方法教具知识技能1、认识理解二次函数的定义及其开口方向，顶点，对称轴。
2、会用描点法画二次函数的图象。
3、二次函数图象性质。
数学思考解决问题情感态度1、在对称图形的探索过程中，体会建模思想。
2、通过画图活动，体验数形结合思想。
3、体会从实践中来，到实践中去的认识论规律。
1、通过画图活动，体验数形结合思想。
2、学生自主动手操作描绘函数图像，加深对函数性质的理解。
3、借助几何画板展示二次函数的图像哪些性质由哪些系数决定的。
1．通过对称和平移图像发现数学的规律美。
2．在探究活动中，体验应用所学知识解决实际问题后成功的快乐。
1、二次函数的定义和定义域。
2、二次函数图象的平移。
3、图像与二次函数解析式的对应关系。
如何把图像的顶点，对称轴与二次函数解析式的对应关系联系起来。
1、教法说明：以教学目标为框架，让学生初步掌握将实际问题转化为数学模型，解决问题的方法，和渗透数形结合思想。
2、学法指导：主要用渗透式教给学生观察、抓关键的方法；用发现式教学生自己发现规律，回归问题，形成新知识。
3、教学手段：(1)借助多媒体教学描绘函数的图像，提高教学效率，增强教学效果。
(2)通过例题和练习题，让学生自己动手描绘图像，加深对函数图像和函数相关性质的理解。
黑板、课件、多媒体课室等教学过程教学环节教学内容教师活动学生活动引入回忆如何描绘一次函数的图像。
题目：画出y=2x+3函数图象。
1、启发学生回忆如何描绘一次函数的图像。
2、总结如何画函数图象:先列表格后描点画图．回忆如何描绘一次函数的图像，并在练习本上画出一次函数的图像提出新问题画函数y=x²-2x+3图象。
结合引入，指导学生对新问题的注意。
1、并观察学生画y=x²-2x+3图象的情况。
学生思考如何画函数y=x²-2x+3的图象。
导入新题二次函数的定义1、展现函数y=x²-2x+3图象。
二次函数及其图像教案
二次函数及其图像教案第一章：引言1.1 学习目标了解二次函数的概念和重要性理解二次函数的一般形式能够列出二次函数的几个特殊形式1.2 教学内容二次函数的定义二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx + c二次函数的特殊形式：f(x) = a(x h)^2 + k1.3 教学活动引入二次函数的概念，通过实际例子让学生感受二次函数的存在引导学生通过观察和分析实际例子，总结出二次函数的一般形式讲解二次函数的特殊形式，并让学生通过图形直观地理解特殊形式的含义1.4 作业与练习完成练习题，包括识别和转换二次函数的一般形式和特殊形式第二章：二次函数的图像2.1 学习目标了解二次函数图像的特点和性质能够绘制二次函数的图像能够从图像中获取二次函数的信息2.2 教学内容二次函数图像的形状：开口向上/向下二次函数图像的顶点：最小值/最大值二次函数图像的对称轴2.3 教学活动讲解二次函数图像的形状，通过实际例子让学生观察和理解开口向上/向下的情况引导学生通过观察和分析实际例子，找出二次函数图像的顶点和对称轴让学生通过绘制二次函数图像，进一步理解和掌握二次函数图像的性质2.4 作业与练习完成练习题，包括绘制给定二次函数的图像和分析图像的性质第三章：二次函数的性质3.1 学习目标了解二次函数的增减性和奇偶性能够分析二次函数的增减区间和奇偶性3.2 教学内容二次函数的增减性：开口向上/向下的影响二次函数的奇偶性：f(x) = f(-x)3.3 教学活动讲解二次函数的增减性，通过实际例子让学生观察和理解开口向上/向下的影响引导学生通过观察和分析实际例子，判断二次函数的奇偶性让学生通过绘制二次函数图像，进一步理解和掌握二次函数的增减性和奇偶性3.4 作业与练习完成练习题，包括分析给定二次函数的增减性和奇偶性第四章：二次函数的应用4.1 学习目标了解二次函数在实际问题中的应用能够将实际问题转化为二次函数问题能够求解二次函数问题4.2 教学内容二次函数在实际问题中的应用：面积、体积、最值等求解二次函数问题：解方程、求极值等4.3 教学活动讲解二次函数在实际问题中的应用，通过实际例子让学生理解和掌握引导学生将实际问题转化为二次函数问题，并求解让学生通过实际问题，进一步理解和掌握二次函数的应用4.4 作业与练习完成练习题，包括解决给定的实际问题，转化为二次函数问题并求解第五章：总结与复习5.1 学习目标总结二次函数及其图像的主要内容和性质巩固所学的知识和技能5.2 教学内容回顾二次函数及其图像的定义、性质和应用巩固二次函数的图像绘制和分析方法5.3 教学活动引导学生回顾和总结二次函数及其图像的主要内容和性质让学生通过绘制和分析二次函数图像，巩固所学的知识和技能5.4 作业与练习完成练习题，包括绘制和分析给定的二次函数图像第六章：二次函数的图像分析6.1 学习目标学会使用二次函数图像分析问题能够通过图像确定函数的零点能够判断函数的增减区间6.2 教学内容利用图像确定二次函数的零点判断二次函数的增减区间分析二次函数的顶点坐标的实际意义6.3 教学活动讲解如何通过图像确定二次函数的零点引导学生观察图像判断函数的增减区间分析顶点坐标与实际问题的关系6.4 作业与练习完成练习题，包括通过图像确定二次函数的零点和判断增减区间第七章：二次函数与一元二次方程7.1 学习目标理解二次函数与一元二次方程的关系学会通过函数图像求解一元二次方程能够利用一元二次方程求解函数的零点7.2 教学内容二次函数与一元二次方程的转化关系利用函数图像求解一元二次方程一元二次方程的求解方法7.3 教学活动讲解二次函数与一元二次方程的转化关系引导学生利用函数图像求解一元二次方程讲解一元二次方程的求解方法7.4 作业与练习完成练习题，包括将一元二次方程转化为二次函数图像求解第八章：二次函数的实际应用8.1 学习目标学会将实际问题转化为二次函数问题能够利用二次函数求解实际问题能够分析实际问题的最优解8.2 教学内容实际问题与二次函数的转化方法利用二次函数求解实际问题分析实际问题的最优解8.3 教学活动讲解如何将实际问题转化为二次函数问题引导学生利用二次函数求解实际问题分析实际问题的最优解8.4 作业与练习完成练习题，包括将实际问题转化为二次函数问题并求解第九章：二次函数的综合应用9.1 学习目标学会将二次函数与其他数学知识综合应用能够解决复杂的二次函数问题能够分析二次函数在实际问题中的应用9.2 教学内容二次函数与其他数学知识的综合应用解决复杂的二次函数问题分析二次函数在实际问题中的应用9.3 教学活动讲解如何将二次函数与其他数学知识综合应用引导学生解决复杂的二次函数问题分析二次函数在实际问题中的应用9.4 作业与练习完成练习题，包括将二次函数与其他数学知识综合应用解决实际问题第十章：总结与复习10.1 学习目标总结二次函数及其图像的主要内容和性质巩固所学的知识和技能10.2 教学内容回顾二次函数及其图像的定义、性质和应用巩固二次函数的图像绘制和分析方法10.3 教学活动引导学生回顾和总结二次函数及其图像的主要内容和性质让学生通过绘制和分析二次函数图像，巩固所学的知识和技能10.4 作业与练习完成练习题，包括绘制和分析给定的二次函数图像重点解析本文主要介绍了二次函数及其图像的相关知识和应用。
二次函数及其图像教案
二次函数及其图像教案第一章：二次函数的定义与标准形式1.1 二次函数的定义引导学生理解二次函数的概念，即函数的形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是常数，且a ≠0。
1.2 二次函数的标准形式解释二次函数的标准形式，即f(x) = a(x h)^2 + k，其中(h, k) 是顶点的坐标。
演示如何将一般形式转换为标准形式。
第二章：二次函数的图像2.1 顶点的概念与性质介绍顶点的定义，即二次函数图像的最低点或最高点。
解释顶点的坐标与a 的关系。
2.2 开口的方向引导学生理解二次函数图像的开口方向与a 的正负有关。
分析不同情况下的开口方向和图像形状。
第三章：二次函数的性质3.1 单调性解释二次函数的单调性，即函数图像的上升或下降趋势。
分析不同情况下的单调性。
3.2 最大值和最小值引导学生理解二次函数的最大值或最小值出现在顶点处。
解释如何确定函数的最大值或最小值。
第四章：二次函数的图像与解析式的关系4.1 图像的平移解释二次函数图像的平移现象，即如何通过改变顶点的坐标来平移图像。
演示如何通过解析式的变化来实现图像的平移。
4.2 图像的拉伸与压缩引导学生理解二次函数图像的拉伸与压缩现象。
解释如何通过解析式的变化来实现图像的拉伸与压缩。
第五章：实际问题中的应用5.1 抛物线与物体的运动分析抛物线在物体运动中的应用，如抛物线运动的速度和加速度。
解释如何通过二次函数来描述物体的运动。
5.2 抛物线与几何问题引导学生理解二次函数在几何问题中的应用。
分析如何通过二次函数来解决几何问题，如抛物线与直线的交点等。
第六章：二次函数的根与判别式6.1 根的定义与性质解释二次函数的根，即函数图像与x 轴交点的横坐标。
引导学生理解根的性质，如根的个数与判别式的关系。
6.2 判别式的计算与应用介绍判别式的概念，即Δ= b^2 4ac。
分析判别式的大小与根的性质的关系。
第七章：二次函数的图像与坐标系7.1 坐标系的认识复习坐标系的基本概念，包括x 轴、y 轴和象限。
二次函数的图像与性质(第一课时)优质课件
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、 探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论 探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学 科组长组织组员针对疑难问题及 小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质 的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图 像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能 够y=x2比较出与 的图像的异同，初步建立二 次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min） 【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容 展示小组
14组小2源自2组组 合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论 ；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答 案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)
《二次函数——二次函数的图象与性质》数学教学PPT课件(9篇)
y3>y2>y1
关系为___________．
导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1, 所以这三个点
都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据
“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得
y3>y2>y1.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，
y值都随x值的增大而增大
D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0
时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
（来自《典中点》）
知2－练
4 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取
值范围是( D )
1
(1，2
), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B,
1
C；在第一象限内,
y1的对应
2
点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
可直接利用函数的增减性进行大小比较．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象
上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为
y1＜y2
________．
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT教学课件(第1课时)
抛物线
轴对称图形
开口方向
性
质
重点关注4
个 方 面
对 称 轴
顶点坐标
增 减 性
二次函数的图象与性质
第1课时
复习旧知
1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
的函数叫做x的二次函数.
2.画函数图象的主要步骤是什么？
（1）列表.
（2）描点.
（3）连线.
导入新知
3.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
（1）一次函数的图象是 一条直线
（2)反比例函数的图象是双曲线 .
出几对对称点.
是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；
如（1，1）和（-1，1）等.
练一练
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图
象的最低点.坐标为（0,0）
合作探究
二次函数y =－x2的图象是什么形状?
它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
0
1
2
3
···
··· 9
0
1
4
9
···
4
1
新知讲解
y
2.描点:根据表中x, y的数值在坐标平面
中描点(x, y).
9
6
3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得
到y = x2的图象.
3
-3
O
3
x
新知讲解
议一议
1.你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
二次函数的图象与性质(第二课时)课件
当c＜ 0 时,向下平移-c个单位长度得到；
规律：上加下减
课堂小结
图
象
抛
物
线
开口方向
性 质
对称轴:轴
增 减 性
与y=ax 2
的关系
轴对称图形
随堂训练
1.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
（, ）
y轴
有最高点
向上
(, )
y轴
有最低点
−
=
为
.
4.从＝ −3的图象上可以看出，当− ≤ ≤ 时，的取值范围是 − ≤ ≤ .
5.在同一坐标系中，函数 = + 与 = + 的图象的相对位置可以是（ A
O
O
A
B
O
C
O
D
6.已知二次函数＝ + ,当x取，（ ≠ ）时，函数值相等，则当x＝x1+x2
向下
(, −)
y轴
有最高点
2
x +2的顶点坐标是 (, ) ，对称轴是
y轴
2.抛物线 = −
，在对
称轴的左侧，随的增大而 增大 ；当 =
时，有最 大 值
是 .它可以由抛物线 = − x2向 上 平移 个单位得到.
3.已知二次函数 = − 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
y=3x2-1
《二次函数的图像》课件
U形抛物线
当二次项系数 a > 0 时，函数图像呈现为U形抛物线，开 口向上。
倒U形抛物线
当二次项系数 a < 0 时，函数图像呈现为倒U形抛物线， 开口向下。
二次函数图像的参数
通过改变二次函数的参数 a、b、c，可以调整图像的位置、形状和大小。
2
表Hale Waihona Puke 式和图像特点掌握二次函数的标准形式、顶点、对称轴等图像特点。
3
回顾知识点和技巧
复习重要知识点和解题技巧，巩固对二次函数的理解。
结束语
1 鼓励继续学习
鼓励学生继续学习数学知识，深入理解二次函数及其应用。
2 提供建议和资源
提供实用的学习建议和资源，帮助学生进一步提升数学能力。
3 感谢参与和学习
感谢学生对本次课程的参与和学习，祝愿他们在数学学习中取得更大的成就。
1
a 的影响
改变 a 的值将扩大或压缩抛物线的形状，同时改变开口方向。
2
b 的影响
改变 b 的值将使抛物线水平平移，改变对称轴的位置。
3
c 的影响
改变 c 的值将使抛物线垂直平移，改变顶点的位置。
练习与应用
通过绘制二次函数图像的练习题，帮助学生巩固对二次函数图像的理解。同时介绍二次函数在物 理学和经济学中的实际应用。
二次函数图像呈现为抛物线形状，具有顶点、对称轴和开口方向。它的图像可以是开口向上或开 口向下，取决于二次项系数 a 的正负。
顶点
抛物线的最高点或最低点，对应函数的最小值或最大值。
对称轴
抛物线的中心线，对称地分割抛物线。
开口方向
二次函数的图像及其性质教案
教学过程一、复习预习1. 常量、变量和函数在某一过程中可以取不同数值的量，叫做变量．在整个过程中保持统一数值的量或数，叫做常量或常数．一般地，设在变化过程中有两个互相关联的变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量．2. 函数的表示方法(1) 解析法(2) 列表法(3) 图像法3. 函数的图像若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在直角坐标平面上描出一个点(x，f(x))，这些点构成一个图形F，这个图形F就是函数y=f(x)的图像．知道函数的解析式，要画函数的图像，一般分为列表，描点，连线三个步骤．4、正比例函数：一般地，函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k 叫做变量y与x之间的比例常数，确定了比例常数k，就可以确定一个正比例函数．正比例函数y=kx有下列性质:(1) 当k>0时，它的图像经过第一、三象限，y随着x的值增大而增大；当k<0时，他的图像经过第二、四象限，y随着x的增大而减小．(2)随着比例常数的绝对值的增加，函数图像渐渐离开x轴而接近于y轴，因此，比例系数k 和直线y=kx与x轴正方向所成的角有关据此，k叫做直线y=kx的斜率．二、知识讲解考点1 二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．考点2二次函数的基本形式及图像性质1. 二次函数基本形式：2y ax =（b 、c 为0 时）的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
初中代数二次函数公式定理
初中代数二次函数公式定理
各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢
1二次函数及其图像
二次函数
我们把函数y=ax2+bx+c叫做二次函数
函数y=ax2的图像和性质
用表里各组对应值作为点的坐标,进行描点,然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来,就得到函数y=x2的图象这个图象叫做抛物线函数y=x2的图像,以后简称为抛物线y=x2这条抛物线是关于y轴成对称的我们把y轴叫做抛物线y=x2的对称轴对称轴和抛物线的焦点,叫做抛物线的顶点
函数y=ax2+bx+c的图像和性质
抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是,对称轴方程是x=-b/2a,当a〉0时,抛物线的开口向上,并且向上无限延伸;当a〈0
时,抛物线的开口向下,并且向下无限延伸
当a〉0时,二次函数y=ax2+bx+c在x〈-b/2a时是递减的,在x〉-b/2a时是递增的;在x=-b/2a处取得y最小=4ac-b2/4a 当a〈0时,二次函数y=ax2+bx+c在x 〈-b/2a时是递减的;在x=-不/2a处取得y 最大=4ac-b2/4a
2根据已知条件求二次函数
根据已知条件确定二次函数
一元二次方程的图像解法
各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
O
x
(2) 求函数的图象与 x 轴的交点坐标.
2
中小学个性化辅导专家
2 例 2 如图，直线 y 和抛物线 y x m x bx c 都经过点 A(1，0)，B(3，2)． ⑴ 求 m 的值和抛物线的解析式；
y
B
O
A
x
2 ⑵ 求不等式 x 的解集．(直接写出答案) bx c x m
．
2 3.二次函数 y 的最小值是（ ( x 1 ) 2
） D.1 ） ）
y
A.－2
B.2
C.－1
2 4.二次函数 y 的图象的顶点坐标是（ 2 ( x 1 ) 3
A.（1,3） B.（－1,3） C.（1,－3） D.（－1,－3） 2 5. 二次函数 y 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ a x b x c A. a 0 ， b 0 ， c 0 B. a 0 ， b 0 ， c 0 C. a 0 ， b 0 ， c 0 D. a 0 ， b 0 ， c 0 【典例精析】 2 例 1 已知二次函数 yx 4 x， 2 (1) 用配方法把该函数化为 y a ( x h ) k (其中 a、h、k 都是常数且 a≠0)形式， 并画出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称 轴和顶点坐标.
2
时，y 有最 当 x＝ 值
时，y 有最
在对称轴左侧 在对称轴右侧
y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而
2 2. 二次函数 y 用配方法可化成 y 的形式，其中 a x h k ax bx c
h ＝
，
k ＝
.
2 3. 二次函数 y 的图像和 y ax2 图像的关系. a ( x h ) k
2
2 6. 二次函数 y （ a 0 ）的图象如图所示，则下列结论： ax bx c
① a ＞0； ② c ＞0； ③ b2-4 a c ＞0，其中正确的个数是( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.
（第 5 题）
（第 6 题）
2 7. 已知二次函数 y 的图象经过点（－1，8）. a x 4 x 3
4. 函数 y ax2 与 y 在同一坐标系中的大致图象是（ a x b ( a 0 , b 0 )
y o o A x B x o C x D y y o y
）
x
3
中小学个性化辅导专家
5.已知函数 y=x -2x-2 的图象如图 1 所示，根据其中提供的信息，可求得使 y≥1 成立的 x 的取值范围是（ A．-1≤x≤3 ） C．x≥-3 D．x≤-1 或 x≥3 ) 3个 B．-3≤x≤1
（1）求此二次函数的解析式；
（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象； x 0 1 2 3 4 y
（3）根据图象回答：当函数值 y<0 时，x 的取值范围是什么？
4
2 4. 二次函数 y 中 a, b, c 的符号的确定. ax bx c
【课前练习】 1．将抛物线 y 3x2 向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．
1
中小学个性化辅导专家
2 2 2. 如图 1 所示的抛物线是二次函数 y 的图象， a x 3 xa 1
那么 a 的值是
中小学个性化辅导专家
巨人教育辅导讲义
学员编号（卡号） ： 学员姓名： 课 题 年 级： 辅导科目： 第 次课 教师：
课时 18．二次函数及其图像
教学内容
【知识要点】
2 1. 二次函数 y 的图像和性质 a ( x h ) k
a ＞0
y
a ＜0
图 开
象
O
x
口பைடு நூலகம்
对 称 轴 顶点坐标 最 增 减 性 值 当 x＝ 值 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而
【课堂检测】 1. 抛物线 yx2 的顶点坐标是
2
.
2. 请写出一个开口向上，对称轴为直线 x＝2，且与 y 轴的交点坐标 为(0，3)的抛物线的解析式 .
2 3.已知二次函数 y 的部分图象如右图所示，则关于 x 的 x 2 x m 2 一元二次方程 的解为 ． x 2 x m 0