四川省成都七中实验学校2016届九年级上学期期中考试数学试卷

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成都七中九年级上期中模拟考试数学试题 (36)

4.若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（）
138

19.已知：如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，AB＝8，BC＝3．
求：sin∠ACD 的值及 AD 的长．
2
20．如图，二次函数 y1 = x + bx + c 的图象与 x 轴交于 A、
北京市第三十五中学 2015-2016 学年度第一学期期中质量检测
九年级数学（满分 120 分，时间 120 分钟）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有
D' N' C'
M'
M
N ' N
三、解答题（本大题共 13 小题，共 72 分，第 17-26 题，每题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7
分，第 29 题 8 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
A．2 B． C． D．
2 2 5
8.已知函数 y ax 2 bx c 的图象如图所示，则函数 y ax b 的图象是（）
17．计算： tan 30 cos60 tan 45 sin 30.
18.如图，在△ ABC 中， D 、 E 两点分别在 AC 、 AB 两边上， ABC ADE ，
AB 7, AD 3 ， AE 2.7 ,求 AC 的长 A
E
D
B C
一项是符合题目要求的）
1.抛物线 y＝－(x＋2)2－3 的顶点坐标是（）
A
A．（2，－3） B. （－2，3） C. （2，3） D. （－2，－3）

2016-2017年四川省成都市锦江区成都七中育才学校九年级上学期数学期中试卷带答案

2016-2017学年四川省成都市锦江区成都七中育才学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）﹣2017的相反数是（）A．﹣2017 B．﹣C．2017 D．2．（3分）下列四个几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．3．（3分）已知反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值为（）A．2 B．C．1 D．﹣24．（3分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A．msin35°B．mcos35° C．D．5．（3分）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2 B．y=x2 C．y=x2+6 D．y=（x﹣2）2+66．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠57．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠C．x≥﹣1且x≠D．x＞﹣18．（3分）为了让江西的山更绿、水更清，2008年省委、省政府提出了确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2008年我省森林覆盖率为60.05%，设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程（）A．60.05（1+2x）=63% B．60.05（1+2x）2=63C．60.05（1+x）=63% D．60.05（1+x）2=639．（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）A．B． C．D．10．（3分）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）因式分解：x2﹣1=．12．（4分）已知抛物线y=x2﹣2x+3，则抛物线的对称轴是．13．（4分）如图，A为反比例函数y=图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB=3，则k值为．14．（4分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则sin∠CBE的值是．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：（）﹣1+（5+）0﹣2sin45°+．（2）解方程：x2﹣4x+1=0．16．（7分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a=+1，b=﹣1．17．（7分）小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．（1）填空：AD AC（填“＞”，“＜”，“=”）．（2）求旗杆AB的高度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）．18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，其中点B（﹣3，1），解答下列问题．（1）将△ABC绕着点O（0，0）顺时针旋转90°得到△A1B1C1，并写出B1的坐标．（2）在网格图中，以O为位似中心在另一侧将△A1B1C1放大2倍得到△A′B′C′，并写出B′的坐标．19．（10分）已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2=的图象交于A，B 两点，且A点的橫坐标为1．（1）求一次函数的函数表达式．（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．（3）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C橫坐标为3，求△ABC的面积．20．（10分）已知四边形ABCD中，AB=2AD，E、F分别是AD、DC边上的点，CE 与BF交于点G，∠A+∠BGE=180°．（1）若四边形ABCD是矩形（如图1），求证：CE=2BF．（2）若四边形ABCD是平行四边形，且∠A＜90°（如图2），CE=2BF是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若E、F分别是AD、DC的中点（如图3），求cosA的值．一、填空题（每小题4分，共20分）21．（4分）若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是．22．（4分）如图，Rt△ABC的顶点在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，sin∠AOB=，OB=2，反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB 于点D，连接CD，则四边形CDBO的面积是．23．（4分）如图，正方形ABCD与正方形AEFG有公共顶点A，连接BE、CF，则线段BE：CF的值是．24．（4分）抛物线y=﹣x2+ax﹣5的顶点在坐标轴上，则系数a的值是．25．（4分）阅读材料：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任何一点M，用表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M 的极径，∠O叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系．如图，在极坐标系中，点A的极坐标为（4，30°）、点B的极坐标为（6，60°），那么AB两点之间的距离是．二、解答题（8分）26．（8分）七中育才初2017届某班作文集准备在周边学校进行销售，试销售成本为每本20元，班级规定试销售期间的售价不低于成本价，也不高于每本40元，经试销售发现，销售量y（本数）与销售单价x（元）之间符合一次函数关系，下图是y与x的函数图象．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）为了销售利润要达到520元，并且要将制作班级作文征集活动在周边学校进行推广（让了解的人越多越好），此时销售价应该定为多少元？三、解答题（10分）27．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，边长AB=6，对角线AC、BD 交于点O，线段AD上有一动点P，过点P作PH⊥BC于点H，交直线CD于点Q，连接OQ，设线段PD=m．（1）求线段PH的长度．（2）设△OPQ的面积为S，求S与m之间的关系式．（3）在运动过程中是否存在点P使△OPQ的面积与△CQH的面积相等，若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．四、解答题（12分）28．（12分）如图，将二次函数y=﹣x2向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到新的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），该图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求二次函数y=ax2+bx+c解析式，并求出顶点P的坐标．（2）在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴上有一动点E（点E在顶点下方），直线OE交BP于点K，交抛物线于点Q，连接CQ交对称轴于点E．①若点O、E、F、C围成四边形面积为2时，求Q点坐标．②当△OCK为等腰三角形时（如图），求E点坐标．2016-2017学年四川省成都市锦江区成都七中育才学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）﹣2017的相反数是（）A．﹣2017 B．﹣C．2017 D．【解答】解：﹣2017的相反数是：2017．故选：C．2．（3分）下列四个几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、圆柱的主视图是长方形，故A错误；B、圆锥的主视图是三角形，故B错误；C、球的主视图是圆，故C正确；D、正方体的主视图是正方形，故D错误．故选：C．3．（3分）已知反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值为（）A．2 B．C．1 D．﹣2【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（1，﹣2），∴﹣2=，∴k=﹣2．故选：D．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A．msin35°B．mcos35° C．D．【解答】解：sin∠A=，∵AB=m，∠A=35°，∴BC=msin35°，故选：A．5．（3分）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2 B．y=x2 C．y=x2+6 D．y=（x﹣2）2+6【解答】解：将y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=x2+3；再向下平移3个单位为：y=x2．故选：B．6．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【解答】解：由已知得：，解得：a≥1且a≠5．故选：C．7．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x＞﹣1且x≠C．x≥﹣1且x≠D．x＞﹣1【解答】解：由题意得，x+1≥0且2x﹣1≠0，解得x≥﹣1且x≠．故选：C．8．（3分）为了让江西的山更绿、水更清，2008年省委、省政府提出了确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2008年我省森林覆盖率为60.05%，设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程（）A．60.05（1+2x）=63% B．60.05（1+2x）2=63C．60.05（1+x）=63% D．60.05（1+x）2=63【解答】解：设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x，依题意得60.05%（1+x）2=63%．即60.05（1+x）2=63．故选：D．9．（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）A．B． C．D．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选：D．10．（3分）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，∴DE==．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）因式分解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．12．（4分）已知抛物线y=x2﹣2x+3，则抛物线的对称轴是x=1．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3，∴对称轴为x=﹣=﹣=1，故答案为：x=1．13．（4分）如图，A为反比例函数y=图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB=3，则k值为﹣6．【解答】解：设A点坐标为A（x，y），由图可知A点在第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵AB⊥x轴，∴|AB|=y，|OB|=|x|，∴S=×|AB|×|OB|=×y×|x|=3，△AOB∴﹣xy=6，∴k=﹣6故答案为：﹣6．14．（4分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则sin∠CBE的值是．【解答】解：由折叠的性质可知，EB=EA，在Rt△BEC中，BE2=CE2+BC2，即BE2=（8﹣BE）2+62，解得，BE=，则CE=8﹣BE=，在Rt△BEC中，sin∠CBE==，故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：（）﹣1+（5+）0﹣2sin45°+．（2）解方程：x2﹣4x+1=0．【解答】解：（1）原式=2+1﹣2×+﹣1=2；（2）x2﹣4x+1=0，x2﹣4x=﹣1，x2﹣4x+4=﹣1+4，（x﹣2）2=3，x﹣2=，x1=2+，x2=2﹣．16．（7分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a=+1，b=﹣1．【解答】解：当a=+1，b=﹣1时，原式=×=a+b=217．（7分）小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．（1）填空：AD=AC（填“＞”，“＜”，“=”）．（2）求旗杆AB的高度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）．【解答】解：（1）由图形可得：AD=AC；（2）设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB=AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠ADF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF=DF=x•sin45°，∵AB﹣AF=BF=1.6，则x•sin60°﹣x•sin45°=1.6，解得：x=10，∴AB=10×sin60°≈8.7（m），答：旗杆AB的高度为8.7m．故答案为：＜．18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，其中点B（﹣3，1），解答下列问题．（1）将△ABC绕着点O（0，0）顺时针旋转90°得到△A1B1C1，并写出B1的坐标．（2）在网格图中，以O为位似中心在另一侧将△A1B1C1放大2倍得到△A′B′C′，并写出B′的坐标．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，B1的坐标为：（1，3）；（2）如图所示：△A′B′C′，B′的坐标为：（﹣2，﹣6）．19．（10分）已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2=的图象交于A，B 两点，且A点的橫坐标为1．（1）求一次函数的函数表达式．（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．（3）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C橫坐标为3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）在y2=中当x=1时，y=6，即A（1，6），将点A（1，6）代入y1=x+m，得：1+m=6，解得m=5，则一次函数解析式为y1=x+5；（2）解得或，则点A（1，6）、点B（﹣6，﹣1），由图象可知y1＞y2时﹣6＜x＜0或x＞1；（3）当x=3时，y==2，则点C（3，2），如图，则AD=2、CD=4、BE=9、CE=3，=S梯形ABED﹣S△BCE﹣S△ACD∴S△ABC=×（2+9）×7﹣×9×3×2×4=21．20．（10分）已知四边形ABCD中，AB=2AD，E、F分别是AD、DC边上的点，CE 与BF交于点G，∠A+∠BGE=180°．（1）若四边形ABCD是矩形（如图1），求证：CE=2BF．（2）若四边形ABCD是平行四边形，且∠A＜90°（如图2），CE=2BF是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若E、F分别是AD、DC的中点（如图3），求cosA的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，BC=AD，∠A=∠D=∠BCD=90°，∵AB=2AD，∴CD=2BC，∵∠A+∠BGE=180°，∴∠CGF=∠BGE=90°=∠D，∴∠CFG+∠DCE=90°，∵∠CED+∠DCE=90°，∴∠CFB=∠DEC，∵∠D=∠BCF，∴△CDE∽△BCF，∴=2，∴CE=2BF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD，CD=AB，BC=AD，∵AB=2AD，∴CD=2BC，∵∠A+∠BGE=180°，∠BGE+∠BGC=180°，∴∠BGC=∠A=∠BCD，∵∠BGC=∠BFC+∠FCG，∠BCD=∠BCG+∠FCG，∴∠BFC=∠BCG，∵∠CBF=∠FBC，∴△BCG∽△BFC，∴，∵∠A+∠D=180°，∠A+∠CGF=180°，∴∠D=∠CGF，∵∠FCG=∠ECD，∴△CFG∽△CED，∴，∴，∴，∵CD=2BC，∴CE=2BF；（3）如图3，延长AD，BF交于点H，连接CH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠A=∠CDH，∵AD∥BC，∴∠CDH=∠DCB，∵点F是CD的中点，∴DF=CF，∴△BFC≌△HFD，∴DH=BC，BF=HF，∴BH=2BF=CE，设AD=BC=2x，∴CD=4x，CF=2x．DH=2x，∵点E是AD中点，∴DE=AD=x，∴EH=3x，∵BC∥AD，∴△BGC∽△HGE，∴==，∴CG=EG，∴CG=（CE﹣CG），∴CG=CE，由（2）知，，∴CE•CG=CF•CD=2x•4x=8x2，∴CE•CE=8x2，∴CE=2x，∴BH=2x，∴BF=x，连接AF，∵AB=AH，BF=HF，∴∠AFB=90°，在Rt△ABF中，AB=4x，BF=x，∴AF=x，=BH•AF=2x•x=x2，∴S△ABH过点H作AM⊥AB于M，=AB•HM=•4x•HM=x2，∴S△ABH∴HM=x，根据勾股定理得，AM=x，在Rt△AHM中，cos∠BAD===．一、填空题（每小题4分，共20分）21．（4分）若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是﹣3．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，∴x12﹣2x1=5，x1+x2=2，∴x12﹣3x1﹣x2﹣6=（x12﹣2x1）﹣（x1+x2）﹣6=5﹣2﹣6=﹣3．故答案为：﹣3．22．（4分）如图，Rt△ABC的顶点在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，sin∠AOB=，OB=2，反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD，则四边形CDBO的面积是．【解答】解：∵sin∠AOB=，∴∠AOB=30°，∵∠ABO=90°，OB=2，∴AB=OB=2，作CE⊥OB于E，∵∠ABO=90°，∴CE∥AB，∴OC=AC，∴OE=BE=OB=，CE=AB=1，∴C（，1），∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴1=，∴k=，∴反比例函数的关系式为y=；∵OB=2，∴D的横坐标为2，代入y=得，y=，∴D（2，），∴BD=，∵AB=2，∴AD=1.5，∴S=AD•BE=××=，△ACD∴S=S△AOB﹣S△ACD=OB•AB﹣=×2×2﹣=．四边形CDBO故答案为：．23．（4分）如图，正方形ABCD与正方形AEFG有公共顶点A，连接BE、CF，则线段BE：CF的值是．【解答】解：连接AC、AF．在正方形ABCD与正方形AEFG中，∴△AEF，△ABC是等腰直角三角形，∴∠EAF=∠BAC=45°，==，'∴∠CAF=∠BAE，∴△FAC∽△EAB，∴==．24．（4分）抛物线y=﹣x2+ax﹣5的顶点在坐标轴上，则系数a的值是或0．【解答】解：∵y=﹣x2+ax﹣5=，∴抛物线y=﹣x2+ax﹣5的顶点坐标是（，﹣5），∵抛物线y=﹣x2+ax﹣5的顶点在坐标轴上，∴当顶点在x轴上时，，得a=，当顶点在y轴上时，，得a=0，故答案为：或0．25．（4分）阅读材料：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任何一点M，用表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M 的极径，∠O叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系．如图，在极坐标系中，点A的极坐标为（4，30°）、点B的极坐标为（6，60°），那么AB两点之间的距离是2．【解答】解：如图，过点A向极轴做垂线，垂足为C，过点B向极轴做垂线，垂足为D，过点A向BD做垂线，垂足为E，连接AB，在Rt△OAC中，AC=OA×sin30°=4×=2，OC=OA×cos30°=4×=2，在Rt△OBD中，BD=OB×sin60°=6×=9，OD=OB×cos60°=6×=，∴CD=OD﹣OC=，∵四边形ACDE中，三个角为直角，∴四边形ACDE为矩形，∴AE=CD=，DE=AC=2，∴BE=9﹣2=7，在直角三角形ABE中，AB===2，∴AB两点之间的距离是2，故答案为：2．二、解答题（8分）26．（8分）七中育才初2017届某班作文集准备在周边学校进行销售，试销售成本为每本20元，班级规定试销售期间的售价不低于成本价，也不高于每本40元，经试销售发现，销售量y（本数）与销售单价x（元）之间符合一次函数关系，下图是y与x的函数图象．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）为了销售利润要达到520元，并且要将制作班级作文征集活动在周边学校进行推广（让了解的人越多越好），此时销售价应该定为多少元？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（20，300）、（21，280）代入y=kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣20x+700（20≤x≤35）．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣20x+700）=520，整理，得：x2﹣55x+726=0，解得：x1=22，x2=33．∵要将制作班级作文征集活动在周边学校进行推广（让了解的人越多越好），∴x=22．答：此时销售价应该定为22元．三、解答题（10分）27．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，边长AB=6，对角线AC、BD 交于点O，线段AD上有一动点P，过点P作PH⊥BC于点H，交直线CD于点Q，连接OQ，设线段PD=m．（1）求线段PH的长度．（2）设△OPQ的面积为S，求S与m之间的关系式．（3）在运动过程中是否存在点P使△OPQ的面积与△CQH的面积相等，若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，AB=AD=CD=6，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等边三角形，过点C作CH⊥AD于G，在Rt△CDG中，∠CDG=60°，CD=6，∴DG=3，CG=3，∵BC∥AD，PH⊥BC，CG⊥AD，∴四边形CHPG是矩形，∴PH=CG=3，（2）如图1，在Rt△PDQ中，∠PDQ=60°，DP=m，∴PQ=m．易知，△PDQ∽△HCQ，∴，∴，∴CH=3﹣m，过点O作OM⊥PH∴OM=（CH+AP）=（3﹣m+6﹣m）=（梯形的中位线定理）=OM×PQ=××m=﹣（m2﹣9m）（0＜m≤6）；∴S=S△OPQ（3）不存在，理由：假设△OPQ的面积与△CQH的面积相等，由（2）知，CH=3﹣m，HQ=3﹣m，可得﹣（m2﹣9m）=（3﹣m）（3﹣m）整理得得：2m2﹣7m+6=0，∴m=1或m=6即：m=1或6时，△OPQ的面积与△CQH的面积相等．四、解答题（12分）28．（12分）如图，将二次函数y=﹣x2向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到新的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），该图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求二次函数y=ax2+bx+c解析式，并求出顶点P的坐标．（2）在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴上有一动点E（点E在顶点下方），直线OE交BP于点K，交抛物线于点Q，连接CQ交对称轴于点E．①若点O、E、F、C围成四边形面积为2时，求Q点坐标．②当△OCK为等腰三角形时（如图），求E点坐标．【解答】解：（1）由题意新抛物线的顶点P坐标为（1，4），∴平移后抛物线的解析式y=﹣（x﹣1）2+4．（2）如图1中，设Q（m，﹣m2+2m+3），∴直线OQ的解析式为y=x，直线CQ的解析式为y=（﹣m+2）x+3，∴E（1，），F（1，﹣m+5），∴EF=﹣m+5﹣，∵S=2，四边形OEFC∴•（﹣m+5﹣+3）•1=2，解得m=，∴Q（，）．（3）如图2中，∵P（1，4），B（3，0），∴直线PB的解析式为y=﹣2x+6，设K（n，﹣2n+6），①当KC=KO时，点K在线段OC的垂直平分线上，易知k（，），∴直线OK的解析式为y=x，∴E（1，）．②当OC=OK时，由题意：n2+（﹣2n+6）2=9，解得n=或3，当n=时，K（，），∴直线OK的解析式为y=x，∴E（1，），当n=3时，K与B重合，此时E（1，0）．③当CO=CK时，由题意：n2+（2﹣n+3）2=9，解得n=或0（舍弃）∴K（，），∴直线OK 的解析式为y=x ， ∴E （1，）．综上所述，满足条件的点E 的坐标为（1，或（1，）或（1，0）或（1，）．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aa B E挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

成都七中实验学校()九年级上册期中试卷检测题

成都七中实验学校（）九年级上册期中试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，()2517.2x +=，解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册），到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.2．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件【解析】【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ，解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=，解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．3．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2ky x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根．（1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3．（2）tan∠OBA 6．【解析】解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A ，B 分别在反比例函数2y x =-（x ＜0），3y x=（x ＞0）的图象上， ∴S △ACO ＝12×2-＝1 ，S △ODB ＝12×3＝32．∵∠ AOB ＝90°， ∴∠ AOC ＋∠ BOD ＝90°，∵∠ AOC ＋∠ OAC ＝90°，∴∠ OAC ＝∠ BOD ．又∵∠ACO ＝∠ODB ＝90°，∴△ACO ∽△ODB ．∴S S ACO ODB ∆∆＝2OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝23，∴OA OB 6OA OB 6∴在Rt △AOB 中，tan ∠ OBA ＝OA OB 6．4．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭ 解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k＝32，∴b+c＝2k+1＝4．∵b+c＝4＝a，∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．∴△ABC的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．5．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】（1）y＝；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m．【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；（2）由篱笆的长可得出y＝（11﹣2x）m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）∵矩形的面积为12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．（2）∵篱笆长11m，∴y＝（11﹣2x）m．依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12，解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去），∴y＝11﹣2x＝8．答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y 关于x 的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）6．已知函数2266()22()x ax a x a y x ax a x a ⎧-+>=⎨-++≤⎩（a 为常数，此函数的图象为G ）（1）当a ＝1时，①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标（2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围（3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围【答案】（1）①2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩，②(1,1),(31),(31)--+--；（2）0a <或2635a <<；（3）315a --<，1153a <<，113a <<-【解析】【分析】（1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论；②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可；（2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可；（3）先求出266y x ax a =-+的对称轴为直线6321ax a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线()221ax a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a aa +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可．【详解】（1）①1a =时，2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩②当1x >时，2661x x -+=-2670x x -+=1233x x ==当1x ≤时，2221x x -++=-2230x x --=121,3x x =-=（舍）∴坐标为(1,1),(31),(31)---- （2）当0a <时266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ，266y x ax a =-+对称轴为直线6321ax a -=-=⨯，过点(1,1) ∴x ＞a ＞3a ，此时图像G 与坐标轴有两个交点（与x 轴一个交点，与y 轴一个交点）当0a ≥时，266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点顶点坐标为()23,96a a a -+当x a =时，256y a a =-+＞0①，且2960a a -+<②时，此时图像G 与x 轴有两个交点将①的两边同时除以a ，解得65a <；将②的两边同时除以a ，解得23a > ∴2635a << 即当2635a <<时，图像G 与坐标轴有两个交点，综上，0a <或2635a <<（3）266y x ax a =-+的对称轴为直线6321ax a -=-=⨯，顶点坐标为()23,96a a a -+ 222y x ax a =-++的对称轴为直线()221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a a a + ①当a ＜0时，()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +由()210a +≥可得221a a +≥-，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1而()266y x ax a x a =-+>必过（1,1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1，此时x＞3a ，y ＞225666a a a a a a ⋅+=-+-当2221561a a a a ⎧+<⎨-+<-⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点解得：315a --<；当2221561a aa a⎧+>⎨-+>-⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴有两个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有一个交点解得：1a-+<<，与前提条件a＜0不符，故舍去；②当a≥0时，()222y x ax a x a=-++≤中，当x=a时，y的最大值为22a a+，必过点（-1，-1），即此图象必有一个点到x轴的距离为1而()266y x ax a x a=-+>，此时当x=3a时，y的最小值为296a a-+，由()2310a--≤可得2961a a-+≤，即此图象必有一个点到x轴的距离为1当222221561961961a aa aa aa a⎧+<⎪-+>⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴只有一个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有两个交点解得：115a<<-+且13a≠；当222221561961961a aa aa aa a⎧+<⎪-+<⎪⎨-+<-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴只有一个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有两个交点此不等式无解，故舍去；当222221561961961a aa aa aa a⎧+>⎪-+<⎪⎨-+>-⎪⎪-+≠⎩时，()222y x ax a x a=-++≤与x轴有两个交点，()266y x ax a x a=-+>与x轴有一个交点此不等式无解，故舍去；综上：315a--<或1153a<<或113a<<-【点睛】此题考查的是二次函数的性质和分段函数的应用，此题难度较大，掌握二次函数的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．7．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线22y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD交直线AC 于点D ．①是否存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标．【答案】(1)213222y x x =+- (2)①存在，点P 的坐标为(22,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--②1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，3452555Q ⎛- ⎝⎭，4452555Q ⎛- ⎝⎭【解析】【分析】(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为(t ,213222t t +-)，利用21442∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解．【详解】解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：1642020a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴此抛物线的解析式为213222y x x =+-，故答案为213222y x x =+-． (2)①存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45．理由如下：作出如下所示示意图：∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =，令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴1152522ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴445545PAC ABC S S ∆∆==⨯=，设直线AC 的解析式为y mx n =+，则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213222t t +-，即213,222P t t t ⎫⎛+- ⎪⎝⎭． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛-- ⎪⎝⎭． ∴2213112222222PD t t t t t ⎫⎛=+----=+ ⎪⎝⎭． ∵22111424222PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯+=+． ∴244t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=，解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--，故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x x ，则EO=-x ，DE=122x +，在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO²+ED²=DO²，故221(2)42++=x x ，解得80(),5舍==-x x ，此时Q 点坐标为816,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ，在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE²+EO²=QO²，故221()()42+=m m ，解得124545,==-m m ，此时Q 点坐标为4525,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或4525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,55Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．故答案为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．8．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标；（2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2．【解析】【分析】（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线2ax==12a--，并求得抛物线与y 轴交点；（2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围．【详解】解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2y=ax -2ax+a+k ，∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ；抛物线L 的对称轴为直线-2ax=-=12a，即x ＝1；将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)；（2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中， ∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ， ∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，∴L 的表达式为2y=2x -4x-3；将其表示为顶点式：2y=2(x-1)-5， ∴顶点坐标为(1，-5)；（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1， ∴1＜-a-3≤2， ∴-5≤a ＜-4；（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上，即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，综上所述：-1≤t≤2．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．9．如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A （-3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点（-32，154），△PDE的周长最大；（3）点M（-2，3）或（-2，3【解析】【分析】（1）将A、B、C三点代入，利用待定系数法求解析式；（2）根据坐标发现，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，则△PDE的周长越大.联立直线AB与抛物线的解析式可得交点P坐标；（3）作点A关于直线x=-2的对称点D，利用∠MAC = 2∠MCA可推导得MD=CD，进而求得ME的长度，从而得出M坐标【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），∴9303a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；（2）∵A（-3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，又∵PD ⊥AB ，∴△PDE 是等腰直角三角形，∴PD 越大，△PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3，设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ，联立223y x m y x x =+⎧⎨=--+⎩，消掉y 得，x 2+3x+m-3=0，当△=9-4（m-3）=0，即m=214时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长，此时x=-32，y=154，∴点（-32，154），△PDE 的周长最大；（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ， ∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 ， ∴ME=3 ∴点M （-2，3）或（-2，-3）．【点睛】本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析10．如图，直线3yx与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可．【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0，解得x=-3，令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3）， ∴OA=OC=3， ∵tan ∠CBO=3OCOB=， ∴OB=1， ∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得，93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：243y x x =++， ∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0）， ∴AB=-1-（-3）=2， ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴，∠BAC=45°， ∵B （-1，0），D （-2，-1）， ∴∠ABD=45°，①AB 和BP 是对应边时，△ABC ∽△BPA ，∴AB ACBP BA=，即2322BP=，解得BP=223，过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322BP =，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=322=3，∴OE=1+3=4，∴点P的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P，A，B为顶点的三角形与ABC∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．（1）求AF 和BE 的长；（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值．（3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒，记旋转中ABF 为''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）129,55AF BF ==；（2）95m =或165m =；（3）存在4组符合条件的点P 、点Q ，使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为2或25891055或35105 【解析】【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；（2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD=90°，在Rt △ABD 中，AB=3，AD=4，由勾股定理得：2222345AB AD +=+=，∵S△ABD12=BD•AE=12AB•AD，∴AE=AB AD3412 BD55⋅⨯==，∵点F是点E关于AB的对称点，∴AF=AE125=，BF=BE，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AB=3，AE125 =，由勾股定理得：BE2222129355 AB AE⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭；（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE95 =，由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′95 =，①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，根据平移的性质知：∠1=∠4，∴∠3=∠2，∴BB′=B′F′95=，即95m=；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，AB⊥AD，∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D=B′F′95 =，∴BB′=BD-B′D=5-91655=，即m165=；（3）存在．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠2=∠BAE，∵点F是点E关于AB的对称点，∴∠1=∠BAE，∴∠1=∠2，在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，则∠Q=∠DPQ，∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，∴∠3=∠Q，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=F′A′+A′Q=1227355+=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=2222927910 BF F Q555⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=9105 5-；②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，则∠2=∠P，∵∠1=∠2，∴∠1=∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ=A′Q，∴F′Q=F′A′-A′Q=125-BQ，在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，即：222 91255BQ BQ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：158 BQ=，∴DQ= BD-BQ=5-1525 88=；③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，则∠3=∠4．∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，∴∠4=90°-12∠2．∵∠1=∠2，∴∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=A′Q-A′F′=3-123 55=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=222293310 BF F Q55⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=3105-；④如图④-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，则∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BQ=BA′=3，∴DQ=BD-BQ=5-3=2．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：2或25891055或35105【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．12．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与OAB ∆的边分别交于M ，N 两点，将AMN ∆以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '∆．设点P 的纵坐标为m ．①当A MN '∆在OAB ∆内部时，求m 的取值范围；②是否存在点P ，使'56A MN OAB S S ∆'∆=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】()21y x 22x =-++；（2）①433m <<；②存在，满足m 的值为619-或6393-．【解析】【分析】（1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；（2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值．【详解】解：（1）如图：作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，∴∠ADO=∠BEO=90°，∵将OA 绕点O 逆时针旋转90︒后得到OB ，∴OA=OB ，∠AOB=90°，∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，∴∠AOD=∠BOE ，∴△AOD ≌△BOE ，∴AD=BE ，OD=OE ，∵顶点A 为（1，3），∴AD=BE=1，OD=OE=3，∴点B 的坐标为（3，1-），设抛物线的解析式为2(1)3=-+y a x ，把点B 代入，得 2(31)31a -+=-，∴1a =-，∴抛物线的解析式为2(1)3y x =--+，即222y x x =-++；（2）①∵P 是线段AC 上一动点，∴3m <，∵当A MN '∆在OAB ∆内部时，当点'A 恰好与点C 重合时，如图：∵点B 为（3，1-）， ∴直线OB 的解析式为13y x =-，令1x =，则13y =-， ∴点C 的坐标为（1，13-），∴AC=1103()33--=， ∵P 为AC 的中点，∴AP=1105233⨯=， ∴54333m =-=， ∴m 的取值范围是433m <<； ②当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时，如图：∵点P 在线段AC 上，则点P 为（1，m ），∵点'A 与点A 关于MN 对称，则点'A 的坐标为（1，2m -3）， ∴'3A P m =-，18'(23)233A C m m =-+=-，设直接OA 为y ax =，直线AB 为y kx b =+，分别把点A ，点B 代入计算，得直接OA 为3y x =；直线AB 为25y x =-+，令y m =，则点M 的横坐标为3m ，点N 的横坐标为52m --， ∴5552326m m MN m -=-=--； ∵2'11555515'()(3)22261224A MN S MN A P m m m m ∆=•=•-•-=-+；'138'3(2)34223OA B S A C m m ∆=••=•-=-；又∵'56A MN OA B S S ∆'∆=， ∴255155(34)12246m m m -+=⨯-，解得：619m =-或619m =+（舍去）；当点M 在边OB 上，点N 在边AB 上时，如图：把y m =代入13y x =-，则3x m ， ∴5553222m MN m m -=+=+-，18'(23)233A C m m =---=-， ∴2'11555515'()(3)2222424A MN S MN A P m m m m ∆=•=•+•-=-++， '138'3(2)43223OA B S A C m m ∆=••=•-=-， ∵'56A MN OA B S S ∆'∆=， ∴255155(43)4246m m m -++=⨯-，解得：639m -=或639m +=（舍去）；综合上述，m 的值为：619m =-6393m -=．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P 的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．13．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BP BQ =，AQ QE ⊥，QE 交正方形外角平分线CE 于点E ，AE 交CD 于点F ，连结PQ ．（1）求证：APQ QCE ∆∆≌；（2）证明：DF BQ QF +=；（3）设BQ x =，当x 为何值时，//QF CE ，并求出此时AQF ∆的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当222x =-+//QF CE ；AQF S ∆442=-+．【解析】【分析】（1）判断出△PBQ 是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ，再求出AP=CQ ，然后利用“角边角”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ，判断出△AQE 是等腰直角三角形，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，再证明()F AQ FAQ SAS '∆∆≌；（3）连结AC ，设QF CE ，推出QCF ∆是等腰直角三角形°，再证明()ABQ ADF SAS ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ，AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，分别用x 表示出DF 、CF 、QF ，然后列出方程求出x ，再求出△AQF 的面积．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90B BCD DCM ∠=∠=∠=︒，∵BP BQ =，∴PBQ ∆是等腰直角三角形，AP QC =，∴45BPQ ∠=︒，∴135APQ ∠=︒∵CE 平分DCM ∠，∴45DCE ECM ∠=∠=︒，∴135QCE ∠=︒，∴135APQ QCE ∠=∠=︒，∵AQ QE ⊥，∴90AQB CQE ∠+∠=︒．∵90AQB BAQ ∠+∠=︒．∴BAQ CQE ∠=∠．∴()APQ QCE ASA ∆≌．（2）由（1）知APQ QCE ∆∆≌．∴QA QE =．∵90AQE ∠=︒，∴AQE ∆是等腰直角三角形，∴45QAE ∠=︒．∴45DAF QAB ∠+∠=︒，如图4，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，其中点D 与点B 重合，且点F '在直线BQ 上，则45F AQ '∠=︒，F A FA '=，AQ AQ =，∴()F AQ FAQ SAS '∆∆≌．∴QF QF BQ DF '==+．（3）连结AC ，若QF CE ，则45FQC ECM ∠=∠=︒．∴QCF ∆是等腰直角三角形，∴2CF CQ x ==-，∴DF BQ x ==．∵AB AD =，90B D ∠=∠=︒，∴()ABQ ADF SAS ∆∆≌．∴AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，∴AC 垂直平分QF ，∴22.5QAC FAC QAB FAD ∠=∠=∠=∠=︒，2FQ QN =，∴22FQ BQ x ==．在Rt QCF ∆中，根据勾股定理，得222(2)(2)(2)x x x -+-=．解这个方程，得1222x =-+， 2222x =--（舍去）．当222x =-+时，QF CE ．此时，QCF QEF S S ∆∆=，∴212QCF AQF QEF AQF AQE S S S S S AQ ∆∆∆∆∆+=+==， ∴()2222111222AQF AQE QCF S S S AQ CQ AQ CQ ∆∆∆=-=-=- ()222112(2)4244222x x x x ⎡⎤=+--=⋅==-+⎣⎦ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．14．如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB ＜AE ）在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG.（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG ；（2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数；（3）如图3，如果=45°，AB =2，AE=，求点G 到BE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）45°或135°；（3）.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD ，AE=AG ，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG ，然后利用“边角边”证明△ABE 和△ADG 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.（2）当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可.（3）根据和求解即可.试题解析：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.∴∠BAE=∠DAG..∴△ABE≌△ADG（SAS）.∴BE=DG..（2）如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时∠FCD 的度数为45°或135°.（3）如图3，连接GB、GE.由已知α=45°，可知∠BAE=45°.又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵，∴GE =8.∴.过点B作BH⊥AE于点H.∵AB=2，∴. ∴..设点G到BE的距离为h.∴.∴.∴点G到BE的距离为.考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．15．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，点D 是射线BC 上的动点，将AD 绕点A 逆时针方向旋转60得到AE ，连接DE ．(1).如图，猜想ADE ∆是_______三角形；（直接写出结果）(2).如图，猜想线段CA 、CE 、CD 之间的数量关系，并证明你的结论；(3).①当BD=___________时，30DEC ∠=；（直接写出结果）②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出DEC ∆周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明见解析；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=；②最小值为423+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到,60AD AE DAE =∠=，根据等边三角形的判定定理解答；（2）证明ABD ACE ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到BD CE =，结合图形计算即可；（3）①分点D 在线段BC 上和点D 在线段BC 的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据ABD ACE ∆≅∆得到CE BD =，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）由旋转变换的性质可知，,60AD AE DAE =∠=，ADE ∴∆是等边三角形，故答案为等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明：由旋转的性质可知，60,DAE AD AE ∠==，ABC ∆是等边三角形60AB AC BC BAC ∴∠︒＝＝，＝，60BAC DAE ∴∠∠︒＝＝，BAC DAC DAE DAC ∴∠+∠∠+∠＝，即BAD CAE ∠∠＝，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ABD ACE SAS ∴∆∆≌（）BD CE ∴=，CE BD CB CD CA CD ∴++＝＝＝；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=，当点D 在线段BC 上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，90AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，9060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，30BAD ∴∠︒＝，122BD AB ∴＝＝，当点D 在线段BC 的延长线上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，30AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，3060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，90BAD ∴∠︒＝，28BD AB ∴＝＝，BD ∴为2或8时，30DEC ∠︒＝；②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长存在最小值，最小值为4+理由如下：ABD ACE ∆∆≌，CE BD ∴＝，则DEC ∆的周长DE CE DC BD CD DE BC DE +++++＝＝＝，当CE 最小时，DEC ∆的周长最小，ADE ∆为等边三角形，DE AD ∴=， AD的最小值为DEC ∴∆的周长的最小值为4+【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．四、初三数学圆易错题压轴题（难）16．如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，分别连结O1A、O1B、O2A、O2B和AB．(1)如图②，当∠AO1B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；(2)设∠AO1B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在(2)中，当重叠部分图形的周长时，则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的x的取值范围.【答案】（1）83（2）（0≤x≤180）（3）O2A与⊙O1相切；当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交【解析】试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO2B=∠AO1B=120°,∴解法二、∵O1A=O1B=O2A=O2B∴AO1BO2是菱形∴∠AO2B=∠AO1B=120°∴l=2×ˆA=(2)∵由（1）知，菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B=x度,∴重叠图形的周长, 即（0≤x≤180）(3) 当时，线段O2A所在的直线与⊙O1相切！理由如下：∵，由（2）可知：，解之x=90度∴AO1B=90°,因此菱形AO1BO2是正方形，∴O1AO2=90°,即O2A⊥O1A,而O1A是⊙O1的半径，且A为半径之外端；∴O2A与⊙O1相切．还有如下位置关系：当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交。

2016-2017学年成都九中七年级(上)期中数学试卷(含解析)

2016-2017学年成都九中七年级（上）期中数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图是有一些相同的小正方体构成的立体图形的三视图，这些相同的小正方体的个数是（）个．A．4 B．5 C．6 D．72．下列一组数：0.6，﹣4，（﹣3）2，﹣5，﹣（﹣1.7）中负数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列说法中，正确的是（）A．没有最大的正数，但有最大的负数B．最大的负整数是﹣1C．有理数包括正有理数和负有理数D．一个有理数的平方总是正数4．下列各组是同类项的一组是（）A．xy2与﹣2x2y B．3x2y与﹣4x2yzC．a3与b3D．﹣2a3b与2ba35．下列运算正确的是（）A．3x2+2x3＝5x5B．2x2+3x2＝5x2C．2x2+3x2＝5x4D．2x2+3x3＝6x56．下列各组数中，数值相等的是（）A．34和43B．﹣42和（﹣4）2C．﹣23和（﹣2）3D．（﹣2×3）2和﹣22×327．数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发爬了4个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．±88．丁丁做了以下4道计算题：（1）（﹣1）2004＝2004；（2）0﹣（﹣1）＝1；（3）﹣；（4）；请你帮他检查一下，他一共做对了（）A．1题B．2题C．3题D．4题9．下列各式中成立的是（）A．a+（﹣2b+c﹣3d）＝a+2b+c﹣3dB．a﹣（﹣2b+c﹣3d）＝a+2b﹣c+3dC．a﹣2（﹣2b+c﹣3d）＝a+4b+2c﹣6dD．a﹣2（﹣2b+c﹣3d）＝a+4b﹣c+3d10．解方程﹣＝0.2时，下列变形正确的是（）A．﹣＝200 B．﹣＝20C．﹣＝2 D．﹣＝0.2二、填空题（每小题3分，共24分）11．用“＞”或“＜”填空：﹣15 0；﹣﹣5．12．计算：的相反数是，倒数，绝对值是．13．a与5的和的3倍用代数式表示是．14．计算：（﹣1）2009﹣（﹣1）2010＝；A、B两地海拔高度分别是1800米，﹣205米，B地比A地低米．15．（1）若3a m b2与ab n是同类项，则m＝，n＝；（2）已知7x m y3和﹣x2y n是同类项，则（﹣n）m＝．16．要使代数式x2﹣2kxy﹣3y2+xy﹣100中，不含xy的项，则k＝．17．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第6个图形有个圆．18．若|x+|+（y﹣2）2＝0，则x y＝．三．解答题（共46分）19．（18分）（1）1﹣（﹣）﹣（﹣1）+（﹣）（2）[1÷（﹣0.25）+0.4×（﹣6）]÷（﹣）（3）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．20．（8分）先化简，再求值已知：﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]，其中m＝1，n＝﹣2．21．（12分）（1）解方程：y﹣＝2﹣（2）如图是由一些相同的小立方块成的几何体，请画出这个几何体的三视图．22．（8分）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下：回答下列问题：（1）这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重千克；（2）这8筐白菜一共重多少千克？B卷（50分）一．填空（每小题4分，共20分）23．一个数的平方等于这个数本身，则这个数为．24．p在数轴上的位置如图所示，化简：|p﹣1|+|p﹣2|＝．25．已知代数式3y2﹣2y+6的值为8，那么代数式的值为．26．一个多项式减去﹣4x2﹣2x+1等于3x2+4x﹣1，则这个多项式为．27．图中是一幅“苹果排列图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，…．你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有个苹果；第n行有个苹果．（可用乘方形式表示）二、解答题（共30分）28．（8分）a、b所表示的有理数如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|﹣2（b﹣a）．29．（6分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝3，求代数式（a+b）2+6cd+3m2﹣m的值．30．（8分）已知：线段AB＝6厘米，点C是AB的中点，点D在AC的中点，求线段BD的长．31．（8分）某空调器销售商，今年四月份销出空调（a﹣1）台，五月份销售空调比四月份的2倍少1台，六月份销售空调比前两个月的总和的4倍还多5台．（1）用代数式表示该销售商今年第二季度共销售空调多少台？（2）若a＝220，求第二季度销售的空调总数．参考答案与试题解析1．【解答】解：从主视图和左视图上看：此立体图形应该有2层，第一层应该有3个小正方体，第二层有1个小正方体，故小正方体的个数是：3+1＝4．故选：A．2．【解答】解：0.6，﹣4＝﹣4.5，（﹣3）2＝9，﹣5，﹣（﹣1.7）＝1.7，负数有﹣4，﹣5．故选：B．3．【解答】解：A、没有最大的正数也没有最大的负数，故A选项错误；B、最大的负整数﹣1，故B选项正确；C、有理数分为整数和分数，故C选项错误；D、0的平方还是0，不是正数，故D选项错误．故选：B．4．【解答】解：A、所含相同字母的指数不同，故本选项错误；B、两者所含字母不全相同，故本选项错误；C、两者所含字母不同，故本选项错误；D、两者符合同类项的定义，故本选项正确；故选：D．5．【解答】解：A、3x2+2x3不是同类项，不能合并；B、正确；C、2x2+3x2＝5x2；D、2x2+3x3不是同类项，不能合并．故选：B．6．【解答】解：A、34＝81，43＝64，81≠64，故本选项错误，B、﹣42＝﹣16，（﹣4）2＝16，﹣16≠16，故本选项错误，C、﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，﹣8＝﹣8，故本选项正确，D、（﹣2×3）2＝36，﹣22×32＝﹣36，36≠﹣36，故本选项错误，故选C．7．【解答】解：设A点表示的有理数为x．因为点A与原点O的距离为4，即|x|＝4，所以x＝4或x＝﹣4．故选：C．8．【解答】解：（1）（﹣1）2004＝1，错误；（2）0﹣（﹣1）＝0+1＝1，正确；（3）﹣+＝﹣+＝﹣，正确；（4）÷（﹣）＝×（﹣2）＝﹣1，正确．∴一共做对了3题．故选：C．9．【解答】解：A、a+（﹣2b+c﹣3d）＝a+2b+c﹣3d，错误，a+（﹣2b+c﹣3d）＝a﹣2b+c﹣3d；B、a﹣（﹣2b+c﹣3d）＝a+2b﹣c+3d，正确；C、a﹣2（﹣2b+c﹣3d）＝a+4b+2c﹣6d，错误，a﹣2（﹣2b+c﹣3d）＝a+4b﹣2c+6d；D、a﹣2（﹣2b+c﹣3d）＝a+4b﹣c+3d，错误，a﹣2（﹣2b+c﹣3d）＝a+4b﹣2c+6d．故选：B．10．【解答】解：分式的分子、分母化为整数，得﹣＝0.2，故选：D．11．【解答】解：根据负数都小于0，得出﹣15＜0，∵|﹣|＝，|﹣5|＝5，＜5，∴﹣＞﹣5，故答案为：＜，＞．12．【解答】解：的相反数是，倒数﹣2，绝对值是．故答案为：，﹣2，．13．【解答】解：a与5的和为a+5，a与5的和的3倍用代数式表示是3（a+5）．14．【解答】解：原式＝﹣1﹣1＝﹣2；根据题意得：1800﹣（﹣205）＝1800+205＝2005（米），故答案为：﹣2；200515．【解答】解：（1）由题意，得m＝1，n＝2，故答案为：1，2；（2）由题意，得m＝2，n＝3，（﹣n）m＝（﹣3）2＝9，故答案为：9．16．【解答】解：x2﹣2kxy﹣3y2+xy﹣100＝x2+（﹣2k+）xy﹣3y2﹣100．∵代数式x2﹣2kxy﹣3y2+xy﹣100中不含xy项，∴﹣2k+＝0．解得：k＝．故答案为：．17．【解答】解：第6个图形有小圆4+（2+4+6+8+10+12）＝46个．18．【解答】解：∵|x+|+（y﹣2）2＝0，∴x+＝0，y﹣2＝0，解得x＝﹣，y＝2，∴x y＝（）2＝．19．【解答】解：（1）1﹣（﹣）﹣（﹣1）+（﹣）＝2+1﹣＝3﹣＝3（2）[1÷（﹣0.25）+0.4×（﹣6）]÷（﹣）＝（﹣﹣）×（﹣6）＝（﹣）×（﹣6）﹣×（﹣6）＝32+15＝47（3）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]＝﹣1﹣×（﹣7）＝﹣1+＝20．【解答】解：原式＝﹣2mn+6m2﹣[m2﹣5mn+5m2+2mn]＝﹣2mn+6m2﹣6m2+3mn＝mn，当m＝1，n＝﹣2时，原式＝﹣2．21．【解答】解：（1）y﹣＝2﹣6y﹣3（y﹣1）＝12﹣（y+2）6y﹣3y+3＝12﹣y﹣24y＝7y＝；（2）这个几何体的三视图如下：22．【解答】解：（1）最接近的是：绝对值最小的数，因而是25﹣0.5＝24.5千克；（2）由题意可得：25×8+1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2.5﹣2＝200+4.5﹣10＝194.5kg．∴这8筐白菜共重194.5kg．23．【解答】解：平方等于这个数本身的数只有0，1．故答案为0，1．24．【解答】解：由图可知，1＜p＜2，所以，|p﹣1|+|p﹣2|，＝p﹣1+2﹣p，＝1；故答案为125．【解答】解：根据题意，得3y2﹣2y+6＝8，得3y2﹣2y＝2，∴＝（3y2﹣2y）+1＝×2+1＝2．故答案为2．26．【解答】解：根据题意得：﹣4x2﹣2x+1+3x2+4x﹣1＝﹣x2+2x，故答案为：﹣x2+2x27．【解答】解：根据题意可得：第十行有29个．第n行有2n﹣1个苹果．故答案为：29，2n﹣1．28．【解答】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a+b|﹣|a﹣b|﹣2（b﹣a）＝﹣a﹣b﹣a+b﹣2b+2a＝﹣2b．29．【解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1，m＝3或﹣3，当m＝3时，原式＝6+27﹣3＝30；当m＝﹣3时，原式＝6+27+3＝36．30．【解答】解：∵AB＝6厘米，点C为AB中点，∴AC＝BC＝3cm，∵点D为AC中点，∴AD＝CD＝1.5cm，则BC＝BC+CD＝3+1.5＝4.5cm．31．【解答】解：（1）四月份：（a﹣1）台，五月份：2（a﹣1）﹣1＝（2a﹣3）台，六月份：4[（a﹣1）+（2a﹣3）]+5＝（12a﹣11）台，第二季度共销售：（a﹣1）+（2a﹣3）+（12a﹣11）＝（15a﹣15）台；（2）当a＝220时，有15a﹣15＝15×220﹣15＝3285台．。

四川省成都市七中实验学校届初三上学期期中考试数学试题

说明：本试卷分为A 卷和B 卷,A 卷满分100分,B 卷满分50分,全卷总分150分.考试时间120分钟。

A 卷(100分)6. 将抛物线y=4()22x +-3先右移3个单位，再上移5个单位可以得到抛物线( )A ．y=4()21-x +2 B ．y=4()25x ++2 C ．y=4()21-x -8 D ．y=4()25x +-87．已知23)15-A sin(0=∠，且∠A 为锐角，则∠A =（） A.30° B.45° C.60° D.75°8．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（） A ．100(1)121x += B ． 100(1)121x -= C ． 2100(1)121x += D ． 2100(1)121x -=二．填空题（每小题4分，共20分）11．抛物线2)2(31-=x y +1的顶点坐标是，对称轴是. 12.一个反比例函数图像过点P （16，1）和Q （m ，-16），那么m=________．13.三角形两边长分别为3和6，如果第三边是方程2680x x -+=的解，那么这个三角形的周长是__________.14. 如图，某山坡的坡面AB=200M ，坡比33=i ,则该山坡的坡角∠BAC=°，山高BC 的长为__________M.（如图1）三．解答题：16．计算：(题每题5分，共10分)（1）3tan30º－2cos60º+2tan45º(2)16)21()2013(60sin 2--+---π17．用适当的方法解方程：(题每题5分，共10分) （1） 3x (2-x)=2(x-2) （2）42)2)(1(+=++x x x21．（本小题9分）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2007年底拥有家庭轿车64辆，2009年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2007年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率相同，试求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率；（2）若2018年该小区的家庭轿车拥有量的年平均增长率与2009年保持不变，在（1）的基础上预计该小区到今年年底家庭轿车将达到多少辆？（3）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？并写出所有可能的方案.B 卷(50分)26．完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、－1、2、－2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀)．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m 、n ，以m 、n 分别作为一个点的横坐标与纵坐标，定义点（m ，n ）在反比例函数xky上为事件k Q （-4≤k ≤4，k 为整数），当k Q 的概率最大时，则k 的所有可能的值为_________．二．解答题：27. （本小题9分）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为28．（本小题9分）如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，8AB =，6AC =．若动点D 从点B 出发沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度，过点D 作DE //BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y ．（1）求证：△ADE ∽△ABC（2）求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当x 为何值时，BDE ∆的面积S 有最大值，最大值是多少？二、填空题：(每小题4分，共20分)11．(2,1), x=2； 12．m=-1； 13．13； 14.300 ，50； 15．b<0 , c>0 , 一三、解答题：16．计算：（每小题5分，共10分）（1）解：原式=3+1 (2)原式=123-- 17．解方程：(题每题5分，共10分)(1)3x(2-x)=2(x-2) （2）解方程,：42)2)(1(+=++x x x解：1x =2，2x =32-∴1x =-2，2x =1一、填空题：(每小题4分，共20分)22．0； 23．； 24．xy 12+=； 25．②③④⑤26．-2或2 二、27．（９分)解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y =(x －20)·(10500x -+)21070010000x x =-+-352b x a=-=答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：210700100002000x x -+-=解这个方程得：x 1= 30，x 2=40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.(3)∵10a =-<0，∴抛物线开口向下.∴当30≤x ≤40时，w ≥2000．∵x ≤32，∴当30≤x ≤32时，w ≥2000．设成本为P （元），由题意，得：20(10500)P x =-+20010000x =-+ ∵200k =-<0，∴P 随x 的增大而减小.∴当x = 32时，P 最小＝3600. 答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．23(2)62x =--+∴当x=2时，S 有最大值，且最大值为6.（3）存在。

四川省成都七中实验学校2016届九年级上学期期中考试数学试卷

成都七中实验学校2015—2016学年上期期中考试九年级数学命题人审题人（满分150分考试时间 120 分钟）注意事项：试卷分为A 、B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50分。

请将答案填写在答题卡相应的位置。

A 卷（满分100）一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列函数关系式中，是反比例函数的是( ) A 、4x y =B 、12+-=x yC 、xm y = D 、x y 32-= 2．下列坐标是反比例函数xy 3=图象上的一个点的坐标是（） A 、（3，－1） B 、（1，3） C 、（－3，1） D 、（－1，3）3．已知k > 0，则函数kx y =1与函数xky =2的大致图象是图1中的（）4．将方程0982=++x x 左边变成完全平方式后，方程是（）A 、7)4(2=+x B 、25)4(2=+x C 、9)4(2-=+x D 、7)4(2-=+x 5．一种药品经两次降价，由每盒50元调至元，平均每次降价的百分率是（） A 、 5％ B 、 10％ C 、15％ D 、 20％ 6．下面四组线段中，不能成比例的是（）A 、4,2,6,3====d c b aB 、3,6,2,1====d c b aC 、10,5,6,4====d c b aD 、32,15,5,2====d c b a7．如图，△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥AB 交BC 于E ，EC ＝3，BE ＝2，则AB ＝（）C DBAEDCB AC B A 第13题第15题A 、4B 、6C 、53D 、103第7题第8题8．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG=2，GB=1，BC=5，则EFDE的值为（） A 、21 B 、2 C 、52 D 、53 9．某校九年级（1）班50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加成都市“文明劝导活动”。

成都七中九年级上期中模拟考试数学试题 (75)

北京 156 中学 2015—2016 学年度第一学期
九年级数学期中测试
班级____ 姓名________ 学号___ 成绩______
第Ⅰ卷（选择题共 40 分）
12 13 13 5
10. 如图，正△ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 A→B→C
的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒），y=PC2，则 y 关于 x 的函数的
（ m 是常数，且 m 0 ）的图象可能是（）.
y y y y
O x O x O x O
14. 将抛物线 y＝x2＋1 绕原点旋转 180°，则旋转后抛物线的解析式为 .
15．已知抛物线 y ax 2 bx c 的图象如图所示，则下列结论：
1
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共 80 分）
二、填空题：(共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)
BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O 的半径为（） A
O
A．6 B．13 C． 13 D． 2 13 B C
12 题 13 题 15 题
13. 如图，在第一象限内作射线 OC,与 x 轴的夹角为 30o,在射线 OC 上取一点 A，过点 A
图象大致为（）.
B
y y y y
9 9 9 9
一、选择题：(共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知 3x = 5y (y 0), 那么下列比例式中正确的是 ( ).
x y x y x 3 x 3
① abc ＞0；② a b c 2 ； ③ a ＜； ④ b ＞1.其中正确的结论是 .

四川省成都七中实验学校2016届九年级上学期月考数学试卷【解析版】(10月份)

2015-2016学年四川省成都七中实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题1．下列方程一定是一元二次方程的是( )A．3x2+﹣1=0 B．5x2﹣6y﹣3=0 C．ax2﹣x+2=0 D．3x2﹣2x﹣1=02．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是( )A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+9 3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为( )A．1 B．2 C．3 D．44．α、β是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣6=0的两根，则=( )A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．5．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实根，则k的取值范围是( )A．k＞﹣B．k≥﹣且k≠0 C．k≤﹣D．k＞﹣且k≠06．如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN，，下列结论正确的是( )A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA 7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为( )A．4 B．4C．4D．288．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是( )A．B． C． D．9．沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为( )A．20（1+2x）=80 B．2×20（1+x）=80 C．20（1+x2）=80 D．20（1+x）2=80 10．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O 为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③AM=MF；④MD=2AM=4EM．其中正确结论的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题11．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为__________．12．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机依次取出两个小球（不放回），则取出的两小球标注的数字之和为3或6的概率是__________．13．已知≠0，则的值为__________．14．图中的两个四边形相似，则x+y=__________，a=__________．15．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为__________．16．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则x13+2014x2﹣2013=__________．17．（x2+y2）（x2﹣1+y2）﹣12=0，则x2+y2的值是__________．18．一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长__________；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积__________．19．如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为__________．20．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，李瑞学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当==时，有==（如图1）；（2）当==时，有==（如图2）；（3）当==时，有==（如图3）；在图4中，当=时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论__________．三、解答题（共8小题）21．（16分）解方程：（1）（x+1）2﹣9=0．（2）x2+2x﹣5=0．（3）x（x﹣1）=2（x﹣1）．（4）（x﹣1）（x+3）=12．22．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．23．育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动，需要选拔活动主持人，经过全校学生投票推荐，有2名男生和1名女生被推荐为候选主持人．（1）小明认为，如果从3名候选主持人中随机选拔1名主持人，不是男生就是女生，因此选出的主持人是男生和女生的可能性相同，你同意他的说法吗？为什么？（2）如果从3名候选主持人中随机选拔2名主持人，请通过列表或树状图求选拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率．24．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．25．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．26．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品；据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请你回答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润．（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（3）设销售单价为每千克x元，月销售利润y元，求y与x的函数表达式．27．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45米2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．28．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？2015-2016学年四川省成都七中实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题1．下列方程一定是一元二次方程的是( )A．3x2+﹣1=0 B．5x2﹣6y﹣3=0 C．ax2﹣x+2=0 D．3x2﹣2x﹣1=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、是分式方程，故A错误；B、是二元二次方程，故B错误；C、a=0时，是一元一次方程，故C错误；D、是一元二次方程，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是( )A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+9 【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】根据配方法，可得方程的解．【解答】解：x2﹣6x﹣4=0，移项，得x2﹣6x=4，配方，得（x﹣3）2=4+9．故选：D．【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．4．α、β是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣6=0的两根，则=( )A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】因为α、β是方程的两根，利用根与系数的关系，可求α+β，αβ，然后对所求式子变形，再把α+β，αβ的值代入计算即可．【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣6，∴α+β=﹣=1，αβ==﹣6，∴===﹣．故选D．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实根，则k的取值范围是( )A．k＞﹣B．k≥﹣且k≠0 C．k≤﹣D．k＞﹣且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】方程有实数根，用一元二次方程的根的判别式大于0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【解答】解：整理方程得：ky2﹣7y﹣7=0由题意知k≠0，方程有实数根．∴△=b2﹣4ac=49+28k≥0∴k≥﹣且k≠0．故选B【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．6．如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN，，下列结论正确的是( )A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA 【考点】相似三角形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】本题主要掌握相似三角形的定义，根据已知条件判定相似的三角形．【解答】解：∵CM=CN∴∠CNM=∠CMN∵∠CNA=∠CMN+∠MCN，∠AMB=∠CNM+∠MCN∴∠CNA=∠AMB∵AM：AN=BM：CM∴AM：AN=BM：CN∴△ANC∽△AMB故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为( )A．4 B．4C．4D．28【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，∴AC=2EF=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，∴AB==，∴菱形ABCD的周长为4．故选：C．【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是( )A．B． C． D．【考点】相似三角形的判定．【分析】首先求得△ABC三边的长，然后分别求得A，B，C，D各三角形的三边的长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，三组对应边的比相等的两个三角形相似定理的应用是解此题的关键．9．沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为( )A．20（1+2x）=80 B．2×20（1+x）=80 C．20（1+x2）=80 D．20（1+x）2=80 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可．【解答】解：设增长率为x，根据题意得20（1+x）2=80，故选D．【点评】本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．10．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O 为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③AM=MF；④MD=2AM=4EM．其中正确结论的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得=2，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=MF，判断出③正确．【解答】解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE=BF=BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF=∠ADE，∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠AMD=180°﹣（∠ADE+∠DAF）=180°﹣90°=90°，∴∠AME=180°﹣∠AMD=180°﹣90°=90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；∵∠BAD=90°，AM⊥DE，∴△AED∽△MAD∽△MEA，∴=2，∴AM=2EM，MD=2AM，∴MD=2AM=4EM，故④正确；设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，在Rt△ABF中，AF==a，∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，∴△AME∽△ABF，∴，即，解得：AM=a，∴MF=AF﹣AM=a﹣a=a，∴AM=MF，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④共3个．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．二、填空题11．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为0．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程有实数根得出a﹣1≠0，△≥0，求出a的取值范围，即可得出答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，∴a﹣1≠0，△≥0，△=（﹣2）2﹣4（a﹣1）×2=﹣8a+12≥0，解得：a≤且a≠1，∴整数as的最大值为0，故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的应用，能根据知识点和已知得出a ﹣1≠0，△≥0是解此题的关键，题目比较好，难度适中．12．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机依次取出两个小球（不放回），则取出的两小球标注的数字之和为3或6的概率是．【考点】列表法与树状图法．【专题】压轴题．【分析】先画树状图展示所有20种等可能的结果，其中取出的两小球标注的数字之和为3占2种，和为6的占4，然后根据概率的定义求取出的两小球标注的数字之和为3或6的概率．【解答】解：画树状图：，共有20种等可能的结果，其中取出的两小球标注的数字之和为3占2种，和为6的占4，所以取出的两小球标注的数字之和为3或6的概率==．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示一个实验所有可能的结果，再找出其中某事件所占有的结果数，然后利用概率公式求出这个事件的概率．13．已知≠0，则的值为．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质，可用a表示b、c，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由比例的性质，得c=a，b=a．===．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a表示b、c是解题关键，又利用了分式的性质．14．图中的两个四边形相似，则x+y=63，a=85°．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例即可求解．【解答】解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以18：4=x：8=y：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．a=360°﹣（77°+83°+115°）=85°．故答案为63，85°．【点评】本题考查相似多边形的性质．掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键．也考查了四边形内角和定理．15．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为（35﹣2x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35﹣2x）米，宽为米，∴可列方程为（35﹣2x）=600（或2x2﹣75x+100=0），故答案为（35﹣2x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．【点评】考查列代数式；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点．16．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则x13+2014x2﹣2013=2014．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x12=x1+2013，再计算x13=x12+2013x1=2014x1+2013，则原式可化简为2014（x1+x2），然后利用根与系数的关系求解．【解答】解：∵x1是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，∴x12=x1+2013，∴x13=x12+2013x1=x1+2013+2013x1=2014x1+2013，∴原式=2014x1+2013+2014x2﹣2013=2014（x1+x2），∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，∴x1+x2=1，∴原式=2014．故答案为：2014．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．17．（x2+y2）（x2﹣1+y2）﹣12=0，则x2+y2的值是4．【考点】换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法．【专题】换元法．【分析】在解此题时可把x2+y2当成一个整体，用因式分解法求得方程的根，然后根据平方的非负性即可确定．【解答】解：原式可变为（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0因式分解得（x2+y2﹣4）（x2+y2+3）=0∴（x2+y2）=4或﹣3．﹣3＜0不合题意舍去．∴x2+y2=4．【点评】此题主要是把（x2+y2）当成一个整体来进行求解．18．一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长2；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积2．【考点】相似多边形的性质．【专题】计算题．【分析】（1）设它的另一边长为2x，则AM=DM=x，根据相似多边形的性质得=，即=，然后解方程求出x则可得到矩形ABCD的另一边长；（2）设DF=a，根据相似多边形的性质得=，即=，然后利用比例性质求出DF，再利用矩形面积公式计算矩形EFDC的面积．【解答】解：（1）设它的另一边长为2x，则AM=DM=x，∵矩形ABNM与矩形ADCB相似，∴=，即=，解得x=，∴矩形ABCD的另一边长为2；（2）设DF=a，∵余下的矩形EFDC与矩形ADCB相似，∴=，即=，解得DF=1，∴矩形EFDC的面积=2×1=2．故答案为2，2．【点评】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．19．如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为．【考点】坐标与图形变化-旋转；菱形的性质．【分析】首先连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，由旋转的性质，易得∠BOB′=105°，由菱形的性质，易证得△AOB是等边三角形，即可得OB′=OB=OA=2，∠AOB=60°，继而可求得∠AOB′=45°，由等腰直角三角形的性质，即可求得答案．【解答】解：连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，根据题意得：∠BOB′=105°，∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB，∠AOB=∠AOC=∠ABC=×120°=60°，∴△OAB是等边三角形，∴OB=OA=2，∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°，OB′=OB=2，∴OE=B′E=OB′•sin45°=2×=，∴点B′的坐标为：（，﹣）．故答案为：（，﹣）．【点评】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意辅助线的作法．20．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，李瑞学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当==时，有==（如图1）；（2）当==时，有==（如图2）；（3）当==时，有==（如图3）；在图4中，当=时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论（n为正整数）．【考点】平行线分线段成比例；三角形中位线定理．【专题】规律型．【分析】作DF∥BE交AC于F，如图4，根据平行线分线段成比例定理，由DF∥BE得到=，则EF=CF，再利用比例性质由=得到=，再由OE∥DF得到==，然后根据比例性质求解．【解答】解：作DF∥BE交AC于F，如图4，∵DF∥BE，∴==1，∴EF=CF，∵=，∴=，∴==，∵OE∥DF，∴==，∴=．故答案为：（n为正整数）．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．三、解答题（共8小题）21．（16分）解方程：（1）（x+1）2﹣9=0．（2）x2+2x﹣5=0．（3）x（x﹣1）=2（x﹣1）．（4）（x﹣1）（x+3）=12．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答．（2）配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．（3）先移项，然后利用提取公因式法进行因式分解．（4）整理后分解因式得到x+5）（x﹣3）=0，推出方程x+5=0，x﹣3=0，求出方程的解即可．【解答】解：（1）移项得，（x+1）2=9，开方得，x+1=±3，解得x1=2，x2=﹣4．（2）由原方程，得x2+2x=5，配方，得x2+2x+1=5+1，即（x+1）2=6，则x+1=±，解得：x=﹣1±．（3）由原方程，得（x﹣2）（x﹣1）=0．则x﹣2=0或x﹣1=0，解得x1=2，x2=1．（4）（x﹣1）（x+3）=12，整理得：x2+2x﹣15=0，分解因式得：（x+5）（x﹣3）=0，即x+5=0，x﹣3=0，解方程得：x1=﹣5，x2=3，∴方程的解是x1=﹣5，x2=3．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．22．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可；（2）将x=1代入方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|，求出m的值，进而得出方程的解．【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）=|m|，∴x2﹣5x+6﹣|m|=0，∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）=1+4|m|，而|m|≥0，∴△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是1，∴|m|=2，解得：m=±2，∴原方程为：x2﹣5x+4=0，解得：x1=1，x2=4．即m的值为±2，方程的另一个根是4．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．23．育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动，需要选拔活动主持人，经过全校学生投票推荐，有2名男生和1名女生被推荐为候选主持人．（1）小明认为，如果从3名候选主持人中随机选拔1名主持人，不是男生就是女生，因此选出的主持人是男生和女生的可能性相同，你同意他的说法吗？为什么？（2）如果从3名候选主持人中随机选拔2名主持人，请通过列表或树状图求选拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率．【考点】列表法与树状图法；可能性的大小．【分析】（1）根据概率的意义解答即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义列式计算即可得解．【解答】解：（1）不同意他的说法．理由如下：∵有2名男生和1名女生，∴主持人是男生的概率=，主持人是女生的概率=；（2）画出树状图如下：一共有6种情况，恰好是1名男生和1名女生的有4种情况，所以，P（恰好是1名男生和1名女生）==．【点评】本题考查了列表法与树状图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS 推出两三角形全等即可；（2）欲证明四边形BECD是矩形，只需推知BC=ED．【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD=EC．∴在△ABD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．25．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．26．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品；据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请你回答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润．（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（3）设销售单价为每千克x元，月销售利润y元，求y与x的函数表达式．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量在50元的基础上涨价5元，销量减少10×（55﹣50）件．（2）当月销售利润达到8000元，需表示出单价利润与总销量，还需要考虑，月销售成本不超过10000元，分析所求结果．（3）当月销售利润y元时，单价利润×总销量=总利润．【解答】解：（1）月销售量为500﹣10（55﹣50）=450（千克），月销售利润为（55﹣40）×450=6750元；（2）设销售单价为x元，（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]=8000，X2﹣140x+4800=0，解得x1=60，x2=80，当x=60时月销售成本40×[500﹣（60﹣50）×10]=16000＞10000元，∴x=60元不合题意，舍去；当x=80月销售成本40×[500﹣（80﹣50）×10]=8000元＜10000元，∴销售单价应定为每千克80元；则月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元；（3）y=（x﹣40）[500﹣（x﹣50）×10]=﹣10x2+1400x﹣40000．【点评】此题主要考查了一元二次方程与二次函数中升降价问题，有一定综合性，是中考中典型题目．27．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45米2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x 的函数关系式．（2）根据（1）的函数关系式，将S=45代入其中，求出x的值即可．（3）可根据（1）中函数的性质和自变量的取值范围得出符合条件的方案．【解答】解：（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米这时面积S=x（24﹣3x）=﹣3x2+24x．（2）由条件﹣3x2+24x=45化为x2﹣8x+15=0解得x1=5，x2=3∵0＜24﹣3x≤10得≤x＜8∴x=3不合题意，舍去即花圃的宽为5米．（3）S=﹣3x2+24x=﹣3（x2﹣8x）=﹣3（x﹣4）2+48（≤x＜8）∴当时，S有最大值48﹣3（﹣4）2=46。