Duffing方程介绍与仿真应用
倒摆与Duffing方程
第十讲倒摆与杜芬方程1.倒摆实验1.1倒摆实验演示1.2倒摆的简化模型与运动方程倒摆可以简化成右图的模型,它的运动可以用杜芬方程描述，d 2x dt2+k dx dt−x +x 3=f cos ωt 改变运动阻尼，可以演示运动状态从周期解到混沌的变化。
3.杜芬(Duffing)方程下面用波形图，相图，频谱图和庞加莱截面图（map 图）研究系统的运动。
3.1无阻尼无驱动情形d 2x dt 2−x +x 3=0积分得12 dx dt 2+12 12x 4−x 2 =E所以势能是V =12 12x 4−x 2 这时有三个平衡点，x =0(不稳定平衡点),x =±1(是稳定平衡点)。
1.−0.25<E<0,绕x=期振动动。
（图中E=−2.E=0,对应∞型轨道，是同宿轨道同宿点(0,0)。
3.E>0,绕x=0,±1三个平衡位置的闭轨道，也是周期运动。
图中E=0.2。
>>ezplot(’y^2+x^4/2-x^2’,[-1.6,1.6])>>hold on>>ezplot(’y^2+x^4/2-x^2+0.2’)>>ezplot(’y^2+x^4/2-x^2+0.4’)>>ezplot(’y^2+x^4/2-x^2-0.4’)3.2有阻尼无驱动情形这时的方程成为d2x dt2+kdxdt−x+x3=03.2有阻尼有驱动情形这时的方程成为d2x dt2+kdxdt−x+x3=f cosωt阻尼消耗能量,外部驱动补充能量,系统的运动状态解有周期解或混沌解。
为了掌握运动的整体情况,先画系统的终态解随阻尼系数k 变化的分岔图如下。
（0.5≤k ≤1.5,f =1,ω=1.）function dbd global dx0=0.1;v0=0.1;d0=0.5:0.002:1.5;axis([0.51.5-1.51.5])hold onfor j=1:length(d0)d=d0(j);[t,u]=ode45(@dbdfun,...[0:2*pi/60:60*pi],[x0,v0]);plot(d,u(901:60:1800,2),’r.’);end3.3.1周期解的情形在map 图上，周期1吸引子是一个点，在频谱图是一个频率。
Duffing混沌的轨迹跟踪控制仿真实验
Duffing混沌的轨迹跟踪控制仿真实验作者：颜世玉于清文赵海滨来源：《科技创新导报》2019年第17期摘 ; 要：根据Duffing混沌系统和期望轨迹建立轨迹误差系统，采用线性滑模面和双幂次趋近律设计滑模控制器，并采用滑模控制器进行轨迹跟踪控制。
采用Simulink软件建立仿真实验系统。
仿真结果表明，滑模控制器能够进行Duffing混沌的轨迹跟踪控制，轨迹跟踪误差渐进收敛到零。
关键词：滑模控制器 ;Duffing混沌 ;轨迹跟踪 ;仿真实验中图分类号：TP273 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文献标识码：A ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文章编号：1674-098X（2019）06（b）-0009-03Abstract：According to the Duffing chaos and the desired trajectory， trajectory tracking error system is established. The sliding mode controller is designed by linear sliding mode surface and double power reaching law. The sliding mode controller is used for trajectory tracking control. The simulation experiment system was built by Simulink software. The results show that the sliding mode controller can perform trajectory tracking control of Duffing chaos， and the trajectory tracking error converges to zero gradually.Key Words：Sliding mode controller; Duffing chaos; Trajectory tracking; Simulation experiment混沌是非线性系统普遍存在的现象，广泛存在于自然界和人类社会中。
duffing振子检测信号幅值的matlab代码 -回复
duffing振子检测信号幅值的matlab代码-回复Matlab代码: 振子检测信号幅值的Duffing振子模型Duffing振子是一种非线性振动系统，其运动方程可以用以下形式表示：x'' + δx' + αx + βx^3 = γcos(ωt)其中，x(t)表示振子的位移，t表示时间，α、β、γ、δ和ω是常数。
为了计算振子的振幅，我们需要首先解决振子的运动方程。
在Matlab中，可以使用ode45函数来求解常微分方程。
然后，我们可以通过对振子位移的响应进行分析，计算振幅。
以下是一步一步回答的文章，介绍如何使用Matlab代码计算Duffing振子的振幅。
第一步：定义Duffing振子的参数在编写Matlab代码之前，首先需要定义Duffing振子的参数。
这些参数包括α、β、γ、δ和ω。
可以根据具体情况选择适当的参数值。
例如，假设我们选择以下参数值：α= -1β= 1γ= 0.35δ= 0.1ω= 1.4以上参数值可用于编写Matlab代码。
第二步：编写Duffing振子的运动方程在Matlab中，可以使用函数句柄来定义Duffing振子的运动方程。
首先，我们需要定义一个函数，该函数接受振子位移和时间作为输入，并返回振子位移的导数。
以下是定义Duffing振子运动方程的Matlab代码：function dx = duffing_equation(t,x)α= -1;β= 1;γ= 0.35;δ= 0.1;ω= 1.4;dx = [x(2); -δ*x(2) - α*x(1) - β*x(1)^3 + γ*cos(ω*t)];end在上述代码中，dx表示振子位移的导数，即速度。
变量x是振子的状态变量，x(1)表示位移，x(2)表示速度。
函数返回一个包含位移和速度的列向量。
第三步：求解Duffing振子的运动方程编写完Duffing振子的运动方程后，我们可以使用ode45函数来求解振子的运动。
duffing方程的稳定点
duffing方程的稳定点Duffing方程的稳定点Duffing方程是描述非线性振动系统的重要方程之一。
在物理学和工程学中，非线性振动系统的稳定点是研究和分析系统动力学行为的关键。
本文将围绕Duffing方程的稳定点展开讨论，探讨其在科学研究和实际应用中的重要性。
我们来了解一下Duffing方程的表达式。
Duffing方程可以写为如下形式：mx'' + bx' + kx + \alpha x^3 = f(t)其中，m是系统的质量，x是位移，b是阻尼系数，k是刚度系数，\alpha是非线性刚度系数，f(t)是外力。
Duffing方程的一个重要特征是非线性刚度项\alpha x^3，它使得系统的行为具有一定的复杂性。
稳定点是指系统在某一状态下，位移和速度都不再发生变化，保持恒定的状态。
在Duffing方程中，稳定点可以通过解方程 mx'' + bx' + kx + \alpha x^3 = 0 来求解。
由于Duffing方程的非线性特性，稳定点的解析解往往很难得到，通常需要通过数值方法进行求解。
稳定点对于研究非线性振动系统的动力学行为至关重要。
通过分析稳定点的性质，可以得到系统的稳定性、周期性和混沌性等重要信息。
在Duffing方程中，稳定点的性质可以通过相图来展示。
相图是在位移-速度平面上绘制的轨迹图，可以直观地展示系统的运动状态。
当稳定点为不动点时，系统处于平衡状态，位移和速度均为零。
此时，稳定点的性质取决于刚度系数k和阻尼系数b的大小关系。
当阻尼系数b小于临界值时，系统呈现出周期振动的稳定点；当阻尼系数b大于临界值时，稳定点为无穷远点，系统呈现出非周期性的发散振动。
当稳定点为极值点时，系统处于非平衡状态，位移和速度不为零。
此时，稳定点的性质受到非线性刚度系数\alpha的影响，系统可能表现出混沌行为。
除了理论研究，Duffing方程的稳定点在实际应用中也具有重要意义。
duffing方程微弱信号检测算法原理
duffing方程微弱信号检测算法原理一、Duffing方程简介Duffing方程是一种描述受迫振动的非线性微分方程，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
在微弱信号检测中，Duffing方程常被用作信号模型，以提取微弱信号中的有用信息。
二、微弱信号检测原理微弱信号检测是指从强噪声环境中提取弱信号的过程。
常用的微弱信号检测方法有匹配滤波法、调制频率法、自相关法等。
在这些方法中，基于Duffing方程的检测算法是一种有效的手段。
该算法通过建立Duffing方程与待测信号的匹配关系，利用其非线性特性实现对微弱信号的检测。
1. 参数估计：首先，根据Duffing方程的参数，如振动幅度、频率、阻尼等，对系统进行参数估计。
这可以通过最小二乘法、卡尔曼滤波等方法实现。
2. 噪声抑制：利用估计得到的参数，通过调整系统参数，实现对噪声的抑制。
这可以通过自适应滤波等方法实现。
3. 微弱信号提取：在噪声抑制的基础上，通过观察Duffing方程的解，寻找与微弱信号匹配的模式，实现对微弱信号的提取。
这需要借助频谱分析、小波变换等工具。
4. 算法实现：在实际应用中，可以根据需要选择合适的数值求解方法（如龙格库塔法）来求解Duffing方程，并采用合适的滤波器来实现噪声抑制和微弱信号提取。
值得注意的是，Duffing方程的非线性特性可能导致其解的不稳定性，因此在实际应用中需要对算法进行稳定性分析和优化。
同时，对于不同的问题和场景，可能需要选择不同的Duffing方程模型和参数估计方法，以适应不同的需求和约束条件。
此外，由于Duffing方程微弱信号检测算法涉及到物理、工程、数学等多个领域的知识，因此在实际应用中需要综合考虑各种因素，并进行充分的实验验证和性能评估。
总之，Duffing方程微弱信号检测算法是一种有效的手段，通过利用Duffing方程的非线性特性，可以实现微弱信号的检测和提取。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的算法和参数估计方法，并进行充分的实验验证和性能评估。
Duffing方程及其解
duffing方程Duffing方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象(或随机过程)的简单数学模型。
因此，在非线性振动理论中研究，Duffing 方程具有重要的意义。
Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。
工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程，特别是电工领域的一些问题的研究有重要的意义。
它的标准形式为：>0为阻尼系数。
g(x)是含有三次方项的非线性函数，f(x,t)为一周期函数。
Duffing方程系统是一个典型的非线性振动系统，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。
工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程来研究，如船的横摇运动、结构振动、化学键的破坏等，横向波动方程的轴向张力扰动模型，转子轴承的动力学方程也与Duffing系统基本相似，另外Duffing系统也非常广泛地被应用到实际工程中，例如尖锐碰摩转子的故障检测、微弱周期信号检测、电力系统周期振荡分析、周期电路系统的模拟与控制等。
关于Duffing系统还有许多问题尚未彻底研究清楚，如Duffing方程的分数谐波振动、超谐波振动、组合振动等等，而且研究结果中规律性的成果可以推广到其他类似系统。
因此从某种角度来说，对非线性Duffing系统的研究是研究许多复杂动力学系统的基础。
本研究首先考虑下列时间尺度上带有狄尼克莱边值条件的Duffing动力学方程{u△△(t)+Cu△(σ(t))-r(t)uσ(t)+f(σ(t),uσ(t))=h(t),t∈[0,σ(T)]KT2,u(0)=0=uσ(T)。
利用变分方法,我们得到了一些保证以上问题至少存在一个解的充分条件。
紧接着.利用Ricceri变分原理以及局部山路引理,我们研究了下列扰动型Duffing方程三个解的存在性:{u"(t)+Cu'(t)+f(t,u(t))+λg(t,u(t))=p(t),t∈[0,T]u(0)=0=u(T)以及无扰动项的Duffing方程三个解的存在性:J Zt”(t)+cu’(t)+t厂(z,u(f))=p(z),t ∈[0,丁],I乱(0)=0:札(丁)。
Duffing混沌系统的电路仿真研究
DOI ：10．19392/j．cnki．1671－7341．201926177Duffing 混沌系统的电路仿真研究赵宁柳州铁道职业技术学院广西柳州545616摘要：借助Duffing 参数敏感性来检测微弱的信号是当前有关领域研究的重点，文章在阐述Duffing 系统及其电路实现的基础上，分析基于Duffing 混沌系统的电路仿真设计，旨在能够更好的提升电路设计的精准度。
关键词：Duffing 混沌系统；电路仿真；设计近几年，伴随混沌理论在现代科学领域的广泛应用，人们开始将混沌理论应用在微弱信号的检测分析中，并根据研究应用不同类型的背景噪声形成了多种应用混沌来进行微弱信号检测的理论和方法。
基于Duffing 混沌系统对初始参数信息的敏感性，使其可以利用混沌振子提取和检测微弱信号。
因此，从提升电路设计的精准度为基本出发点，就Duffing 混沌系统的电路仿真设计问题进行探究。
1Duffing 混沌系统Duffing 方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象的一种模型。
基于Duffing 混沌系统的微弱信号检测常用方程如（1）表示。
在公式中k 代表的是阻尼比，fcoswt 是内置激励信号，－x （t ）+x 3（t ）表是系统非线性恢复力项。
x ㊆（t ）－kx （t ）－x （t ）+x 3（t ）=fcoswt （1）2Duffing 混沌系统的电路特性2．1初始参数敏感性基于Duffing 混沌系统的初始参数敏感性是指在输入驱动正弦信号幅度数值较小的时候，相轨迹表现为poincare 映射下的吸引子。
在输入驱动正弦信号幅度数值超过一定阈值的时候将会出现同宿轨道的现象，且伴随输入驱动正弦信号幅度数值的增加，周期倍化将实现分叉，之后进入到混沌的状态，使得整个电路系统处于一种混沌的状态。
2．2对不同频率的基本响应导致Duffing 混沌系统从混沌状态朝着大尺度周期转变的临界驱动有效电压并不完全相同，但是在一定有效位数上是相同的。
Duffing方程的matlab程序实现
d uc （5） d w duc a b 3 1 （6 ） ( ) [u u ] d wC wC wCR c s u 令 x ， y c ，则电路方程变为 w dx （7） y d U dy a b 1 （8） ( 2 x 2 x3 ) y 2 m sin d wCR wC wC w CR U 1 b a 1 再令 2 1， 2 1 ， ，则上述方程改写为 k ， 2 m f ， wCR wR w CR wC wC dx y （ 10 ） d dy ( x x3 ) ky f sin （ 11 ） d 上述两式用一个二阶微分方程表示，可得 d 2x dx （12） x x3 k f sin wt 2 dt dt 即为 Duffing 方程的第二种形式。
为方便分析，增加一个时间维，将式（11） （12）改写为三阶自治方程，也称等价 扭扩系统，其相应的自治系统方程为
dx y dt dy ( x x3 ) ky f sin dt dz 1 dt
其中 z t 常数
（ 13 ） （ 14 ） （ 15 ）
1.1 采用 Melnikov 方法求解第一种 Duffing 方程 Melnikov 方法的基本思想是将动力系统归结为平面上的一个 Poincare 映射是否存 在横截同宿轨道或异宿轨道的数学条件,给出一类非线性动力系统 Smale 马蹄变换意义 下出现混沌现象的判据。应用解析 Melnikov 方法的许多实际问题可以归结为讨论带有 弱周期扰动项的具有同宿轨道或异宿轨道的二阶常微分方程。对于这类系统,利用一定 的数学技巧,就可以建立二维 Poincare 映射,如果此映射存在 Smale 马蹄变换性质,则此映 射可能是一个具有混沌属性的不变集。本小节采用 Melnikov 方法求解下方 Duffing 方 程。 考虑 Duffing 方程的周期扰动方程
duffing方程matlab代码
duffing方程matlab代码Duffing方程是一种具有非线性行为的二阶微分方程，常用于描述弹性系统的振动行为。
以下是一个使用Matlab编写的Duffing方程模拟程序源代码：```Matlab% Duffing方程模拟程序clear all; close all; clc;% 参数设定a = 1;b = 1;g = 0.5;w = 1.2;F0 = 1;tspan = [0, 100];y0 = [0.1, 0];% 定义Duffing方程duffing = @(t, y) [y(2); -a*y(1) - b*y(1)^3 + g*cos(w*t)]; % 解非线性微分方程[t, y] = ode45(duffing, tspan, y0);% 绘制相图figure;plot(y(:, 1), y(:, 2), 'b');xlabel('y_1'); ylabel('y_2');title('Duffing方程相图');% 绘制时间序列figure;plot(t, y(:, 1), 'r');xlabel('时间'); ylabel('y_1');title('Duffing方程时间序列');% 绘制频谱图fs = length(t) / (t(end) - t(1));f = linspace(-fs/2, fs/2, length(t));Y = fftshift(fft(y(:, 1)));figure;plot(f, abs(Y));xlabel('频率'); ylabel('|Y(f)|');title('Duffing方程频谱图');```本程序首先设定Duffing方程的常数参数和初值，然后通过ode45函数求解非线性微分方程，并在三个图形窗口中绘制了Duffing方程的相图、时间序列和频谱图。
Holmes型Duffing系统动力学特性仿真及实验
Holmes型Duffing系统动力学特性仿真及实验孙方旭;刘树勇;何其伟【摘要】Currently, there is the deficiency of repeatable chaotic vibration experiments in chaotic study. In this paper, a chaotic vibration experiment platform was designed and researched. The model of approximate particle motion in double potential well was established and its dynamic characteristics were analyzed. As a result, the periodic solutions and chaotic solutions were observed. In experimental study, parameter interval of the chaos was determined. In addition, the sensitivity of initial value in Holmes Duffing system was observed. Symmetry breaking bifurcation and period doubling bifurcation were all observed in the Duffing system.%针对混沌研究中缺乏可进行有效可重复性实验混沌振动平台问题，设计混沌振动实验台架并开展实验研究。
建立近似于在双势阱中粒子运动的数学模型，并分析系统动力学特性，观察到系统出现的周期解和混沌解。
利用系统响应随参数变化的分岔特性，得到系统混沌参数区。
在实验研究中，进一步确定混沌参数区间，并观察到了Holmes型Duffing系统中初值敏感性现象以及在通往混沌过程中出现的对称破缺分岔和倍周期分岔现象。
Duffing方程MATLAB仿真分析
Duffing方程MATLAB仿真分析非线性电路报告Duffing方程的MATLAB仿真分析班级：学号：姓名：摘要Duffing方程是一种重要的动力系统[1]，是反映工程物理系统中非线性现象和混沌动力学行为的极其重要的方程式。
通过Duffing方程可以探讨铁磁谐振电路中的分岔、拟周期运动、子谐波振荡。
而在非线性与混沌系统的研究中，Duffing方程展示了丰富的混沌动力学行为。
本文通过对不同情况下的Duffing方程进行分析，利用MATLAB进行仿真，从而对Duffing方程有进一步的了解。
关键词：Duffing方程混沌 MATLAB仿真1 引言最初的Duffing方程通过在经典动力学系统中引入一个具有摆动的非线性方程。
数学上将含有自变量三次项的二阶方程称为Duffing方程。
Duffing方程是弱信号检测中的常用模型，他所描述的非线性系统表现出多种非线性特性，包括振荡、分岔、混沌等复杂状态。
在非线性与混沌系统的研究中，Duffing方程展示了丰富的混沌动力学行为，Duffing方程的非线性与混沌特性得到了人们坚持不懈的研究。
Duffing方程的工程背景、Duffing方程的混沌动力学行为的控制以及Duffing方程在工程物理系统中的应用，一直是人们研究与关注的复杂话题。
混沌是确定性的非线性系统在一定的条件下呈现出来的貌似无序但又遵循一定规律的复杂动力学行为[2]，是一种宏观无序、微观有序的现象。
混沌是自然界一种普遍存在的非线性现象，电路中的混沌实际上是在一定的参数条件下，在一些属于确定性系统的电路里产生的类似于随机响应。
混沌系统对微弱信号具有极强的敏感性同时对噪声具有极大的抑制能力，它的这种性质证明了混沌系统具有可应用于小信号检测的潜力，从检测过程中分析混沌运动发生的间歇性。
Duffing方程是一个在混沌系统小信号检测中被广泛使用的一个典型的非线性方程，即存在于噪声中的信号可以被Duffing振子通过从混沌运动状态到周期振荡状态的改变测试出来。
跨共振点duffing方程周期解的多解性
跨共振点duffing方程周期解的多解性跨共振点duffing方程周期解的多解性：一、什么是跨共振点duffing方程周期解的多解性？Duffing方程是一种通用的非线性振动方程，它是变分法和比较原理的优化方法。
跨共振点Duffing方程周期解的多解性指的是，求解跨共振点Duffing方程存在两个以上的周期解，其中，每一个解对应着不同的物理量，如物体的位移、速度及其由此引起的力的大小。
二、跨共振点Duffing方程周期解的多解性有什么特点？1、由于跨共振点Duffing方程多解性存在两个以上的解，因此在跨共振点处系统更容易进入瞬变状态，这也使得系统容易出现混沌行为，进而导致系统的稳定性和可靠性受到影响。
2、跨共振点多解性是由于Duffing方程初值问题引起的，且不同的初值会引起不同的解，这也是Duffing方程周期解多解性的一个关键原因。
3、多解性存在于不同的状态下，如物体的位移或速度，确定的初值会使Duffing方程的解存在不可避免的多解性。
三、跨共振点duffing方程周期解的多解性有哪些应用场景？1、广义动力系统的多解性：在理论上，多解性可能会出现在具有非线性非局部性的复杂动力学系统中，比如环境系统、社会系统和人工智能这样的系统。
2、用于研究材料力学特性：多解性也可以用于研究和深入理解材料特性，特别对于接触有限元分析和挠曲分析而言，多解性的出现可能会改变材料的行为。
3、用于模拟社会示范：多解性也可以用于社会模拟，例如网络模拟、社会仿真和心理学研究。
在这种情况下，多解性表现为不同状态，例如动态分配规则、交叉影响、个人行为和对社会规范的反应以及个体价值观等等。
四、跨共振点duffing方程周期解的多解性是如何解决的？由于多解性可能会影响系统的性能，因此必须对其进行控制。
一般来说，可以采用两种方法来控制多解性：1、通过系统参数或初始条件的调整来对多解性进行控制。
在这种情况下，可以调整参数，使系统只存在一个解。
duffing方程
非线性电路理论报告——Duffing方程的混沌现象仿真与分析摘要：Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。
工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程，特别是电工领域的一些问题的研究有重要的意义。
本文对于不同情况下的Duffing方程的混沌现象，利用MATLAB软件对方程进行模拟仿真与分析，对于Duffing方程的混沌现象有更深入系统的认识。
关键词： Duffing方程；Matlab仿真；混沌1 引言混沌系统对微弱信号具有极强的敏感性同时对噪声具有极大的抑制能力，它的这种性质证明了混沌系统具有可应用于小信号检测的潜力，从检测过程中分析混沌运动发生的间歇性。
Duffing方程是一个在混沌系统小信号检测中被广泛使用的一个典型的非线性方程，即存在于噪声中的信号可以被Duffing振子通过从混沌运动状态到周期振荡状态的改变测试出来。
本文用MATLAB对Duffing方程进行模拟分析，找出系统在各种参数下的运动状态，为基于Duffing振子的小信号检测提供研究基础。
Duffing方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象(或随机过程)的简单数学模型。
因此，在非线性振动理论中研究Duffing方程具有重要的意义。
它的标准形式为:其中，为阻尼系数。
g(x)是含有三次方项的非线性函数，f(x,t)为一周期函数。
Duffing方程通常作如下分类：(1)假设g(x)满足超线性条件:则称Duffing方程是超线性的;(2)假设g(x)满足次线性条件:则称Duffing方程是次线性的;(3)假设g(x)满足半线性条件:则称Duffing方程式半线性的。
若将Duffing方程规范化，有以下四种基本类型：1)2)3)4)其中，类型1为硬特性Duffing方程；类型2和4成为软特性Duffing方程；类型3称为日本型，日本学者上田研究较多，并发现了日本吸引子，也称为Ueda 吸引子；美国科学家P.Holmes对类型4的Duffing方程进行了深入的研究，因此类型4也称为P.Holmes型Duffing方程。
duffing方程matlab
duffing方程matlab在数学建模中，duffing方程是非常常见的一种非线性微分方程，其形式为：x'' + delta*x' + alpha*x + beta*x^3 =f*cos(omega*t)。
其中，x表示位移，x'表示速度，x''表示加速度，alpha、beta、delta、f、omega均为常数。
本文将针对如何用matlab求解duffing方程进行详细介绍。
步骤一：建立模型首先，我们需要将duffing方程转化为一阶微分方程组的形式，即：x' = y，y' = f*cos(omega*t) - delta*y - alpha*x -beta*x^3。
然后，我们需要给出初值条件，比如x(0) = 0，y(0) = 0。
这样，我们就可以开始用matlab进行求解了。
步骤二：编写程序在matlab中，我们需要先定义一些常量，比如delta、alpha、beta、f、omega等。
然后，我们需要定义一个函数来计算duffing方程右侧的值，即y' = f*cos(omega*t) - delta*y - alpha*x -beta*x^3。
最后，我们使用ode45函数，该函数可以自动适应步长来求解微分方程。
具体来说，我们可以先定义一个匿名函数，然后将该函数作为参数传递给ode45函数，最后指定初值和求解时间范围。
代码示例如下：```delta = 0.2;alpha = 1;beta = -1;f = 0.3;omega = 1.2;func = @(t,y)[y(2);f*cos(omega*t)-delta*y(2)-alpha*y(1)-beta*y(1)^3];[t,y] = ode45(func,[0,50],[0,0]);```步骤三：绘制图形最后，我们可以使用plot函数将求得的位移和速度数据可视化。
杜芬方程
电机系统的控制：
电力系统长时间连续运行的稳定性、 可靠性与安全性日益受到重视。
通过对电力系统建模与故障分析，避免电 力系统产生混沌振荡。对提高发电机组系统 的控制质量、改善系统动态过程的品质等方 面有重要的实际意义。
保密通信：
同步混沌系统产生的混沌信号 具有宽带、难以预测的类噪声特性。 这些特性为保密通信开辟了一条新 的途径。
文理实验班： 程瑞军 林启富 张乐民 郭宁
杜芬方程概念 杜芬方程的性质分析 杜芬方程的应用
1.杜芬方程概念
Duffing equation 概念
1918年，Duffing在经典力学中引入了一个具有摆动的 非线性方程，现称为Duffing方程。
数学上将含有x 三次项的二阶方程称为Duffing方 程。
杜芬方程是混沌现象的一个典型例子。
1.杜芬方程概念
小角度单摆运动的方程：
2 sin 0
角频率W=1时，一次积分后：
1
d
2
1
2
E
2 dt 2
阻尼单摆
• 无阻尼时：
ml
d 2
dt 2
F
mg sin
有阻尼时：设阻尼力与摆的速度成 l正比：
d 2
ml dt2
F
l d
dt
mg sin
取β＝ / 2m 得：
第一项表示系统动能K ，第二项表示系统势能V， E 是系统的总能量。
dV x3 kx 0 dx
K<0时，只有一个解 K>0时，有三个解
2.杜芬方程性质分析
势能曲线
k<0
k>0
d2x 有阻尼无驱动杜芬方程： dt2
dx dt
x
x3
duffing方程解与其平均方程解之间的关系
duffing方程解与其平均方程解之间的关系Duffing方程是一类非线性振动方程，能够描述复杂动力系统激励和弱重力场中的振动。
它包含一个平方变量项，这使得它比简单的常见振动方程复杂得多。
Duffing方程的解可以由数学方法、物理方法或数值解法等多种方法获得。
在本文中，我们将讨论Duffing方程解与其平均方程解之间的关系。
首先，我们需要了解Duffing方程的构成。
Duffing方程的常见形式为：$$ddot x+alphadot x+beta x+gamma x^3=f_0 cosomega t$$ 其中，$alpha$、$beta$、$gamma$和$f_0$是常数，$omega$是振动频率。
Duffing方程反映了外力激励和弱重力场实际振动运动的规律。
Duffing方程的数学解可以由Fourier级数展开获得，或用Runge-Kutta数值积分方法获得。
Fourier级数展开的方法不受初始条件的影响，并且能够得出固定的解析解，但是计算效率较低。
Runge-Kutta数值积分方法则正好相反，它受初始条件影响较大，但是计算效率较高。
Duffing方程的平均方程解可以由Liapunov稳定性条件来获得，它比数学解析解更加直观，并且具有更好的可解释性。
在有限时间范围内，Duffing方程的平均方程解可以被定义为：$$bar x=Acos(omega t+theta)$$其中，$theta$是初始位置的余弦值，$A$是振动的振幅大小，它在某些情况下可以被认为是动能的函数。
现在，我们来看看Duffing方程解与其平均方程解之间的关系。
我们假设某个动力系统满足Duffing方程，可以使用数学解法计算出该系统的解：$$x(t)=Acos(omega t+theta)$$同时，我们也可以用Liapunov稳定性条件计算出相同系统的平均方程解：$$bar x=Acos(omega t+theta)$$从上述结果可以看出，Duffing方程解和其平均方程解之间具有相同的形式，只是参数有所不同。
duffing振子奇怪吸引子的简单胞映射计算
duffing振子奇怪吸引子的简单胞
映射计算
Duffing振子奇怪吸引子的简单胞映射计算是一种用于求解 Duffing 振子方程的数值计算方法，它通过将Duffing 振子方程简化为一维离散时间动力学系统（基于胞映射）来求解。
胞映射计算是一种几何分析方法，可以将复杂的微分方程组转换为一维或二维离散时间动力学系统，然后计算其特征集。
Duffing 振子方程本身是一个二阶非线性微分方程，其解决方案要求使用复杂的数值技术，例如 Runge-Kutta 步骤。
由于 Duffing 振子中包含的非线性项，因此必须使用大量的数值迭代来求解该方程。
胞映射计算可以避免这些大量的迭代，因为它将Duffing 振子方程转换为一维离散时间动力学系统，可以使用几何分析方法来求解该系统。
通过对 Duffing 振子方程进行简化，可以轻松地回答有关振子解决方案的问题，例如稳定性、周期性和交叉。
这种胞映射方法还可以用于描述奇怪吸引子的形状，其中Duffing振子的参数不断变化。
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非线性电路理论及应用报告 Duffing方程介绍与仿真应用姓名：马博学号：3113162025班级：硕3022班完成时间：2013.12摘 要在非线性振动理论研究中，Duffing 方程是一种具有代表性的微分方程式。
本文首先对Duffing 方程进行了简单介绍，包括其类型以及根据电路的推导等；其次，本文对硬特性的Duffing 方程进行了不同参数下的Matlab 仿真；最后，本文介绍了Duffing 方程的微弱信号频率检测，以Holmes 型Duffing 方程为例进行了分析说明。
关 键 词：Duffing 方程；非线性；Matlab 仿真；混沌；弱信号检测1 Duffing 方程简介非线性振动问题的研究通常包括定性研究与定量研究。
定性研究的主要内容包括方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性的研究等。
著名的 Duffing 方程在非线性动力学系统的研究中占有重要地位。
其特点之一是在 Duffing 方程等号右边加上了外加强迫项，进而形成了非自治非线性系统。
正是由于系统的本征频率与外加周期强迫项的频率的相互作用，才使得该方程中蕴含着极其丰富的内容：倍周期分叉、混沌、清晰大周期等现象[1]。
Duffing 方程的准形式为：22(x)(x,t)d x dx g f dt dtδ++= 其中δ>0为阻尼系数，g(x)是含有三次方项的非线性函数，(x,t)f 为一周期函数。
Duffing 方程通常作如下分类[2]：1. 假设g(x)满足超线性条件||g(x)lim x x→∞=+∞ 则称Duffing 方程是超线性的；2. 假设g(x)满足次线性条件||g(x)lim 0x x→∞= 则称Duffing 方程是次线性的；3. 假设g(x)满足半线性条件||||g(x)g(x)0lim inflim sup x x x x→∞→∞<≤<+∞ 则称Duffing 方程是半线性的。
若将Duffing 方程规范化，有以下四种基本类型[3]：232(t)(t)cos(t)d x dx k x x f dt dt+++= （1-1） 232(t)(t)cos(t)d x dx k x x f dt dt++-= （1-2） 232(t)cos(t)d x dx k x f dt dt++= （1-3） 232(t)(t)cos(t)d x dx k x x f dt dt+-+= （1-4） 其中k 大于零，是阻尼系数，cos(t)f 是系统外力。
式（1-1）称为硬特性杜芬方程；式（1-2）、式（1-4）称为软特性杜芬方程；式（1-3）称为日本型杜芬方程；此外，式（1-4）又称为Holmes 型。
本文选用硬特性杜芬方程进行详细研究。
本节主要讨论如下的硬特性Duffing 方程形式如下：232sin d x dx x x f t dt dtεδεω++=-+ （1-5） 用上述方程来描述的一种并联LC 铁磁混沌振荡电路，其电路图如图 1-1所示。
电路由交流电压源供电。
图1-1并联LC 铁磁混沌振荡电路在图1-1中，非线性电感是一个含铁芯的电感线圈，当电感线圈磁通饱和时，电感电流为：3L i a b ψψ=+ 非线性电感是一个磁通链控制型的电感，是此电路中唯一的非线性器件，而电容C 、电阻R 均为线性器件。
对图1-1可得C d u dtψ= （1-6） 31()[()]C C s du C a b u u t dt Rψψ=-++-+ （1-7） 其中()sin s m u t U t ω=。
为了分析方便，对方程进行归一化处理，令 wt τ= ，d wdt τ=则以上方程（1-6）和（1-7）可以分别被表示为C u d d ψτω= （1-8） 3()()C C s du u u a b d C C CR CRτψψτωωωω=-+-+ （1-9） 又令x ψ=，c u y ω=，则 dx y d τ= 3221()sin m U dy a b x x y d C C CR CRττωωωω=-+-+ 为了分析方便，我们令21a C ω=，21b C ω=，1k CR εω=，2m U f CR εω=，1Rεω= 上式中ε是小参数，则上述方程改写为dx y d τ= （1-10） 3()sin dy x x ky f d εεττ=-+-+ （1-11） 为了便于仿真，我们仍然将τ写为t ，方程 用一个二阶微分方程来表示，即为232sin d x dx x x k f t dt dtεε++=-+ （1-12） 这即为著名的Duffing 方程的第二种形式。
2 Duffing 方程的Matlab 仿真根据公式（1-5），利用Matlab 中的Simulink 模块选用不同的电子元器件，设置不同参数，对其进行仿真模拟。
MATILAB中的Simulink是一个动态系统建模仿真和分析的软件包，它是一种基于MATLAB的框图设计环境，支持线性系统和非线性系统，可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。
Simulink中包括许多实现不同功能的模块库，选择不同的模块建模就能模拟出不同的系统[3]。
仿真模型如图2-1所示。
图2-1Simulink模块建立的仿真图像混沌运动最为明显的特征之一就是对初值的敏感性，表现为从任意靠近两个初始值出发的轨道在一定时间区间内将会以指数形式分离，系统的初始值的极其微小的改变，能够使系统的震荡输出产生本质的差异。
对于离散动力学系统而言，可以利用李雅普诺夫指数对这一特征进行很好的说明。
接下来利用仿真模型，选取不同的参数值，对Duffing方程进行仿真分析，结果如图2-1、2-2、2-3、2-4、2-5所示。
(a)波形图(b)平面图图2-1初始值（0，0），0.1k ε=，10f ε=(a)波形图(b)平面图图2-2初始值（0，0），0.1k ε=，20f ε=(a)波形图(b)平面图图2-3初始值（0，0），0.1k ε=，40f ε=(a)波形图(b)平面图图2-4初始值（0，0），0.1k ε=，80f ε=(a)波形图(b)平面图图2-5初始值（0，0），0.1k ε=，92.825f ε=分析以上各图，可以发现当参数发生变化时，系统特性发生变化，波形图和平面图并没有很强的规律性，这反映了确定系统中的不确定性的行为特征。
如图2-5所示，在参数满足0.1k ε=，92.825f ε=的时候，该系统的轨线满足不交率，即两条最大轨线不可能穿过同一常点，因为其解的光滑映射是唯一的，所以其轨线在相空间只能缠绕而不会相交，这时系统出现混沌现象。
3 基于Duffing 方程的微弱信号频率检测微弱信号检测(Weak Signal Detection)是测量技术中的综合技术和尖端领域，由于它能测量传统观念认为不能测到的微弱量，所以才获得迅速发展和普遍重视。
微弱信号检测的目的是利用电子学、信息论和物理学方法，研究被测信号的特点和相干性，检测被背景噪声覆盖的弱信号。
其任务是发展弱信号检测理论，探索新的方法和理论，研究新的检测设备以及在各学科中推广应用[1]。
微弱信号检测方法在故障维修中发挥重要作用。
将微弱信号检测方法引入诊断领域，可以实现故障的早期诊断。
通过故障的早期诊断与预报来实现故障维修方案，从而可以降低设备的寿命周期费用和维修人员的需求。
文献[4]中以Holmes 型Duffing 振子为例进行分析，如公式（1-4）所示，具体形式如下：232(t)(t)cos(t)d x dx k x x dt dtγ+-+= （3-1） 其中系数k 为阻尼比，3(t)(t)x x -+为非线性恢复力，cos(t)γ为周期策动力。
在MATLAB/Simulink 环境下对微弱正弦信号进行混沌检测的系统建模，如图3-1所示。
图3-1频率为1/rad s ω=时的系统仿真模型微弱正弦信号混沌检测原理：首先调节系统策动力幅值γ，取γ =d γ，其中d γ为系统阈值[5]。
使系统处于从混沌状态向大尺度周期状态过渡的临界状态。
当用小幅值的、与周期策动力频率相近的正弦信号以及白噪声对Duffing 混沌振子进行摄动时，系统将从混沌运动状态进入大尺度周期运动状态，通过在计算机上观测混沌系统相轨迹变化，可知待检信号中是否含有所要检测的正弦信号。
此时，我们只要继续调节策动力幅值γ，使得系统再一次处于混沌到大尺度周期的临界状态，得到此时的策动力幅值'd γ，则可求得待测信号的幅值为d 'd a γγ=-。
通过对 Duffing 振子的研究表明，如果待检信号与策动力频率之间存在一个极微小的频率差，系统将会出现混沌状态和周期状态的间歇性混沌现象。
在非线性系统中，无论是时间上还是在空间上，间歇混沌是一种有序和无序交替变化的特殊的动态形式，在一定时间内类似于规律性的周期运动。
从式（3-1）着手进行分析，在方程的右端策动力中加入待测信号，得式（3-2）如下：232(t)(t)(t)d x dx k x x A dt dt+-+= （3-2） 其中：(t)cos cos((1)t )a A t a γωϕ=++∆+ （3-3）a γ为周期策动力的幅值（等于或略小于相轨迹变化临界值d γ），cos((1)t )a ωϕ+∆+表示外界待检测信号，a 为待测信号的幅值，ϕ为其相位。
由式（3-3）可以看出，(t)A 为周期策动力幅值和微弱信号幅值的矢量和，由于频率差ω∆的存在，总的策动力幅值(t)A 将在a γ+a 和a γ-a 之间不断变化。
可以将总策动力表示成矢径合成的形式，如图3-1所示，可以更清楚的看出总策动力的消长规律。
图3-2总策动力的合成矢径图对总策动力(t)A 进行数学变换得：(t)cos cos((1)t )(t)cos(t (t))a A t a γωϕγλ=++∆+=+ （3-4）其中：(t)γ= （3-5）sin()(t)arctg cos()a a wt a wt ϕλγϕ∆+=+∆+ （3-6） 对公式（3-6）进行分析可得：1. 若0w ∆=，它表示此时待测信号的频率与策动力的频率正好相同。
在这种情况下，当外界待测信号与策动力之间的相位差ϕ满足：arccos()arccos()22a aa a πϕπλλ-≤≤+ （3-7） 就有(t)a γγ≤成立，可以推导出：(t)a d γγγ≤≤，则此时系统始终处于混沌状态。
则外界待测信号与策动力之间的相位差ϕ在式（3-7）范围之外，系统才有可能发生从混沌状态到周期状态的跃迁。
2. 若0w ∆≠，在存在微小频率差的情况下，(t)γ将时而大于混沌周期临界值d γ而进入周期状态，时而小于d γ而进入混沌状态，因而呈现出特定的间歇性混沌现象。