北京市西城区2020年高三三模数学试题及参考答案
2020年北京市西城三第二次模拟试题数学试卷(文科)
2020年北京市西城区高三第二次模拟试题数学试卷（文科）学校____________ 班级____________ 姓名____________参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= l c c S )'(21+=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= 其中'c 、c 分别表示上、下底面周长，l)]cos()[cos(21sin cos βαβαβα-++= 表示斜高或母线长)]cos()[cos(21cos sin βαβαβα--+-= h S S S S V )''(31++=台体其中'S 、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。
1．已知集合},03{},0,{2Z x x x x N a M ∈<-==，若M ∩N ≠φ，则a 等于（）。
（A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）82．从4台A 型笔记本电脑和5台B 型笔记本电脑中任意选取3台，其中至少要有A 型和B 型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（ ）。
（A ）140种 （B ）84种 （C ）70种 （D ）35种3．复数z 满足4)2arg(π=+z ，则2-z 的最小值是（ ）。
（A ）1 （B ）2 （C ）32 （D ）224．设O 是矩形ABCD 的边CD 上一点,以直线CD 为轴旋转这个矩形所得的圆柱体的体积为V ,其中以OA 为母线的圆锥的体积为4V，则以OB 为母线的圆锥的体积等于（ ）。
（A ）4V （B ）9V （C ）12V （D ）15V 5．将曲线C 向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线'C ，若曲线'C 的方程为15422=-y x ，则曲线C 的焦点坐标为（ ）。
北京市西城区2020届高三6月模拟测试数学试卷附答案
西城区高三模拟测试数 学2020．6第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．设全集U=R ，集合{|2},{|1}A x x B x x =<=<则集合（ U A ）∪B=(A)．(-∞,2)(B)．[2,+∞] (C)．(1,2)(D)．(-∞,1)∪[2,+∞] 2．设复数z=1+i ，则z 2=（A ）．-2i （B ）．2i （C ）．2-2i（D ）．2+2i 3．焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(A)．x 2=4y (B)．y 2=4x (C)．x 2=8y(D)．y 2=8x 4．在锐角△ABC 中，若a=2，b=3，A=π6，则cos B = (A)34) (B) 34 (C) 74 (D)3345．函数是()1f x x x=- (A)奇函数，且值域为(0，+∞) (B)奇函数，且值域为R(C)偶函数，且值域为(0，+∞) (D)偶函数，且值域为R6．圆224210x y x y ++-+=截x 轴所得弦的长度等于 (A)2 (B)2 3 (C)2 5 (D)47．设a ，b ，c 为非零实数，且a>b>c ，则 111()()A a b b c B a b c->-<< ()2()C a b c D +>以上三个选项都不对8．设向量a ，b 满足|a |=|b |=1，12⋅=a b ，则()R ||x x +∈a b 的最小值为（A ）B C ．1 D 9．设{a n }为等比数列，则“对于任意的*2,m m a m a +∈>N ”是“{a n }为递增数列”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件10．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD X 由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为(A)平行 (B)相交 (C)异面且垂直 (D)异面且不垂直第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在6(15)x +的展开式中，x 的系数为 ▲12.在等差数列{a n }中，若1216a a +=5,1,a =则1a = ▲ ；使得数列{}n a 前n 项的和S n 取到最大值的n= ▲13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ▲14．能说明“若()20,m n +≠则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m ，n 的值是 ▲15．已知函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=,且当(]0,2x ∈时(),23x f x =- 有以下三个结论：② ()112f -=-； ②当1142a ⎛⎤∈⋅ ⎥⎝⎦时，方程()f x α=在区间[]4.4-上有三个不同的实根； ③函数()f x 有无穷多个零点，且存在一个零点Z b ∈.。
北京市西城区2020高三一模数学
西 城 区 高 三 统 一 测 试数 学2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ 卷3至6页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A ={x |x <3},B ={x |x <0,或x >2},则A ∩B = (A )(-¥,0) (B )(2,3) (C )(-¥,0)∪(2,3) (D )(-¥,3) 2.若复数z =(3-i )(1+i ),则|z |=(A )2 2(B )2 5(C ) 10(D )203. 下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是(A ) y =x +2(B )y =s i n x (C )y =x -x 3(D )y =2x4.设等差数列 {a n }的前n 项和为S n ,若a 3=2,a 1+a 4=5,则S 6= (A )10(B )9(C )8(D )75. 设A (2,-1),B (4,1),则以线段A B 为直径的圆的方程是(A )(x -3)2+y 2=2(B )(x -3)2+y 2=8(C )(x +3)2+y 2=2 (D )(x +3)2+y 2=86. 设a ,b ,c 为非零实数,且a >c ,b >c ,则(A )a +b >c (B )a b >c2(C )a +b>c(D )1+1>22a b c1+2s i n xî 7. 某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A )2 2∉S ,且2 3∉S (B )2 2∉S ,且2 3∈S (C )2 2∈S ,且2 3∉S (D )2 2∈S ,且2 3∈S8. 设a ,b 为非零向量,则 “|a +b |=|a |+|b |”是 “a 与b 共线”的 (A ) 充分而不必要条件(B )必要而不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件9. 已知函数f (x )=s i n x的部分图象如图所示, 将此图象分别作以下变换, 那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有① 绕着x 轴上一点旋转180°; ② 沿x 轴正方向平移; ③ 以x 轴为轴作轴对称;④ 以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A )①③(B )③④ (C )②③ (D )②④( ) ìïx 2+10x +1,x ≤0, ( ) ( ) 10. 设函数f x = í 若关于x 的方程f x =a a ∈R 有四个实数 ï|l gx |, x >0. 解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则 (x 1+x 2)(x 3-x 4)的取值范围是 (A )(0,101] (B )(0,99] (C )(0,100] (D )(0,+¥)4第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11. 在 (x +x1)6的展开式中,常数项为 .(用数字作答) 12. 若向量a =(x 2,2),b =(1,x )满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是.13. 设双曲线x2-y 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y = 2x ,则该双曲线的离心率 4 b 22为 .14. 函数f (x )=s i n (2x +π)的最小正周期为 ;若函数f (x )在区间 (0,α)上单调递增,则α 的最大值为 .15. 在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70 ,女生成绩的优秀率为50 ;乙校男生成绩的优秀率为60 ,女生成绩的优秀率为40 .对于此次测试,给出下列三个结论: ① 甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;② 甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率; ③ 甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中,所有正确结论的序号是.34三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱 A B C D -A 1B 1C 1D 1 中,AA 1 ⊥ 平面 A BCD , 底面 A B C D 满足 A D ∥B C ,且A B =A D =A A 1=2,B D =D C =2 2. (Ⅰ)求证:A B ⊥平面A D D 1A 1;(Ⅱ)求直线A B 与平面B 1C D 1 所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知△A B C 满足 ,且b = 6,A =2π,求s i n C 的值及△A B C 的面积.从①B =π,②a = 3,③a =3 2s i n B 这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.42019年底, 北京2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募, 仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试, 所得成绩 (单位: 分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数; (Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X ,求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 (每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m 个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90 .根据图表中数据,以频率作为概率,给出 m 的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f (x )=a l n x +x 2-(a +2)x ,其中a ∈R .(Ⅰ)若曲线y =f (x )在点 (2,f (2))处切线的倾斜角为 π,求a 的值; (Ⅱ)已知导函数f '(x )在区间 (1,e )上存在零点,证明:当x ∈(1,e )时,f (x )>-e 2.2 设椭圆E :x2+y 2 =1, 直线l 1 经过点 M (m ,0), 直线l 2 经过点N (n ,0), 直线l 1∥直线l 2,且直线l 1,l 2 分别与椭圆E 相交于A ,B 两点和C ,D 两点. (Ⅰ)若 M ,N 分别为椭圆E 的左、右焦点,且直线l 1⊥x 轴,求四边形A B C D 的面积; (Ⅱ)若直线l 1 的斜率存在且不为0,四边形A B C D 为平行四边形,求证:m +n =0; (Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下,判断四边形A B C D 能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n ,如果k (k ∈N *)个整数a 1,a 2,…,a k 满足1≤a 1≤a 2≤… ≤a k ≤n ,且a 1+a 2+…+a k =n ,则称数组 (a 1,a 2,…,a k )为n 的一个 “正整数分拆”.记a 1, a 2,…,a k 均为偶数的 “正整数分拆”的个数为f n ,a 1,a 2,…,a k 均为奇数的 “正整数分拆”的个数为g n .(Ⅰ)写出整数4的所有 “正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数n (n ≥4),设 (a 1,a 2,…,a k )是n 的一个 “正整数分拆”,且a 1=2,求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ,证明:f n ≤g n ;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个 “正整数分拆”(a 1,a 2,…,a k )与 (b 1,b 2,…,b m ),当且仅当 k =m 且a 1=b 1,a 2=b 2,…,a k =b m 时,称这两个 “正整数分拆”是相同的.)。
北京市西城区2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析
北京市西城区2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，222AF F B =u u u u v u u u u v ，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34CD 【答案】C【解析】【分析】根据222AF F B =u u u u r u u u r 表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率.【详解】222AF F B =u u u u r u u u u r Q设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=u u u r u u u u r Q ,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x = 2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==故选C 项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.2．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解【详解】 因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题3．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】 {}n a Q 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>Q ，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠Q ，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．4．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（ ）A ．18-B ．18C ．2-D ．2【答案】C【解析】【分析】由题设条件()()4f x f x +=，可得函数的周期是4，再结合函数是奇函数的性质将()3f 转化为()1f 函数值，即可得到结论.【详解】由题意，()()4f x f x +=，则函数()f x 的周期是4，所以，()()()3341f f f =-=-，又函数()f x 为R 上的奇函数，且当()0,2x ∈时，()22f x x =， 所以，()()()3112f f f =-=-=-.故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.5．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】【分析】 根据题意可将1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln x f x x=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值．【详解】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k x x≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥． 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥． 故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．6．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C ． 7．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ）A ．3πB ．3πC ．3πD ．243π 【答案】D 【解析】【分析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =，此外接球的体积为2463，三棱锥O EFG -体积为23，得到答案. 【详解】 如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ，在Rt OHD V 中，OD R =，34333HD BC ==，133R OH OA ==，由勾股定理：2224333R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6R =，此外接球的体积为246π， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O 到平面EFG 的距离为KO ，则126233R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==， 所以三棱锥O EFG -体积为211362434433⨯⨯⨯⨯=， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 8．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32 B ．12 C ．78 D ．98【答案】C【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-，因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 9．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A【解析】【分析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =，方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ，所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S x x dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.10．已知()3,0A -，()3,0B ，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r ，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥【答案】A【解析】【分析】 由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图，连接OP ，AM ，由题意得22MB MA BQ OP -===， ∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，∴1x ≥.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.11．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =u u u v u u u v ，则该双曲线的离心率为（ ） A 32 B ．23 C 30 D 5【答案】B【解析】【分析】先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±b a x 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =u u u r u u u r ，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，∴k l 222ab a b =-， ∴直线l 的方程为y 222ab a b=-（x ﹣c ）， 与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abc a b=+， ∵2AF FB =u u u r u u u r ， ∴222abc a b =+2•2223abc a b -， ∴a 3=b ，∴c ＝2b ，∴e 23c a ==． 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．12．函数()()23ln 1x f x x +=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项；当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项；当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市西城区2020届高三诊断性考试(5月)数学试题--带答案
西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试数 学 2020.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2（B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限03．下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =-（B ）y x x =（C ）1y x -=（D ）y x =04．抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x = （B ）1x =-（C ）1y = （D ）1y =- 05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310（D ）3506．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）6（B ）4（C ）3（D ）208．若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞ （D ）[5,)+∞09．若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2->+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量(1,2)=-a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．12．若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，15．在四棱锥P ABCD -ABCD ABCD 4=，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD -四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE BF ∥，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面BCF ∥平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F --的余弦值．17．（本小题满分14分）从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答． 在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分14分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．20．（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈；②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．西城区高三诊断性测试数学参考答案2020.5一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．C 2．A 3．B 4．D 5. A6. B7. D8. A9. A 10. D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11． 12．2y x =± 13．π1 14．乙，丁15．② ③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE . ……………… 3分 同理，得//BC 平面ADE . 又因为BCBF B =，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE . ……………… 6分 （Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分 则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ， 所以(2,0,2)AE =-，(0,2,1)AF =. ……… 8分 设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ， 由0AE ⋅=n ，0AF ⋅=n ，得220,20,x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1y =，得(2,1,2)=--n .平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F --的平面角为θ，则 1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=-，即钝二面角D AE F --的余弦值为13-. ……………… 14分17．（本小题满分14分）解：选择 ①：(Ⅰ) 当1n =时，由111S a ==，得0p =. ……………… 2分 当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n -=-， ……………… 3分 所以121n n n a S S n -=-=-（2n ≥）. ……………… 5分 经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =-∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =， ……………… 8分即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． ……………… 14分选择 ②:(Ⅰ)因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=． ……………… 2分 所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列． ……………… 4分 所以1(1)32()n a a n d n n =+-=-∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =， ……………… 8分 即2(32)1(32)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22223423()33m n n n =-+=-+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 取到最小值6．……………… 14分选择 ③： (Ⅰ) 由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-.所以数列{}n a 是等差数列． ……………… 2分又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =． ……………… 4分 所以1(1)21()n a a n d n n =+-=-∈N *.……………… 6分(Ⅱ) 因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =， ……………… 8分 即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． ……………… 14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， ……………… 1分 由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =. ……………… 2分 由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=， ………… 3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2. 因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=. ……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X ==⨯=， (25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=，(40)0.30.30.09P X ==⨯=. ……………… 9分所以X 的分布列为：……………… 10分 故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =， ……………从而b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． … 5 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-，(3,3)FQ =，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠=． ………… 6分当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠． ……………… 7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(43)84120k x k x k +-+-=． ……………… 8分 由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+． ………… 9分直线MA 的方程为11(2)2yy x x =--． ……………… 10分令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -． ……………… 11分 同理可得222(4,)2y Q x -． ……………… 12分 所以112(3,)2y FP x =-，222(3,)2y FQ x =-．因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k k k k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=．综上，90PFQ ∠=. ……………… 14分20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-， ……………… 2分 解得0a =.验证知0a =符合题意. ……………… 4分 （Ⅱ）()e sin x f x x '=-.……………… 6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-， ……………… 7分 则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >. ………………9 分（Ⅲ）由()e cos 0xf x a x =+=，得cos ex xa =-. 设函数cos ()e x xh x =-，[0,π]x ∈， ……………… 10分 则sin cos ()e xx xh x +'=. ……………… 11分令()0h x '=，得3π4x =.随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在3π(0,)4上单调递增，在3π(,π)4上单调递减. ……………… 13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()42h -=，所以当3ππ4[e ,)2a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2--. ……………… 15分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-. ……………… 3分 (Ⅱ) 记b a -为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥. ……………… 6分 又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =，，100[99,100]I =显然满足条件①，②.所以N 的最小值为100. ……………… 8分 (Ⅲ) N 的最大值存在，且为200. ……………… 9分解答如下：（1）首先，证明200N ≤. 由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]kI ≠∅.不妨设12n a a a <<<<.如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N =.这与题意不符，故20a >. ……………… 10分 如果111k k a a +-+≤，那么11k k k I I I -+⊆，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+”矛盾，故111k k a a +->+.所以4211a a >+>，6412a a >+>，，200198199a a >+>， 则2001100a +>. 故12200[0,100]I I I ⊇.若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i =”矛盾，所以200N ≤. ……………… 12分 （2）给出200N =存在的例子 .令1100(1)2199k a k =-+-，其中1,2,,200k =，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =.由1d <，知1kk I I +≠∅，则易得122001201[,]22I I I =-，所以12200,,,I I I 满足条件①.又公差10011992d =>， 所以100(1)199k k I -∈，100(1)199i k I -∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+.（注：100(1)199k - 为区间k I 的中点对应的数） 所以12200,,,I I I 满足条件②.综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. ……………… 14分。
2020届北京市西城区高三上学期期末考试数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形内角和求出角 ,再根据正弦定理即可求出边 ．
【详解】因为 ,所以根据正弦定理知, ,即 ,解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边,利用正弦定理解三角形,属于基础题．
4.设 ,且 则下列不等式中一定成立的是（）
10.已知向量 满足 ,其中 ,那么 _____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示求出 ,再根据向量模的坐标计算公式即可求出．
【详解】因为 ,所以 ,解得 ．
因此 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用,属于基础题．
11.在公差为 的等差数列 中, ,且 成等比数列,则 ______________
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的单调性可知, ,即得 ,故可知 是方程 的两个不同非负实根,由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知, ,即可得到 ,即可知 是方程 的两个不同非负实根,所以 ,解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用,意在考查学生的转化能力,属于中档题．
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在 的展开式中, 的系数为___________.
【答案】10
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项,赋值即可求出．
【详解】 展开式通项为 ,令 ,所以 的系数为 ．
2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学模拟试题(三模)含解析
2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学模拟试题（三模）一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ={}2xx <,B ={−2,0,1,2},则A B = ()A.{0,1} B.{−1,0,1}C.{−2,0,1,2} D.{−1,0,1,2}【正确答案】A【详解】分析：先解含绝对值不等式得集合A ，再根据数轴求集合交集.详解：222,x x ，<∴-<<因此A B ={}{}2,0,1,2(2,2)0,1-⋂-=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2.复数12i 2i+=-．A.iB.1i+ C.i- D.1i-【正确答案】A【详解】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.3.下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是A.11y x=- B.cos y x= C.ln(1)y x =+ D.2xy -=【正确答案】D【详解】试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2xy -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性4.直线20x +-=被圆()2211x y -+=所截得的线段的长为A.1B.C.D.2【正确答案】C【详解】试题分析：求圆的弦长常在以圆心、弦的中点及弦的一个端点所构成的三角形内先计算弦长的一半，然后再求解．圆心（1，0）到直线20x +-=的距离为，由圆的半径1及勾股定理得弦长的一半为．故选C ．考点：求圆的弦长方法．5.在52)-的展开式中，2x 的系数为（）．A.5-B.5C.10- D.10【正确答案】C【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可.【详解】)52-展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为.()()11522510C -=-⨯=-故选：C.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．6.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b的夹角为A.30︒ B.60︒C.120︒D.150︒【正确答案】C【详解】试题分析：根据题意，由于||1,||2a b →→==，且2·0()·0·0a b c c a c a a b a a b a +=⊥⇔=⇔+=⇔+=，结合向量的数量积公式可知··cos b a b a θ= ，解得其向量,b a →→的夹角为1200，故选C.考点：向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的垂直的充要条件的运用，属于基础题．7.设{}n a 是公比为的等比数列，则“”是“{}n a 为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】D【详解】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列8.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A.6升 B.8升C.10升D.12升【正确答案】B【详解】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升.而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B.考点：平均变化率.9.在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：/mol L ，记作[]H +）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：/mol L ，记作[]OH -）的乘积等于常数1410-.已知pH 值的定义为lg[]pH H +=-，健康人体血液pH 值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的[][]OH H -+可以为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）A.5B.7C.9D.10【正确答案】B【分析】首先根据题意，求出所求式子的常用对数，结合题中所给的条件，将其转化为与[]H +相关的量，借助于题中所给的范围以及两个对数值，求得结果.【详解】由题意可知，lg[](7.35,7.45)pH H +=-∈，且14[][]10H OH +--⋅=，所以1410[][]lg lg 142lg[][][]OH H H H H --++++==--，因为7.35lg[]7.45H +<-<，所以[]lg(0.7,0.9)[]OH H -+∈，lg 6lg 2lg30.778,lg92lg30.954,lg83lg 20.903=+=====，分析比较可知lg 7(0.7,0.9)∈，所以[][]OH H -+可以为7，故选B.该题考查的是有关健康人体血液中的OH H -+⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦的求值问题，该题属于现学现用型，在解题的过程中，需要认真审题，明确题意，借助于题中所给的两个对数值，寻求解题思路，属于较难题目.10.设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则A.对任意实数a ，(2,1)A ∈B.对任意实数a ，（2,1）A ∉C.当且仅当a <0时,（2,1）A ∉D.当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉【正确答案】D【详解】分析：求出(2,1)A ∈及(2,1)A ∉所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若(2,1)A ∈，则32a >且0a ≥，即若(2,1)A ∈，则32a >，此命题的逆否命题为：若32a ≤，则有(2,1)A ∉，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据,p q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设{|()},{|()}A x p x B x q x ==，若A B ⊆，则p q ⇒；若A B =，则p q =，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.11.函数()12f x x=-的定义域为______.【正确答案】[)()1,22,-⋃+∞【分析】利用二次根式被开方数非负和分式分母不为零，列不等式组可求得答案【详解】由题意得1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠，所以函数的定义域为[)()1,22,-⋃+∞，故[)()1,22,-⋃+∞12.若双曲线221y xm-=m =__________．【正确答案】2【详解】222222221,,13c a b a b m e m a a+=====+=，2m =.渐近线方程是y ==.13.在C ∆AB 中，3a =，b ，23π∠A =，则∠B =_________．【正确答案】4π【详解】由正弦定理，得sin sin a b A B =32=，所以sin 2B =，所以4B π∠=.考点：正弦定理.14.设函数()33,2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若()f x 存在最大值，则实数a 的一个取值为___________.②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是___________.【正确答案】①.0（答案不唯一，满足[)1,a ∈-+∞即可）②.(),1-∞-【分析】利用导数可求得()33g x x x =-的单调性和极值，由此可得()g x 与2y x =-的图象，结合图象分析即可得到结果.【详解】令()33g x x x =-，则()()()233311g x x x x '=-=+-，∴当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()0g x '>；当()1,1x ∈-时，()0g x '<；()g x ∴在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，()g x ∴极大值为()1132g -=-+=，极小值为()1132g =-=-；令()2g x x =-，即332x x x -=-，解得：1x =±或0x =；由此可作出()g x 与2y x =-图象如下图所示，对于①，结合图象可知：若()f x 存在最大值，则[)1,a ∈-+∞，a ∴的一个取值为0；对于②，若()f x 无最大值，只需22a ->，解得：1a <-，即(),1a ∞∈--；故0（答案不唯一，满足[)1,a ∈-+∞即可）；(),1-∞-.15.已知在数列{}n a 中，11a =，()10nn n a a b b ++=>，其前n 项和为n S ．给出下列四个结论：①1b =时，53S =；②30a >；③当1b >时，数列{}n a 是递增数列；④对任意0b >，存在R λ∈，使得数列{}nn a b λ-成等比数列．其中所有正确结论的序号是___________．【正确答案】①②④【分析】①依题意可得2n n a a +=，即可求出5S ，②表示出3a ，根据二次函数的性质即可判断；利用特殊值判断③，④利用构造法构造数列{}nn a b λ-成等比数列，即可得到结论；【详解】解：①当1b =时，11n n a a ++=，则211n n a a +++=，即121n n n n a a a a ++++=+，则2n n a a +=，则1351a a a ===，240a a ==，则53S =；故①正确．②因为()10nn n a a bb ++=>，11a =，所以12a a b +=，232a a b +=，即223131024a b b b ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，故②正确；③当1b >时，不妨设32b =，则由1(0)n n n a a b b ++=>，11a =，得2132a a +=，则211223a a =-+=，则21a a <，故数列{}n a 是递增数列错误；故③错误．④设11()0n n n n a b a b λλ++-+-=，则11()n n n n n a a b b b b λλλλ+++=+=+，1(0)n n n a a b b ++=> ，1b λλ∴+=，即11b λ=+存在11b λ=+，数列{}nn a b λ-成等比数列，此时公比1q =-；故④正确；故①②④三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.16.如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AB BC =，D 、O 分别为PA 、AC 的中点，8AC =，5PA PC ==．（1）设平面PBC ⋂平面BOD l =，判断直线l 与PC 的位置关系，并证明；（2）求直线PB 与平面BOD 所成角的正弦值．【正确答案】（1）l ∥PC ，证明见解析；（2）1225．【分析】(1)根据线面平行的判断定理和性质定理即可判断；(2)以O 为原点，OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量法即可求出直线PB 与平面BOD 所成角的余弦值和正弦值．【小问1详解】∵D 、O 分别为PA 、AC 的中点，∴在△APC 中，DO ∥PC ，∵DO ⊂平面BOD ，PC ⊄平面BOD ，∴PC ∥平面BOD ，∵PC ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面BOD =l ，∴根据线面平行的性质定理可知PC ∥l ；【小问2详解】∵AB =BC ，O 是AC 中点，∴BO ⊥AC ，∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC =AC ，BO ⊂平面ABC ，∴BO ⊥平面APC ，同理∵AP =PC ，∴PO ⊥AC ，PO 垂直平面ABC ，故OB 、OC 、OP 三线两两垂直，故可以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．由题可知AC =8，AB =BC =42，OA =OC =OB =4，OP =3，则()0,4,0A -，()4,0,0B ，()0,0,3P ，30,2,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()4,0,3BP =- ，OB = ()4,0,0，OD = 30,2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面BOD 的法向量为(),,m x y z =，则403202m OB x m OD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取4z =，则3y =，则()0,3,4m = ，1212cos ,5525m BP m BP m BP ⋅===⨯，∴直线PB 与平面BOD 所成角的正弦值1225．17.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><，且()f x 的最小正周期为π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）求()f x 的解析式；（2）设()()222g x f x x =+，若()g x 在区间[0,]m 上的最大值为2，求m 的最小值．条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 的图象经过点(2)2π；条件③；直线38x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴.注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】（1）()2sin(2)4f x x π=-；（2）8π.【分析】（1）由最小正周期可得2ω=，再根据所选条件，结合正弦函数的性质求,A φ，即可得解析式；（2）由（1）及和差角正弦公式可得()2sin(2)4g x x π=+，根据区间最值及正弦函数性质求参数m 的范围，即可得结果.【小问1详解】由题意2T ππω==，可得2ω=，选①②：由()f x 的最小值为2-，则2A =，故()2sin(2)f x x φ=+.又(2sin(2)22f ππφ=⨯+=，即sin 2φ=-且||2πφ<，所以4πφ=-.所以()2sin(2)4f x x π=-.选①③：由()f x 的最小值为2-，则2A =，故()2sin(2)f x x φ=+.因为38x π=是()f x 的一条对称轴，则3282k ππφπ⨯+=+，Z k ∈，所以4k πφπ=-+，Z k ∈且||2πφ<，则4πφ=-.所以()2sin(2)4f x x π=-.选②③：因为38x π=是()f x 的一条对称轴，则3282k ππφπ⨯+=+，Z k ∈，所以4k πφπ=-+，Z k ∈且||2πφ<，则4πφ=-.所以()sin(2)4f x A x π=-.又(sin(2)224f A πππ=⨯-=，则2A =.所以()2sin(2)4f x x π=-.【小问2详解】()()22sin(2)2224g x f x x x x x xπ=+=-+=2sin(2)4x π=+，[0,]m 上2[,2]444x m πππ+∈+，()g x 的最大值为2，则242m ππ+≥，可得8m π≥，所以m 的最小值为8π.18.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．【正确答案】(1)概率为0.025(2)概率估计为0.35(3)1D ξ>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ【详解】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2)恰有1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3)k ξ服从0-1分布，因此()=1k D p p ξ-，即得1D ξ>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ．详解：解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．故所求概率为500.0252000=．（Ⅱ）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P （AB AB +）=P （AB ）+P （AB ）=P （A ）（1–P （B ））+（1–P （A ））P （B ）．由题意知：P （A ）估计为0.25，P （B ）估计为0.2．故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．（Ⅲ）1D ξ>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ．点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B 互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B 相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).19.已知椭圆:C 2231mx my +=(0)m >的长轴长为O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程和离心率.（2）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且点P 在y 轴的右侧.若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.【正确答案】（1）22162x y +=,63c e a ==；（2）【分析】（1）由已知，将椭圆方程转化为标准形式，确定其长轴、短轴，并求出参数m 的值，从而求出椭圆方程及其离心率；（2）根据题意，易知BD AP ⊥，通过动点P 的坐标求出点B 的坐标，将四边形OPAB 分割成三角形OPA 和三角形OAB 进行运算即可.【小问1详解】由题意知椭圆:C 221113x y m m+=，所以21a m =，213b m=，故2a ==，解得16m =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=.因为2c ==，所以离心率3c e a ==.【小问2详解】设线段AP 的中点为D .因为BA BP =，所以BD AP ⊥.由题意知直线BD 的斜率存在，设点P 的坐标为()()000,0x y y ≠，则点D 的坐标为003,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AP 的斜率003AP y k x =-，所以直线BD 的斜率0031BD AP x k k y -=-=，故直线BD 的方程为00003322y x x y x y -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.令0x =，得2200092x y y y +-=，故2200090,2x y B y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.由2200162x y +=，得220063x y =-，化简得200230,2y B y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因此，OAPOABOPAB S SS=+四边形2000231133222y y y --=⨯⨯+⨯⨯200023322y y y ⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭0033222y y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭32≥⨯=．当且仅当00322y y =时，即032y ⎡=±∈⎣时等号成立．故四边形OPAB 面积的最小值为20.已知函数()()ln f x x ax a =-∈R ．（1）1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）证明不等式()2ex ax f x -->恒成立．【正确答案】（1）1y =-（2）当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在1(0,a上单调递增，在1(,)a +∞上单调递减.（3）证明见解析.【分析】（1）求出切点坐标，用导数的几何意义求出切线斜率即可求解；（2）求出导函数后对a 的值进行分情况讨论即可求；（3）用切线不等式可证得结果.【小问1详解】1a =时，()ln f x x x =-，依题意切点坐标为(1,1)-，()11f x x'=-，所以函数()f x 在1x =处的切线的斜率为()10f '=，故函数()f x 在1x =处的切线方程为10y +=，即1y =-.【小问2详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，()1f x a x'=-，当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得1x a=，1(0,)x a∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，1(,)x a∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在1(0,a上单调递增，在1(,)a +∞上单调递减.要证()2ex ax f x -->恒成立，即证2e ln x x ->恒成立，令1a =，()ln f x x x =-，由（2）可知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)1f x f ≤=-恒成立，即有0x >时1ln x x -≥恒成立，当且仅当1x =时取“=”号，亦有e 1x x lne -≥即e 1x x ≥+恒成立，当且仅当e 0x =，即1x =时取“=”号.所以一方面2e 211x x x -≥-+=-，当且仅当20x -=，即2x =时取“=”号，另一方面1ln x x -≥恒成立，当且仅当1x =时取“=”号，所以2e ln x x ->恒成立，原不等式得证.21.若数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为1miii a b=-∑.（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.（2）记A 为满足递推关系111nn na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，数列{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m .若12b =，13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 的最大值.（3）记S 是所有7项数列{}n a （其中17n ≤≤，0n a =或1）的集合，T S ⊆，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T 中的元素个数小于或等于16.【正确答案】（1）7（2）3455（3）证明见解析【分析】（1）根据题意，将两数列对应代入计算，问题即可得解；（2）由题意，根据递推关系，不难发现数列{}n a 是以4为周期的数列，由此可确定数列{}{},n n b c 亦为周期数列，由其首项即可知对应数列各项，依据定义当项数m 越大时，其距离也呈周期性且越大，从而问题可得解；（3）根据题意，这里可以考虑采用反证法来证明，首先假设问题不成立，再通过特殊赋值法，依据定义进行运算，发现与条件相矛盾，从而问题可得证.【小问1详解】解：由题意可知，数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为12335106710517-+-+-+-=+++=；解：设1a p =，其中0p ≠且1p ≠±.由111nn na a a ++=-，得211p a p +=-，31a p =-，411p a p -=+，5a p =，….所以15a a =，26a a =，….因此集合A 中的所有数列都具有周期性，且周期为4.所以数列{}n b 中，32a b -=，23a b -=-，112a b -=-，13a b =()*N a ∈，数列{}n c 中，33a c -=，22a c -=-，113a c -=-，12a c =()*N a ∈.因为111k kiiiii i b c b c+==-≥-∑∑，所以项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大.因为4173i i i b c =-=∑，而1486411786420163k i i i i i i b c b c +⨯==-=-=⨯=∑∑，因此，当3456m <时，12016miii b c=-<∑.故m 的最大值为3455.【小问3详解】假设T 中的元素个数大于或等于17.因为数列{}n a 中，0n a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组（1a ，2a ，3a ）有且只有8个：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）.那么这17个元素之中必有3个具有相同的1a ，2a ，3a .设这3个元素分别为{}n c ：1c ，2c ，3c ，4c ，5c ，6c ，7c ；{}n d ：1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，6d ，7d ；{}n f ：1f ，2f ，3f ，4f ，5f ，6f ，7f ，其中111c d f ==，222c d f ==，333c d f ==.因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，所以在{}n c 与{}n d 中，i ic d ≠()4,5,6,7i =至少有3个成立.不妨设44c d ≠，55c d ≠，66c d ≠.由题意得4c ，4d 中一个等于0，另一个等于1.又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立.同理得：55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“i if c =()4,5,6i =中至少有两个成立”和“i i f d =()4,5,6i =中至少有两个成立”中必有一个成立.故712ii i fc =-≤∑和712i i i f d =-≤∑中必有一个成立，这与题意矛盾.所以T 中的元素个数小于或等于16.。
2020年北京西城区高三一模数学试卷
2020年北京西城区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设集合，，或，则（ ）．A. B. C. D.2.若复数，则（ ）．A. B. C. D.3.下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ）．A. B. C. D.4.设等差数列的前项和为，若，，则（ ）．A.B.C.D.5.设，，则以线段为直径的圆的方程是（ ）．A.B.C.D.6.设，，为非零实数，且，，则（ ）．A.B.C.D.7.某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）．正（主）视图侧（左）视图俯视图A.， 且B.，且C.，且D. ，且8.设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）．①绕着轴上一点旋转；②沿轴正方向平移；③以轴为轴作轴对称；④以轴的某一条垂线为轴作轴对称．A.①③B.③④C.②③D.②④10.设函数，若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）12.若向量，满足，则实数的取值范围是 ．13.设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．14.函数 的最小正周期为 ；若函数在区间上单调递增，则的最大值为 ．15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为；乙校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为．对于此次测试，给出下列三个结论：①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定．其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且，．（1）（2）求证：平面．求直线与平面所成角的正弦值．17.已知满足 ，且，，求的值及的面积．从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．（1）（2）（3）18.2019年底，北京年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破万，其中青年学生约有万人．现从这万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如下：男女试估计在这万青年学生志愿者中，英语测试成绩在分以上的女生人数．从选出的名男生中随机抽取人，记其中测试成绩在分以上的人数，求的分布列和数学期望．为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于），并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有人的英语测试成绩在分以上的概率大于．根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值．（结论不要求证明）（1）（2）19.设函数，其中．若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值．已知导函数在区间上存在零点，证明：当时，．（1）20.设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线，分别与椭圆相交于，两点和，两点．若，分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积．【答案】解析:由题意知，，或，∴或．故选．解析:复数，则．故选．解析:由等差数列性质知，，而，则，（2）（3）若直线的斜率存在且不为，四边形为平行四边形，求证：．在（）的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由．（1）（2）（3）21.对于正整数，如果个整数，，，满足，且，则称数组为的一个”正整数分拆”．记，，，均为偶数的”正整数分拆”的个数为，，，，均为奇数的”正整数分拆”的个数为．写出整数的所有”正整数分拆”．对于给定的整数，设是的一个”正整数分拆”，且，求的最大值．对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值．(注：对于的两个”正整数分拆”与，当且仅当且，，，时，称这两个”正整数分拆”是相同的．)C1.B2.C3.B4.∴公差，首项，∴．故选．解析:由题意知，圆心为中点，而，，∴，半径，∴圆心的方程为．故选．解析:由，，取，，则，，，排除、、选项．由同向不等式性质，，即．故选．解析:将四棱锥的三视图转化为直观图如下：其中，，A 5.C 6.D 7.，，即 ，且．故选．解析:由知，，∴，则，，即，同向，故“”是“，共线”的充分不必要条件．故选．解析:正弦函数的最小正周期为，则，即为的周期，可向右平移单位与原图重合，②对．正弦函数关于对称，即，所以，故关于对称，④对．综上所述，选．解析:作出函数的图象，如图所示：A 8.D 9.B 10.x–1010y–20–10O因为方程有四个实数解，则函数的图象与的图象有个交点，所以可知，当时，，其对称轴为，由二次函数的对称性可知：．当时，则，即，则，当时，，即，所以，所以，则，由可知，，则，又，，令，，则可知在上单调递减，又，，所以，所以的取值范围为．故选．解析:11.的二项展开式的通项公式为，令，得，故的二项展开式中常数项为．解析:，，则，即，解得：．故答案为：．解析:由题意知，，则双曲线的一条渐近线方程为，则，，所以离心率．解析:由题意知，，周期．令得，，．令得，在上单调增，故的最大取值为．答案为，．解析:设甲校有男生人，则有女生人，设乙校有男生人，则有女生人，其中、，且、，则甲校有优秀学生人，乙校有优秀学生人，12.13. ;14.②③15.（1）（2）令，得：，所以当乙校男生比甲校男生超过人以上时，乙校学生优秀学生更多，即乙校学生优秀率更高，故①错，由题意知，甲、乙两校男生成绩优秀率各自都比女生高，故甲乙两校所有男生优秀率大于甲乙两校所有女生优秀率，故②对，由①知，当时，乙校学生优秀率更高，此时，甲校学生成绩优秀率小于两校所有学生成绩优秀率，当时，甲校学生优秀率更高，此时，甲校学生成绩优秀率大于两校所有学生成绩优秀率，即甲校学生与两校所有学生优秀率的大小关系不确定，故③对，综上所述，正确的结论有②③．解析:∵平面，∴，又∵在中，，∴，又∵，∴平面．由（）问可知，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，∵在四棱柱中，平面，∴，且和都垂直于平面，∵在中，，∴，又∵，（1）证明见解析．（2）．16.∴，又∵在中，，∴，且，∴，，，，，∴，，，∴平面的法向量，∴直线和平面所成角的正弦值．解析:当选择条件①时：∵，，，由正弦定理得：，即得，，∴．当选择条件②时：已知，，，∵，，且为钝角，所以无解．当选择条件③时：∵，，，∴为锐角，由正弦定理得：，即得，当选择条件①时：，．当选择条件②时：无解．当选择条件③时：，．17.（1）（2），，由正弦定理得，，即得，，∴．解析:在茎叶图中，女生一共有人，其中英语成绩在分以上者共有人，所以在这个抽样的人中，英语成绩在分以上者比例为，因为人中女生的占比为，由此得到万青年点燃者中女生的人数为，如果以抽取的人中的女生中成绩在分以上的比例作为万女青年志愿者的英语成绩在分以上的比例估计，则有万女青年志愿者中英语成绩在分以上的人数为万人．因为从名男生中抽取人，其中英语成绩在分以上者共有人，所以的取值为，，，，，，则随机变量的分布列为：（1）万人．（2）的分布列为：数学期望为．（3）．18.（3）（1）（2）数学期望．在抽取的人中，英语成绩在分以上者共计人，所以在这人中随机抽取一人，其英语成绩在分以上的概率为，在超过人的青年志愿者中抽取人，其英语成绩在分以上至少一人为事件，则，由此得到，所以的最小值为．解析:∵，由题可知，即，得．∵，∵，可设，令得或，∵在上存在零点，∴，即，由此可知：减极小增∴在单调递减，单调递增，∴，设，，（1）．（2）证明见解析．19.（1）（2）（3）∵，∴，∴，∴在单调递减，∴，∴当时，．解析:由题意可得：，，所以．由题意可得，，，由得，所以，，且，即，，同理可得，因为四边形为平行四边形，所以，即，因为，所以，即．点到直线，直线的距离分别为，由（）知，所以点到直线，直线的距离相等，根据椭圆的对称性，故而原点是平行四边形的对称中心，假设平行四边形是矩形，则，那么，则，所以，这时直线轴，（1）．（2）证明见解析．（3）不能为矩形，证明见解析．20.四边形（1）（2）（3）这与直线的斜率存在相矛盾，所以假设不成立，即平行四边形不能为矩形．解析:，，，，．欲使最大，只须最小，当为偶数时，，当为奇数时，，．当为奇数时，由题意，得，且是的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”，所以，故．当为偶数时，由是各位数字均为偶数的“正整数分拆”，是各位数字均为奇数的“正整数分拆”，得，．①当时，的“正整数分拆”只有和，所以；②当时，由知，；③当为大于的偶数时，因为对于的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆”，都存在一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆”．且当不同时，其对应的也不相同，所以．又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”不存在与之对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆”，（注：因为，所以有意义），所以．（1），，，，．（2）当为偶数时，，当为奇数时，．（3）证明见解析；为，．21.共有个共有个共有个共有个综上，对所有的正整数，；当且仅当或时等号成立．。
北京市西城区2020届高三数学第一次模拟考试试题(含解析)
当 a 与 b 共线，方向相反时，
ab
a
b
，故不必要.
故选： A .
【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
f x sinx
9.已知函数
1 2sinx 的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后
的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着 x 轴上一点旋转180 ; ②沿 x 轴正方向平移; ③以 x 轴为轴作轴对称; ④以 x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.
【详解】(Ⅰ) AA1 平面 ABCD ， AB Ì 平面 ABCD ，故 AA1 AB .
AB AD 2 ， BD 2 2 ，故 AB2 AD2 BD2 ，故 AB AD . AD AA1 A ，故 AB 平面 ADD1A1 .
(Ⅱ)如图所示：分别以 AB, AD, AA1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，
13.设双曲线
x2 4
y2 b2
1(b 0)
y
的一条渐近线方程为
2 x
2 ，则该双曲线的离心率为
____________.
6 【答案】 2
【解析】
【分析】
根据渐近线得到 b 2 ， c 6 ，计算得到离心率.
【详解】
x2 4
y2 b2
1(b 0)
，一条渐近线方程为：
y
2x 2 ，故 b
A. y x 2
B. y sinx
C. y x x3
【答案】C
【解析】
D. 20
D. y 2x
【分析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. y x 2 ，值域为 R ，非奇非偶函数，排除；
北京市西城区2020届高三数学第二次模拟考试理科试题
北京市西城区 2020年抽样测试高三数学试卷（理科） 2020.5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A 、B 满足A B A =I ，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. AB B. B AC. A B B=U D. A B A =U2. 在复平面内，满足条件(1+z ⋅i)=2的复数z 对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设向量a =(1, x -1)，b =(x +1,3)，则“x =2”是“a //b ”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知一个平面a ，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面a 内一定存在一条直线b ，使得a 与b （ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直题号分数一 二三总分1516171819205. 已知函数()sin f x x =，()f x ¢为()f x 的导函数，那么（ ） A. 将()f x 的图象向左平移2p个单位可以得到()f x '的图象 B. 将()f x 的图象向右平移2p个单位可以得到()f x '的图象C. 将()f x 的图象向左平移p 个单位可以得到()f x '的图象D. 将()f x 的图象向右平移p 个单位可以得到()f x '的图象6. 如果数列{}(R)n n a a Î对任意*,N m n Î满足m n m n a a a +=?，且38a =，那么10a 等于( ) A.1024 B. 512 C. 510 D. 2567. 设斜率为1的直线l 与椭圆22:142x y C +=相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（ ）A.4条B. 5条C. 6条D. 7条8. 根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（20πα≤≤）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 的面积（单位：平方米）等于（ ） A. 100p B. 100200p - C. 400100p - D. 200北京市西城区 2020年抽样测试高三数学试卷（理科） 2020.5第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 9. 函数ln(1)y x =-的反函数是___________.10. 设(2,2),(0,4)AB AC ==uu u r uu u r，则ABC V 的内角A =___________.11. 若291()ax x-的展开式中常数项为84，则a =___________，其展开式中二项式系数之和为_________. (用数字作答)12 设P 为曲线1cos (2sin x y q q q ì=-+ïïíï=+ïî为参数)上任意一点，(3,5)A ，则||PA 的最小值为______________. 13. 已知一个球的表面积为144p ，球面上有P 、Q 、R 三点，且每两点间的球面距离均为3p ，那么此球的半径r =___________，球心到平面PQR 的距离为__________.14. 已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(. 设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排列，定义数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为_________.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的值域和最小正周期； （Ⅱ）设(0,)a p Î，且()1f α=，求α的值.16.（本小题满分12分）甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是11,34. 现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击. 甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击. 假设每人每次射击击中目标与否均互不影响. (Ⅰ) 求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率；(Ⅱ) 若射击击中目标一次得1分，否则得0分(含未射击). 用ξ表示乙的总得分，求ξ的分布列和数学期望.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,2AB BC AB BC AA ^===，D 是AA 1的中点. (Ⅰ) 求异面直线11AC 与1B D 所成角的大小； (Ⅱ) 求二面角C-B 1D-B 的大小；(Ⅲ) 在B 1C 上是否存在一点E ，使得//DE 平面ABC ? 若存在，求出1B EEC的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分14分）设a ∈R，函数1,0,())1,0.a x x f x x a x ⎧-+<⎪=--> (Ⅰ) 当a =2时，试确定函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 若对任何x ∈R ，且0x ≠，都有()1f x x >-，求a 的取值范围.C BC 1 B 1A A 1D已知AOB V 的顶点A 在射线:(0)l y x =>上， A , B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足||||3AM MB ?. 当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . (Ⅰ) 求轨迹W 的方程；(Ⅱ)设P (-1,0)，Q (2,0)，求证：2MQP MPQ ??.20.（本小题满分14分）已知f 是直角坐标平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作()Q f P =. 设1P 11(,)x y ，2132(),()P f P P f P ==,1,(),n n P f P -=L L . 如果存在一个圆，使所有的点*(,)(N )n n n P x y n Î都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点(,)n n n P x y 的一个收敛圆. 特别地，当11()P f P =时，则称点1P 为映射f 下的不动点. (Ⅰ) 若点(,)P x y 在映射f 下的象为点(2,1)Q x y -.○1 求映射f 下不动点的坐标；○2 若1P 的坐标为(1,2)，判断点*(,)(N )n n n P x y n Î是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由. (Ⅱ) 若点(,)P x y 在映射f 下的象为点(1,)22x y x yQ +-+,1P (2,3). 求证：点*(,)(N )n n n P x y n Î存在一.北京市西城区 2020年抽样测试参考答案高三数学试卷（理科） 2020.5一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. e 1(R)x y x =+? 10. 45o 11. 1，512 12. 4 13. 6， 14. 216 注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()cos (sin cos )1f x x x x =-+2sin cos cos 1x x x =?+11cos2sin 2122x x +=-+ ---------------------------2分11(sin 2cos2)22x x =-+1)42x p =-+， ---------------------------4分 因为1sin(2)14xp-??(其中x ÎR )，1)42x p ?+?， 即函数()f x的值域为11[]22-+. ---------------------------6分函数()f x 的最小正周期为22T pp ==. ---------------------------8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得1())1242f p a a =-+=，所以sin(2)42p a -=----------------------------9分因为0<<a p ，所以72444p p pa -<-<， ----------------------------10分 所以32,24444p p p pa a -=-=或， 所以 ,42p pa a ==或. ---------------------------12分16.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：记 “3次射击的人依次是甲、甲、乙” 为事件A . ---------------------------1分由题意，得事件A 的概率122()339P A =?； ---------------------------5分 （Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0,1,2， ---------------------------6分11123237(0)++33334349P x ==创创=； 12121313(1)+33434472P x ==创创=； 2111(2)=34424P x ==创.所以，x 的分布列为：---------------------------10分x 的数学期望7131190129722472E x =???. ---------------------------12分 17.（本小题满分14分）方法一：（Ⅰ）解：如图，设F 为BB 1的中点，连接AF ，CF ， Q 直三棱柱111ABC A B C -，且D 是AA 1的中点， 111//,//AF B DAC AC\，CAF \?为异面直线11AC 与1BD 所成的角或其补角. -----------2分 在Rt ABF V 中，BF AB ^，AB =1，BF =1，AF \=CF =在ABC V 中，,1,AB BC AB BC ^==Q AC \=在ACF V 中，AC AF CF ==Q ，60CAF\?o，C G BC 1 B 1AA 1 DEF\异面直线11AC 与1B D 所成的角为60o. ----------------------------4分（Ⅱ）解：Q 直三棱柱111ABC A B C -，1B B BC \^， 又1,AB BC AB BB B ^=I ，BC \^平面1ABB D . ---------------------------5分如图，连接BD ，在1BB D V 中，112BD B D BB ===Q ，22211BD B D BB \+=，即1BD B D ^，BD Q 是CD 在平面1ABB D 内的射影，1CD B D \^，CDB \?为二面角C -B 1D -B 的平面角. ---------------------------7分在BCD V 中, 90CBD?o , BC=1, BD =tan BC CDBBD \?=,\二面角C -B 1D -B 的大小为arctan---------------------------9分 （Ⅲ）答：在B 1C 上存在一点E ，使得//DE 平面ABC ，此时11B EEC=.----------------------10分 以下给出证明过程.证明：如图，设E 为B 1C 的中点，G 为BC 的中点，连接EG ，AG ，ED ， 在1BCB V 中，1,BG GC B E EC ==Q ，1//EG BB \，且112EG BB =， 又1//AD BB ，且112AD BB =，//,EG AD EG AD \=， \四边形ADEG 为平行四边形，//DE AG \， ---------------------------12分 又AG Ì平面ABC ，DE Ë平面ABC ，\//DE 平面ABC . ---------------------------14分 方法二：（Ⅰ）如图，以B 为原点，BC 、BA 、BB 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，则111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,0,2),(0,1,2),(0,1,1)B C A B C A D ，111(1,1,0),(0,1,1)AC B D =-=-uuu u r uuu rQ , ---------------------------2分 1111111111cos ,2||||AC B D AC B D AC B D ×\<>==-×uuu u r uuu ruuu u r uuu r uuu u r uuu r ， \异面直线11AC 与1B D 所成的角为60o. ---------------------------4分（Ⅱ）解：Q 直三棱柱111ABC A B C -，1B B BC \^， 又1,AB BC AB BB B ^=I ，BC \^平面1ABB D . ---------------------------5分如图，连接BD ，在1BB D V 中，112BD B D BB ===Q ，22211BD B D BB \+=，即1BD B D ^，BD Q 是CD 在平面1ABB D 内的射影，1CD B D \^，CDB \?为二面角C -B 1D -B 的平面角. ---------------------------7分(1,1,1),(0,1,1)DC DB =--=--uuu r uu u rQ ，cos ||||DC DB CDBDC DB ×\?=×uuu r uu u r uuu r uu u r \二面角C -B 1D -B 的大小为 -----------------------------9分 （Ⅲ）同方法一. ---------------------------14分 18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当0x <时，1()2f x x=-+， 因为21()0f x x ¢=>， 所以()f x 在(,0)-?上为增函数； ---------------------------3分 当0x >时，()2)1f x x =--，1()f x ¢=， ---------------------------4分 由()0f x ¢>，解得23x >，由()0f x ¢<，解得203x <<，所以()f x 在2(,)3+?上为增函数，在2(0,)3上为减函数.综上，()f x 增区间为(,0)-?和2(,)3+?，减区间为2(0,)3. ---------------------------7分（Ⅱ）解：当0x <时，由()1f x x >-，得11a x x -+>-，即 11a x x>+-， 设 1()1g x x x=+-，所以1()[()()]113g x x x=--+--≤-=-（当且仅当1x =-时取等号）， 所以当1x =-时，()g x 有最大值3-， 因为对任何0x <，不等式11a x x>+-恒成立， 所以 3a >-； ---------------------------10分当0x >时，由()1f x x >-)11x a x -->-，即a x <-，设()h x x =-，则211())24h x x =--，12，即14x =时，()h x 有最小值14-，因为对任何0x >，不等式a x <-恒成立，所以 14a <-. --------------------------13分 综上，实数a 的取值范围为134a -<<-. ---------------------------14分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为A , B 两点关于x 轴对称，所以AB 边所在直线与y 轴平行.设M (x , y )，由题意，得(),(,)A x B x -， ----------------------------2分所以||,||AM y MB y =-=，因为||||3AM MB ?，所以)()3y y -⨯+=，即2213y x -=， ----------------------------5分所以点M 的轨迹W 的方程为221(0)3y x x -=>. -----------------------------6分（Ⅱ）证明：设000(,)(0)M x y x >，因为曲线221(0)3y x x -=>关于x 轴对称，所以只要证明“点M 在x 轴上方及x 轴上时，2MQP MPQ ∠=∠”成立即可. 以下给出“当00y ≥时，2MQP MPQ ∠=∠” 的证明过程.因为点M 在221(0)3y x x -=>上，所以01x ≥.当x 0=2时，由点M 在W 上，得点(2,3)M ，此时,||3,||3MQ PQ MQ PQ ⊥==， 所以,42MPQ MQP ππ∠=∠=，则2MQP MPQ ∠=∠； --------------------------8分当02x ¹时，直线PM 、QM 的斜率分别为0000,12PM QM y y k k x x ==+-， 因为0001,2,0x x y ≥≠≥，所以0001PM y k x =≥+，且0011PM yk x =≠+，又tan PM MPQ k ∠=，所以(0,)2MPQ π∠∈，且4MPQ π∠≠，所以22tan tan 21(tan )MPQ MPQ MPQ ∠∠=-∠00002220000212(1)(1)1()1y x y x yx y x ⨯++==+--+，---------------10分 因为点M 在W 上，所以220013y x -=，即22033y x =-， 所以tan 2MPQ ∠000220002(1)(1)(33)2y x y x x x +==-+---，因为tan QM MQP k ∠=-，所以tan tan 2MQP MPQ ∠=∠， -----------------------------12分 在MPQ ∆中，因为(0,)2MPQ π∠∈，且4MPQ π∠≠，(0,)MQP π∠∈，所以2MQP MPQ ∠=∠. 综上，得当00y ≥时，2MQP MPQ ∠=∠.所以对于轨迹W 的任意一点M ，2MQP MPQ ∠=∠成立. -----------------------------14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）○1解：设不动点的坐标为000(,)P x y ， 由题意，得000021x x y y ì=ïïíï=-ïî，解得0010,2x y ==，所以映射f 下不动点为01(0,)2P . ---------------------------2分 ○2结论：点(,)nnnP x y 不存在一个半径为3的收敛圆. 证明：由1(1,2)P ，得234(2,1),(4,2),(8,1)P P P --，所以14||6PP =，则点14,P P 不可能在同一个半径为3的圆内， 所以点(,)n n n P x y (n ÎN *)不存在一个半径为3的收敛圆. --------------------------5分（Ⅱ）证明：由1(2,3)P ，得271(,)22P -. 由1()n n P f P +=，得11122n n n n n n x y x x y y ++ì+ïï=+ïïíï-ï=ïïïî， ---------------------------7分 所以11111,1n n n n n n x y x x y y +++++=+-=+，由21()n n P f P ++=，得112112122n n n n n n x y x x y y ++++++ì+ïï=+ïïïíï-ï=ïïïî， 所以221311,2222n n n n x x y y ++=+=+， ---------------------------9分 即22113(3),1(1)22n n n n x x y y ++-=--=-，由1230,30x x -??，得30n x -?，同理10n y -?，所以223111,3212n n n n x y x y ++--==--，所以数列212{3},{3}(n n x x n ---?N *)都是公比为12的等比数列，首项分别为 12131,32x x -=--=，所以112121113(),3()222n n n n x x ----=--=?， 同理可得1121213112(),1()222n n n n y y ----=?=-?. ---------------------------12分 所以对任意n ÎN *，|3|1,|1|2n n x y -??，设(3,1)A ，则||n AP =所以||n AP £故所有的点*(N )n P n Î都在以(3,1)A即点(,)n n n P x y 的收敛圆. -------------------------14分。
北京市西城区2019-2020学年高考数学三月模拟试卷含解析
北京市西城区2019-2020学年高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2） D ．（﹣∞，1）【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析()f x 的图像关于直线1x =对称，即可得到()f x 的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到x 的取值范围。
【详解】根据题意，函数()y f x = 满足(1)f x +是偶函数，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称，若函数()y f x =在(],1-∞上单调递减，则()f x 在[)1+∞，上递增， 所以要使(22)(2)f x f ->，则有2211x -->，变形可得231x ->， 解可得：2x >或1x <，即x 的取值范围为(,1)(2,)-∞⋃+∞； 故选：B ． 【点睛】本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。
2．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)02BC x =<<，从而可得体积16E ABC V x -== 【详解】因为,//DC BE DC BE =，所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，CA ⊂平面ABC ，所以DC ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中，22AB EB ==，设AC x =，则)02BC x =<<，所以1122ABC S AC BC x ∆=⋅=以16E ABCV x -==又因为()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，当且仅当()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，即x 时等号成立，所以()max 13E ABC V -=. 故选：B ． 【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x ，用建立体积V 与边长x 的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值． 3．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断： ①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③ B ．①②C ．①③D ．②③【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+，利用韦达定理判断第一个结论；将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，进而判断第二个结论；设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线，进而判断第三个结论. 【详解】解：由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．所()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以①正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-， 根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称， 所以直线//AE y 轴．所以②正确．如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以③不正确．故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．4．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12 B ．3.13C ．3.14D ．3.15【答案】B 【解析】 【分析】先利用几何概型的概率计算公式算出x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出π. 【详解】因为x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，所以有01x <<，01y <<，若x ，y 能与1构成锐角三角形三边长，则2211x y x y +>⎧⎨+>⎩，由几何概型的概率计算公式知11435411142000m P n ππ⨯-==-==⨯， 所以4354(1)2000π=⨯-=3.13. 故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.5．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．3B ．3C ．33D ．33【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积. 【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，2AD =，3AE =2AB =.∴该几何体的体积为1232232V =⨯= 故选：A. 【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.6．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求()f x '，利用导数判断函数为单调递增，从而可得2ln(1)2xx x +>-，设()()ln 1g x x x =+-，利用导数证出()g x 为单调递减函数，从而证出0,ln(1)x x x ∀>+<，即可得到答案. 【详解】0x >时，22x x x >-令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，求导21()111x f x x x x '=-+=++ 0x ∀>，()0f x '>，故()f x 单调递增：()(0)0f x f >=∴2ln(1)2x x x +>-，当0x >，设()()ln 1g x x x =+-，()11011x g x x x-'∴=-=<++ ，又()00g =Q ，()()ln 10g x x x ∴=+-<，即0,ln(1)x x x ∀>+<，故2ln(1)2x x x x >+>-. 故选：D 【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题. 7．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A ．2B ．32C ．2D ．12【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：由()112i z i -=-+，得()()()()121123111122i i i z i i i i -++-+===-+--+，∴2z z ===． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．8．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ） A ．1427B ．2C ．1D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点处的导数为零先求出m 的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可. 【详解】解：由已知得2()322f x x mx '=-+，(1)3220f m '∴=-+=，52m ∴=，经检验满足题意. 325()22f x x x x ∴=-+，2()352f x x x '=-+.由()0f x '<得213x <<；由()0f x '>得23x <或1x >. 所以函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[1,2]上递增.则214()327f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，(2)2f =， 由于(2)()f f x >极大值，所以()f x 在区间[0,2]上的最大值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题． 9．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可. 【详解】由图象可得，函数的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22T πω==.将点,03π⎛⎫⎪⎝⎭代入()()2cos 2f x x ϕ=+中，得()2232k k Z ππϕπ⨯+=-∈，解得()726k k Z πϕπ=-∈，由0ϕπ<≤，可得56πϕ=，所以()52cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令()52226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 故函数()y f x =在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当1k =-时，函数()y f x =在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 正确；令()52226k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得()1151212k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 故函数()y f x =在()115,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 当2k =时，函数()y f x =在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 错误； 令()5262x k k Z πππ+=+∈，得()26k x k Z ππ=-∈，故函数()y f x =的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈，故C 正确； 令526x k ππ+=()k Z ∈，得5212k x ππ=-()k Z ∈，故函数()y f x =的对称轴是5212k x ππ=-()k Z ∈，故D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.考点：三视图11．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移原则，即可容易求得结果. 【详解】 因为sin cos 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故要得到()g x ，只需将()f x 向左平移12π个单位长度.故选：A. 【点睛】本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.12．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．32【答案】A 【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市西城区2019-2020学年高考数学仿真第三次备考试题含解析
北京市西城区2019-2020学年高考数学仿真第三次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.2．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( ) A ．(3 B ．)3,⎡+∞⎣C ．(5D ．)5,⎡+∞⎣【答案】C 【解析】【分析】先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率的取值范围. 【详解】双曲线222:14y C x -=的渐近线方程为2y x =±，由于双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，所以双曲线1C 的渐近线的斜率2b a ≤，所以双曲线1C 的离心率(e =.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.3．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】设数列的公差为,0d d ≠，125113,3513a a a a d ++=∴+=Q ①.125,,a a a Q 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，解①②可得2d =. 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题. 4．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a+b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．5．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】考虑当0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解，令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数k 的取值范围. 【详解】因为()f x 的图象上关于原点对称的点有2对， 所以0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解.令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 在()0,∞+有两个不同的零点. 又()1kxh x x-'=， 当0k ≤时，()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上为增函数，()h x 在()0,∞+上至多一个零点，舍.当0k >时， 若10,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k ，则()0h x '>，()h x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数；若1,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭x k ，则()0h x '<，()h x 在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数；故()max 11ln h x h k k ⎛⎫==⎪⎝⎭， 因为()h x 有两个不同的零点，所以1ln 0k>，解得01k <<. 又当01k <<时，11e k <且10k h e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()h x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点.又22ln +122ln e e e h t et k k k ⎛⎫=-=+-⎪⎝⎭，其中11t k =>. 令()22ln g t t et =+-，则()2etg t t-'=， 当1t >时，()0g t '<，故()g t 为()1,+∞减函数， 所以()()120g t g e <=-<即20e h k ⎛⎫<⎪⎝⎭. 因为2211e k k k >>，所以()h x 在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上也存在一个零点. 综上，当01k <<时，()h x 有两个不同的零点. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.6．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ） A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x x B ．20,(1)(1)∀+>-x x x x „ C ．20,(1)(1)∃>+-x x x x „ D ．20,(1)(1)∃+>-x x x x „【答案】C 【解析】 【分析】套用命题的否定形式即可. 【详解】命题“,()x M p x ∀∈”的否定为“,()x M p x ∃∈⌝”，所以命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为“20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-”.故选：C 【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.7．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C 【解析】 【分析】由条件可看出11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角．【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，122CC =()22122223BC =+=，∴1tan 3BAC ∠=160BAC ∠=︒. 故选C 【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．8．若向量(1,5),(2,1)a b ==-vv，则(2)a a b ⋅+=vv v（ ）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】C 【解析】 【分析】先求出2a b +r r ,再与a r相乘即可求出答案.【详解】因为2(1,5)(4,2)(3,7)a b +=+-=-r r ,所以(2)35732a a b ⋅+=-+⨯=r r r.故选:C. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.9．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数 D ．不存在满足条件的实数a ，b【答案】A 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得0a =，b 为任意非零实数. 【详解】 依题意()'2fx bx =+，()y f x =在点1212,22x xx x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB平行，即有()1221b x x +=()1221ab x x x x =++-=，由于对任意12,x x 上式都成立，可得0a =，b 为非零实数.故选：A 【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．10．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B． C．⎤⎦D ．[]1,4【答案】D 【解析】 【分析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得1211PF PF +的取值范围. 【详解】由题设有1,b c ==2a =，故椭圆22:14x C y +=，因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.又()12121212111144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-，因为122PF ≤≤，故()11144PF PF ≤-≤，所以121114PF PF ≤+≤. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.11．已知a r ，b r ，c r 是平面内三个单位向量，若a b ⊥r r，则232a c a b c +++-r r r r r 的最小值（ ） AB．CD ．5【答案】A 【解析】 【分析】由于a b ⊥r r，且为单位向量，所以可令()1,0a =r ，()0,1b =r ，再设出单位向量c r 的坐标，再将坐标代入232a c a b c +++-r r r r r中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．【详解】解：设(),c x y =r ，()1,0a =r ，()0,1b =r ，则221x y +=，从而232+++-=r r r r r a c a b c==≥=故选：A 【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题．12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市西城区2019-2020学年高考数学模拟试题(3)含解析
北京市西城区2019-2020学年高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是()A．3B．22C．3D．3【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故答案为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（）A．B．C ．D ．【答案】D【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ．3．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C【解析】 从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( )A ．9B ．12C ．15-D ．18-【答案】A【解析】【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案.【详解】 设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.5．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c -=（ ） A ．32 B ．12 C ．14 D ．18【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】由余弦定理得：222222224a c b b c a ca b ac bc +-+-⋅-⋅=，整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=.故选：D .【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.6．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（）A ．14B ．13 C ．12 D ．23【答案】B【解析】【分析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)2402BC x x =-<<，从而可得体积16E ABCV x-==【详解】因为,//DC BE DC BE=，所以四边形DCBE为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB⊥⊥⋂=⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以DC⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC.在直角三角形ABE中，22AB EB==，设ACx=，则)02BC x=<<，所以1122ABCS AC BC x∆=⋅=以16E ABCV x-==又因为()22222442x xx x⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，当且仅当()22222442x xx x⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，即x时等号成立，所以()max13E ABCV-=.故选：B．【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x，用建立体积V与边长x的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．7．在满足04i ix y<<≤，i iy xi ix y=的实数对(),i ix y(1,2,,,)i n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n nx x x x-++⋅⋅⋅+<成立的正整数n的最大值为( )A．5 B．6 C．7 D．9【答案】A【解析】【分析】由题可知：04i ix y<<≤，且i iy xi ix y=可得ln lni ii ix yx y=，构造函数()()ln04th t tt=<≤求导，通过导函数求出()h t的单调性，结合图像得出min2t=，即2ix e≤<得出33nx e<，从而得出n的最大值.【详解】因为04i ix y<<≤，i iy xi ix y=则ln lnyi xii ix y=，即ln lni i i iy x x y=整理得ln ln i i i ix y x y =，令i i t x y ==， 设()()ln 04t h t t t=<≤， 则()2211ln 1ln t t t t h t t t ⋅-⋅-'==， 令()0h t '>,则0t e <<，令()0h t '<，则4e t <≤，故()h t 在()0,e 上单调递增，在(),4e 上单调递减，则()1h e e =， 因为i i x y <，()()i i h x h y =，由题可知：()1ln 44h t =时，则min 2t =，所以2t e ≤<， 所以24i i e x y ≤<<≤，当n x 无限接近e 时，满足条件，所以2n x e ≤<，所以要使得121338.154n n x x x x e -+++<<≈L故当12342x x x x ====时，可有123488.154x x x x +++=<，故14n -≤，即5n ≤，所以：n 最大值为5.故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.8．已知()A，)B ，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r ，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥ D．x ≥【答案】A【解析】【分析】 由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图，连接OP ，AM ，由题意得22MB MA BQ OP -===，∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，∴1x ≥.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.9．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ）A ．5B ．5C ．13D 13【答案】C【解析】 【分析】先化简复数()32z i i =-，再求z ，最后求z z ⋅即可.【详解】解：()3223z i i i =-=+，23z i =- 222313z z ⋅=+=，故选：C【点睛】考查复数的运算，是基础题.10．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】【分析】画出函数()f x 的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.【详解】解：函数()f x ，如图所示()()()()()200f x af x f x f x a +<⇒+<⎡⎤⎣⎦当0a >时，()0a f x -<<，由于关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解因此其整数解为3，又()3963f =-+=-∴30a -<-<，()48a f -≥=-，则38a <≤当0a =时，()20f x <⎡⎤⎣⎦，则0a =不满足题意；当0a <时，()0f x a <<-当01a <-≤时，()0f x a <<-，没有整数解当1a ->时，()0f x a <<-，至少有两个整数解综上，实数a 的最大值为8故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题. 11．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A．23B．3C．323D．233【答案】B【解析】【分析】首先由2AB=求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意1b=将x c=-代入双曲线C的方程,得1ya=±则22,2,3a ca===,由2121222AF AF BF BF a-=-==,得2ABF∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB++=++++=+=,设2ABF∆的内切圆的半径为r,则11362232,223r r⨯=⨯⨯=,故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 12．在区间[]1,1-上随机取一个实数k，使直线()3y k x=+与圆221x y+=相交的概率为（）A．12B．14C．22D．24【答案】D【解析】【分析】利用直线()3y k x=+与圆221x y+=相交求出实数k的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由于直线()3y k x=+与圆221x y+=2311kk<+，解得22k<<因此，所求概率为2424P ==.故选：D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市西城区2020届高三6月模拟测试数学试卷（含答案）
有以下三个结论:
① f ( - 1 ) =-
1; 2
② 当a ∈ ( 1 , 1 ] 时, 方程f (x ) = a 在区间 [ - 4 , 4 ] 上有三个不同的实根; 42
③ 函数f (x ) 有无穷多个零点, 且存在一个零点b ∈ Z . 其中, 所有正确结论的序号是 .
北京市西城区2020 年6 月高三数学试卷 第 3 页( 共6 页)
北京市西城区2020届高三模拟测试
数学
2020. 6
处,
本 并
试 将
卷共 答 案 写6
页 在
,答1题50卡分上。,
考试时长 分钟。考生务必将条 在 试 卷 上1作20答 无 效。 考 试 结 束 后,
形码贴在答题 将本试卷和答
卡 题
规 卡
定 一
并交回。
第 卷 ( 选择题 共 分)
一、选择题: 本大题共10 小题, Ⅰ每小题4 分, 共 40 分40. 在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中,
( Ⅰ ) 求a 的值; ( Ⅱ ) 求函数f (x ) 的极值;
( Ⅲ) 证明: f
x (x ) > x -
2.
ee
北京市西城区2020 年6 月高三数学试卷 第 5 页( 共6 页)
20 . ( 本小题满分14 分)
x2 y2 已知椭圆 E : a 2 + b 2 = 1 (a > b > 0 ) 经过点C (0 , 1 ) ,
第Ⅱ 卷 ( 非选择题 共110 分)
二、填空题: 本大题共5 小题, 每小题5 分, 共25 分.
11 . 在 (1 + 5x )6 的展开式中, x 的系数为 .
12 . 在等差数列 {a n } 中 , 若a 1 + a 2 = 16 , a 5 = 1 , 则a 1 =
2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模数学试卷-学生用卷
2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第1题4分2017~2018学年6月四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高二下学期月考文科第1题4分2017~2018学年10月浙江嘉兴南湖区嘉兴市第一中学高二上学期月考第1题5分2016~2017学年陕西西安西北大学附属中学高二下学期期末理科第1题4分2019~2020学年9月天津南开区天津市南开中学高三上学期月考第1题5分已知集合A={x||x|<2}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=（）．A. {0,1}B. {0,1,2}C. {−1,0,1}D. {−1,0,1,2}2、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第2题4分2020~2021学年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三上学期开学考试文科第3题5分2017~2018学年广东东莞市桥头镇北京师范大学东莞石竹附属学校高一上学期期中第4题5分2018~2019学年江苏扬州邗江区扬州新华中学高一上学期期中第3题5分2017~2018学年10月山东济宁曲阜市曲阜市第一中学高一上学期月考第11题5分的定义域为（）．函数f(x)=√1−2x+√x+3A. (−3,0]B. (−3,1]C. (−∞,−3)∪(−3,0]D. (−∞,−3)∪(−3,1]3、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第3题4分2016~2017学年广东广州天河区高一上学期期末第7题5分2019~2020学年5月天津南开区天津市南开中学高三下学期月考第4题5分2015~2016学年天津高二上学期期末文科六校联考第6题5分已知圆x2+y2+2x−2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a的值是（）．A. −4 B. −3 C. −2 D. −14、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第4题4分2019~2020学年北京海淀区北京一零一中学高三下学期开学考试第3题2019~2020学年11月北京东城区北京市第五十中学高三上学期月考第2题5分2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三下学期高考模拟（保温练习2）第4题4分2019~2020学年12月北京东城区北京市第五十五中学高三上学期月考第2题5分设a→，b→是向量，则“|a→|=|b→|”是“|a→+b→|=|a→−b→|”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第5题4分已知x，y∈R，且x>y>0，则（）．A. 1x −1y>0B. sinx−siny>0C. (12)x−(12)y<0D. lnx+lny>06、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第6题4分2018~2019学年广东佛山禅城区佛山市第一中学高二上学期期中文科第9题5分2017~2018学年广西柳州城中区柳州市第二中学高二上学期期中文科第4题5分某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）．A. 16B. 13C. 12D. 17、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第7题4分2020~2021学年10月陕西西安新城区西安市第八十三中学高二上学期月考第5题4分2019~2020学年陕西西安未央区西安中学高二上学期期中文科第11题5分2016~2017学年9月广东广州荔湾区广东实验中学（高中）高三上学期月考文科第5题5分2019~2020学年12月陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高二上学期月考理科第4题4分已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）．A. 18B. 24C. 36D. 488、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第8题4分2019~2020学年北京西城区北京市第十三中学高一上学期期末模拟第8题5分2019~2020学年山东青岛崂山区崂山区第一中学高二下学期期末第4题5分2019~2020学年辽宁大连沙河口区辽宁师范大学附属中学高二下学期期末第4题5分2019年高考真题北京卷文科第7题5分在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=5 2lgE1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2)．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）．A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10−10.19、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第9题4分2019~2020学年4月天津东丽区天津耀华滨海学校高三下学期月考第4题5分2020~2021学年12月北京东城区北京市第五中学高三上学期月考第8题4分2019~2020学年上海浦东新区上海市实验学校高一下学期期末第13题4分将函数y =sin(2x −π3)图象上的点P(π4,t)向左平移s(s >0) 个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y =sin2x 的图象上，则( )A. t =12，s 的最小值为π6 B. t =√32，s 的最小值为π6C. t =12，s 最小值为π3 D. t =√32，s 的最小值为π310、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第10题4分2017~2018学年辽宁沈阳皇姑区辽宁省实验中学高二下学期期末文科第10题5分2020~2021学年北京西城区北京市育才学校高三上学期开学考试第10题5分2017~2018学年陕西西安长安区西安市长安区第一中学高二上学期期末理科第7题5分2018~2019学年福建泉州泉港区泉港区第一中学高二下学期期中理科第5题5分甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A. 乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第11题5分2016年高考真题北京卷理科第9题5分2016~2017学年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高三下学期期中文科第13题5分2020~2021学年北京海淀区北京一零一中学高一下学期期末第11题2016~2017学年北京朝阳区北京陈经纶中学高三下学期期中理科第11题5分设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=.12、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第12题5分2019~2020学年北京西城区北京市铁路第二中学高三上学期开学考试第11题5分2020~2021学年江苏苏州高新区江苏省苏州实验中学高二下学期期中（江苏省苏州实验中学教育集团）第13题5分在(1−2x)6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）13、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第13题5分2016年高考真题北京卷理科第12题5分2019~2020学年北京海淀区北京市中关村中学高二上学期开学考试第9题5分已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1=6,a3+a5=0，则S6=.14、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第14题5分2016年高考真题北京卷理科第13题5分2019~2020学年北京朝阳区对外经济贸易大学附属中学高二上学期期中第14题5分2018~2019学年北京东城区北京市第二中学高二上学期期中航二班第11题6分2018~2019学年江苏无锡锡山区江苏省天一中学高二上学期期中第8题5分双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a=.15、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第15题5分2019~2020学年北京东城区北京汇文中学高一上学期期中第16题5分设函数f(x)={2x−ax<14(x−a)(x−2a)x⩾1．(1) 若a=1，则f(x)的最小值为．(2) 若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第16题2020年北京顺义区高三二模第16题14分已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a+b=5，c=3，．是否存在以a，b，c为边的三角形？如果存在，求出△ABC的面积；若不存在，说明理由．从①cosC=13；②cosC=−13；③sinC=2√23这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第17题2018年陕西汉中高三二模理科第19题12分2019~2020学年6月陕西西安阎良区西安飞机工业集团公司第一子弟中学高三下学期月考理科（十四模）第19题12分2018~2019学年4月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考理科第18题12分如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=√5．(1) 求证：PD⊥平面PAB．(2) 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．18、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第18题2018~2019学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高二下学期期中第17题13分2018年北京丰台区高三一模理科第17题13分某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分)，每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A类会员，年龄大于40岁的会员为B类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A,B两类会员中各随机抽取m名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[19,21]九组，将抽取的A类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B类会员的样本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示）．(1) 求m和a的值．(2) 从该地区A类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的人数为X，求X的分布列和数学期望．(3) 设该地区A类会员和B类会员的平均积分分别为X1和X2，试比较X1和X2的大小（只需写出结论）．19、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第19题已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为√32．(1) 求椭圆C的方程．(2) 点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求△BDE与△BDN的面积之比．20、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第20题2019年北京通州区高三一模文科第19题13分设f(x)=ax2+lnx(a∈R)．(1) 当a=0时，直线y=ex+m是曲线y=f(x)的切线，求m的值．(2) 求f(x)的单调区间．(3) 若f(x)⩾1x恒成立，求a的取值范围．21、【来源】 2020年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三三模第21题2019~2020学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三上学期期中第20题13分2017~2018学年北京海淀区北京市第五十七中学高一下学期期中第24题13分2020~2021学年北京西城区北京市第十三中学高三上学期期中第22题13分设数列A：a1，a2，…a N(N⩾2)．如果对小于n(2⩽n⩽N)的每个正整数k都有a k<a n，则称n 是数列A的一个“G时刻”．记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合．(1) 对数列A:−2,2,−1,1,3，写出G(A)的所有元素；(2) 证明：若数列A中存在a n使得a n>a1，则G(A)≠∅；(3) 证明：若数列A满足a n−a n−1⩽1(n=2,3,⋯,N)，则G(A)的元素个数不小于a N−a1．1 、【答案】 C;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 D;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 A;9 、【答案】 A;10 、【答案】 D;11 、【答案】−1;12 、【答案】60;13 、【答案】6;14 、【答案】2;15 、【答案】 (1) −1;,1)∪[2,+∞);(2) [1216 、【答案】①③存在，S△ABC=2√2；②不存在，证明见解析．;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √3．3;18 、【答案】 (1) 1000，400．;(2) 答案见解析．;(3) X1<X2．;+y2=1．19 、【答案】 (1) x24;(2) 4．5;20 、【答案】 (1) −2;(2) 当a⩽0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，在(0,√2a)上，f′(x)<0，所以f(x)在(0,√2a)上单调递减，在(√2a,+∞)上，f′(x)>0，所以f(x)在(√2a,+∞)上单调递增．;(3) [1,+∞);21 、【答案】 (1) 2和5．;(2) 证明见解析．;(3) 证明见解析．;。