(11)初等数论ppt第五章-一勒让德符号、Jaco概要
密码学基础 勒让德
(2.1.1)3.15 勒让德符号和雅可比符号1.勒让德符号命题1：设p为奇素数，则2）a有模 p 平方根5定义2：设p为奇素数，则定义a在模p中的勒让德符号：命题3：设p为奇素数1）2）3）Note4：1) a有模p平方根5a在模p中为一个平方数5a为模p的二次剩余.2)在模p中，任意两个平方数之积仍为平方数；任意两个非平方数之积也为平方数。
例1：模11的非零平方数有：1,3,4,5,9;(3.1.1)因此：体会：在模p中，任意两个平方数之积仍为平方数；任意两个非平方数之积也为平方数。
例2：模35的非零平方数有：体会：在模35中，任意两个平方数之积仍为平方数；但非平方数2,3之积6却为非平方数。
2.雅可比符号定义5：设n为奇整数，gcd(a,n)=1.令其中则称为a在模n中的雅可比符号。
定理6：设n为奇整数.有：1）2）3）4）二次推论7：设gcd(a,n)=1.若a为模n的二次剩余，则推论8：,则a一定不是模n的二次剩余.Note9: 设gcd(a, n)=1.但 a不一定为模 n 的二次剩余.例如：2不是模15的二次剩余。
但=例3：计算. 在模137中, 判断107是否为二次剩余？解：由于137是素数，故107为模137的二次剩余。
例4：计算，在模12345中。
判断4567是否为二次剩余？解：故4567一定不是模12345的二次剩余。
叙述10：【二次剩余问题】设gcd(a,n)=1.1），则a一定不是模n的二次剩余；2），则a可能是模n的二次剩余，也可能不是模n的二次剩余.定理11：设n=pq两素数之积,gcd(a,n)=1.则a为模n的二次剩余5目录。
石大《初等数论》课件
考虑方程组
因为
是两两互素的，故由中国剩余
定理知，上述同余方程组有正整数解，于是，连
续的
二进制转为十进制
• 任意一个二进制表示的数
其中
或1（0≤j≤n），等于转换为
十进制为：
十进制转为二进制
• 以11为例，按照下面的方法转换：
2 11
余数
2 5 ………1＝a0
低位
2
2 ………1＝a1
高位
2
1 ………0＝a2
0 ………1＝a3
11=
同一数值的不同进制表示
对于任何一个数，可以用不同 的进位制来表示。比如：十进制数 57，可以用二进制表示为111001， 也可以用八进制表示为71、用十六 进制表示为39，它们所代表的数值 都是一样的。
并写出思考过程。
2 一张数学试卷只有25道选择题，做对1道 题得4分，做错1道题扣1分，如果不做，不 得分也不扣分。若某位同学得了78分，那 么他做对 道题，做错 道题，不做 道题。
参考解答：
1 46 92346 92346 92346 92346 92346 8517
这一31位数的所有数码之和为
任一大于1的整数a能表成素数的乘积：
（1）
其中
是素数。且在不计次序的
意义下，表示式（1）是惟一的。
算术基本定理的证明
第三篇 不定方程
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程 个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、
整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程 也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也 是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内 容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论 等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在 数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地 的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地；另外 它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中 的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一 般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思 想、方法与技巧，创造性的解决问题。
勒让德多项式及球函数PPT课件
π 0
cos2
sin 2
l/2
d
1 π
π
d 1
0
电子科技大学物理电子学院
19.2 勒让德多项式的性质
19.2.1 勒让德多项式的性质
1. 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点，有如下结论：
（i） Pn (x) 的 n 个零点都是实的，且在 (1,1) 内；
（ii） Pn1(x) 的零点与 Pn (x) 的零点互相分离．
Pl (x) 1 ， (1 x 1) （19.1.14）
【证明】 如从 x 回到原来的变量 ， x cos
，则
Pl
(x)
1 π
πcos i sin cos l d
0
Pl (x)
1 π
π cos i sin cos l d 1
0
π
π 0
cos2
sin 2
cos 2
l
/2
d
1
1 128
(63cos 5
35cos 3
30 cos )
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105 x 2
5)
1 512
(231cos
6
126
cos
4
105 cos
2
50)
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勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 19.1
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2. 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x (x), 容易得到
Pl (x) (1)l Pl (x)
（19.2.1）
即当 l 为偶数时，勒让德多项式 Pl (x) 为偶函数，
初等数论绪论课件
数的表示与转换
总结词
数的表示与转换是数论中一个重要的概念， 它涉及到数的不同表示方法和不同进制之间 的转换。
详细描述
数的表示方法有多种，包括十进制、二进制 、八进制和十六进制等。不同进制之间可以 进行转换，例如将十进制数转换为二进制数 或八进制数。此外，数的表示方法也涉及到 数的符号表示，如正数、负数和零的表示方 法。
整数的运算性质包括加法、减法、乘法和除法的性质。
详细描述
整数的运算性质是数论中的重要概念。加法和减法是可交换的，即a+b=b+a和a-b=b-a。加法和乘法满足结合 律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。除法在整数的范围内不 满足交换律和结合律，但满足分配律。
THANKS
感谢观看
有着重要的应用。
06
数的分解与表示
数的质因数分解
总结词
质因数分解是数论中一个基础概念， 它是指将一个合数表示为其质因数的 乘积。
详细描述
质因数分解是将一个合数表示为若干 个质数的乘积。例如，将数28进行质 因数分解得到2^2 * 7^1。质因数分 解是数论中一个重要的工具，它在解 决许多数学问题中都有应用。
近代数论
费马、欧拉、高斯等数学 家对数论的深入研究和突 破。
数论的应用领域
01
02
03
04
密码学
数论在加密算法和数字签名中 有着广泛的应用，如RSA算法
。
计算机科学
数论在计算机科学中用于实现 数据加密、网络安全和算法优
化。
物理科学
数论在物理科学中用于描述量 子力学和统计力学的数学结构
数论与有限域 第五章优秀课件
a-n=(a-1)n，anam=an+m，(am)n=anm;
对于加法：
(-n)a=n(-a)，na+ma=(n+m)a，m(na)=(mn)a。
在n=0时，作如下约定：在乘法记号中a0=e；在加法记 号中0a=0，其中最后一个“0”为加法群中的零元。
第一节 群
定义5.1.3 设a为群G中的元素，则称使得an=e的最小正 整数n为元素a的阶，记为|a|，如果这样的n不存在， 则称a的阶为无限（或称是零）。
在如上定义的“+”运算下，{Z4,+}构成群。
第一节 群
例5.1.1证明(Z,+)构成阿贝尔群，(Z,×)不构成群。 证明：由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭
性(即任意两个整数做加法还是整数)，结合律与 交换律，同时容易验证：
– 整数0是整数集合在加法运算下的单位元； – 对任意的整数a，都可以找到其对应地逆元-a。
因而[0]为Z4中的加法零元； • 而对Z4中任意的元素[a]，都可以找到Z4中的元素[-a]，使得
[-a]+[a]=[-a+a]=[0]=[a+(-a)]=[a]+[-a]，
因而Z4中的每个元素都有负元，具体地 [0]的负元是自身，[1]的负元为[-1]=[3]，
[2]的负元是[-2]=[2]，[3]的负元为[-3]=[1]。
但是对任意的整数a≠1都找不到其对应的逆元。因 而(Z,×)不构成群。
第一节 群
例5.1.1证明(Z,+)构成阿贝尔群，(Z,×)不构成群。 证明：由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭
性(即任意两个整数做加法还是整数)，结合律与 交换律，同时容易验证：
初等数论(课堂PPT)
正整数集： 1，2，3，… n，…记作N*。
正整数、零、负整数统称为整数。所有整数构成 的集合叫做整数集，记作Z。
2
1.1 进位制与计数法
▪ 学习目标：
▪ 1.掌握常用进位制与计数法
▪ 2.熟练掌握二进位制与十进位制的互化， 并能解决相关的实际应用问题。
教学后记：能达到预期教学目标，效果较好，各 种进位制的应用可适当增加些习题。
8
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分解最大公因数最小公倍数正约数的个数与总和高斯函数正值函数的整除性等整数的基本概念性质和方法
高等师范院校小学教育专业数 学教材《初等数论》课件
制作：孙素慧
1
第一章整数的整除性
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分 解、最大公因数、最小公倍数、正约数的个数与 总和、高斯函数、正值函数的整除性等整数的基 本概念、性质和方法。
数简记为an …a2a1a0。当an≠0时,an…a2a1a0表示n+1位 十进制正整数，把它写成不同计数单位的数之和的 形式为：
an…a2a1a0=an×10n+an-1×10n-1 +…+a1×10+a0
4
例1 已知 a 3 a 1 ,b 3 0 ,且 a 3 a 2 a 1 a 1 a 2 a 3 b 3 b 2 b 1 . 求 证 ： b3b2b1+ b1b2b3=1089. 例 2 一 个 六 位 数 2 a b c d e 与 3 之 积 等 于 a b c d e 9 ， 求 这 个六位数.
6
例3 把110111(2)化为十进位制数
例4 把49化为二进位制数
例5 现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个 ,若只能将砝码放在天平的一端,问能称出多少种不 同质量的物品？若称23克的物品,应该如何选配上 述砝码？
离散数学初等数论PPT课件
8
素数的分布
定理11.2 有无穷多个素数. 证 用反证法. 假设只有有穷多个素数, 设为p1,p2,…,pn, 令m=p1p2…pn+1. 显然, pi m, 1≤i≤n. 因此, 要么m本身 是素数，要么存在大于pn的素数整除m, 矛盾.
成立.
12
实例
例3 判断157和161是否是素数. 解 157 , 161都小于13, 小于13的素数有: 2, 3, 5, 7, 11. 检查结果如下:
2 157, 3 157, 5 157, 7 157, 11 157 结论: 157是素数.
2 161, 3 161, 5 161, 7|161（161=7×23） 结论：161是合数.
14
11.2 最大公约数与最小公倍数
• 公约数、最大公约数 • 公倍数、最小公倍数 • 辗转相除法 • 互素
15
最大公约数与最小公倍数
d是a与b的公因子(公约数): d |a且d |b m是a与b的公倍数: a | m且b| m 定义11.3 设a和b是两个不全为0的整数, 称a与b的公因子中 最大的为a与b的最大公因子, 或最大公约数, 记作gcd(a,b). 设a和b是两个非零整数, 称a与b最小的正公倍数为a与b的 最小公倍数, 记作lcm(a,b). 例如 gcd(12,18)=6, lcm(12,18)=36. 对任意的正整数a, gcd(0,a)=a, gcd(1,a)=1, lcm(1,a)=a.
1
2
k
p p p lcm(a,b)=
mr 1 a ,s1)xm ( r 2 a ,s2)x( mr k a ,sk)x(
(11)初等数论ppt第五章-一勒让德符号、Jacobi符号
( i v ) x 63 (mod 187).
2
12
§3 Legendre符号, Gauss二次互反律
a 定 义 勒 让 德(Legendre) 符 号( ) ( 读 作 a 对 p 的 勒 让 德 符 号) p 是 一 个 对 于 给 定 的 单 质 数 定 义 在 一 切 整 数 a 上 的 函 数, 它 的 值规定如下： 1, 当 a 是 模 p 的 平 方 剩 余 ； a ( ) 1, 当 a 是 模 p 的 平 方 非 剩 余 ； p 0, 当 p a .
13
定 理 Legendre 符 号 有 以 下 性 质 ： a pa (i) ( ) ( ); p p a ( p 1)/2 (i i) ( ) a (mod p); p ac a c (i i i) ( ) ( )( ); p p p a2 (i v)当 p | ( ) 1; a时 ， p 1 1 (v) ( ) 1, ( ) ( 1) ( p 1)/2 ; p p
16
定 理3 ( G a u s s 二 次 互 反 律 ) 设 p, q 均 为 单 质 数 , ( p, q ) 1,则 q ( p 1)/2( q 1)/2 p ( ) ( 1) ( ). p q 定 理3 表 明 : 两 个 奇 数 p, q,只 要 有 一 个 数 q p 1 （ m o d 4 ) , 就 必 有( ) ( );当 且 仅 当 它 们 p q q p 都 是 4k 3 形 式 的 数 时 , 才 有( ) ( ). p q
2 2
(2)
容 易 看 出 , 通 过 变 数 替 换 y 2 ax b (mod p), 同 余 方 程 与 同 余 方 程 y 2 b 2 4ac (mod p)是 等 价 的.
初等数论-第5章-二次同余式与平方剩余
2023/11/11
7
例3. 解同余式 x2 x 1 0(mod72 ) (1)
解：x2 x 1 0(mod72 ) 4( x2 x 1) 0(mod72 )
即(2x 1)2 3 0(mod72 ) 令y 2x 1,
y2 3 0(mod72 )
(2)
而y2 3 0(mod7)的解为y 2(mod7). 令y 7t 2,代入(2)， 4t 1 0(mod7).
2023/11/11
19
定理2的证明：
由定理1知，平方剩余的个数等于同余式
p1
p1
x 2 1(mod p) 的解数，由 x 2 1 x p x，
所以据§4.4-TH5[P86]知，平方剩余的个数等于p
2
1
.
又模p的简化系中含有p-1个元素，
从而平方非剩余的个数等于 p 1 .
2
显然数列12 , 22 , ,( p 1)2中含有 p 1 个数，
第五章 二次同余式与平方剩余
§5.1一般二次同余式
2023/11/11
1
一、一般二次同余式的转化
二次同余式的一般形式为
ax2 bx c 0 (mod m)。
(1)
ax2
bx
c
0(mod
p ai i
),
i
1, 2,
,k.
其中，m
p p a1 a2 12
pkak , p1, p2 , . pk 为素数.
2023/11/11
4
ax2 bx c 0(mod p ), p (a,b,c) (2) 4、当p 2, 2 a,2 b时，(2)有解 2 c
f '( x) 2ax b 0(mod 2)无解 由§4.3－TH2〔P82〕知
5.1 初等数论 ppt
陕西师范大学
初等数论
即可得出。 例题5-3 若nm，则δn(a)δm(a)。 例题 解答 由nm及性质5-1及性质5-4有 ≡ 1 (mod m) ⇒≡ 1 (mod n) ⇒ δn(a)δm(a)。 例题5-4 若(m, n) = 1，(a, mn) = 1，则 例题 δmn(a) = [δm(a), δn(a)]。 (5-5) 解答 记δ = δmn(a)，δ ′ = [δm(a), δn(a)]， 由例5-3有 δm(a)δ，δn(a)δ ⇒ δ ′δ。 (5-6)
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初等数论
性质5-2 若式(1)成立，则有δm(a) | d 即 d ≡ 性质 0 (mod δm(a)). 性质5-3 δm(a) | ϕ(m), δ2l(a) | 2l-2, l≥3. 性质 性质5-4 若(a, m) = 1, ak ≡ ah (mod m), 则 性质 k ≡ h(mod δm(a)). 性质5-5 若a对模m的指数是δ，则1=a0, 性质 a1, … , a δ − 1对模m两两不同余。 证明 ： 我们用反证法证明。假定有两个整 数 k, l满足下列条件：
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初等数论
1≡(ab) δ ≡(ab) δδ ′′ ≡a δδ ′′(mod m), 所以，δ ′|δδ′′，由此及(δ ′, δ′′ )=1，推出δ′|δ. 同样，有 1≡(ab) δ ≡(ab) δδ ′ ≡b δδ ′(mod m), 所以，δ′′|δδ ′，由此及(δ ′, δ′′ )=1，推出δ′′|δ. 进而，由δ′|δ，δ′′|δ，及 (δ ′, δ′′ )=1推出δ ′δ′′|δ. 此外，显然有 (ab) δ ′δ ′′≡1(mod m), 所以，δ |δ′δ′′ . 因此 δ =δ′δ′′. 必要性 我们有 (ab)λ ≡ 1 (mod m)，
九年级培优专题：勒让德符号及勒让德方程
九年级培优专题：勒让德符号及勒让德方程1. 勒让德符号勒让德符号（Legendre symbol）是数论中的一个重要概念，用于描述某个整数对另一个给定奇素数的二次剩余性质。
勒让德符号常用的记号为$(\frac{a}{p})$，其中$a$是整数，$p$是奇素数。
勒让德符号有以下几条性质：- 如果$a$是一个二次剩余模$p$，即存在整数$x$使得$x^2\equiv a \pmod{p}$，则$(\frac{a}{p}) = 1$；- 如果$a$是一个二次非剩余模$p$，即对于任意的整数$x$，都无法满足$x^2 \equiv a \pmod{p}$，则$(\frac{a}{p}) = -1$；- 如果$a \equiv b \pmod{p}$，则$(\frac{a}{p}) = (\frac{b}{p})$；- 对于任意的整数$a$和奇素数$p$，有$(\frac{a}{p}) \equiva^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p}$。
2. 勒让德方程勒让德方程（Legendre equation）是微分方程中的一个特殊类型，形式为：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \alpha(\alpha+1)y = 0$$其中$\alpha$是常数。
勒让德方程常出现在物理学和工程学的问题中，例如描述在球坐标系中的电势分布和量子力学中的径向波函数形态。
勒让德方程有着丰富的解析解和特殊函数，其解的形式通常可以表示为勒让德多项式（Legendre polynomials）的线性组合。
勒让德多项式是一类特殊的正交多项式，其中的解是勒让德方程的特殊解。
利用勒让德多项式的性质，我们可以解决许多涉及到勒让德方程的实际问题，例如计算球面上的电势分布和量子力学中的氢原子束缚能级等。
参考资料。
勒让德多项式应用共23页PPT
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
23
数学物理方程第五章勒让德多项式
u(r , , ) R(r )Y ( , )
d 2R dR r 2r R 0 (1.5) 2 dr dr
2
2Y cos Y 1 2Y Y 0 2 2 2 sin sin
(1.6)
二次分离Y ( , ) ( )( )
(1.7)
如果u( , , )与无关，则 (1.7)式中m 0,这时有：
d2y dy (1 x ) 2 2 x y 0 (1.10) dx dx
2
x [1.1]
为后面计算方便，记 n(n 1)
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x n( n 1) y 0 (1.11) x [1.1] dx dx
(1.5)是欧拉方程，会解！
2Y cos Y 1 2Y 2 Y 0 2 2 sin sin
(1.6)
u (r , , ) R(r )Y ( , )
2Y cos Y 1 2Y Y 0 2 2 2 sin sin (1.6)
1 1 2 xz z 2 Pn ( x )z n
n 0
勒让德多项式的母函数 G( x, z )
*函数展开成勒让德级数
§1 勒让德方程的导出
考虑球域上的狄利克雷问题
其中f ( x, y, z )为已知函数. R为球域半径. 引入 x r sin cos sin x r sin z r cos
2u 2u 2u 2 2 2 2 0 x y z R 2 2 2 x y z u f ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 R2
初等数论第五章课件
一个整数a何时是素数模p的完全平方数？伟 大的数学家Euler、Legendre和Gauss对这一问题和 相关问题都进行了深入的研究，极大地推动了现 代数论的发展。在这一章，我们从一般二次同余 方程解的问题引入二次剩余的概念和Legendre符号， 其次给出一个由Euler和Gauss发现的一个确定整数 a是否为模p的二次剩余的判别准则，接着给出著名 的二次反转定律，引入Jacobi符号。
p 1 a 当a a1 (mod p)时，由于 a 2 (mod p)， p p 1 a1 2 a1 (mod p)，所以 p
⑤
a a1 p p
⑥
p 1 a1a2 an a1 a2 an 2 (a1a2 an ) (mod p)， p p p p
例 求出以 2为平方剩余与平方非剩余的质数 的一般表达式
解 2 1 2 由 p p p
1 1 p 或 2 1 p
(I )
1 1 p 当 2 1 p
1) x
( x2 a）xq( x) (a
p 1 2
p 1 p 1 2 p2 1 ( x ) a 2 x (a 2 1) x
而x 2 a 0(mod p )恰有两个解的充要条件是 pa
p 1 2
1,
即a
p 1 2
1(mod p )
③的解为p 3(mod8)
因此，当p 8n 1或p 8n 3时， 2是p的平方剩余
数论中的勒让德符号
数论中的勒让德符号是一种重要的数论工具，用来研究与素数相关的性质。
勒让德符号是法国数学家阿道夫·埃雷尔·勒让德于18世纪中期引入的，它是对任意整数a和素数p之间关系的一种表示。
勒让德符号定义如下：对于任意的整数a，定义勒让德符号（a/p）为1当且仅当a是p的二次剩余（即存在一个整数x，使得x^2≡a (mod p)），否则为-1。
当a既不是p的二次剩余，也不是p的二次非剩余时，勒让德符号定义为0。
勒让德符号的定义基于二次剩余的概念，即对于一个素数p，如果存在一个整数x，使得x^2≡a (mod p)，那么a就是p的一个二次剩余。
反之，如果对于任意的整数x，x^2≡a (mod p)都不成立，那么a就是p的一个二次非剩余。
勒让德符号在数论中的应用非常广泛。
首先，它在解决二次剩余问题中起到重要作用。
对于给定的素数p和整数a，可以通过计算勒让德符号（a/p）来确定a是否是p的二次剩余。
特别地，当a和p互素时，可以使用欧拉准则简化计算过程。
根据欧拉准则，勒让德符号（a/p）等于a^((p-1)/2) (mod p)。
如果这个值等于1，那么a就是p的二次剩余；如果等于-1，那么a就是p的二次非剩余。
这个方法在密码学等领域中有着重要的应用。
其次，勒让德符号在费马小定理的推广以及埃拉托斯特尼筛法的改进中也有所应用。
费马小定理指出，对于素数p和整数a，如果a不是p的倍数，那么a^(p-1)≡1 (mod p)。
而通过勒让德符号的推广，可以得到a^((p-1)/2)≡（a/p）(mod p)的等式。
这个等式在研究模n二次剩余以及求解二次同余方程等问题时非常有用。
最后，勒让德符号还与高斯二次和有关。
高斯二次和是一个特殊的复数，它可以用来表示某些域中的二次剩余和二次非剩余。
勒让德符号与高斯二次和的关系是，当勒让德符号为1时，对应的高斯二次和是实数；当勒让德符号为-1时，对应的高斯二次和是虚数。
总结起来，数论中的勒让德符号是一种重要的工具，它通过对整数和素数之间关系的表示，帮助我们研究与素数相关的性质。