2020届上海市建平中学高三下学期6月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市建平中学高三下学期3月月考数学试卷含详解
上海市建平中学2022-2023学年高三下3月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知(1,2),(,3),(2)a b a b a λ==-⊥，则λ=___________.2.设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数=a _____．3.4(12)x -的展开式中含2x 项的系数为_____．4.已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为_____．5.已知集合{}2{sin ,},20M y y x x N x x x ==∈=--<R ∣∣，则M N ⋂=_____．6.如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm ，高为20cm ，则这个茶叶盒的表面积为______2cm.7.已知一个半径为4的扇形圆心角为(02π)θθ<<，面积为2π，若tan()3θϕ+=，则tan ϕ=_____．8.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在[]90,100这一组中的纵坐标为a ，则该次体能测试成绩的80%分位数约为___________分.9.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是_____．10.已知F 是椭圆E ：22221x y ab +=(0)a b >>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若5PF QF=且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为______．11.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos b C c B a A +=，若S 为ABC 的面积，则2a S 的最小值为______.12.对于二元函数(),f x y ，(){}{}min max ,x yf x y 表示(),f x y 先关于y 求最大值，再关于x 求最小值.已知平面内非零向量a ，b ，c ，满足：a b ⊥，2a c b c a b⋅⋅=，记(),mc bf m n mc na-=-（m ，R n ∈，且0m ≠，0n ≠），则(){}{}min max ,mnf m n =______.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（）A.αβ⊥，//l βB.αβ⊥，l β⊂C.//l n ，n α⊥ D.m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n⊥14.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：第x 周12345治愈人数y （单位：十人）38101415由上表可得y 关于x 的线性回归方程为 1y bx=+ ，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）A.1-B.0C.1D.215.设函数()f x 定义域为R,(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1)x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列四个结论错误个数是（）（1）7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）(7)f x +为奇函数（3）()f x 在(6,8)上为减函数（4）()f x 的一个周期为8A.1B.2C.3D.416.已知共有()*k k ∈N 项的数列{}n a ，12a =，定义向量()1,n n n c a a += ，(,1)(1,2,,1)n d n n n k =+=-，若n n c d =，则满足条件的数列{}n a 的个数有（）个．A.2B.kC.12k - D.(1)22k k -三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，5913S S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列2n an b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？有出游意愿无出游意愿合计青年中年合计附：()20P K k ≥0.0500.0100.0050.001k 3.841 6.6357.87910.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图所示，在四棱锥S ABCD -中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，2AD CD ==，1BC =，又2SD =，120SDC ∠=︒，F 为SD 中点.（1）证明：//CF 平面SAB ；（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，且过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆E 的方程．（2）若点(1,0)S ，点T 为椭圆E 上的任意一点，求||TS的最大值与最小值．（3）设椭圆E 的下顶点为点A ，若不过点A 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与x 轴交于M ，N 两点．若M ，N 的横坐标之积是2，证明：直线l 过定点．21.已知函数()e ,()sin cos x f x g x x x ==+．（1）求函数()y g x =在点(0,1)处的切线方程；（2）已知1x e x ≥+对于x ∈R 恒成立，证明：当4πx >-时，()()f x g x ≥；（3）当4πx >-时，不等式()()()20f x g x ax a +--≥∈R ，求a 的取值范围．上海市建平中学2022-2023学年高三下3月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知(1,2),(,3),(2)a b a b a λ==-⊥，则λ=___________.【答案】4【分析】由题意可知，a b和的坐标，结合题中给的(2)a b a -⊥ ，可结合向量的坐标运算完成列式，计算λ.【详解】因为(1,2),(,3)a b λ== ，所以(2)a b λ-= （2-，1），而(2)a b a -⊥，所以(2)0a b a -= ，即12-20λ⨯+=（），解得4λ=.故答案为：4.2.设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数=a _____．【答案】1【分析】先化简复数，再利用复数的相关概念求解．【详解】复数()()()()1i 1i 11i a a a ++=-++，因为复数()()1i 1i a ++是纯虚数，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，解得1a =．故答案为：1．3.4(12)x -的展开式中含2x 项的系数为_____．【答案】24【分析】利用二项展开式的通项公式求出x 的指数为2的项，即得到其系数可求.【详解】()412x -的展开式中含2x 的项为()2224C 224-=x x ，系数为24．故答案为：24.4.已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为_____．【答案】()2214x y +-=【分析】把三个点代入圆的标准方程求解即可.【详解】设ABC 外接圆的方程为()()222,0x a y b r r -+-=>，则有()())()()()2222222220003a b r a b r a b r ⎧+-=⎪⎪⎪-+-=⎨⎪⎪-+-=⎪⎩，解得012a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则ABC 外接圆的方程为()2214x y +-=.故答案为：()2214x y +-=.5.已知集合{}2{sin ,},20M yy x x N x x x ==∈=--<R ∣∣，则M N ⋂=_____．【答案】{}|11x x -<≤【分析】利用正弦函数的值域与解二次不等式化简集合,M N ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】由正弦函数值域可知{}|11M y y =-≤≤，由220x x --<解得12x -<<，则{}|12N x x =-<<，所以{}|11M N x x =-<≤ .故答案为：{}|11x x -<≤.6.如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm ，高为20cm ，则这个茶叶盒的表面积为______2cm .【答案】300(4+【分析】根据棱柱表面积的求法，结合已知求茶叶盒的表面积.【详解】由题设，一个底面的面积为1161010sin 602S =⨯⨯⨯⨯︒=2cm ，一个侧面矩形面积为21020200S =⨯=2cm ，所以茶叶盒的表面积为1226300(4S S +=2cm .故答案为：300(47.已知一个半径为4的扇形圆心角为(02π)θθ<<，面积为2π，若tan()3θϕ+=，则tan ϕ=_____．【答案】12##0.5【分析】由扇形面积公式先求θ，再根据两角和差的正切公式求得结果.【详解】已知扇形半径为4r =，圆心角为θ，∵扇形面积2211142π222θθ===⋅=S lr r ，∴π4θ=，∴()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--，解得：1tan 2ϕ=.故答案为：12.8.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在[]90,100这一组中的纵坐标为a ，则该次体能测试成绩的80%分位数约为___________分.【答案】92【分析】先利用频率分布直方图进行数据分析，求出a ，再套公式求出80%分位数.【详解】由频率分布直方图知0.0350.0200.0140.0040.0020.075++++=，由()100.0751a ⨯+=得：0.025a =.因为0.020.040.140.20.350.75++++=，所以该次体能测试成绩的80%分位数落在[]90,100内，设其为x ，则由()900.0250.05x -⨯=，解得92x =.故答案为：92.9.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是_____．【答案】12##0.5【分析】随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况,根据组合知识求得基本事件的个数后可得概率【详解】已知8个开放洞窟中有3个最值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况.所求概率为2231353548C C C C 1C 2+==P .故答案为：12.10.已知F 是椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若5PF QF =且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为______．【答案】216【分析】取椭圆的右焦点F '，由直线l 过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF '为平行四边形，由||5||PF QF =及椭圆的性质可得3a PF '=，53a PF =，120PFQ ∠=︒余弦定理可得离心率的值.【详解】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-= ，||5||PF QF =5||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以3a PF '=，所以53a PF =，在PFF ' 中，22222214||||1cos 2259953322a a c PF PF FF FPF a PF PF a '+-+-∠===⨯⨯'''，整理，得2221360a c -=，即22136e =，由01e <<解得216e =.故答案为：216.11.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos b C c B a A +=，若S 为ABC 的面积，则2a S的最小值为______.【答案】22【分析】应用正弦定理边角关系、和角正弦公式可得sin()3sin cos B C A A +=，根据三角形性质有1cos 3A =，再应用余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求目标式的最小值，注意取最小值的条件.【详解】由题设及正弦定理边角关系，sin cos sin cos 3sin cosBC C B A A +=，即sin()3sin cos B C A A +=，而A B C π++=，故sin 3sin cos A A A =，又sin 0A ≠，则1cos 3A =，故22sin 3A =，而2222222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，12sin 23bcS bc A ==，所以2223()262222a S bc bc =≥=，当且仅当b c =时等号成立，故2a S的最小值为22.故答案为：2212.对于二元函数(),f x y ，(){}{}min max ,xyf x y 表示(),f x y 先关于y 求最大值，再关于x 求最小值.已知平面内非零向量a ，b ，c ，满足：a b ⊥，2a c b c a b ⋅⋅=，记(),mc b f m n mc na -=- （m ，R n ∈，且0m ≠，0n ≠），则(){}{}min max ,mnf m n =______.【答案】2【分析】记a OA = ，b OB = ，c OC =，构建直角坐标系，根据向量几何意义判断OC 所在直线的斜率，设(),0A a ，()0,B b ，,2c C c ⎛⎫⎪⎝⎭，结合函数的定义、数形结合思想研究相关向量的模长随点的变化情况，进而求目标式的值.【详解】记a OA = ，b OB = ，c OC = ，则2a c b c a b⋅⋅= 表示OC 在OA 上的投影恰为OC 在OB上的投影的两倍，即射线OC 的斜率为12.设(),0A a ，()0,B b ，,2c C c ⎛⎫⎪⎝⎭，记mc OD = ，na OE =，则mc b BD -= ，mc na ED -= ，所以(),mc b BDf m n mc na ED-==- .先让m 不变，n 变化，即点D 固定，点E 变化，那么()0,mc b BD BDf m n mc na ED E D -==≤-，其中0E D OA ⊥，接着再让m 变化，即点D 变化，求0BDE D的最小值.因为02BD E D=，当且仅当4c b =时取得等号.综上，(){}{}min max ,2mnf m n =.故答案为：2【点睛】关键点点睛：利用向量几何意义，构建直角坐标系并设A 、B 、C 的坐标，根据函数新定义、数形结合思想将问题转化为两向量模长的比值，讨论动点位置变化对向量模长的影响确定目标式的值.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（）A.αβ⊥，//l βB.αβ⊥，l β⊂C.//l n ，n α⊥ D.m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n⊥【答案】C【分析】根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，当αβ⊥，//l β时，可能l ⊂α、//l α或l 与α相交，充分性不成立，A 错误；对于B ，当αβ⊥，l β⊂时，可能//l α或l 与α相交，充分性不成立，B 错误；对于C ，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C 正确；对于D ，若//m n ，则m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥无法得到l α⊥，充分性不成立，D 错误.故选：C .14.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：第x 周12345治愈人数y （单位：十人）38101415由上表可得y 关于x 的线性回归方程为 1y bx=+ ，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）A .1- B.0C.1 D.2【答案】A【分析】将样本中心点(),x y 的坐标代入回归直线方程，求出b的值，可得出回归直线方程，再将5x =代入回归直线方程，用15减去所得结果即可得解.【详解】由表格中的数据可得1234535x ++++==，38101415105y ++++==，由于回归直线过样本的中心点，则3110b += ，解得3b = ，回归直线方程为 31y x =+，将5x =代入回归直线方程可得 35116y =⨯+=，因此，第5周的残差为15161-=-.故选：A.15.设函数()f x 定义域为R,(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1)x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列四个结论错误个数是（）（1）7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）(7)f x +为奇函数（3）()f x 在(6,8)上为减函数（4）()f x 的一个周期为8A.1 B.2C.3D.4【答案】A【分析】由()()11f x f x --=--、()()11f x f x -+=+可推出()f x 的周期为8，利用对称性、周期性求72f ⎛⎫⎪⎝⎭、判断()7f x +奇偶性及()7,8x ∈时()f x 的单调性，即可得答案．【详解】由题设，()()11f x f x --=--，则()f x 关于()1,0-对称，所以()()1111f x f x ⎡⎤---=---⎣⎦，即()()2f x f x -=--，则()()222f x f x ⎡⎤--=---⎣⎦，即()()24f x f x -=--，由()()11f x f x -+=+，则()f x 关于1x =对称，所以()()1111f x f x ⎡⎤--+=-+⎣⎦，即()()2=f x f x -，综上，()()4f x f x =--，则()()()4448f x f x f x -=---=--，故()()8f x f x =-，即()()8f x f x =+易知()f x 的周期为8，所以(4)正确；77311132112222224f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以(1)正确；由()()17f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，所以(2)正确；由()1,0x ∈-时，()21f x x =-+递增，则()7,8x ∈时，()f x 递增，所以(3)错误．故选：A ．16.已知共有()*k k ∈N 项的数列{}n a ，12a =，定义向量()1,n n n c a a += ，(,1)(1,2,,1)n d n n n k =+=- ，若n n c d =，则满足条件的数列{}n a 的个数有（）个．A.2 B.kC.12k - D.(1)22k k -【答案】C【分析】通过向量的模相等，推出n a 与1n a +的关系，通过递推关系式，推出222211n a a n =-+，n 为奇数，222222n a a n =-+，n 为偶数，然后判断满足条件的数列{}n a 的个数．【详解】解：由||||n n c d = ，可知，22221(1)n n a a n n ++=++，即()22221(1)n n a a n n+-+=--，则222211(1)(1)n n a n a n +--+=--，推得222211,n a a n n =-+为奇数222222,n a a n n =-+为偶数另外由11c d =可以得出21a =或1-由上可看出，2n a 有唯一解，所以n a 有互为相反数的两解（除了已知的1a ）故n a 个数为12k -．故选：C ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，向量的模的求法，考查计算能力．三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，5913S S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列2n an b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =；（2）124433n n n +++-.【分析】（1）由953S S =，应用等差数列前n 项和、等差中项公式得510a =，结合已知求基本量，进而写出{}n a 的通项公式；（2）由（1）得24nn c n =+，应用分组求和，结合等差等比前n 项和公式求n T .【小问1详解】由题设953S S =，则19159()5()322a a a a ++=⨯，即533530a a ==，所以510a =，而36a =，易得2d =，则12a =，故1(1)2n a a n d n =+-=.【小问2详解】由（1）知：224nn n b ==，则24n n c n =+，所以1122(1)4(14)442(12...)(44...4)221433n n nn n n T n n n ++-=+++++++=⨯+=++--.18.为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？有出游意愿无出游意愿合计青年中年合计附：()20P K k ≥0.0500.0100.0050.0010k 3.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）分布列见解析，35；（2）表格见解析，不能.【分析】（1）由题得样本中“00后”员工8人有出游意愿，2人无出游意愿，再写出X 的所有可能取值和对应的概率，即得X 的分布列和数学期望；（2）结合已知完成22⨯列联表，再利用独立性检验求解.【详解】解：（1）由题知，样本中“00后”员工人数110010%10n =⨯=人，.由图4知，其中8人有出游意愿，2人无出游意愿，从中随机抽取3人，抽到“无出游意愿”的人数X 的所有可能取值为0，1，2，.()383107015C P X C ===，()21823107115C C P X C ===，()12823101215C C P X C ===，随机变量X 的分布列为X 012P715715115.随机变量X 的期望()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=.（2）由题知，样本中中年员工占比为110%30%60%--=，人数210060%60n =⨯=人，青年员工人数310040%40n =⨯=人，.结合图3得到如下22⨯列联表，有出游意愿无出游意愿合计青年301040中年402060合计7030100.假设“有出游意愿与年龄段无关”，则()210030204010500.794 3.8417030406063k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，.∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关.19.如图所示，在四棱锥S ABCD -中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，2AD CD ==，1BC =，又2SD =，120SDC ∠=︒，F 为SD 中点.（1）证明：//CF 平面SAB ；（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5.【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面SAB 的法向量，再利用0CF n ⋅=即可求解；（2）根据（1）的结论，求出平面SAD 的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解；【小问1详解】过点D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点，以DC ，DE ，DA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.如图所示因为120SDC ∠=︒，所以30SDE ∠=︒,又2SD =，所以点S 到y 轴的距离为1，到x 轴的距离为3，则有()()()()()130,0,0,,0,0,2,2,0,0,2,0,1,,,022D S A C B F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,所以()()532,0,1,2,,,0,22AB AS CF ⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面SAB 的法向量为(),,n x y z =，则n AB n AS ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪=⎩，即2020x z x z -⎧=-+-=⎪⎨⎪⎩，令x =5,y z ==，所以n =，所以550022CF n ⎛⎫⋅=-+⨯ ⎪⎝⎭，即CF n ⊥ ，又CF ⊄平面SAB ，所以//CF 平面SAB .【小问2详解】由（1）知，平面SAB的法向量为n =，()()0,0,0,,D S -()0,0,2,A 所以()()0,0,2,1,2,AD AS =-=--设平面SAD 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m AS ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=，即11112020z x z -=-+-=⎧⎪⎨⎪⎩，令1x =111,0y z ==，所以)m =，设平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角为θ，则10cos cos,5m nm nm nθ⋅=<>==.所以平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为105.20.已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，且过点12⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆E的方程．（2）若点(1,0)S，点T为椭圆E上的任意一点，求||TS的最大值与最小值．（3）设椭圆E的下顶点为点A，若不过点A且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于P，Q两点，直线AP，AQ分别与x轴交于M，N两点．若M ，N的横坐标之积是2，证明：直线l过定点．【答案】（1）2214x y+=（2）最小值是63，最大值是3（3）证明见解析【分析】（1）根据给定的条件，列出关于a b，的方程，求出a b，即可得到椭圆方程；（2）设()00,T x y，由()1,0S得：()001,TS x y=--，再根据两点间的距离公式及点()00,T x y在椭圆上，转化为二次函数的最值问题求解即可；（3）设直线l的方程为()0,1y kx m k m=+≠≠-，()()1122,,,P x y Q x y，求出M，N两点的横坐标，再联立l与E 的方程，通过韦达定理运算求解，即可求出m的值，从而可得直线的定点坐标．【小问1详解】依题意，2ab=，故椭圆E方程为：222214x yb b+=，又椭圆E过12⎛⎫⎪⎝⎭，于是有2213414b b+=，解得221,4b a==，所以椭圆E的方程为2214x y+=；【小问2详解】设()00,T x y，由()1,0S得：()001,TS x y=--，因为点()00,T xy在椭圆上，所以2214x y+=，所以TS====因为022x-≤≤，所以，当43x=时，TS有最小值为63，当02x =-时，TS有最大值为3；【小问3详解】由（1）知()0,1A -，依题意，设直线l 的方程为()0,1y kx m k m =+≠≠-，()()1122,,,P x y Q x y ，直线AP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标为111M x x y =+，同理得点N 的横坐标为221N x x y =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得，()222418440k x kmx m +++-=，()()222264441440k m k m ∆=-+->，即2241m k <+，122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，因此，()()()()121212121111M N x x x x x x y y kx m kx m ==++++++()()()1222121211x x k x x k m x x m =+++++()()222222244412448114141m k m km k k m m k k -+==--⎛⎫⋅++++ ⎪++⎝⎭，即()4121m m -=+，解得3m =，直线l 的方程为3y kx =+，l 过定点()0,3，所以直线l 过定点()0,3．21.已知函数()e ,()sin cos x f x g x x x ==+．（1）求函数()y g x =在点(0,1)处的切线方程；（2）已知1x e x ≥+对于x ∈R 恒成立，证明：当4πx >-时，()()f x g x ≥；（3）当4πx >-时，不等式()()()20f x g x ax a +--≥∈R ，求a 的取值范围．【答案】（1）1y x =+（2）证明见解析（3）答案见解析【分析】（1）先求出()y g x =的导数，将点(0,1)横坐标代入导数求出切线的斜率，再写出切线的方程；（2）可设函数()()()x f x g x ϕ=-，借助导数，将区间分为π04x -＜＜和0x ≥分别研究函数的单调性，然后进行判断，通过放缩即可完成证明；（3）构造函数()e sin cos 2xG ax x x x +-=-+，利用()00G =得到()00G '=，从而求得参数的值，然后验证当2a =时，0x =为函数()G x 的极小值点即可.【小问1详解】已知()sin cos g x x x =+，则()cos sin '=-g x x x ，切线的斜率(0)1k g '==，所以函数()y g x =在点(0,1)处的切线方程为1y x =+.【小问2详解】由已知，()e xf x =，()sin cosg x x x =+，令()()e π(4))xf xg x x x ϕ-+==，所以()πe )4x x x ϕ'=-+，()00ϕ=①当π04x -＜＜时，ππ44x +0＜＜，所以π)4x +，而e 1x ＜，则()πe )04xx x ϕ'=+＜，所以，函数()x ϕ在)π(,04-上单调递减，故()()00x ϕϕ=＞；②当0x ≥时，构造函数()sin m x x x =-，()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在区间[)0,∞+上单调递增，()()00m x m ≥=，即sin x x ≥.由（1）e 1x x ≥+，所以当0x ≥时，()e sin cos e 10ϕ=--≥--≥xxx x x x ，当且仅当0x =时等号成立，综上所述，对任意4πx >-时，()()f x g x ≥.【小问3详解】当4πx >-时，不等式sin cos e 20x x x ax ++--≥（a ∈R ），不妨设()e sin cos 2xG ax x x x +-=-+，即()0G x ≥，因为()0G x ≥且()00G =，所以当0x =时，()G x 取得最小值.由于函数()G x 为可导函数，()πe 4xG x a x '=+-，则0x =为函数()G x 的极小值点，故()π01204G a a '=+-=-=，解得2a =，下面证明当2a =时，0x =为函数()G x 的极小值点，由（2）问可知，当4πx >-时，()e cos sin 2xx G x x '=+--，令()e cos sin 2xh x x x =+--，所以()()e sin co 0s xh x x x x ϕ'=--≥=，故函数()G x '在π,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()00G '=，所以当π04x -＜＜时，()()00G x G ''=＜，当0x ≥时，()()00G x G ''=＞，所以函数()G x 在π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在)(0,∞+上单调递增，所以0x =为函数()G x 的极小值点，满足题意.综上所述，2a =.【点睛】含有指数或对数函数的不等式恒成立问题方法点睛：在证明不等式恒成立的题目中，可借助“e 1xx ≥+”或“ln 1≤-x x ”等切线放缩，帮助我们将复杂关系变得简单，从而能够完成整体的证明.。
2020届上海市建平中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2020届上海市建平中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l()A．相交B．平行C．垂直D．异面【答案】C【解析】当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．本题选择C选项.2．如果将312OA⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB，则OB的坐标是A．12⎛-⎝⎭B．21⎫-⎪⎪⎝⎭C．(-D．21⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】先求出直线OA的倾斜角，再求直线OB的倾斜角，即得点B的坐标和OB的坐标.【详解】设直线OA的倾斜角为1tan,36πααα∴==∴=，因为25636πππ+=，|OA|=|OB|,所以点B的坐标为551(cos,sin)662ππ即（，）.故答案为：D【点睛】本题主要考查向量的坐标，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 3．设()f x是定义在R上的奇函数，当0x>时，()()0,1xf x a b a a=+>≠，若()f x在R 上存在反函数，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b >⎧⎨<-⎩或0110a b <<⎧⎨-<<⎩ B ．11a b >⎧⎨≥-⎩或0110a b b <<⎧⎨≤-≥⎩或 C ．121a b >⎧⎨-<<-⎩或0110.5a b <<⎧⎨-<<-⎩ D ．12a b >⎧⎨≤-⎩或010.50a b <<⎧⎨-<<⎩【答案】B【解析】若()f x 在R 上存在反函数，必需保证函数()f x 不存在多个自变量x 对应同一个函数值，再根据函数的单调性和奇函数的图象特点，即可得到答案. 【详解】若()f x 在R 上存在反函数，必需保证函数()f x 不存在多个自变量x 对应同一个函数值，即可，（1）当1a >时，函数()f x 在0x >单调递增，所以()f x 在0x <也单调递增，若1b <-，根据奇函数的性质，则会出现多个自变量x 对应同一个函数值，所以11a b >⎧⎨≥-⎩. （2）当01a <<时，函数()f x 在0x >单调递减，所以()f x 在0x <也单调递减， 若10b -<<，根据奇函数的性质，则会出现多个自变量x 对应同一个函数值，所以0110a b b <<⎧⎨≤-≥⎩或. 故选B. 【点睛】本题考查反函数定义和对概念的理解，考查数形结合思想和图象的平移变换，求解时要会借助草图进行分析求解.4．已知数列{}n a 满足()2*110,n n n a a a a ta n N+=>=-+∈，若存在实数t ，使{}na 单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】A【解析】由{}n a 单调递增，可得1n n a a +>恒成立，则1n t a >+*()n N ∈，分析11t a >+和21t a >+可排除错误选项. 【详解】由{}n a 单调递增，可得21n n n n a a ta a +=-+>，由10a a =>，可得0n a >，所以1n t a >+*()n N ∈.1n =时，可得1t a >+.①2n =时，可得21t a ta >-++，即()()()111a t a a -<+-.②若1a =，②式不成立，不合题意；若1a >，②式等价为1t a <+，与①式矛盾，不合题意. 排除B,C,D,故选A. 【点睛】本题考查数列的性质，结合不等式的性质求解.二、填空题 5．已知集合205x A x x ⎧-=<⎨+⎩,{}2230,B x x x x R =--≥∈,则A B =_________.【答案】(]5,1--.【解析】分别根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合A 和B ，再根据交集的定义求出A B ⋂. 【详解】 ∵集合2{|0}{|52}5x A x x x x -=<=-<<+， 2{|230}{|13}B x x x x R x x x =--≥∈=≤-≥，或，∴{|51}A B x x ⋂=-<≤-，故答案为:(]5,1--． 【点睛】本题考查集合的交集的运算，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用，是基础题.6．若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【解析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部. 【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为：1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.7．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.【答案】【解析】试题分析：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，故ba=1a =，因此b =【考点】双曲线的渐近线.8．求和：12339273n nn n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=______（*n N ∈）.【答案】41n -【解析】把所给的式子变形为0123392731n nn n n n n C C C C C ++++⋯+-，再利用二项式定理可得结果． 【详解】123012339273392731n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C +++⋯+=++++⋯+-(13)141n n =+-=-.故答案为41n -． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，把所给的式子变形后利用二项式定理，是解题的关键，属于中档题．9．若不等式26ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 的值为________． 【答案】4- 【解析】【详解】因为不等式26ax +<的解集62684ax ax ⇔-<+<⇔-<<()840x a a a -∴<<>（舍），48(<0)x a a a-<<,=4a ∴-，故答案为4-.10．已知实数x ，y 满足1201x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则yx 的最小值为______.【答案】13-【解析】作出线性约束条件所表示的区域，目标函数的最小值即为可行域内的点与原点连线斜率的最小值. 【详解】线性约束条件所表示的区域，如图所示：yx表示可行域内的点与原点连线的斜率， 所以当(,)x y 落在点(3,1)A -时，yx取得最小值为13-.故答案为13-.【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用，求解时注意目标函数的几何意义，属于容易题.11．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到D C B A 、、、四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位A 服务的概率是 ． 【答案】140【解析】试题分析：记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A P P E C P ==， 即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． 【考点】本题考查了随机事件的概率点评：求解此类问题时要注意区分几种基本概率模型，注意语言表达的科学性和符合表述的规范性，在解决本部分问题时，要注意分类讨论、等价转化等思想方法的运用 12．已知将函数()()sin 06,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+<<-<<⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则⋅=ωϕ______.【答案】34π-【解析】根据左右平移可得()g x 解析式；利用对称性可得关于ω和ϕ的方程组；结合ω和ϕ的取值范围可分别求出ω和ϕ的值，从而得到结果.【详解】由题意知：()sin 33g x f x x ππωωϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称,42,432k k Z k k Z ππωϕππππωωϕπ''⎧+=+∈⎪⎪∴⎨⎪++=+∈⎪⎩，解得：()3k k ω'=-，,k k Z '∈06ω<< 3ω∴= ,4k k Zπϕπ∴=-+∈ 又22ππϕ-<<4πϕ∴=- 34πωϕ∴⋅=-本题正确结果：34π- 【点睛】本题考查三角函数的平移变换、根据三角函数对称性求解函数解析式的问题，关键是能够根据正弦型函数对称轴的求解方法构造出方程组.13．已知()()22log 2log 11a b -+-≥，则2a b +取到最小值时，ab =______. 【答案】9【解析】根据题意，由对数的运算性质可得(2)(1)2a b --≥且21a b >⎧⎨>⎩，再利用基本不等式结合不等式的性质可得22(2)(1)5525a b a b +=-+-+≥≥，分析可得当且仅当3a b ==时，等号成立，即当3a b ==时，2a b +取到最小值，据此计算可得答案． 【详解】由对数的真数大于0，可得2010a b ->⎧⎨->⎩，因为22log (2)log (1)1a b -+-≥， 所以(2)(1)2a b --≥且21a b >⎧⎨>⎩，所以22(2)(1)55259a b a b +=-+-+≥≥=， 当且仅当2(2)12a b -=-=，即3a b ==时，等号成立， 所以2a b +取到最小值时9ab =. 故答案为9. 【点睛】本题考查基本不等式及不等式的性质的综合应用，注意多次用不等式求最值时，要注意不等式取等的条件要同时满足，考查逻辑推理能力和运算求解能力.14．在ABC ∆中，2BC =，45A ∠=︒，B Ð为锐角，点O 是ABC ∆外接圆的圆心，则OA BC ⋅的取值范围是______.【答案】(2,-【解析】建立适当的直角坐标系，写出各点的坐标，进一步利用向量的数量积，将问题转化成求三角函数的值域问题，从而得到OA BC ⋅的取值范围. 【详解】如图所示：||2BC =，90BOC ∠=°，45CAB ∠=︒， 由于B Ð为锐角，则点A 只能在左半圆上，设AOB θ∠=，则)A θθ3()22ππθ<<，B ，C ，所以(2OA θ=)θ，(BC =2cos 2sin )4OA BC πθθθ⋅=-+=-，因为322ππθ<<，所以5444πππθ<-<，则sin()14πθ<-≤，所以2)4πθ-<-≤，故答案为(2,-．【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算、三角恒等变换、正弦型函数的值域，考查转化与化归思想、数形结合思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 15．已知函数()43cos f x x x =+，等差数列{}n a 的公差为3π，若()()()()1231020f a f a f a f a π+++⋅⋅⋅+=，则5a =______.【答案】3π 【解析】根据等差数列下标和相等，对应项的和也相等，同时利用和差化积公式将条件等价转化为565620()202a a a a π+⋅+=所以可求得56a a π+=，再由公差为3π求得5a 的值. 【详解】()11143cos f a a a =+ ()22243cos f a a a =+ ()33343cos f a a a =+ ⋅⋅⋅()10101043cos f a a a =+，因为()()()()1231020f a f a f a f a π+++⋅⋅⋅+=， 所以56121045()3(cos cos cos )20a a a a a π⋅⋅++⋅+++=， 所以561105645()3[(cos cos )(cos cos )]a a a a a a ⋅⋅++⋅+++11011056565645()3[2coscos 2coscos ]2222a a a aa a a aa a +-+-=⋅⋅++⋅++56110565645()3[2cos(cos cos )]222a a a a a aa a +--=⋅⋅++⋅++ 5656975345()3[2cos (cos cos cos cos cos )]222222a a d d d d da a +=⋅⋅++⋅++++5656975345()6cos (cos cos cos cos cos )266666a a a a πππππ+=⋅⋅++⋅++++565620()202a aa a π+=⋅+-=，显然56a a π+=， 所以55533a a a πππ++=⇒=.故答案为3π. 【点睛】本题考查等差数列的性质运用、三角函数和差化积公式，考查转化与化归思想、函数与方程思想的灵活运用，求解的关键在于三角恒等变形，并能观察出方程的根，考查逻辑思维能力和运算求解能力. 16．设函数()123f x ax b x=--，若对任意的正实数a 和实数b ，总存在[]01,4x ∈，使得()0f x m >，则实数m 的取值范围是______. 【答案】3,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】问题转化为()max f x m >在[]1,4x ∈恒成立，对函数 1()23u x ax b x=--的两个端点值的和进行分类讨论，可得()f x 的最大值是在两个端点处取到，再求最大值的最小值，从而得到m 的取值范围. 【详解】由题意得：()max f x m >在[]1,4x ∈恒成立，设()max ()f x M a =，令1()23u x ax b x=--， 因为21'()20u x a x=--<在[]1,4x ∈恒成立，所以()u x 在[]1,4单调递减，所以183()1234a b u x a b --≤≤--，（1）当155(83)(123)04243aa b a b b --+--=⇒=-，3()38M a a =+；（2）当155(83)(123)04243a ab a b b --+-->⇒<-， 3()12338M a a b a =-->+；（3）当155(83)(123)04243aa b a b b --+--<⇒>-，13()83348M a a b a =+->+；所以当0a >时，3()8M a >，所以38m ≤.故答案为3,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查含绝对值函数的最值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用，求解时要注意讨论的突破口，即由于绝对值内的函数是单调递减，所以加上绝对值后其最大值必在端点处取到，考查逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与平面ABCD 所成的角依次是45︒和12arctan ，2AP =，E ，F 依次是PB ，PC上的点，其中PE EB =，12PF FC =.（1）求直线EC 与平面PAD 所成的角（结果用反三角函数值表示）； （2）求三棱锥F CDE -的体积.【答案】（1）sin6arc ；（2）23【解析】（1）以AD 、AB 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，写各点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后代入线面角的向量求解公式，求得线面角的正弦值，从而得到答案．（2）求出三棱锥底面的面积，再利用向量法求三棱锥的高，最后代入体积公式求得答案. 【详解】（1）分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 依题意得：4=AD ，2AB =，PE EB =，12PF FC =，∴E ，F 分别是PB ，PC 的中点， 则各点坐标分别是：(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ，(1,2,1)F ，(1,4,1)EC =-，又AB ⊥Q 平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n AB ==，设直线EC 与平面PAD 所成的角为α，则sin 6||||2EC n EC n α⋅===⋅⋅，∴直线EC 与平面PAD 所成的角为sin 6rc α．（2）连结,EF DE ，在直角三角形BCE 中，CE ==在直角三角形ADE 中，DE ==∴CDE ∆为等腰三角形，其面积122S =⋅= 由（1）得：(0,2,0)EF =，(1,4,1)EC =-，(2,0,0)DC =，设平面CDE 的法向量(,,)n x y z =，则40,0,(0,1,4)20,0,x y z n EC n x n DC ⎧+-=⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨=⋅=⎩⎩， 设F 到面CDE 的距离为h ，则2||||17EF n h n ⋅==，∴三棱锥F CDE -体积112333CDE V S h ∆=⋅⋅==.【点睛】本题考查利用空间向量求线面角、求点到面的距离，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意坐标运算的准确性，属于中档题． 18．已知函数()2cos 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()11sin 22g x x =+. （1）设0x 是函数()y f x =的一个零点，求()0g x 的值； （2）求函数()()()h x f x g x =+在[]0,π上的单调递增区间.【答案】（1）54；（2）0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用倍角公式可得函数1cos(2)6()2x f x π++=，由于0x 是函数()y f x =的一个零点，可得0()0f x =，化为0cos(2)16x π+=-，即可得出02x ．进而得出0()g x ．（2）利用倍角公式、两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性，求出()h x 的单调递增区间，再与区间[]0,π取交集． 【详解】（1）函数21cos(2)6()cos ()122x f x x ππ++=+=， 0x 是函数()y f x =的一个零点，0011()cos(2)0226f x x π∴=++=，化为0cos(2)16x π+=-， ∴0226x k πππ+=+，解得0522()6x k k Z ππ=+∈．∴00115115()1sin 21sin(2)1226224g x x k ππ=+=++=+⨯=．（2）函数21()()()cos ()1sin 2122h x f x g x x x π=+=+++1cos(2)161sin 222x x π++=++ 311(cos 2cos sin 2sin )sin 222662x x x ππ=+-+132sin 2442x x =++ 13sin(2)232x π=++． 由222232k x k πππππ-≤+≤+，解得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈． ∴函数()h x 的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈与区间[]0,π的交集为：0,12π⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦7,12ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， ∴函数的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查倍角公式、两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性、函数的零点等知识的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力，注意单调区间用“逗号”或者“和”隔开，而不能并起来，属于中档题．19．已知点()00,A x y 在抛物线24y x =上，,P Q 是直线2y x =+上的两个不同的点，且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求0y 的取值范围；（Ⅱ）若APQ的面积等于0y 的值. 【答案】（Ⅰ）04y >或00y <；（Ⅱ）02y =±.【解析】（Ⅰ）设(,2)P a a +，(,2)Q b b +，20(,)4y A y ，AP 的中点20042(,)82y a y a M +++代入抛物线得到二次方程22000(42)440x y x y y ---++=，>0∆解得答案.（Ⅱ）先计算A 到PQ的距离2d =，再计算PQ =，代入面积公式得到答案. 【详解】（Ⅰ）设(,2)P a a +，(,2)Q b b +，200(,)4y A y ， 则AP 的中点20042(,)82y a y a M +++，代入24y x =得：22000(42)440a y a y y ---++= 同理可得：22000(42)440b y b y y ---++=所以，,a b 是方程22000(42)440x y x y y ---++=的两个根22000(42)4(44)y y y ∴∆=---++2008320y y =->解得：04y >或00y <（Ⅱ）点A 到PQ 的距离200|2|y yd -+=2= 由韦达定理可知：042a b y +=-，20044ab y y=-++则|||PQ a b =-==1||2APQS PQd ∆∴==212⋅=t =，则有：38240t t +-=，即：2(2)(212)0t t t -++=，解得2t =，即200440yy --=，解得：02y =±【点睛】本题考查了抛物线，面积问题，将问题转化为二次方程解的个数问题是解题的关键，简化了运算.20．若函数()f x 满足：对于任意正数m ，n ，都有()0f m >，()0f n >，且()()()f m f n f m n +<+，则称函数()f x 为“速增函数”.（1）试判断函数()21f x x =与()()22log 1f x x =+是否是“速增函数”；（2）若函数()()21221xxg x a -=-+-为“速增函数”，求a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“速增函数”，且()11f =，求证：对任意()()1*2,2k k x k N -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->-⎪⎝⎭. 【答案】（1）()1f x 是，()2f x 不是；（2）11[,]22-；（3）证明见解析【解析】（1）21()f x x =根据定义进行判断即可，()()22log 1f x x =+利用特殊值，举出反例；（2）根据定义可知()312(31)0nn g n a -=-+->，即(31)(32)0n na -->对一切正数n 恒成立，可得12a ≤，由()()()g n g m g n m +<+，可得 ()()()()21221[2122121221]0m n m n m m n n a a a +-+---+---+-+-+->得出12a ≥-，最后求出a 的范围；（3）根据定义，令m n =，可知(2)2()f m f m >，即(2)2()f m f m >，故对于正整数k 与正数m ，都有112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f f f f m f m f f f m m m m m m ---=⋅>，进而得出结论． 【详解】（1）对于函数21()f x x =，当0m >，0n >时，2211()0,()0f m m f n n =>=>，又222111()()()()20f m f n f m n m n m n mn +-+=+-+=-<，所以111()()()f m f n f m n +<+，故21()f x x =是“速增函数”.对于函数()()22log 1f x x =+，当1m n ==时，2222()()2log 3()f m f n f m n +=>=+，故()()22log 1f x x =+不是“速增函数”.（2）当0n >，0m >时，由()212(21)x xg x a -=-+-是“速增函数”，可知()212(21)0nn g n a -=-+->，即(21)(22)0n n a -->对一切正数n 恒成立，又210n ->，可得22n a <对一切正数n 恒成立，所以12a ≤. 由()()()g n g m g n m +<+，可得22212(2221)0m nm n m m n n a +------++--+>，即(21)(21)2(21)(21)(21)(21)2(21)(21)2nmmn m m n mn a a -------+--=--+--(21)(21)22(21)(21)0m n n m n m a --=--+⋅-->，故(21)(21)(22)0mnm na +--+>，又(21)(21)0n m -->，故022m n a ++>，由022m n a ++>对一切正数m ，n 恒成立，可得210a +≥，即12a ≥-． 综上可知，a 的取值范围是11[,]22-． （3）由函数()f x 为“速增函数”，可知对于任意正数m ，n ， 都有()0f m >，()0f n >，且()()()f m f n f m n +<+， 令m n =，可知(2)2()f m f m >，即(2)2()f m f m >， 故对于正整数k 与正数m ，都有112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f f f f m f m f f f m m m m m m ---=⋅>， 对任意1(2k x -∈，2)(*)kk N ∈，可得11(2,2)k k x--∈，又(1)1f =， 所以11112()(2)(2)(2)2(1)22k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>，同理11111112()(2)(2)(2)2(1)2kk k k k f f f f f xx x-----<--<≤=<，故12()()2x f x f x x->-． 【点睛】本题考查新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合性强，难度较大．21．已知有穷数列1:A a ，2a ，⋯，na ，(2)n …．若数列A 中各项都是集合{|11}x x -<<的元素，则称该数列为Γ数列．对于Γ数列A ，定义如下操作过程T ：从A 中任取两项i a ，j a ，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除i a ，j a ，这样得到一个1n -项的新数列1A （约定：一个数也视作数列）．若1A 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到的新数列记作2A ，⋯，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A ． （1）设:0A ，12，13⋯请写出1A 的所有可能的结果； （2）求证：对于一个n 项的Γ数列A 操作T 总可以进行1n -次； （3）设5:7A -，16-，15-，14-，56，12，13，14，15，16⋯求9A 的可能结果，并说明理由． 【答案】（1）11;3A ，12；11:2A ，13；1:0A ，57．；（2）证明见解析；（3）95:6A【解析】（1）直接按定义来操作，每次取两个数代入计算即可求出1A 的所有可能的结果；（2）先通过作差得到每次操作后新数列仍是T 数列；再根据每次操作中都是增加一项，删除两项即可得到结论； （3）先定义运算：1a ba b ab+=+，并证明这种运算满足交换律和结合律；再结合（2）可知9A 中仅有一项，再按定义先求出5A ，综合即可得到9A 的可能结果． 【详解】（1）直接按定义来操作，当取0，12时代入计算可得：113A :，12；当取0，13时可得11:2A ，13； 当取12，13时，可得1:0A ，57．故有如下的三种可能结果：11;3A ，12；11:2A ，13；1:0A ，57．（2）因为对a ∀，{|11}b x x ∈-<<，有(1)(1)1011a b a b ab ab +----=<++且(1)(1)(1)011a b a b ab ab+++--=>++ 所以{|11}1a bx x ab+∈-<<+，即每次操作后新数列仍是T 数列． 又由于每次操作中都是增加一项，删除两项， 所以对T 数列A 每操作一次，项数就减少一项，所以对n 项的T 数列A 可进行(n )1-次操作（最后只剩下一项）. （3）由（2）可知9A 中仅有一项．对于满足a ，{|11}b x x ∈-<<的实数a ，b 定义运算：1a ba b ab+=+， 下面证明这种运算满足交换律和结合律．因为1a b a b ab +=+，且1b ab a ba+=+，所以a b b a =，即该运算满足交换律； 因为1()1111b c a b c a b c abc bc a b c ab c bc ab bc aca bc+++++++===+++++++ 且1()1111a bca b a b c abcab a b c c a b ab ab ac bc c ab+++++++===+++++++ 所以()()a b c a b c =，即该运算满足结合律． 所以9A 中的项与实施的具体操作过程无关， 选择如下操作过程求9:A由（1）可知115237=； 易知55077-=，11044-=，11055-=，11066-=； 所以55:6A ，0，0，0，0；易知5A 经过4次操作后剩下一项为56．综上可知：95:6A ．【点睛】本题是一道综合性很强的题，解题时要认真审题，理解定义，并会用新定义来解题，仔细解答，避免错误．。
高三月考数学试卷含解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心为（）。
A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(2, 0)$D. $(3, 1)$2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 + a_5 = 10$，$a_3 + a_4 = 12$，则$a_1$的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知圆$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$的半径为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数$y = \log_2(x - 1)$的图象与直线$y = 3x - 1$的交点个数为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 3i| = |z + 2|$，则$z$在复平面内的轨迹是（）。
B. 圆C. 直线D. 双曲线6. 在三角形ABC中，$AB = 4$，$AC = 6$，$BC = 8$，则$\cos A$的值为（）。
A. $\frac{1}{4}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{4}$D. $\frac{5}{8}$7. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(-1) = 0$，$f(1) = 0$，则$f(0)$的值为（）。
A. $-a$B. $-b$C. $-c$D. $a$8. 若$|x - 1| + |x + 2| = 3$，则$x$的取值范围是（）。
A. $-2 \leq x \leq 1$B. $-2 < x < 1$C. $x \leq -2$ 或 $x \geq 1$D. $x > -2$ 且 $x < 1$9. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n = 3n^2 - 2n$，则$a_5$的值为（）。
上海名校试卷--上海市建平中学2020届高三下学期数学练习题
建平中学2020届高三数学练习一、填空题(本大题共有12题，本大题满分54分)只要求直接填写结果，第1-6题每题填对得4分,第7-12题每题填对得5分，否则一律得零分.1.已知22{|1},{|log (1)1},A x B x x x=>=-<则A∩B=___ 2.函数f(x)= 3 tan(-2x)的最小正周期为___3.计算:13(2)lim 32n nn nn +→∞--=+____ 4.直线l 的方程为10223012xy =-,则直线l 的一个法向量是___ 5.若实数a,b,m 满足25,a b m ==且212,a b +=则m 的值为___ 6.设常数a ∈R,命题“存在x ∈R,使240x ax a +-≤”为假命题，则a 的取值范围为____7.某微信群中四人同时抢3个红包(金额不同)，假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个,则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为_____8.如果函数y= 3cos(2x+ φ)的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么|φ|的最小值为____ 9.如图,在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点,∠ABC=90°, BA= BC,球心O 到平面ABC 的距离是32,2则B 、C 两点的球面距离是___10.若点P(x, y)在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则y x 的取值范围是___ 11. 已知4024012341(32),x a a x a x a x +=++++L 若数列12,,,(141,)k a a a k k N ≤≤∈L 是一个单调递增数列,则k 的最大值为____12. 函数11y x=-的图像与函数y=2sinπx (x ∈[-k-2,k+4],k ∈Z) 的图像所有交点的横坐标之和等于2012,则满足条件的整数k 的值是____二、选择题(本大题共有4题，本大愿满分20分)每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的,选对得5分，否则一律得零分。
上海市建平中学2020届高三下学期3月月考数学试题(教师版)
高三数学综合练习一、填空题1. 双曲线2226x y -=的焦距为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a ，b ，c ，可得焦距2c 的值．【详解】双曲线2x 2﹣y 2＝6即为22x y 36-=1，可得a =b =c =3，即焦距为2c ＝6． 故答案为6．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题． 2. 复数3412iz i+=-，则z =______.【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则化简，然后求解复数的模． 【详解】复数z 满足34(34)(12)5101212(12)(12)5i i i iz i i i i +++-+====-+--+．则||z ==【点睛】本题考查是的除法运算，复数的模的求法，考查计算能力，属于基础题．3. 已知61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中的第五项系数为152，则正实数a =_____.【答案】2【解析】【分析】由二项式定理的通项公式可得：24615a 2=，解出即可得出． 【详解】T 542424661(ax)()a x==x ﹣2，∴24615a2=，a ＞0． 解得a 2=． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题． 4. 已知各项均为正数的数列{}n a ，前n 项和112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则通项n a =______.【解析】 【分析】 通过112n n n S a a⎛⎫=+⎪⎝⎭计算出数列{}n a 前几项的值，并猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可． 【详解】112n nn S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，111112a a a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，解得： 11a =或11a =- (舍)，2212112a a a a ⎛⎫∴++ ⎝=⎪⎭，即2221112a a a ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，整理得：222102a a -∴=+，解得：21a =或21a = (舍)，23133112a a a a a ⎛⎫∴+++ ⎪⎝⎭=，即，整理得：23310a +-=，解得：2a =2a =(舍)，猜想：=n a 下面用数学归纳法来证明： ①当n =1时，命题显然成立；②假设当n =k (k ⩾2)时,有k a =则111121112k k k kk k k a S S a a a a +++⎛+⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+1111122k k a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭+11112k k a a ++⎛⎫=+- ⎪⎝⎭整理得：21110k k a +++-=，解得：1k a +1k a += (舍)， 即当n =k +1时，命题也成立；由①、②可知数列{}n a的通项公式=n a【点睛】本题主要考查由递推关系求通项公式，考查了归纳推理的应用，同时考查了利用数学归纳法证明，属于中档题. 5. 已知函数()3113x f x a x a +⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭的图像与它的反函数的图像重合，则实数a 的值为___.【答案】-3 【解析】 【分析】 先求反函数：y ax 1x 3-+=-，利用函数f （x ）3x 1x a +=+（a 13≠）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．【详解】由y 3x 1x a +=+（a 13≠），解得x ay 13y -=-（y≠3），把x 与y 互换可得：y ax 1ax 13x x 3--+==--， ∵函数f （x ）3x 1x a +=+（a 13≠）图象与它的反函数图象重合， ∴﹣a ＝3，解得a ＝﹣3．故答案为﹣3．【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为________3cm【答案】32 【解析】 【分析】根据三视图还原出几何体，然后根据三视图的数据求出几何体的体积，得到答案. 【详解】根据三视图还原出几何体，如图所示， 可以看作是由四个棱长为2的正方体组合而成， 故其体积为：422232⨯⨯⨯= 故答案为：32.【点睛】本题考查根据三视图还原几何体，求几何体的体积，属于简单题.7. 已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =____. 【答案】13【解析】 【分析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=，由此能求出EF ． 【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3， ∴EO∥CD，且EO 1CD 12==，FO∥AB，且FO 1AB 2==1， ∴∠EOF 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角， ∴πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=， 当∠EOF π3=时，△EOF 是等边三角形，∴EF＝1． 当2πEOF 3∠=时，EF 2212π1111cos 323=+-⨯⨯⨯=． 故答案为1或3．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题8. 若直线()220,0ax by a b +-=>始终平分曲线cos 2sin 1x y αα=+⎧⎨=+⎩[)()0,2απ∈的周长，则12a b +的最小值为______. 【答案】322+【解析】 【分析】消去曲线的参数可知曲线为圆，且直线过圆心，则可得a +b =1，再利用基本不等式可求最小值.【详解】消去曲线的参数可得()()22211x y -+-=，可知该曲线是以()2,1为圆心，半径为1的圆，因为直线()220,0ax by a b +-=>始终平分该圆周长，则圆心()2,1在直线上， 代入得1a b +=，()121222323322b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫∴+=++=++≥⋅+=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当2b aa b=，即21,22a b =-=-时，等号成立. 故答案为：322+.【点睛】本题考查直线与圆的关系，考查基本不等式求最值，属于中档题.9. 已知点()3,3A ，O 是坐标原点，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-≤⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA 在OP 上的投影，则z 的取值范围是__________. 【答案】[]3,3- 【解析】 【分析】作出可行域.根据投影的定义得23cos z AOP =∠，数形结合求出AOP ∠的取值范围，即求z 的取值范围. 【详解】作出可行域，如图所示cos 3OA OP z OA AOP AOP OP⋅==⋅∠=∠.5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，∴当6AOP π∠=时，max 2336z π==；当56AOP π∠=时，min 52336z π==-，z ∴的取值范围是[]3,3-.故答案为：[]3,3-.【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影，属于中档题.10. 已知01a <<，设函数()132020201920201x xf x x ++=-+，[],x a a ∈-的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为______.【答案】4039 【解析】 【分析】化为对称形式，利用对称性可得到结果.【详解】()1333202020191114039202020201202012020122x x x xf x x x x ++⎛⎫=-=--=---+ ⎪+++⎝⎭，()f x 图象关于点40390,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，4039M m +=. 故答案为：4039【点睛】本题考查函数的对称性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题．11. 已知,a b ∈R 且01a b ≤+≤，函数()2f x x ax b =++在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在一个零点，则2a b -的取值范围为______. 【答案】[]0,1 【解析】 【分析】根据函数()2f x x ax b =++在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在一个零点，转化为()1002f f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭且01a b ≤+≤或()20010210224001f f aa b a b ⎧≥⎪⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨-<-<⎪⎪∆=-≥⎪⎪≤+≤⎩，然后利用线性规划求解. 【详解】因为函数()2f x x ax b =++在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在一个零点，所以()1002f f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭且01a b ≤+≤或 ()20010210224001f f aa b a b ⎧≥⎪⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨-<-<⎪⎪∆=-≥⎪⎪≤+≤⎩， 即1104201b a b a b ⎧⎛⎫⨯-+≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤+≤⎩或 20114210224001b a b a a b a b ≥⎧⎪⎪-+≥⎪⎪⎨-<-<⎪⎪∆=-≥⎪⎪≤+≤⎩， 其对应的平面区域如图所示：或平移直线20a b -=，当直线在y 轴上的截距最小值时，目标函数取得最大值，此时经过点()1,0，最大值为1，当直线在y 轴上的截距最大值时，目标函数取得最小值，此时经过点()0,0，最小值为0， 所以2z a b =-的取值范围为[]0,1， 故答案为：[]0,1【点睛】本题主要考查函数的零点分布，线性规划，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 12. 在数字1，2，3，，n （2n ≥）的任意一个排列A ：1a ，2a ，3a ，，n a 中，如果对于i ，j ∈*N ，i j <，有i j a a >，那么就称(),i j a a 为一个逆序对.记排列A 中逆序对的个数为()S A .对于数字1，2，3，，n （2n ≥）的一切排列A ，则所有()S A 的算术平均数为______.【答案】()14n n - 【解析】 【分析】由题中逆序对的概念，运用组合数知识可得排列A 中的数对(),i j a a 共有2n C 个，进而求得结果.【详解】排列A ：1a ，2a ，3a ，，n a 与排列1A ：n a ，1n a -，2n a -，…，2a ，1a ，因为数对(),i j a a 与(),jia a 中必有一个为逆序对，且排列A 中的数对(),ija a 共有2nC个，所以()()21n S A S A C +=，所以所有()S A 的算术平均数为()2124nn n C -=. 故答案为：()14n n -.【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列和排列组合的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.二、选择题13. 已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B 【解析】试题分析：由三角形的面积公式，得，即，解得，又因为三角形为锐角三角形，所以.考点：三角形的面积公式.14. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 144 B. 72C. 54D. 36【答案】B 【解析】【分析】两位女生相邻，将其捆绑在一起，和另一位女生不相邻，采用插空法．【详解】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生， 插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有22232372A A A =种， 故选：B ． 【点睛】本题考查排列组合，需熟练掌握捆绑、插空法，属于基础题15. 已知数列{}n a 的通项公式为()()*11n a n N n n =∈+，其前n 项和910n S =，则双曲线2211x y n n-=+的渐近线方程为（ ） A. 223y x =±B. 324y x =±C. 31010y x =±D. 103y x =±【答案】C 【解析】 【分析】 先利用()()*11n a n N n n =∈+与910n S =求得n ,再根据2211x y n n-=+渐近线方程为1n y x n =+求解即可.【详解】由()11111n a n n n n ==-++得1111111 (11223111)n n S n n n n =-+-++-=-=+++. 又910n S =即9110n n =+,故9n =,故双曲线221109x y -=渐近线为931010y x x == 故选C 【点睛】本题主要考查了裂项相消求和与双曲线的渐近线方程等,属于基础题型. 16. 已知单位向量,a b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--的最小值为（ ） A.19312B.1312C.2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据题意可设(1,0)a =,(0,1)b =,则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--可化简整理为其可理解为动点(,)t t 到两定点7(0,1),1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离之和,因此根据其几何意义即可求出最值.【详解】由题知,a b 是单位向量,且0a b ⋅=, 故不妨取(1,0)a =,(0,1)b =, 设5|()|(1)()12T t b a a b t a b =-+++-- 5(1,1)(1,0)0,(1)(1,1)12t t ⎛⎫=⋅-+++-- ⎪⎝⎭==设(,)P t t ,(0,1)A ,71,12B ⎛⎫⎪⎝⎭, 则T 表示动点(,)P t t 到两定点7(0,1),1,12A B ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和,所以||||||T PA PB AB =+=1312=, 故选:B.【点睛】本题考查平面向量的运算､平面向量的数量积与模长.解决此类题的关键:一是特取法,根据题设条件,选择满足题意的向量,即可简化求解过程;二是借形解题,即利用函数所表示的几何意义,结合图象的直观性,可快速求得最值.三、解答题17. 在四棱锥P ABCD -中，底面为梯形，//AB CD ，90BAP CDP ︒∠=∠=，2PA PD AB ===，PA PD ⊥，四棱锥P ABCD -的体积为4.（1）求证：AB ⊥平面PAD ；（2）求PC 与平面ABCD 所成角.（结果用反三角函数表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）10arcsin . 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可证AB DP ⊥，再结合AB AP ⊥，即可得证结论；（2）取AD 的中点E ，连结PE ，CE ，证明PE ⊥平面ABCD ，作出PC 与平面ABCD 所成角，通过解直角三角形，即可求出结论.【详解】（1）∵90BAP CDP ︒∠=∠=，∴AB AP ⊥，CD DP ⊥， 又//AB CD ，所以AB DP ⊥，∵AP DP P ⋂=，AP ，DP ⊄面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ；（2）如图，作AD 的中点E ，连结PE ，CE ， ∵PA PD =，PA PD ⊥ ∴PE AD ⊥，22AD =122PE AD ==由（1）AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥， 又AB AD A ⋂=，AB ，AD ⊄面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，即PE 为四棱锥P ABCD -的高，PCE ∠为PC 与平面ABCD 所成，.由四棱锥P ABCD -的体积为4，可得：1112422233232ABCD AB CD CD S PE AD PE ++=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅梯形解得4CD =，在Rt PDC中，22222425PC PD DC =+=+=，Rt PEC 中，210sin 25PE PCE PC ∠===，10arcsin PCE ∠=， 所以PC 与平面ABCD 所成角为10arcsin10.【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查求线面角，求线面角要体现“作、证、算”三步骤，考查逻辑思维能力和空间想象能力，考查计算能力，属于常考题. 18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若1n n S pa =+（0,1p ≠），*n N ∈，且n S 递增，求p 的取值范围； （2）若20190S =，122320182019201912222a a a a a a a a -=-==-=-，求证：1220190a a a ====.【答案】（1）0p <；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先由n a 与n S 的关系求出{}n a 的通项公式1111n n p a p p -⎛⎫= ⎪--⎝⎭，再由n S 递增可得111011nn n n p S S a p p ++⎛⎫-==> ⎪--⎝⎭对任意自然数n 恒成立，进而得出满足题意的不等式组求解即可；（2）设1122b a a =-，2232b a a =-，…，2018201820192b a a =-，2019201912b a a =-，1223201820192019122...22a a a a a a a a t -=-==-=-=，由题意可得1220182019...0b b b b ++++=，设1b ，2b ，…，2018b ，2019b 中有非负数有m 个，非正数有（2019m -）个，依此列出方程()20190mt m t --=，可得0t =，进而得解.【详解】（1）111111n n n n nn n n n a pS pa S S a pa pa a p ++++=+⇒-==-⇒=-， 1111111S a pa a p ==+⇒=-，所以{}n a 为等比数列，1111n n p a p p -⎛⎫= ⎪--⎝⎭，由题意，111011nn n n p S S a p p ++⎛⎫-==> ⎪--⎝⎭对任意自然数n 恒成立，则10101p p p ⎧>⎪-⎪⎨⎪>⎪-⎩，0p ⇒<；（2）设1122b a a =-，2232b a a =-，…，2018201820192b a a =-，2019201912b a a =-，1223201820192019122...22a a a a a a a a t -=-==-=-=，因20190S =，所以有1220182019...0b b b b ++++=，设1b ，2b ，…，2018b ，2019b 中有非负数有m 个，非正数有（2019m -）个， 则()()20190220190mt m t m t --=⇒-=， 因为220190m -≠，则0t =，则1220190a a a ====，从而得证.【点睛】本题考查n a 与n S 的关系的应用，考查构造数列，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题. 19. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，123cos ,cos 135A C ==．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 【答案】（1）索道AB 的长为1 040 m ；（2）t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短. 【解析】试题分析：（1）在△ABC中，由cosA和cosC可得sinA根和sinC，从而得sinB，由正弦定理AB AC sinC sinB=，可得AB；（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，由余弦定理得d2＝200(37t2－70t＋50)，结合二次函数即可得最值.试题解析：（1）在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝.从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．所以索道AB的长为1 040 m.（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m 所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝ (min)时，甲、乙两游客距离最短.点睛：本题主要考查了解三角形的实际应用．实际应用题一般是关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，转化为数学模型，列出数学表达式，再通过正弦、余弦定理，勾股定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．20. 已知椭圆C：22221x ya b+=上的点到右焦点F32且短轴两端点和长轴的一个端点构成等边三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 为直线l ：40x y +-=在第一象限上一点，且F 到直线OM 的距离为1，求以线段OM 为直径的圆方程；（3）设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y 是椭圆C 三个不同点，记：1114a x y =+-，2224a x y =+-，3334a x y =+-，若1a ，2a ，3a 成等差数列，求其公差d 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）()()22112x y -+-=；（3）[)(]2,00,2-.【解析】 【分析】(1）根据题意可以列出关于a ，b ，c 的三个方程，解出a ，b 即可求得椭圆C 的方程;(2）由几何关系得45FOM ∠=︒，于是OM l ⊥，进而求出直线OM 的方程，再求出点M 的坐标，再求出以线段OM 为直径的圆的圆心和半径，即可求解;(3）先设点(),P x y 为椭圆C ：2213x y +=上任意一点，求出4x y +-的范围，再结合等差数列性质即可求得公差d 的取值范围.【详解】（1）设右焦点为(),0F c ，由题意32a c -=，3a b ，2223a b c a =+⇒=，1b =，2c =所以椭圆C 的方程为2213x y +=（2）由)2,0F到直线OM 的距离为1，知45FOM ∠=︒，即()2,2OM l M ⊥⇒所以以线段OM 为直径的圆方程为()()22112x y -+-=（3）设点(),P x y 为椭圆C ：2213x y +=上任意一点，其中x θ=，sin y θ=，则[]4sin 42sin 42,63x y πθθθ⎛⎫+-=+-=+-∈ ⎪⎝⎭所以，[]1326242,2a a d d -=≤-=⇒∈- 又由已知0d ≠，所以[)(]2,00,2d ∈-.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的基本量求解，圆的标准方程及等差数列的性质，主要考查学生转化能力与运算能力，属于中档题.21. 设对集合D 上的任意两相异实数1x ，2x ，若()()()()1212f x f x g x g x -≥-恒成立，则称()f x 在D 上优于()g x ；若()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，则称()f x 在D 上严格优于()g x . （1）设()f x 在R 上优于()g x ，且()y f x =是偶函数，判断并证明()y g x =的奇偶性； （2）若()f x 在R 上严格优于()g x ，()()()h x f x g x =+，若()y f x =是R 上的增函数，求证：()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）设函数()log 8a f x x =，()()()log log a a g x a x a x =+--，若01a <<，是否存在实数()0,t a ∈使得()f x 在(]0,D t =上优于()g x ，若存在，求实数t 的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，)1a .【解析】 【分析】（1）令1x x =，2x x =-代入已知不等式中，再结合()y f x =是偶函数，即可证明()y g x =是偶函数； （2）根据新定义先列出不等式，再把()y f x =是R 上的增函数转化为若12x x <，则12()()f x f x <，代入不等式即可证明()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）先根据新定义列出不等式，再将不等式化简得到()212120a x x a x x --+≥在1x ，(]20,x t ∈时恒成立.令2220a t at --=，取)1t a =，证明当)1201x x a <<≤时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+>--=⎣⎦，再证明，当)121a x x a ≤<<时不合题意，从而求得t 的最大值．【详解】（1）设x 为任意实数，因为()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()0f x f x --=， ∴()()0g x g x --≤，即()()g x g x -= ∴()y g x =为偶函数.（2）对于任意1x ，2x ，且12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 即()()120f x f x -<，所以()()()()()()121221g x g x f x f x f x f x -<-=-()()()()()()()()()()1212211122f x f x g x g x f x f x f x g x f x g x -<-<-⇒+<+即()()12h x h x <，得证.（3）若存在实数()0,t a ∈使得()f x 在(]0,D t =上优于()g x ，因为01a <<，()()()()1212f x f x g x g x -≥-，在1x ，(]20,x t ∈时恒成立，不妨设120x x t <<≤，则1201x x <<，∴()()112122log 8log 8log a a ax f x f x x x x -=-=，()()()()()()22122112211212221212211221log log log log a a a a a x x a x x a x x a x x a x a x g x g x a x a x a x x a x x a x x a x x ------++-=-==---+--+-∴()()212211221221a x x a x x x x a x x a x x ---≤-+-在1x ，(]20,x t ∈时恒成立 ()()()()212121221120a x x x x x x a x x x x ⇔---+-+≤在1x ，(]20,x t ∈时恒成立 ()212120a x x a x x ⇔--+≥在1x ，(]20,x t ∈时恒成立.令2220a t at --=，取)1t a =当)1201x x a <<≤时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+>--=⎣⎦，当)121a x x a ≤<<时，()))222212121210a x x a x x aa a⎡⎤--+<--=⎣⎦，不合题意.综上所述，实数t 的最大值为)1a .【点睛】本题考查函数的性质（单调性，奇偶性），考查不等式恒成立的转化，新定义问题，着重考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
2020届上海市建平中学高三上学期9月月考数学试题(解析版)
【解析】记 ，依题意可得 ，将两边平方再累加即可得到 ，从而得解；
【详解】
解：记 ，
则 ，
其中 ，规定 ，
对上式两边平方得 ， ，
累加得 ，
所以 时，必有 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的数量积的运算，属于中档题.
二、填空题
5．函数 的最小正周期为_______________.
【答案】
【答案】
【解析】根据平移原则得到 ，根据三角函数的有界性可得 ，可得 的值，代入 即可得结果.
【详解】
由函数 的图象向右平移 个单位，
得 ，
∵存在 使得 ，
∴ ， ，
即 ，即 ，
故 ，
解得 ，结合 ，得 的最小值为 ，
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的平移以及三角函数的有界性，得出 ， 是解题的关键，属于中档题.
由题f（x）过点（4,2）,所以
【考点】反函数
10．设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ________.
【答案】
【解析】根据等差数列的求和公式直接计算即可.
【详解】
,
,
，
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题.
11．若行列式 中的元素4的代数余子式的值等于 ，则实数 的取值集合为____________.
（2）在 中， 分别是角 所对的边，若 ，且 ，求边 的值．
【答案】(1) ， ；（2） .
【解析】试题分析：（1）跟据二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式可得 ，根据正弦函数的图象与性质可得结果；（2）由 ，得 ，结合三角形内角的范围可得 或 ，讨论两种情况分别利用余弦定理可求出边的值.
高三 上海市建平中学2022届高三上学期9月开学考试数学试题(解析版)
消去y，得 ，即 ．
由 ，
所以N的横坐标为 ，
得N的纵坐标为 ，
得N的坐标为 ．
所以直线ON的斜率为 ，方程为 ，
与直线 交于点 ．
故直线FM的斜率为 ，于是 ，因此 ；
（3）
．
令 ，由 ，得 ，
又 ，得 ．
即 ，所以 的取值范围为 ，最大值为 ．
【点睛】求解弦长有关的最值问题，可结合根与系数关系，来进行求解.求最值可利用二次函数、基本不等式、导数等知识.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，令 ，由条件求得而 ，即 而由 知， ，于是得到 的值，将其值域用列举法表示即可得答案．
【详解】解：根据题意，令 ，
对任意 都有 ，故有 ，否则，可得 ，这与 矛盾；
从而 ，而由 ，即得 ．
又由 是增函数，则 ，即 ，于是得到 ．
又 ，从而 ，即 ．
而由 知， ．
于是 ，
详解】解：由 得 ， ，
，
故答案为 ．
点睛】本题考查了反函数得求法，属基础题．
4.设 为单位向量，且 互相垂直，若 ，则向量 在 方向上的投影为______．
【答案】
【解析】
【分析】先由已知有 ， ， ， 又 ，再由投影公式得 ．
【详解】解：由已知有 ， ， ，
又 ，
设 的夹角为 ，
则向量 在 方向上的投影为：
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据配角公式化简函数解析式，再根据条件得周期解得 ，代入最高点坐标解得c,最后根据正弦函数性质求增区间，（2）先根据向量数量积解得角B，再根据三角形内角关系求角 的取值范围，最后根据正弦函数性质求函数值域.
上海市浦东新区建平中学2020-2021学年高三(下)月考试题
上海市浦东新区建平中学2020-2021学年高三（下）月考试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列物理概念的建立不属于用到“等效替代”方法的是( )A．质点B．重心C．平均速度D．合力2．对电磁感应现象进行深入研究并获得巨大成就的科学家是（）A．奥斯特B．法拉第C．库仑D．欧姆3．关于磁感线,下列说法正确的是( )A．磁感线是磁场中客观存在的曲线B．在磁场中由小铁屑排列成的曲线就是磁感线C．磁感线上的每一点的切线方向就是该处的磁场方向D．磁感线总是从磁体的N极出发到S极终止4．伽利略为了研究自由落体的规律，将落体实验转化为著名的“斜面实验”，从而创造了一种科学研究的方法．利用斜面实验主要是考虑到，实验时便于测量小球运动的（）A．速度B．时间C．路程D．加速度5．关于布朗运动，下列说法中正确的是（）A．液体分子的无规则运动就是布朗运动B．布朗运动的激烈程度跟温度无关C．布朗运动是悬浮在液体中的固体颗粒不断地受到液体分子的撞击而引起的D．悬浮在液体中固体颗粒越大，在某一瞬时撞击它的分子数越多，布朗运动越明显6．两列振幅和波长都相同而传播方向相反的波（如图甲所示），在相遇的某一时刻，两列波“消失”（如图乙所示）．此时介质在x、y两质点的运动方向是（）A．x向下，y向上B．x向上，y向下C．x、y都向上D．x、y都向下7．图为一段某质点做匀变速直线运动的x-t图线，从图中所给的数据可以确定质点在运动过程中经过图线上P点所对应位置的瞬时速度大小一定A．大于2m/sB．等于2m/SC．小于2m/sD．无法确定8．如图所示电路中，电源电压U恒定，由于某元件出现故障，使灯L1变亮，灯L2不亮，其原因可能是（）A．R1断路B．R2断路C．R2短路D．R1短路9．如图所示，某人用托里拆利管做测定大气压强的实验时，由于管内漏进了空气，测得管内汞柱的高度仅为70cm，但当时的实际大气压强为一个标准大气压(相当于76厘米高的汞柱产生的压强)。
2020年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷 (含答案解析)
2020年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 32. 若(2x −1)2015=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2015x 2015(x ∈R)，则12+a222a 1+a323a 1+⋯+a201522015a 1的值为( )A. 12015B. −12015C. 14030D. −140303. 已知函数f(x)=log 2x −(13)x，若实数x 0是方程f(x)=0的解，且0<x 1<x 0，则f(x 1)的值( )A. 恒为负B. 等于零C. 恒为正D. 不小于零4. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，点E 、F 分别在棱A 1D 1，AB 上，且线段EF 的长恒等于2，则EF 的中点P 的轨迹是( )A. 圆的一部分B. 椭圆一部分C. 球面的一部分D. 抛物线一部分二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|log 2x ≤2}，则A ∩B = ______ ．6. 复数z =(3+i)⋅i 的实部是______．7. 已知△ABC 中，点A(1,1)，B(4,2)，C(−4,6).则△ABC 的面积为______． 8. 已知f(x)=a(2x +1)−22x +1是奇函数，那么实数a 的值等于______ ．9. 若直线l 1：6x +my −1=0与直线l 2：2x −y +1=0平行，则m = ______ ． 10. 不等式x 2+2x −3≥0的解集是__________11. 已知f(x)=log 3x 的值域是[−1,1]，那么它的反函数的值域为__________．12. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为______．13.若从集合{−1,1，2，3}中随机取出一个数m，放回后再随机取出一个数n，则使方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率为________．14.已知f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象的所有对称轴完全相同，那么g(π3)的值是____．15.过双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)上任一点分别作两条渐近线的平行线，则这两条直线与渐近线所围成的平行四边形的面积为______ (用a、b表示)16.已知|a⃗|=4，|b⃗ |=5，a⃗与b⃗ 的夹角为60°，那么|3a⃗−b⃗ |=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，E、F、G分别是PO、AD、AB的中点．(Ⅰ)求证：PC⊥平面EFG；(Ⅱ)若AB=1，求三棱锥O−EFG的高．18.已知复数z1=1a+2+(a2−1)i，z2=2+(a+1)i(a∈R,i是虚数单位)．(1)若复数z1+z2在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围;(2)若虚数z1是实系数一元二次方程4x2−4x+m=0的根，求实数m的值．19.已知在平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(−√3,0)，右顶点为D(2,0)，P，Q分别是椭圆的左顶点和下顶点，过原点的直线交椭圆于A，B，且A点在第一象限，自A点作x轴的垂线，交x轴于C点，连BC．(1)求该椭圆的标准方程；(2)若AB平分线段PQ，求直线AB的斜率k AB；并在此情况下，求A到直线BC的距离．20.设函数f(x)=ax2+4x+b是奇函数，且f(1)=5．(1)求a和b的值；(2)求证：当x∈(0,+∞)时，f(x)≥4．21.设正整数数列{a n}满足：a2=4，且对于任何n∈N∗，有2+1a n+1<1a n+1a n+11n−1n+1<2+1a n；(1)求a1，a3；(2)求数列{a n}的通项a n．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z =x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)， z =x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y =−12x +12z 过点B(−2,−2)时z 取到最小值， 所以z =x +2y 的最小值是−2+2×(−2)=−6， 故选：B ．2.答案：C解析： 【分析】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于简单题．赋值，求出a 0=−1，12a 1+122a 2+⋯+122015a 2015=1，由二项式定理可得a 1=4030，即可得出结论． 【解答】解：由题意，令x =12，则0=a 0+12a 1+122a 2+⋯+122015a 2015， 令x =0，可得a 0=−1，∴12a 1+122a 2+⋯+122015a 2015=1， 由二项式定理可得a 1=4030，∴12+a 222a 1+a 323a 1+⋯+a 201522015a1=12+14030(1−2015)=14030． 故选：C ．3.答案：A解析：【分析】本题考查函数单调性，属于基础题．f(x)在x>0上递增，由于0<x1<x0，则f(x1)<f(x0)，即有f(x1)<0．【解答】)x在x>0上递减，log2x在x>0上递增，解：实数x0是方程f(x)=0的解，则f(x0)=0，由于y=(13则f(x)在x>0上递增，由于0<x1<x0，则f(x1)<f(x0)，即有f(x1)<0，故选A．4.答案：A解析：解：连接EA、FA1，PA，PA1，如图：因为几何体是长方体，所以△FA1E，△EAF，都是直角三角形，点E、F分别在棱A1D1，AB上，且线段EF的长恒等于2，则EF的中点P满足PA1=PA=1，(直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半)．，连接PO，O为A1A的中点，∴OP⊥A1A，且OP=√32为半径的圆的一部分．所以P的轨迹为以O为圆心，以√32故选A．，连接EA、FA1，PA，PA1，连接PO，O为A1A的中点，由题意说明PA1=PA=1，OP⊥A1A，且OP=√32推出结果．本题是中档题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，作图能力，注意E，F的范围，防止出错．5.答案：(0,2]解析：解：∵集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|log2x≤2}={x|log2x≤log24}={x|0<x≤4}，则A∩B=(0,2]，故答案为：(0,2]．由条件利用对数函数的单调性和特殊点求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，交集的运算，属于基础题．6.答案：−1解析：解：∵z=(3+i)i=3i−1，∴z的实部为−1．故答案为：−1．先对复数进行化简，然后根据z=a+bi的实部为a，可求．本题考查复数代数形式的乘法运算，复数的基本概念，是基础题．7.答案：10解析：【分析】本题考查了直线方程的求法点到直线的距离公式，两点之间的距离公式，三角形的面积公式，属于基础题．由两点式的直线BC的方程，再根据点点到直线的距离求出BC边上的高d，再根据两点之间的距离公式求出BC，根据三角形的面积公式计算即可．解析：解：由两点式的直线BC的方程为y−26−2=x−4−4−4，即为x+2y−8=0，由点A到直线的距离公式得BC边上的高d=√5=√5，BC两点之间的距离为√(6−2)2+(−4−4)2=4√5，∴△ABC的面积为12×4√5×√5=10，故答案为：10．8.答案：1解析：【解答】解：∵f(x)=a−21+2x 为奇函数，∴f(0)=0，即a−21+20=0，解得a=1，故答案为：1．【分析】根据奇函数的性质f(0)=0，列出方程a−21+20=0，再解出a的值．本题考查奇函数的性质，即f(0)=0的应用．9.答案：−3解析：解：若直线l1：6x+my−1=0与直线l2：2x−y+1=0平行，则62=m−1，解得：m=−3；带入检验知符合题意故答案为：−3．根据直线l1：6x+my−1=0与直线l2：2x−y+1=0平行，得到关于m的方程，解出即可．本题考察了直线的位置关系，是一道基础题．10.答案：{x|x≤−3或x≥1}解析：不等式x2+2x−3≥0可化为(x+3)(x−1)≥0，解得x≤−3或x≥1，∴不等式的解集是{x|x≤−3或x≥1}．11.答案：[13,3]解析：∵log3x∈[−1,1]，∴13≤x≤3，∴f(x)=log3x的定义域是[13,3]，∴f(x)=log3x的反函数的值域是[13,3]．12.答案：4+2π3解析：【分析】由题意，结合图象可得该几何体是四棱锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项．本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键．【解答】解：由三视图知，该几何体下半部分为半球，球的直径为2，上半部分为正四棱锥，锥体高为2，底面正方形对角线长为2，则，，所以几何体体积4+2π3，故答案为：4+2π3．13.答案：516解析：【分析】本题主要考查椭圆的标准形式、等可能事件的概率，此题的关键是根据条件得出m2>n2.属基础题．根据焦点位于x轴上的椭圆，则m2>n2，根据m2>n2，对A中元素进行分析可得到表示焦点在x轴上的椭圆共有多少个，根据概率公式计算即可得出答案．【解答】解：从集合{−1,1，2，3}中随机取出一个数m，放回后再随机取出一个数n，所有的选法有：4×4=16，焦点位于x轴上的椭圆，则m2>n2,当m=3时，n=−1，1，2；当m=2时，n=−1，1；方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆共有5个，方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是516；故答案为516．14.答案：−2解析：【分析】本题考查三角函数的对称轴方程的求法，注意两个函数的对称轴方程相同的应用，找出一个对称轴方程就满足题意，考查计算能力，属于中档题．分别求得函数f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象的对称轴，根据题意可得ω=2，根据对称轴相同，求得φ的值，可得g(x)的解析式，从而求得g(π3)的值．【解答】解：函数f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)的对称轴方程为ωx−π6=kπ+π2，即x=kπω+2π3ω，k∈Z．g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象的对称轴为2x+φ=kπ，即x=kπ2−φ2，k∈Z．函数f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象的对称轴完全相同，∴ω=2，再由0<φ<π，可得2π3ω=π3=π2−φ2，∴φ=π3，∴g(x)=2cos(2x +φ)=2cos(2x +π3)，g(π3)=2cosπ=−2，故答案为−2．15.答案：ab2解析：解：由于双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a,b >0)渐近线方程为l 1：y =ba x ，l 2：y =−ba x ，设点P(m,n)，这两条平行线与渐近线所围成的平行四边形为PMON ， 则直线PN ：y =b a x +n −ba m ， 直线PM ：y =−b a x +n +ba m ， 由直线l 1和直线PM ，解得交点M(an+bm 2b,an+mb 2a).平行线l 1，PN 之间的距离为|n−bam|√1+b 2a 2=|an−bm|c，则平行四边形的面积为|an−bm|c ⋅√(an+bm 2b)2+(an+mb 2a )2=|an−bm|c⋅|acn+bcm|2ab=|a 2n 2−b 2m 2|2ab，由于P 在双曲线上，则m 2a 2−n 2b 2=1，即有b 2m 2−a 2n 2=a 2b 2， 则平行四边形的面积为a 2b 22ab=ab 2．故答案为：ab2．由双曲线方程求出渐近线方程，设点P(m,n)，求出平行线PM ，PN 的方程，求出交点M ，及平行线l 1，PN 之间的距离，运用平行四边形的面积公式，化简整理，再由P 在双曲线上，满足双曲线方程，即可得到．本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查两直线平行的位置，以及距离公式，考查运算化简能力，属于中档题．16.答案：√109解析： 【分析】本题考查向量的数量积的运算和模长公式，属基础题．由数量积的运算，可先求|3a ⃗ −b ⃗ |2，求其算术平方根即得答案． 【解答】解：由题意可得：|3a ⃗ −b ⃗ |2=(3a ⃗ −b ⃗ )2=9a ⃗ 2−6a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=9×42−6×4×5×cos60°+52=109故|3a⃗−b⃗ |=√109，故答案为：√109．17.答案：(Ⅰ)证明：设FG∩AC=H，连结EH，在Rt△ABC中，AB=BC，且AB2+BC2=AC2，在△PAC中，PA=PC=AB，PA2+PC2=AC2，∴AP⊥PC，E、F、G分别是PO、AD、AB的中点，FG//BD，∴H为AO中点，∴EH//PA，故EH⊥PC，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴FG⊥AC，∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥FG∵PO∩AC=O，∴FG⊥平面PAC，∴FG⊥PC，∵FG∩EH=H，∴PC⊥平面EFG；(Ⅱ)解：设三棱锥O−EFG的高为h，则由V O−EFG=V E−FOG得13×12×√22×12ℎ=13×12×√22×√24×13∴ℎ=14．解析：(Ⅰ)设FG∩AC=H，连结EH，由已知条件推导出AP⊥PC，EH⊥PC，FG⊥PC，由此能证明PC⊥平面EFG．(Ⅱ)由V O−EFG=V E−FOG得三棱锥O−EFG的高．本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18.答案：解：(1)z1+z2=1a+2+2+(a2+a)i，因为复数z1+z2在复平面内对应的点在第四象限，所以{1a+2+2>0a2+a<0，解得−1<a<0，即实数a的取值范围为(−1,0)．(2)由题意可得Δ=(−4)2−4×4m=16(1−m)<0，则x =1±√m−1i2， 所以1a+2=12，解得a =0， 所以a 2−1=−1=−√m−12，解得m =5．解析：本题考查复数的四则运算及其几何意义，考查复数代数形式的加法运算和一元二次方程的根的求解，是中档题．(1)求出z 1+z 2，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解；(2)由z 1是实系数一元二次方程4x 2−4x +m =0的根，利用求根公式建立等量关系，进而得出m 的值．19.答案：解：(1)由已知得椭圆的半长轴a =2，半焦距c =√3，则半短轴b =1又椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为x 24+y 2=1…(4分)(2)由(1)知，P(−2,0)，Q(0,−1)，则PQ 的中点坐标为(−1,−12)， 若AB 平分线段PQ ，则AB 过PQ 的中点，又AB 过原点，所以AB 的斜率k AB =−12−0−1−0=12.…(7分) 此时直线AB 的方程为y =12x ，与椭圆方程x 24+y 2=1联立，解得x =±√2．这样A(√2,√22),B(−√2,−√22),C(√2,0)，所以直线BC 的方程为x −4y −√2=0 故点A 到直线BC 的距离为d =|√2−4×√22−√2|22=2√3417…(13分)解析：(1)求出椭圆的半长轴a =2，半焦距c =√3，则半短轴b =1，然后求解椭圆的标准方程． (2)求出AB 的斜率k AB ，得到直线AB 的方程与椭圆方程x 24+y 2=1联立，求出直线BC 的方程，利用点A 到直线BC 的距离公式求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．20.答案：(1)解：函数f(x)=ax 2+4x+b的定义域为{x|x ≠−b}，即f(−b)不存在，若b ≠0，则f(b)有意义，这与f(x)为奇函数矛盾，故b =0． ∵f(1)=5，∴a×12+41+0=5，解得a =1；(2)证明：设x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 1−x 2<0， f(x 1)−f(x 2)=x 12+4x 1−x 22+4x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2．①若x 1，x 2∈(0,2]，则x 1x 2<4，于是x 1x 2−4<0，从而f(x 1)−f(x 2)>0； ②若x 1，x 2∈[2,+∞)，则x 1x 2>4，于是x 1x 2−4>0，从而f(x 1)−f(x 2)<0．由①②知，函数f(x)在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增．∴f(x)在(0,+∞)上的最小值为f(2)=22+42=4．∴f(x)≥4．解析：(1)由函数在定义域内有意义可得b=0，结合f(1)=5求得a值；(2)利用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，从而得到f(x)在(0,+∞)上的最小值，答案可证．本题考查函数奇偶性的性质，考查了利用函数单调性求函数的最值，训练了利用函数单调性的定义证明函数的单调性，是中档题．21.答案：解：(1)据条件得2+1a n+1<n(n+1)(1a n+1a n+1)<2+1a n①当n=1时，由2+1a2<2(1a1+1a2)<2+1a1，即有2+14<2a1+24<2+1a1，解得23<a1<87.因为a1为正整数，故a1=1．当n=2时，由2+1a3<6(14 +1a3)<2+14，解得8<a3<10，所以a3=9．(2)由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：a n=n2．下面用数学归纳法证明．①当n=1，2时，由(1)知a n=n2均成立；②假设n=k(k≥2)成立，则a k=k2，则n=k+1时由(1)得2+1ak+1<k(k+1)(1k2+1a k+1)<2+1k2∴k3(k+1) k2−k+1<a k+1<k(k2+k−1)k−1(k3+1−1)(k+1)2k3+1<a k+1<k[(k2+k)2−1]k3−1，即(k3+1−1)(k+1)2k3+1<a k+1<k3(k+1)2−kk3−1∴(k+1)2−(k+1)2k3+1<a k+1<(k+1)2+1k−1因为k≥2时，(k3+1)−(k+1)2=k(k+1)(k−2)≥0，所以(k+1)2k3+1∈(0,1]．k−1≥1，所以1k−1∈(0,1].又a k+1∈N∗，所以(k+1)2≤a k+1≤(k+1)2．故a k+1=(k+1)2，即n=k+1时，a n=n2成立．由1°，2°知，对任意n∈N∗，a n=n2．解析：(1)令n=1，根据2+1a n+1<1a n+1a n+11n−1n+1<2+1a n可得到23<a1<87，再由a1为正整数可得到a1的值，当n=2时同样根据2+1a n+1<1a n+1a n+11n−1n+1<2+1a n可得到2+1a3<6(14 +1a3)<2+14进而可得到a3的范围，最后根据数列{a n}是正整数数列求出a3的值．(2)先根据a1=1，a2=4，a3=9可猜想a n=n2，再用数学归纳法证明．本题主要考查根据条件求数列的项和求数列的通项公式．先猜想数列的通项公式再由数学归纳法证明来求数列的通项公式的方法是高考的一个重要考点，要熟练掌握．。
上海市建平中学2020年高三数学文模拟试题含解析
上海市建平中学2020年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义域为R的函数满足，且的导函数，则的解集为（）A． B． C． D．参考答案：D2. 设等差数列的前10项和为20，且，则的公差为（）A．1 B．2 C. 3 D．4参考答案：B3. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为后效实验，若两次面向上的点数相等我们称其为等效试验.那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是（）．．．．参考答案：B投掷该骰子两次共有中结果，两次向上的点数相同，有6种结果，所以投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是，选B. 4. 设集合，则( )A. B. C. D.参考答案：B略5. 已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D设，则，又，，选D．6. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD 内的射影落在BC边上，若二面角C—AB—D的平面角大小为θ，则sinθ的值等于（）A． B．高考资源网 C． D．参考答案：A略7. 已知向量，若向量与平行，则实数=（）A．-4 B．4 C．D．参考答案：C8. 已知集合，则A∩B的元素有()A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B9. 函数的零点所在的区间是（）A. （-2,-1）B. （-1,0）C. （1,2）D. （0,1）参考答案：D因为，，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间在，选D.10. 下列结论中正确的是（）A．“”是“”的必要不充分条件B．命题“若，则.”的否命题是“若，则”C．“”是“函数在定义域上单调递增”的充分不必要条件D．命题：“，”的否定是“，”参考答案：DA.“”则一定有“”，反之时，故推不出。
2020届上海市建平中学高三下学期3月月考数学试题解析版
2020届上海市建平中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B【解析】试题分析：由三角形的面积公式，得，即，解得，又因为三角形为锐角三角形，所以.【考点】三角形的面积公式.2．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A ．144 B ．72 C ．54 D ．36【答案】B【解析】两位女生相邻，将其捆绑在一起，和另一位女生不相邻，采用插空法． 【详解】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生， 插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有22232372A A A =种， 故选：B ． 【点睛】本题考查排列组合，需熟练掌握捆绑、插空法，属于基础题 3．已知数列{}n a 的通项公式为()()*11n a n N n n =∈+，其前n 项和910n S =，则双曲线2211x y n n-=+的渐近线方程为（ ） A ．22y x = B ．32y x = C ．310y x = D ．10y x = 【答案】C【解析】先利用()()*11n a n N n n =∈+与910n S =求得n ,再根据2211x yn n-=+渐近线方程为y =求解即可. 【详解】 由()11111n a n n n n ==-++得1111111 (11223111)n n S n n n n =-+-++-=-=+++.又910n S =即9110n n =+,故9n =,故双曲线221109x y -=渐近线为10y x ==± 故选C 【点睛】本题主要考查了裂项相消求和与双曲线的渐近线方程等,属于基础题型. 4．已知单位向量,a b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--的最小值为（ ）A ．B ．1312CD ．1【答案】B【解析】根据题意可设(1,0)a =,(0,1)b =,则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--可化简整理为其可理解为动点(,)t t 到两定点7(0,1),1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离之和,因此根据其几何意义即可求出最值. 【详解】由题知,a b 是单位向量,且0a b ⋅=, 故不妨取(1,0)a =,(0,1)b =,设5|()|(1)()12T t b a a b t a b =-+++-- 5(1,1)(1,0)0,(1)(1,1)12t t ⎛⎫=⋅-+++-- ⎪⎝⎭==设(,)P t t ,(0,1)A ,71,12B ⎛⎫⎪⎝⎭, 则T 表示动点(,)P t t 到两定点7(0,1),1,12A B ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和,所以||||||T PA PB AB =+=1312=, 故选:B. 【点睛】本题考查平面向量的运算､平面向量的数量积与模长.解决此类题的关键:一是特取法,根据题设条件,选择满足题意的向量,即可简化求解过程;二是借形解题,即利用函数所表示的几何意义,结合图象的直观性,可快速求得最值.二、填空题5．双曲线2226x y -=的焦距为__________. 【答案】6【解析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a ，b ，c ，可得焦距2c 的值． 【详解】双曲线2x 2﹣y 2＝6即为22x y 36-=1，可得a =b =c ==3，即焦距为2c ＝6． 故答案为6． 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题． 6．复数3412iz i+=-，则z =______.【解析】利用复数的除法运算法则化简，然后求解复数的模． 【详解】 复数z 满足34(34)(12)5101212(12)(12)5i i i iz i i i i +++-+====-+--+．则||z ==【点睛】本题考查是的除法运算，复数的模的求法，考查计算能力，属于基础题．7．已知61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中的第五项系数为152，则正实数a =_____.【答案】2【解析】由二项式定理的通项公式可得：24615a 2=，解出即可得出． 【详解】T 542424661(ax)()a x ==x ﹣2，∴24615a 2=，a ＞0．解得a =故答案为2． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题．8．已知各项均为正数的数列{}n a ，前n 项和112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则通项n a =______.【解析】通过112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算出数列{}n a 前几项的值，并猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可． 【详解】112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，111112a a a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，解得： 11a =或11a =- (舍)，2212112a a a a ⎛⎫∴++ ⎝=⎪⎭，即2221112a a a ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，整理得：222102a a -∴=+，解得：21a =或21a = (舍)，23133112a a aa a ⎛⎫∴+++ ⎪⎝⎭=，即33311121a a a⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，整理得：23310a +-=，解得：2a =或2a =(舍)， 猜想： n a 下面用数学归纳法来证明： ①当n=1时，命题显然成立；②假设当n =k (k ⩾2)时,有k a =则111121112k k k k k k k a S S a a a a +++⎛+⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+1111122k k a a ++⎛⎫=-⎪⎝⎭+ 11112k k aa ++⎛⎫=+- ⎪⎝⎭整理得：21110k k a+++-=，解得：1ka +1k a += (舍)，即当n =k+1时，命题也成立；由①、②可知数列{}n a 的通项公式=n a故答案为：1n n --. 【点睛】本题主要考查由递推关系求通项公式，考查了归纳推理的应用，同时考查了利用数学归纳法证明，属于中档题. 9．已知函数()3113x f x a x a +⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭的图像与它的反函数的图像重合，则实数a 的值为___. 【答案】-3【解析】先求反函数：y ax 1x 3-+=-，利用函数f （x ）3x 1x a +=+（a 13≠）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出． 【详解】 由y 3x 1x a +=+（a 13≠），解得x ay 13y -=-（y≠3），把x 与y 互换可得：y ax 1ax 13x x 3--+==--，∵函数f （x ）3x 1x a +=+（a 13≠）图象与它的反函数图象重合， ∴﹣a ＝3，解得a ＝﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为________3cm【答案】32【解析】根据三视图还原出几何体，然后根据三视图的数据求出几何体的体积，得到答案. 【详解】根据三视图还原出几何体，如图所示， 可以看作是由四个棱长为2的正方体组合而成，故其体积为：422232⨯⨯⨯= 故答案为：32.【点睛】本题考查根据三视图还原几何体，求几何体的体积，属于简单题.11．已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =____. 【答案】13【解析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=，由此能求出EF ． 【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3， ∴EO∥CD，且EO 1CD 12==，FO∥AB，且FO 1AB 2==1， ∴∠EOF 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角， ∴πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=， 当∠EOF π3=时，△EOF 是等边三角形，∴EF＝1． 当2πEOF 3∠=时，EF 2212π1111cos 323=+-⨯⨯⨯= 故答案为13【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题12．若直线()220,0ax by a b +-=>始终平分曲线cos 2sin 1x y αα=+⎧⎨=+⎩[)()0,2απ∈的周长，则12a b+的最小值为______. 【答案】322+【解析】消去曲线的参数可知曲线为圆，且直线过圆心，则可得a +b =1，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】消去曲线的参数可得()()22211x y -+-=，可知该曲线是以()2,1为圆心，半径为1的圆，因为直线()220,0ax by a b +-=>始终平分该圆周长，则圆心()2,1在直线上， 代入得1a b +=，()121222323322b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫∴+=++=++≥⋅=+ ⎪⎝⎭ 当且仅当2b aa b=，即21,22a b ==-. 故答案为：322+. 【点睛】本题考查直线与圆的关系，考查基本不等式求最值，属于中档题.13．已知点()3,3A ，O 是坐标原点，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-≤⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z为OA 在OP 上的投影，则z 的取值范围是__________. 【答案】[]3,3-【解析】作出可行域.根据投影的定义得23cos z AOP =∠，数形结合求出AOP ∠的取值范围，即求z 的取值范围. 【详解】作出可行域，如图所示cos 23OA OP z OA AOP AOP OP⋅==⋅∠=∠.5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，∴当6AOP π∠=时，max 2336z π==；当56AOP π∠=时，min 52336z π==-，z ∴的取值范围是[]3,3-. 故答案为：[]3,3-. 【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影，属于中档题.14．已知01a <<，设函数()132020201920201x xf x x ++=-+，[],x a a ∈-的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为______. 【答案】4039【解析】化为对称形式，利用对称性可得到结果. 【详解】()1333202020191114039202020201202012020122x x x xf x x x x ++⎛⎫=-=--=---+ ⎪+++⎝⎭，()f x 图象关于点40390,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，4039M m +=.故答案为：4039 【点睛】本题考查函数的对称性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题．15．已知,a b ∈R 且01a b ≤+≤，函数()2f x x ax b =++在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在一个零点，则2a b -的取值范围为______. 【答案】[]0,1【解析】根据函数()2f x x ax b =++在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在一个零点，转化为()1002f f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭且01a b ≤+≤或 ()20010210224001f f aa b a b ⎧≥⎪⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨-<-<⎪⎪∆=-≥⎪⎪≤+≤⎩，然后利用线性规划求解. 【详解】因为函数()2f x x ax b =++在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在一个零点，所以()1002f f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭且01a b ≤+≤或 ()20010210224001f f a a b a b ⎧≥⎪⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨-<-<⎪⎪∆=-≥⎪⎪≤+≤⎩， 即1104201b a b a b ⎧⎛⎫⨯-+≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤+≤⎩或 20114210224001b a b a a b a b ≥⎧⎪⎪-+≥⎪⎪⎨-<-<⎪⎪∆=-≥⎪⎪≤+≤⎩， 其对应的平面区域如图所示：或平移直线20a b -=，当直线在y 轴上的截距最小值时，目标函数取得最大值，此时经过点()1,0，最大值为1，当直线在y 轴上的截距最大值时，目标函数取得最小值，此时经过点()0,0，最小值为0，所以2z a b =-的取值范围为[]0,1， 故答案为：[]0,1 【点睛】本题主要考查函数的零点分布，线性规划，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16．在数字1，2，3，，n （2n ≥）的任意一个排列A ：1a ，2a ，3a ，，na 中，如果对于i ，j ∈*N ，i j <，有i j a a >，那么就称(),i j a a 为一个逆序对.记排列A 中逆序对的个数为()S A .对于数字1，2，3，，n （2n ≥）的一切排列A ，则所有()S A 的算术平均数为______.【答案】()14n n - 【解析】由题中逆序对的概念，运用组合数知识可得排列A 中的数对(),i j a a 共有2n C 个，进而求得结果. 【详解】排列A ：1a ，2a ，3a ，，n a 与排列1A ：n a ，1n a -，2n a -，…，2a ，1a ，因为数对(),i j a a 与(),j i a a 中必有一个为逆序对，且排列A 中的数对(),i j a a 共有2n C 个，所以()()21nS A S A C +=，所以所有()S A 的算术平均数为()2124nn n C -=. 故答案为：()14n n -. 【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列和排列组合的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.三、解答题17．在四棱锥P ABCD -中，底面为梯形，//AB CD ，90BAP CDP ︒∠=∠=，2PA PD AB ===，PA PD ⊥，四棱锥P ABCD -的体积为4.（1）求证：AB ⊥平面PAD ；（2）求PC 与平面ABCD 所成角.（结果用反三角函数表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）10arcsin10. 【解析】（1）根据已知条件可证AB DP ⊥，再结合AB AP ⊥，即可得证结论； （2）取AD 的中点E ，连结PE ，CE ，证明PE ⊥平面ABCD ，作出PC 与平面ABCD所成角，通过解直角三角形，即可求出结论. 【详解】（1）∵90BAP CDP ︒∠=∠=，∴AB AP ⊥，CD DP ⊥， 又//AB CD ，所以AB DP ⊥，∵AP DP P ⋂=，AP ，DP ⊄面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ；（2）如图，作AD 的中点E ，连结PE ，CE ， ∵PA PD =，PA PD ⊥ ∴PE AD ⊥，22AD =，122PE AD ==. 由（1）AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥， 又AB AD A ⋂=，AB ，AD ⊄面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，即PE 为四棱锥P ABCD -的高，PCE ∠为PC 与平面ABCD 所成，.由四棱锥P ABCD -的体积为4，可得：1112422233232ABCD AB CD CD S PE AD PE ++=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅梯形，解得4CD =， 在Rt PDC 中，22222425PC PD DC =+=+=，在Rt PEC 中，210sin 25PE PCE PC ∠===，10arcsin PCE ∠=， 所以PC 与平面ABCD 所成角为10arcsin10.【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查求线面角，求线面角要体现“作、证、算”三步骤，考查逻辑思维能力和空间想象能力，考查计算能力，属于常考题.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若1n n S pa =+（0,1p ≠），*n N ∈，且n S 递增，求p 的取值范围； （2）若20190S =，122320182019201912222a a a a a a a a -=-==-=-，求证：1220190a a a ====.【答案】（1）0p <；（2）证明见解析.【解析】（1）先由n a 与n S 的关系求出{}n a 的通项公式1111n n p a p p -⎛⎫= ⎪--⎝⎭，再由nS 递增可得111011nn n n p S S a p p ++⎛⎫-==> ⎪--⎝⎭对任意自然数n 恒成立，进而得出满足题意的不等式组求解即可；（2）设1122b a a =-，2232b a a =-，…，2018201820192b a a =-，2019201912b a a =-，1223201820192019122...22a a a a a a a a t -=-==-=-=，由题意可得1220182019...0b b b b ++++=，设1b ，2b ，…，2018b ，2019b 中有非负数有m 个，非正数有（2019m -）个，依此列出方程()20190mt m t --=，可得0t =，进而得解. 【详解】（1）111111n n n n n n n n n a pS pa S S a pa pa a p ++++=+⇒-==-⇒=-， 1111111S a pa a p ==+⇒=-，所以{}n a 为等比数列，1111n n p a p p -⎛⎫= ⎪--⎝⎭，由题意，111011nn n n p S S a p p ++⎛⎫-==> ⎪--⎝⎭对任意自然数n 恒成立，则10101p p p ⎧>⎪-⎪⎨⎪>⎪-⎩，0p ⇒<；（2）设1122b a a =-，2232b a a =-，…，2018201820192b a a =-，2019201912b a a =-，1223201820192019122...22a a a a a a a a t -=-==-=-=，因为20190S =，所以有1220182019...0b b b b ++++=，设1b ，2b ，…，2018b ，2019b 中有非负数有m 个，非正数有（2019m -）个， 则()()20190220190mt m t m t --=⇒-=， 因为220190m -≠，则0t =，则1220190a a a ====，从而得证.【点睛】本题考查n a 与n S 的关系的应用，考查构造数列，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.19．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，123cos ,cos 135A C ==．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 【答案】（1）索道AB 的长为1 040 m ；（2）t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短. 【解析】试题分析：（1）在△ABC 中，由cosA 和cosC 可得sinA 根和sinC ，从而得sinB ，由正弦定理AB ACsinC sinB=，可得AB ； （2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130tm ，由余弦定理得d 2＝200(37t 2－70t ＋50)，结合二次函数即可得最值. 试题解析：（1）在△ABC 中，因为cos A ＝，cos C ＝，所以sin A ＝，sin C ＝.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C) ＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB ＝×sin C ＝×＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.（2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t ＝(min)时，甲、乙两游客距离最短.点睛：本题主要考查了解三角形的实际应用．实际应用题一般是关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，转化为数学模型，列出数学表达式，再通过正弦、余弦定理，勾股定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．20．已知椭圆C ：22221x y a b+=上的点到右焦点F 的最近距离是32-，且短轴两端点和长轴的一个端点构成等边三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 为直线l ：40x y +-=在第一象限上一点，且F 到直线OM 的距离为1，求以线段OM 为直径的圆方程；（3）设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y 是椭圆C 三个不同点，记：1114a x y =+-，2224a x y =+-，3334a x y =+-，若1a ，2a ，3a 成等差数列，求其公差d 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）()()22112x y -+-=；（3）[)(]2,00,2-.【解析】(1）根据题意可以列出关于a ，b ，c 的三个方程，解出a ，b 即可求得椭圆C 的方程;(2）由几何关系得45FOM ∠=︒，于是OM l ⊥，进而求出直线OM 的方程，再求出点M 的坐标，再求出以线段OM 为直径的圆的圆心和半径，即可求解;(3）先设点(),P x y 为椭圆C ：2213x y +=上任意一点，求出4x y +-的范围，再结合等差数列性质即可求得公差d 的取值范围. 【详解】（1）设右焦点为(),0F c ，由题意a c -=3ab ，222a b c a =+⇒=1b =，c =所以椭圆C 的方程为2213x y +=（2）由)F到直线OM 的距离为1，知45FOM ∠=︒，即()2,2OM l M ⊥⇒所以以线段OM 为直径的圆方程为()()22112x y -+-=（3）设点(),P x y 为椭圆C ：2213x y +=上任意一点，其中x θ=，sin y θ=，则[]4sin 42sin 42,63x y πθθθ⎛⎫+-=+-=+-∈ ⎪⎝⎭所以，[]1326242,2a a d d -=≤-=⇒∈- 又由已知0d ≠，所以[)(]2,00,2d ∈-.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的基本量求解，圆的标准方程及等差数列的性质，主要考查学生转化能力与运算能力，属于中档题.21．设对集合D 上的任意两相异实数1x ，2x ，若()()()()1212f x f x g x g x -≥-恒成立，则称()f x 在D 上优于()g x ；若()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，则称()f x 在D 上严格优于()g x .（1）设()f x 在R 上优于()g x ，且()y f x =是偶函数，判断并证明()y g x =的奇偶性；（2）若()f x 在R 上严格优于()g x ，()()()h x f x g x =+，若()y f x =是R 上的增函数，求证：()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）设函数()log 8a f x x =，()()()log log a a g x a x a x =+--，若01a <<，是否存在实数()0,t a ∈使得()f x 在(]0,D t =上优于()g x ，若存在，求实数t 的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，)1a .【解析】（1）令1x x =，2x x =-代入已知不等式中，再结合()y f x =是偶函数，即可证明()y g x =是偶函数；（2）根据新定义先列出不等式，再把()y f x =是R 上的增函数转化为若12x x <，则12()()f x f x <，代入不等式即可证明()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）先根据新定义列出不等式，再将不等式化简得到()212120a x x a x x --+≥在1x ，(]20,x t ∈时恒成立.令2220a t at --=，取)1t a =，证明当)1201x x a <<≤时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+>--=⎣⎦，再证明，当)121a x x a ≤<<时不合题意，从而求得t 的最大值．【详解】（1）设x 为任意实数，因为()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()0f x f x --=，∴()()0g x g x --≤，即()()g x g x -= ∴()y g x =为偶函数.（2）对于任意1x ，2x ，且12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <，即()()120f x f x -<，所以()()()()()()121221g x g x f x f x f x f x -<-=-()()()()()()()()()()1212211122f x f x g x g x f x f x f x g x f x g x -<-<-⇒+<+即()()12h x h x <，得证.（3）若存在实数()0,t a ∈使得()f x 在(]0,D t =上优于()g x ，因为01a <<，()()()()1212f x f x g x g x -≥-，在1x ，(]20,x t ∈时恒成立，不妨设120x x t <<≤，则1201x x <<，∴()()112122log 8log 8log a a a x f x f x x x x -=-=，()()()()()()22122112211212221212211221log log log log a a a a a x x a x x a x x a x x a x a x g x g x a x a x a x x a x x a x x a x x ------++-=-==---+--+-∴()()212211221221a x x a x x x x a x x a x x ---≤-+-在1x ，(]20,x t ∈时恒成立 ()()()()212121221120a x x x x x x a x x x x ⇔---+-+≤在1x ，(]20,x t ∈时恒成立 ()212120a x x a x x ⇔--+≥在1x ，(]20,x t ∈时恒成立.令2220a t at --=，取)1t a =当)1201x x a <<≤时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+>--=⎣⎦，当)121a x x a ≤<<时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+<--=⎣⎦，不合题意.综上所述，实数t 的最大值为)1a .【点睛】本题考查函数的性质（单调性，奇偶性），考查不等式恒成立的转化，新定义问题，着重考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
上海市浦东新区建平中学2020届高三数学下学期4月模拟考试试题含解析
某某市浦东新区建平中学2020届高三数学下学期4月模拟考试试题（含解析）一、填空题.1.已知2{|1}A x x=>，2{|log (1)1}B x x =-<，则A B =________. 【答案】{}|12x x <<【解析】【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，找出两集合的交集即可．【详解】集合A 中不等式，当0x >时，解得：2x <，此时02x <<，当0x <时，解得：2x >，无解，{|02}A x x ∴=<<，集合B 中不等式变形得：22log (1)1log 2x -<=，即012x <-<，解得：13x <<，即{|13}B x x =<<，则{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<．【点睛】本题考查不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题．2.函数()3tan(2)f x x =-的最小正周期为_________. 【答案】π2 【解析】【分析】 首先化简()3tan(2)3tan 2f x x x =-=-.再根据公式T πω=即可求出最小正周期. 【详解】因为函数()3tan(2)3tan2f x x x =-=-.所以最小正周期为：π2T =.故答案为：π2. 【点睛】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，属于基础题.3.计算：13(2)lim 32n n n n n +→∞--=+_________. 【答案】13【解析】【分析】 将原数列极限变成112333lim 12133nn n →∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭，根据22lim lim 033n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可求出原数列极限的值. 【详解】1112103(2)13333lim lim 3210312133n n n n n n n n +→∞→∞⎛⎫-⋅-- ⎪--⎝⎭===++⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭. 故答案为：13. 【点睛】本题主要考查了求极限，解决此类问题关键是化简，属于基础题.4.直线l 的方程为10223012x y =-，则直线l 的一个法向量是________.【答案】(1,2)【解析】【分析】先将三阶行列式化简得出直线的一般式方程，再求出直线l 的一个法向量即可.【详解】由10223012x y =-得直线的一般式方程为：2470x y +-=，所以直线l 的一个法向量为(1,2).故答案为(1,2).【点睛】本题主要考查三阶行列式的运算和直线的法向量的问题，属中等难度题.5.若实数,,a b m 满足25a b m ==，且212a b +=，则实数m 值为__________. 【答案】【解析】【分析】现结合指数与对数的互化公式，表示出,a b ，再结合换底公式表示出212a b +=，最后结合对数运算即可求解【详解】由25a b m ==可得2511log ,log log 2,log 5m m a m b m a b ==⇒==，又212a b+=，即 2log 2log 5log 202m m m +==，求得m =故答案为：【点睛】本题考查指数和对数的互化，换底公式的用法，对数的运算性质，属于基础题6.设常数a ∈R ，命题“存在x ∈R ，使240x ax a +-≤”为假命题，则a 的取值X 围为_________.【答案】(16,0)-【解析】【分析】将条件转化为任意x ∈R ，240x ax a +->恒成立，此时有∆<0，从而解出实数a 的取值X 围.【详解】命题：“存在x ∈R ，使240x ax a +-≤”为假命题，即240x ax a +->恒成立，必须∆<0，即：2160a a +<，解得160a -<<，故实数a 的取值X 围为(16,0)-，故答案为：(16,0)-.【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.7.某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____. 【答案】12【解析】【分析】先求出基本事件总数34n A =，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数221322m C A A =，由此能求出其中甲、乙都抢到红包的概率．【详解】某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则基本事件总数34n A =，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数221322m C A A =，∴其中甲、乙都抢到红包的概率2213223432214322m p A A n C A ⨯⨯====⨯⨯．故答案为12. 【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.8.如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点4(,0)3π中心对称，那么||ϕ的最小值为_____. 【答案】6π 【解析】【详解】由()3cos 2y x ϕ=+得图象关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称知， 403f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()832k k Z ππϕπ+=+∈， 即()832k k Z ππϕπ=-+∈.因此，ϕ的最小值为 ()min min ||266k ππϕπ=--=.故答案为6π 9.如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=，BA BC =，球心O 到平面ABC 的距离是32，则B 、C 两点的球面距离是______．【答案】π【解析】试题分析：由已知，AC 是小圆的直径．所以过球心O 作小圆的垂线，垂足O'是AC 的中点．223232O'C (3)()2=-=2，∴BC=3，即BC=OB=OC ．∴∠BOC=3π，则B 、C 两点的球面距离=3π×3=π． 考点：球的几何特征，球面距离．点评：中档题，解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系． 10.设(),P x y 是曲线2cos :{sin x C y θθ=-+=（θ为参数，02θπ≤<）上任意一点，则y x的取值X 围是________． 【答案】33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：曲线曲线2cos :{sin x C y θθ=-+=可化为22(2)1x y ++=，可得曲线表示以(2,0)C -为圆心，半径为1的圆，又(),P x y 是曲线上一点，则OP y k x=，即点,O P 两点连线的斜率，当P 的坐标为33(,)22-时，y x 有最小值为33-，当P 的坐标为33(,)22--时，y x 有最大值为3，所以y x 的取值X 围为33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．考点：简单的线性规划的应用，圆的参数方程．【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数与普通方程的联系，两者可进行互化，可根据实际情况选择不同的方程进行求解，同时考查简单的线性规划求最值，体现了转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中求出圆的普通方程，利用y x的几何意义，转化为圆上的点与坐标原点之间连线的斜率问题，求出直线的斜率的X 围，即可得到结论．11.已知()402401234123x a a x a x a x +=++++，若数列1a 、2a 、、()141,k a k k N ≤≤∈是一个单调递增数列，则k 的最大值为____.【答案】17【解析】【分析】先由展开式通项求得k a ，根据11k k k k a a a a -+≥⎧⎨≥⎩可得k a 最大，由此求得k 的最大值. 【详解】()402401234123x a a x a x a x +=++++， 展开式通项为()4040140403232k k k k k k k k T C x C x --+=⋅⋅=⋅⋅⋅，14114032k k k k a C ---∴=⋅⋅， 由于数列1a 、2a 、、()141,k a k k N ≤≤∈是一个单调递增数列，11k k k k a a a a -+≥⎧∴⎨≥⎩，即141124224040141140404032323232k k k k k k k k k k k k C C C C ----------⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，解得828755k ≤≤， 因此，k 的最大值为17.故答案为：17.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查项的系数最大值的求法，属于中档题．12.函数11y x=-的图象与函数2sin π([2,4],)y x x k k k =∈--+∈Z 的图象所有交点的横坐标之和等于2012，则满足条件的整数k 的值是_________.【答案】1002或1003【解析】【分析】 由题意可得函数11y x=-的图象与函数2sin π(35)y x x =-≤≤的图象所有交点成对出现， 且每一对关于点(1,0)对称，结合所有横坐标之和等于2012即可得到k 的值. 【详解】解：函数11y x=-的图象关于点(1,0)对称，函数2sin π(24)y x k x k =--≤≤+的图象也关于点(1,0)对称，如图所示：故函数11y x=-的图象与函数2sin π(24)y x k x k =--≤≤+的图象所有交点成对出现， 且每一对关于点(1,0)对称，因为他们的横坐标之和为2012，当1x >时，它们共有1006对交点，所以41006k +=或41007k +=，解得1002k =或1003.故答案为：1002或1003.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，属于中等题.二、选择题（共有4题）13.已知α：区间[,]a b 内恰含两个整数.则以下结论正确的是（ ）A. “1b a -≥”是α成立的充分条件B. “1b a -≥”是α成立的必要条件C. “2b a -≤”是α成立的充分条件D. “2b a -≤”是α成立的必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，利用排除法进行判断即可.【详解】当12a =，32b =，满足1b a -≥成立，但在区间13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内只有一个整数1，故充分性不成立，则A 错误，当12a =，32b =，满足2b a -≤成立，但在区间13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内只有一个整数1，故充分性不成立，则C 错误，若区间[,]a b 内恰含两个整数，则满足1b a -≥，故B 正确，当0a =，2b =时，满足2b a -≤成立，但在区间[0,2]内有3个整数0，1，2，故必要性不成立，则D 错误，故选：B.【点睛】本题主要充分条件和必要条件的定义，属于基础题.14. 在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β；②如果直线a 与平面β内的一条直线平行，则a ∥β；③如果直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则a ∥β．其中正确的个数是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查空间线面关系的判定和性质．解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理．命题②不正确，缺少a α⊄条件．命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件．命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．15.已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的 整数的值之和是（ ）A. 13B. 18C. 21D. 26【答案】C【解析】设2()6f x x x a =-+，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示． 若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则 ()()2010f f ⎧⎪⎨>⎪⎩，即2226201610a a ⎧-⨯+⎨-⨯+>⎩， 解得5<a ⩽8，又a ∈Z ，∴a =6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21.故选C.16.已知点(4,0)B ，点P 在曲线28y x =上运动，点Q 在曲线22(2)1x y -+=上运动，则2||||PB PQ 的最小值为（ ）A. 35【答案】B 【解析】 【分析】设圆心为F ，可知F 为抛物线28y x =的焦点，并且2||||PB PQ 最小时，PB 经过圆心F ，设(,)P x y ，则22222||(4)(4)816PB x y x x x =-+=-+=+，||213PQ x x =++=+，可得22||16||3PB x PQ x +=+，换元后利用基本不等式求最值即可. 【详解】解：设圆心为F ，则F 为抛物线28y x =的焦点，该抛物线的准线方程为2x =-，设(,)P x y ，由抛物线的定义：||2PF x =+，要使2||||PB PQ 最小，则||PQ 需最大，如图||PQ 最大时，经过圆心F ，且圆F 的半径为1，∴||||13PQ PF x =+=+，且222||(4)16PB x y x =-+=+.∴22||16||3PB x PQ x +=+， 令3(3)x t t +=≥，则3x t =-，∴2||2564||PB t PQ t=+-≥，当5t =时取“=”，此时2x =.∴2||||PB PQ 的最小值为4. 故选：B.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程、焦点坐标公式、准线方程、抛物线的定义、圆的标准方程，属于中等题. 三、解答题（满分76分）17.如图，三棱柱中111ABC A B C -，它的体积是153，底面△ABC 中，∠BAC =90°，AB =4，AC =3，1B 在底面的射影是D ，且D 为BC 的中点.(1)求侧棱1BB 与底面ABC 所成角的大小； (2)求异面直线1B D 与1CA 所成角的大小. 【答案】()()1236ππ【解析】 【分析】()11B D ⊥面ABC ,1B BD ∠就是侧棱1BB 与底面ABC 所成的角θ,运用棱柱的体积公式和解直角三角形,即可得到所求值.()2取11B C 的中点E,连接EC , 1A E ，则1ECA ∠(或其补角)为所求的异面直线所成角的大小,运用解直角三角形,计算即可得到所求值. 【详解】作图如下：()1依题意得,1B D ⊥面ABC ,1B BD ∠就是侧棱1BB 与底面ABC 所成的角θ,由111111431532ABC A B C ABC V S B D B D -∆=⋅=⨯⨯⨯=则1532B D =由D 为BC 中点,22435BC =+=，即有52BD =. 由15tan tan 2B D BD θθ==， 即有tan 3θ=, 所以3πθ=.即侧棱1BB 与底面ABC 所成角为3π. ()2取11B C 中点E ，连接1EC A E 、,则1ECA ∠(或其补角)为所求的异面直线所成角的大小. 由1B D ⊥面ABC ,1B D CE ,面ABC面111A B C ,所以CE⊥面111A B C,故1CE A E⊥,1532tan532AEACEEC∠===,所以所求异面直线1B D与1CA所成角为6π.【点睛】本题考查空间角的求法.主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角的求法;考查直线与平面的位置关系;属于中档题;线面角和异面直线所成角的求解步骤：()1作出所要求的角;()2证明所作的角即为所求的角（或其补角）；()3在三角形中，通过解三角形求角的大小或其角的三角函数值.18.四边形ABCD如图所示，已知2AB BC CD===，23AD=.（13cos cosA C-的值；（2）记ABD△与BCD的面积分别是1S与2S，求2212S S+的最大值.【答案】（13cos1A C-=（2）最大值为14【解析】【分析】（1）利用余弦定理，求出BD3cos cosA C-的值；（2）求出2212S S+的表达式，1cos31C-<<，即可求2212S S+的最大值.【详解】解：（1）在ABD △中，由余弦定理得222cos 2AB AD BD A BD AB AD+-=⇒=⋅在BCD 中，同理可得DB =，cos 1C A -==. （2）依题意2211212cos S A =-，22244cos S C =-， 所以2222221211212cos 44cos 8cos 8cos 128cos 142S S A C C C C ⎛⎫+=-+-=--+=-++ ⎪⎝⎭，因为24BD <<，所以8cos (16C -∈-.解得1cos 1C -<<，所以221214S S +≤，当1cos 2C =-时取等号，即2212S S +的最大值为14.【点睛】本题主要考查了解三角形，解三角形是高考重点考查的内容，正确变形合理转化，把涉及到的量转化到一个三角形内求解，涉及求最值时可以适当地选取变量，把所求最值用变量表示，属于中等题.19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过定点1,2E ⎛ ⎝⎭，其左右集点分别为1F ，2F 且12EF EF +=2F 且与坐标轴不垂直的直线l 与椭圈交于P ，Q 两点.（1）求椭圆C 的方程：（2）若O 为坐标原点，在线段2OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）存在，m 的取值X 围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可求出a 的值，再把点E 的坐标代入椭圆方程，即可求出b 的值，从而得到椭圆C 的方程；（2）先设点P ，Q 的坐标以直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到P ，Q 横坐标的和与积，再利用菱形的对角线垂直得到向量数量为0，将坐标代入后化简得到m 与k 的关系式，可求出m 的取值X 围.【详解】解：（1）∵点E在椭圆上，且12EF EF +=∴2a =，a =又∵定点1,2E ⎛ ⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=， ∴1b =，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；（2）假设存在点(,0)M m 满足条件，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为：(1)y k x =-，联立方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(12)4220k x k x k +-+-=， ∴21224k 12k x x +=+，21222212k x x k-=+，2880k =+>△， 又()11,MP x m y =-，()22,MQ x m y =-，()2121,PQ x x y y =--， ∴()12122,MP MQ x x m y y +=+-+，由题意知.21211221(2)()(())()x x m x x MP MQ PQ y y y y =+--++-+⋅212112(2)()()0x x m x x y y =+--+=，∵12x x ≠，∴21122()0x x m k y y +-++=， 即()22112220x x m kx x +-++-=，则22222442201212k k m k k k ⎛⎫-+-= ⎪++⎝⎭， ∴2012mk m=->，∴102m <<， 故存在点(,0)M m ，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，m 的取值X 围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆，解决此类问题的关键是把直线代入椭圆利用韦达定理，转化成向量之间的关系，属于中等题. 20.对定义在[0，1]上的函数f （x ），如果同时满足以下三个条件： ①对任意x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0； ②f （1）=1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立． 则称函数f （x ）为理想函数．（1）判断g （x ）=2x ﹣1（x ∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由； （2）若f （x ）为理想函数，求f （x ）的最小值和最大值；（3）若f （x ）为理想函数，假设存在x 0∈[0，1]满足f[f （x 0）]=x 0，求证：f （x 0）=x 0． 【答案】（1）是；（2）f （x ）取得最小值2，f （x ）取得最大值3；（3）见解析． 【解析】【详解】（1）①显然f （x ）=2x ﹣1在[0，1]上满足f （x ）≥0；②f （1）=1． 若x 1≥0，x 2≥0，且x 1+x 2≤1，则有f （x 1+x 2）﹣[f （x 1）+f （x 2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0故f （x ）=2x ﹣1满足条件①②③，所以f （x ）=2x ﹣1为理想函数，（2）设x 1，x 2∈[0，1]，x 1＜x 2，则x 2﹣x 1∈（0，1] ∴f （x 2）=f[（x 2﹣x 1）+x 1]≥f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣2 ∴f （x 2）﹣f （x 1）≥f （x 2﹣x 1）﹣2≥0，∴f （x 1）≤f （x 2），则当0≤x ≤1时，f （0）≤f （x ）≤f （1）， 在③中，令x 1=x 2=0，得f （0）≤2，由②得f （0）≥2， ∴f （0）=2，当x=1时，f （1）=3， ∴当x=0时，f （x ）取得最小值2， 当x=1时，f （x ）取得最大值3，（3）由条件③知，任给m 、n ∈[0，1]，当m ＜n 时，由m ＜n 知n ﹣m ∈[0，1]， ∴f （n ）=f （n ﹣m+m ）≥f （n ﹣m ）+f （m ）≥f （m ）． 若f （x 0）＞x 0，则f （x 0）≤f[f （x 0）]=x 0，前后矛盾； 若：f （x 0）＜x 0，则f （x 0）≥f[f （x 0）]=x 0，前后矛盾． 故f （x 0）=x 0．21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()13a a a =≠，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-，*n ∈N .（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，某某数a 的最小值；（Ⅲ）当4a =时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,2n n n e b n =⎧=⎨≥⎩，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t （t ，*p ∈N 且1t >，1p >）的形式，则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由. 【答案】（I ）详见解析；（II ）9-；（III ）3C 为指数型和. 【解析】【分析】（I ）通过计算证明证得12n nb b +=，来证得数列{}n b 是等比数列. （II ）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由1n n a a +≥，10n n a a +-≥，求得a 的最小值.（III ）先求得{}n C 的通项公式，对p 分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论，根据“指数型和”的定义，求出符合题意的“指数型和”.【详解】（I ）13n n n a S +=+，*11323,n n n n n n n S S S S S n N ++-=+⇒=+∈.由于3nn n b S =-，当3a ≠时，11113233233n n n n n n n n n n n b S S b S S ++++-+-===--，所以数列{}n b 是等比数列.1133b S a =-=-，()132n n b a -=-⨯.（II ）由（I ）得()1332nn n n b S a -=-=-⨯，()1332n n n S a -=+-⨯()12*12332,2,n n n n n a S S a n n N ---=-=⨯+-⨯≥∈，所以()12,12332,2n n n a n a a n --=⎧=⎨⨯+-⨯≥⎩.因为1n n a a +≥，213a a a a =+>=.当2n ≥时， ()122332n n n a a --=⨯+-⨯，()112332n n n a a -+=⨯+-⨯，而1n n a a +≥，所以10n n a a +-≥，即()()12123322332n n n n a a ---⎡⎤⨯+-⨯-⨯+-⨯⎣⎦()1243320n n a --=⨯+-⨯≥，化简得11243338322n n n a ----⨯⎛⎫≥+=-⨯+ ⎪⎝⎭，由于当2n ≥时，13832n -⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭单调递减，最大值为2138312392-⎛⎫-⨯+=-+=- ⎪⎝⎭，所以9a ≥-，又3a ≠，所以a 的最小值为9-.（III ）由（I ）当4a =时，12n nb -=，当2n ≥时，()1212324232112n n n n C +⨯-=++++=+=+-.13C =也符合上式，所以对正整数n 都有21n n C =+.由21,12p n p n t t =+-=，（*,t p N ∈且1,1t p >>），t 只能是不小于3的奇数.①当p 为偶数时，221112p ppnt t t ⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由于21p t +和21p t -都是大于1的正整数，所以存在正整数,g h ，使得2212,12p pg h t t +=-=，()222,2212ghhg h--=-=，所以22h =，且2121,2g hh g --=⇒==，相应的3n =，即有233C =，3C 为“指数型和”；② 当p 为奇数时，()()21111pp t t t t t --=-++++，由于211p t t t -++++是p 个奇数之和，仍为奇数，又1t -为正偶数，所以()()21112p n t t t t --++++=不成立，此时没“指数型和”.综上所述，{}n C 中的项存在“指数型和”，为3C .【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查根据数列的单调性求参数的取值X 围，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.。
2020年上海市建平中学高三数学理下学期期末试卷含解析
2020年上海市建平中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C2. “是函数在区间内单调递增”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：C3. 某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温月销售量（件）由表中数据算出线性回归方程中的=，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A．46 B．40 C．38 D．58参考答案：A4. 方程在复数范围内的根共有A.1个B. 2个C. 3个D. 4个参考答案：D略5. 若是幂函数，且满足，则=（）A. B. C.2 D. 4参考答案：B略6. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为A．3 B．2 C．D．参考答案：C7. 一锥体的三视图如图所示，设该棱锥的最长棱和最短棱的棱长分别为m，n，则等于（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，侧面PBC⊥底面ABCD．EC=3BE=3．可得该棱锥的最长棱和最短棱的棱长分别为PD，AB．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，侧面PBC⊥底面ABCD．EC=3BE=3．∴该棱锥的最长棱和最短棱的棱长分别为PD，AB．∴m=PD==，n=AB=BC=CD=DA=4．∴=．故选：C．8. “非空集合M不是P的子集”的充要条件是（）A．B．C．又D．参考答案：D略9. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中错误的是 ()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A－BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等参考答案：D10. 函数的部分图象大致为（）A．B．C. D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设x，y满足约束条件，则的最小值为．参考答案：-3画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点(－1,1)处取得最小值为－3.12. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则?= ．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）?（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）?（）=（）?（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为 2．13. 已知函数，存在实数，使得有解，则实数的取值范围为 ;参考答案：14. 设正项数列{a n}的前n项和是S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1＝.参考答案：15. 已知m∈R，向量＝(-7，m)，＝(2，)，且⊥，则||＝________．参考答案：816. 已知a≠0，函数，(e为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线和均相切，则最大值是．参考答案：e因为，，所以，，设曲线和的切点坐标分别为(，)，(，)，则，可得，代入上式可得：，构造函数，求得最小值为0，所以的最大值为e．17. 以F1（－1,0）、F2（1,0）为焦点，且经过点M（1，－）的椭圆的标准方程为＿＿＿参考答案：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届上海市浦东新区建平中学高三下学期4月模拟考试数学试卷及解析
2020届上海市浦东新区建平中学高三下学期4月模拟考试数学试卷★祝考试顺利★（解析版）一、填空题.1.已知2{|1}A x x=>,2{|log (1)1}B x x =-<,则A B =________. 【答案】{}|12x x <<【解析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ,找出两集合的交集即可．【详解】集合A 中不等式,当0x >时,解得：2x <,此时02x <<,当0x <时,解得：2x >,无解,{|02}A x x ∴=<<,集合B 中不等式变形得：22log (1)1log 2x -<=,即012x <-<,解得：13x <<,即{|13}B x x =<<,则{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<．2.函数()3tan(2)f x x =-的最小正周期为_________. 【答案】π2【解析】首先化简()3tan(2)3tan 2f x x x =-=-.再根据公式T πω=即可求出最小正周期. 【详解】因为函数()3tan(2)3tan2f x x x =-=-.所以最小正周期为：π2T =. 故答案为：π2. 3.计算：13(2)lim 32n nn n n +→∞--=+_________.【答案】13【解析】 将原数列极限变成112333lim 12133n n n →∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭,根据22lim lim 033n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而可求出原数列极限的值. 【详解】1112103(2)13333lim lim 3210312133nn n n n n n n +→∞→∞⎛⎫-⋅-- ⎪--⎝⎭===++⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭. 故答案为：13. 4.直线l 的方程为10223012x y =-,则直线l 的一个法向量是________.【答案】(1,2)【解析】先将三阶行列式化简得出直线的一般式方程,再求出直线l 的一个法向量即可. 【详解】由10223012x y =-得直线的一般式方程为：2470x y +-=,所以直线l 的一个法向量为(1,2).故答案为(1,2).5.若实数,,a b m 满足25a b m ==,且212a b+=,则实数m 值为__________.【答案】【解析】现结合指数与对数的互化公式,表示出,a b ,再结合换底公式表示出212a b+=,最后结合对数运算即可求解。
上海市建平中学2023届高三上学期11月月考数学试卷(解析版)
所以平均数
，
解得 ．
故答案为: ，
4.已知 的展开式中，若第7项为常数项，则 的值为______．
【答案】9
【分析】根据二项式定理的通项展开即可.
【详解】由题知，
，
因为第7项为常数项.
所以当 时， ,
所以
故答案为：
5.已知函数 的图像与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 的值为______.
【答案】（1） ；（2）2．
【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知 ，再利用诱导公式化简 ，利用降幂公式化简 ，结合 ，求出 ；（2）由（1）可知 ，利用三角形面积公式求出 ，再利用余弦定理即可求出 .
试题解析：（1） ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）由（1）可知 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
则 的前20项和为
．
20.已知二次曲线 的方程： ．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件：
（2）若双曲线 与直线 有公共点且实轴最长，求双曲线方程：
（3） 、 为正整数，且 ，是否存在两条曲线 ，其交点 与点 满足 ？若存在，求 、 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） 时．方程表示椭圆； 时，方程表示双曲线；
故选：B.
【点睛】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．
15.已知抛物线 的焦点为 ， 、 、 为抛物线 上三点，当 时，称 为“特别三角形”，则“特别三角形”有（）
A.1个B.2个C.3个D.无数个
【答案】D
【分析】根据向量表达式可以确定 是 的重心，根据重心的性质进行判断即可.
【详解】抛物线方程为 ，A、B、C为抛物线E三点，当满足 时时，F为 的重心，连接 并延长至D，使 ，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦 ，则这样的三角形有无数个．故“特别三角形”有无数个，
上海市浦东新区建平中学2020届高三上学期10月月考数学试卷Word版含答案
上海市浦东新区建平中学2020届高三上学期10月月考数学试卷一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B= ．2．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的定义域为．3．（5分）当x＞0时，函数f（x）=x+x﹣1的值域为．4．（5分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．5．（5分）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）= ．6．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，B={t|at﹣1=0}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为．7．（5分）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为．8．（5分）已知不等式≤1的解集为A，若1∉A，则实数a的取值范围是．9．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，若f（a）＞f（2a﹣1），则实数a的取值范围是．10．（5分）若集合A={x|x2+4x+a=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}，则A ∪B的元素之和的函数关系式f（a）= ．11．（5分）当m＞0时，方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=，记函数g（x）=f（x）﹣t，若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则实数a的取值范围是．二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（x）至少有三个零点；③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]．则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．已知U=R，P={x|＞a}，Q={x|x2﹣3x≤10}．（1）若a=1，求（∁U P）∩Q；（2）若P∩Q=P，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=+（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M 的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．20．设函数f（x）=|4x﹣a•2x+4|+a•2x，其中a∈R．（1）当a＜0时，求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）若a=5，求函数f（x）的值域并写出函数f（x）的单调区间；（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），若函数g（x）的最大值为5，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=log n x（n＞0，n≠1）．（1）若f（x1x2）=10，求f（x12）+f（x22）的值；（2）设g（x）=f（），当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求m与n的值；（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+（m＞0），如果对于区间[﹣1，0]上的任意三个实数r，s，t，都存在以h（r）、h（s）、h（t）为边长的三角形，求实数m的取值范围．上海市浦东新区建平中学2020届高三上学期10月月考数学试卷参考答案一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B= [0，1）．【分析】根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x＜1}=[0，1）．故答案为：[0，1）．2．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．【解答】解：对数函数f（x）=log2（x﹣1）中，x﹣1＞0，解得x＞1；∴f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．3．（5分）当x＞0时，函数f（x）=x+x﹣1的值域为[2，+∞）．【分析】直接利用基本不等式求得函数f（x）=x+x﹣1的最小值得答案．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）=x+x﹣1=x+．当且仅当x=1时，上式“=”成立．∴函数f（x）=x+x﹣1的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．4．（5分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是a＜1 ．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：若“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则a＜1，故答案为：a＜1．5．（5分）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）= 1 ．【分析】由已知可得x＞0时，f（x）=x+2，若f﹣1（3）=a，则f（a）=3，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，故x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x﹣2=﹣f（x），即f（x）=x+2，若f﹣1（3）=a，则f（a）=3，当a＜0时，f（a）=a﹣2=3，即a=5（舍去）当a＞0时，f（a）=a+2=3，即a=1，故f﹣1（3）=1故答案为：16．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，B={t|at﹣1=0}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为{0，，1} ．【分析】求出集合A={1，2}，B={t|at﹣1=0}，A∪B=A，从而B⊆A，当a=0时，B=∅，成立；当a≠0时，B={}，由B⊆A，得=1或，由此能求出实数a的取值集合．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}={x|1≤x≤2}={1，2}，B={t|at﹣1=0}，A∪B=A，∴B⊆A，当a=0时，B=∅，成立；当a≠0时，B={}，∵B⊆A，∴=1或，解得a=1或a=，∴实数a的取值集合为{0，，1}．故答案为：{0，，1}．7．（5分）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为（，1] ．【分析】讨论a=0、a＞0和a＜0时，函数f（x）在（1，2）上为减函数实数a满足的条件是什么．【解答】解：a=0时，函数f（x）=lg（﹣4x+5），应满足﹣4x+5＞0，解得x＜，不满足题意；a＞0时，由题意知，解得＜a≤1；a ＜0时，由题意知，此时无解；综上，函数f （x ）=lg （ax 2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，实数a 的取值集合是（，1]．故答案为：（，1]．8．（5分）已知不等式≤1的解集为A ，若1∉A ，则实数a 的取值范围是 （0，1] ．【分析】求出不等式中x 的范围，根据1∉A ，求出a 的范围即可． 【解答】解：∵≤1，∴≤0，∴或，解得：0＜x ＜a ，而1∉A ，故a ∈（0，1]，故答案为：（0，1]．9．（5分）设函数f （x ）=ln （1+|x|）﹣，若f （a ）＞f （2a ﹣1），则实数a 的取值范围是 （，1） ．【分析】根据题意，分析可得函数f （x ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，据此可以将不等式f （a ）＞f （2a ﹣1）转化为|a|＞|2a ﹣1|，解可得a 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f （x ）=ln （1+|x|）﹣，分析可得f （﹣x ）=f （x ），即函数f （x ）为偶函数，又由当x ＞0时，y=ln （1+|x|）=ln （1+x ）和y=﹣都是增函数，则函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，若f （a ）＞f （2a ﹣1），则有|a|＞|2a ﹣1|，变形可得：a 2＞4a 2﹣4a+1，解可得＜a ＜1，即a 的取值范围是（，1）；故答案为：（，1）．10．（5分）若集合A={x|x2+4x+a=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}，则A∪B的元素之和的函数关系式f（a）= ．【分析】求出集合B，讨论a的取值，求出集合A，再求函数f（a）的表达式．【解答】解：集合A={x|x2+4x+A=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}={t|64﹣16t（4﹣t）≤0}={t|t=2}={2}，△=16﹣4a，a＞4时，△＜0，方程x2+4x+a=0无解，A=∅；f（a）=2；a=4时，△=0，方程x2+4x+a=0有一解﹣2，A={﹣2}；f（a）=﹣2+2=0；a=﹣12时，△=64，方程x2+4x+a=0有两解﹣6和2，A={2，﹣6}；f（a）=2﹣6=﹣4；a∈（﹣∞，﹣12）∪（﹣12，4）时，△=16﹣4a，方程x2+4x+a=0有两解﹣2﹣和﹣2+，A={﹣2﹣，﹣2+}；f（a）=（﹣2﹣）+（﹣2+）+2=2∴函数f（a）=．故答案为：．11．（5分）当m＞0时，方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）、f（1）的值，由函数零点判定定理可得f（0）f（1）=（1﹣m）（m2﹣3m）≤0，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，令f（x）=m2x2﹣2mx﹣+1﹣m，有f（0）=1﹣m，f（1）=m2﹣3m，若方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，即函数f（x）在区间[0，1]上有且只有一个零点，有f（0）f（1）=（1﹣m）（m2﹣3m）≤0，又由m为正实数，则（1﹣m）（m2﹣3m）≤0⇒（1﹣m）（m﹣3）≤0，解可得0＜m≤1或m≥3，即m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故答案为：（0，1]∪[3，+∞）．12．（5分）已知函数f（x）=，记函数g（x）=f（x）﹣t，若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（，）．【分析】若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则a≥t＞0，且a2﹣4a2+4a＞t＞0且，解得答案．【解答】解：若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则函数y=f（x）与y=t有四个交点，即|x|=t，x≤a，与x2﹣4ax+4a=t各有两个解，故a≥t＞0，且a2﹣4a2+4a＞t＞0且解得：a∈（，），故答案为：（，）二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=【分析】求出函数的定义域和值域，逐个进行对比即可．【解答】解：函数y=10lgx的定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），对于A，定义域是（﹣∞，+∞），值域是[0，+∞），A错．对于B，定义域是（﹣∞，+∞），值域是（﹣∞，+∞），B错．对于C，定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），C错．对于D，定义域是（0，+∞），值域是（0，+∞），与题干函数定义域和值域相同．故D对．故选：D．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若￢q，则￢p”，写出即可．【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【分析】结合二次函数的图象和性质，设函数f（x）=ax2+bx+c在x1处取的最大值，在x2处取的最小值，0≤x1≤1，0≤x2≤1，且x1≠x2，则M﹣m=a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2），即可得到答案【解答】解：设函数f（x）=ax2+bx+c在x1处取的最大值，在x2处取的最小值，0≤x1≤1，0≤x2≤1，且x1≠x2，∴M=f（x1）=ax12+bx1+c，m=f（x2）=ax22+bx2+c，∴M﹣m=ax12+bx1+c﹣ax22﹣bx2﹣c=a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2），∴与a，b有关，但与c无关，故选：B．16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（x）至少有三个零点；③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]．则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别根据函数的性质进行判断即可．【解答】解：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则满足f（﹣x）=f（x）且f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）=0故①正确；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（﹣1）=f（1）=﹣f（1），即f（1）=0，则f（﹣1）=f（1）=0，且f（0）=0，则f（x）至少有三个零点，0，1，﹣1；故②正确，③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数错误，只要函数f（x）是一对一函数即可，与函数是否单调没有关系；故③错误，④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]，错误．比如函数f（x）=x，（﹣1≤x≤0或1≤x≤2）则函数的值域为[﹣1，0]∪[1，2]，故正确的命题个数为2个，故选：B．三、解答题17．已知U=R，P={x|＞a}，Q={x|x2﹣3x≤10}．（1）若a=1，求（∁U P）∩Q；（2）若P∩Q=P，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，U=R，P={x|0＜x＜1}，Q={x|﹣2≤x≤5}，由此能求出C U P和（∁U P）∩Q．（2）由P={x|＞a}，Q={x|﹣2≤x≤5}，P∩Q=P，得P⊆Q，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，U=R，P={x|＞1}={x|0＜x＜1}，Q={x|x2﹣3x≤10}={x|﹣2≤x≤5}．C U P={x|x≤0或x≥1}，∴（∁U P）∩Q={x|﹣2≤x≤0或1≤x≤5}．（2）∵P={x|＞a}，Q={x|﹣2≤x≤5}，P∩Q=P，∴P⊆Q，当x＞0时，P={x|0＜x＜}，由P⊆Q，得a，当x≤0时，P⊆Q不成立．综上，实数a的取值范围是[，+∞）．18．已知函数f（x）=+（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．【分析】（1）f（x）为奇函数，运用定义法判断，求得函数的定义域，计算f（﹣x），与f（x）比较即可得到所求奇偶性；（2）由题意可得0＜2x﹣1≤3，运用指数函数的单调性，即可得到所求解集．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．理由：函数f（x）=+，即为f（x）=，定义域为{x|x≠0}，由f（﹣x）===﹣f（x），则f（x）为奇函数；（2）f（x）≥，即为+≥，即有≥，可得0＜2x﹣1≤3，解得1＜2x≤4，解得0＜x≤2，则原不等式的解集为（0，2]．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M 的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由消去y，利用△=0，求出m即可；（2）①写出点P的坐标（t，2t2），代入直线MN的方程，用t表示出直线方程，利用直线方程求出M、N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式即可求出S的最大值．【解答】解：（1）函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣m=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×m=0，解得m=﹣；（2）设点P的横坐标为t，则0＜t＜1，∴点P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+），其中0＜t＜1；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣；即S的最大值是4﹣．20．设函数f（x）=|4x﹣a•2x+4|+a•2x，其中a∈R．（1）当a＜0时，求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）若a=5，求函数f（x）的值域并写出函数f（x）的单调区间；（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），若函数g（x）的最大值为5，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＜0时，f（x）=4x+4，即可解得f﹣1（x）=log4（x﹣4），x＞4，（2）设2x=t，则f（t）=|t2﹣5t+4|+5t=，分段求出函数的值域并判断判断区间，（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），设2x=t，则1≤t≤4，g（t）=，分类讨论，求出函数的最值即可．【解答】解：（1）当a＜0时，f（x）=4x﹣a•2x+4+a•2x=4x+4，∴4x=y﹣4，y＞4，∴x=log4（y﹣4），∴y=log4（x﹣4），∴f﹣1（x）=log4（x﹣4），x＞4（2）当a=5时，f（x）=|4x﹣5•2x+4|+5•2x，设2x=t，则4x﹣5•2x+4=t2﹣5t+4，当t2﹣5t+4＜0时，解得0＜t＜4，当t2﹣5t+4≥0时，解得t＞4，∴f（t）=|t2﹣5t+4|+5t=，当t≥4时，f（t）在（0，1）和（4，+∞）上单调递增，则4＜f（t）≤5或f（t）≥20，当1＜t＜4时，f（t）=﹣t2+10t﹣4=﹣（t﹣5）2+21，∴f（t）在（1，4）上单调递增，∴f（1）＜f（t）＜f（4），∴5＜f（t）＜20，综上所述f（x）的值域为（4，+∞），函数f（x）的单调区间为（﹣∞，+∞），（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），设2x=t，则1≤t≤4，∴g（t）=，当a≤0时，g（t）==t+，在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，∴g（t）max=max{g（1），g（5）}∵g（1）=5，g（4）=5，∴函数g（t）的最大值为5，即当a≤0时，满足函数g（x）的最大值为5，当a＞0时，由t2﹣at+4≥0，即a≤t+，则由（2）可得y=t+，在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，∴（t+）min=2+=4，∴当0＜a≤4时，g（t）==t+，故可知满足函数g（x）的最大值为5，当a＞4时，g（t）==﹣（t+）+2a，∵y=﹣（t+），在[1，2]上单调递增，在（2，4]上单调递减，∴y max=﹣（2+）+2a=﹣4+2a，此时满足函数g（t）的最大值为5，综上所述当a∈（﹣∞，4]时，函数满足函数g（x）的最大值为521．已知函数f（x）=log n x（n＞0，n≠1）．（1）若f（x1x2）=10，求f（x12）+f（x22）的值；（2）设g（x）=f（），当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求m与n的值；（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+（m＞0），如果对于区间[﹣1，0]上的任意三个实数r，s，t，都存在以h（r）、h（s）、h（t）为边长的三角形，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据对数的运算法则进行化简求解即可．（2）根据复合函数单调性的关系进行求解．（3）问题转化为2y min＞y max，然后利用对勾函数的单调性进行分类讨论求解即可．【解答】解：（1）若f（x1x2）=10，则log n x1x2=10，则f（x12）+f（x22）=log n x12+log n x22=log n x12x22=log n（x1x2）2=2log n x1x2=20．（2）g（x）=f（）=log n=log n（）=log n（1+），则y=1+在（1，+∞）上为减函数，∵当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），∴m=1，n＞1，则函数g（x）在（m，n）上为减函数，则g（n）=1，即log n（1+）=1，得1+=n，即=n﹣1，的（n﹣1）2=2，得n﹣1=±，则n=1或n=1﹣（舍）．（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+=3x+，（m＞0），∵﹣1≤x≤0，∴设t=3x，则≤t≤1，即y=t+，（≤t≤1），由题意得在≤t≤1上恒有2y min＞y max即可．①当0＜m≤时，函数h（x）在[，1]上递增，y max=1+m，y min=3m+．由2y min＞y max得6m+＞1+m，即5m＞，得m＞．此时＜m≤．②当＜m≤时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，y max=max{3m+.1+m}=1+m，y max=3m+，y min=2，由2y min＞y max得4＞1+m，得．此时＜m≤．③当＜m＜1时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，y max=max{3m+.1+m}=3m+，y min=2，由2y min＞y max得4＞3m+，得＜m＜．此时＜m＜1 ④当m≥1时，h（x）在[，1]上递减，y max=3m+，y min=m+1，由2y min＞y max得2m+2＞3m+，得m＜．此时1≤m＜，综上＜m＜．。
上海市建平中学2019-2020学年2020届高三第一学期数学期中考试卷(简答)
建平中学高三期中数学卷2019.11一. 填空题1. 设函数()f x A ，R 为全体实数集，则A =R ð2. 若复数1z ，2z 满足112i z =+，234i z =+（i 是虚数单位），则12||z z ⋅=3. 在二项式51)x 的展开式中，展开式的系数和为4. 双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是340y x -=， 那么双曲线的方程 是5. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，4d =，则2lim1n n S n →∞=+ 6. 已知函数34()log (2)f xx =+，则方程1()4f x -=的解x =7. 行列式sin 4cos 35x x 的最大值为 8. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为9. 某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为10. 已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 11. 已知a r 、b r 、2c r 是平面内三个单位向量，若a b ⊥r r ，则|4|2|32|a c a b c +++-r r r r r 的最小值是12. 已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤， 则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的 取值范围是二. 选择题13. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值可能是（ ）A. 0B. 2π C. π D. 2π 14. 设x ∈R ， 则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ）条件A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15. 已知椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[0,2)θπ∈，则该椭圆的焦点坐标为（ ）A. (0,B. (2,0)±C. (D. (1,0)±16. 数列{}n a 为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是41a =，51a =，62a =，74a =，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此继续，则2019a =（ ）A. 16B. 4C. 2D. 1三. 解答题17. 如图，在Rt △ABC 中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点，现将Rt △ABC以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=. （1）求该圆锥的全面积（即表面积）；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥.19. 某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m 人（60150m <<，且m 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润a 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润2a 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.（1）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （千元）关于x 的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？20. 如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，左顶点为(4,0)A -，经过点(2,3)，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，(3,0)Q -，证明：对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥恒成立；（3）若过点作直线的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||AD AE OM +的最小值.21. 设数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将两个数列的偏差距离定义为[{},{}]n n M a b ，其中1122[{},{}]||||||n n m m M a b a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-.（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；（2）设A 为满足递推关系+11+=1n n na a a -的所有数列{}n a 的集合，{}nb 和{}nc 为A 中的两个 元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的偏差距离小于2020，求m 最大值；（3）记S 是所有8项数列{|18,0n n a n a ≤≤=或1}的集合，T S ⊆，且T 中任何两个元素的偏差距离大于或等于4，证明：T 中的元素个数小于或等于16.参考答案一. 填空题1. {|11}x x -<<2.3. 324. 221916x y -= 5. 2 6. 1 7. 5 8.439.427 10. 1 11. 12. 21(0,]2019二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）12π；（2）. 18.（1）12-；（2）[2,2]26k k ππππ-+，k ∈Z . 19.（1）(100)(2)20,00.6(1002)(2)20,0.6x m x x x m y x m x x m x m +--<≤⎧=⎨+--<≤⎩；（2）30m -.20.（1）2211612x y +=；（2）证明略；（3）21.（1）6；（2）3461；（3）证明略.。
2020届上海市建平中学高三下学期7月摸底数学试题(解析版)
2020届上海市建平中学高三下学期7月摸底数学试题一、单选题1．已知锐角ABC 的面积为3AC =，4BC =，则角C 的大小为（ ）A ．6π B ．5π C ．4π D ．3π 【答案】D【解析】本题先建立方程143sin 2C =⨯⨯，再求sin C ，最后求角C 的大小即可. 【详解】解：因为锐角ABC 的面积为3b AC ==，4a BC ==，所以1sin 2ABCSab C =，即143sin 2C =⨯⨯，解得：sin 2C =， 由因为角C 是锐角，所以3C π∠=故选：D. 【点睛】本题考查利用三角形的面积公式求角，是基础题.2．1l 、2l 是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（ ） A ．如果1//l α，//2l α，则一定有12l l // B ．如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l α⊥ C ．如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1//l α D ．如果1l α⊥，//2l α，则一定有12l l ⊥ 【答案】D【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】若1//l α，//2l α,则1l 与2l 可能平行、相交或异面,故A 错误； 如果12l l ⊥,2l α⊥,则有1//l α或1l α⊂,故B 、C 错误； 如果1l α⊥,则1l 垂直α内的所有直线,又//2l α,则过2l与α相交的平面交α于a ,则2//l a ,∴12l l ⊥,故D 正确． 故选D ． 【点睛】本题考查空间线面平行垂直关系,熟练掌握有关定理是解题的关键,属于基本题. 3．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是（ ）． A ．A B > B ．A B <C ．A B =D ．A B 、的大小关系不确定 【答案】A【解析】设出玫瑰与康乃馨的单价，根据题意列出不等式，求出A B 、的表达式，利用不等式的性质求解即可. 【详解】设玫瑰与康乃馨的单价分别为,x y (单位为：元)，则有28,2,34522x y x A y B x y +>⎧==⎨+<⎩. 所以有,23A B x y ==，因此8(1)35222(2)3B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩. (1)5(2)(1)⨯+⨯-可得：6A >；(1)2(2)(1)⨯+⨯-可得：6B <，因此A B >.故选：A 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力.4．已知函数()()1xf x x D x=∈-，有下列四个结论： ①对任意x D ∈，()()0f x f x -+=恒成立；②对任意()0,1m ∈，方程()f x m =有两个不相等的实数根；③存在函数()g x 使得()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称；④对任意()1,k ∈+∞，函数()()g x f x kx =-在D 上有三个零点. 则上述结论中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①根据解析式计算()()0f x f x -+=；②画出函数()y f x =的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数()g x 满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据()0f x kx -=，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数. 【详解】①函数的定义域是{}1x x ≠±，()()011x xf x f x x x--+=+=---，故①正确；②(),11,0111,101,11xx x x x xx y f x xx x x x x x ⎧>⎪-⎪⎪<<⎪-===⎨--⎪-<<⎪+⎪-⎪<-+⎩，函数的图象如图所示：y m =与函数图象有2个交点，故②正确；③设函数()g x 上的任一点为(),P x y 关于y x =的对称点为(),y x 在函数()f x 上， 则1y x y =-，当0y >时，1xy x =+，当0y ≤时，1x y x =-，当2x =时，23y =或2y =-，存在一个x 对着两个y 的值，所以不存在函数()g x 使得()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称，故③不正确；④01xkx x-=-， 当0x =时，满足方程，所以方程的一个实数根是0x =， 当0x ≠时，11k x =- ，11x k =-，当1k >时，110k ->，11x k ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭， 所以满足方程()()0g x f x kx =-=的有三个实数根据0，11k ⎛⎫±- ⎪⎝⎭，所以函数有3个零点，故④正确. 故正确的个数有3个. 故选：C 【点睛】本题考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型.二、填空题 5．行列式2002=______.【答案】4【解析】根据行列式的计算法则a bad bc c d=-，计算求值即可； 【详解】根据行列式计算的对角线法则，知：20220402=⨯-=；故答案为：4 【点睛】本题考查了行列式的计算，应用行列式的对角线法则计算求值，属于简单题； 6．已知集合{}420A x x =-≤≤，{}5B x x =≥，则A B =______.【答案】[]5,20 【解析】直接求A B 即可.【详解】因为{}420A x x =-≤≤，{}5B x x =≥， 所以{|520}AB x x =≤≤．故答案为：[]5,20 【点睛】本题考查集合的交集运算，是简单题. 7．不等式311x x +>+的解集为______. 【答案】()1,-+∞ 【解析】本题先将不等式311x x +>+转化为10x +>，最后再求不等式的解集即可. 【详解】解：因为311x x +>+⇔31011x x x x ++->++⇔201x >+⇔10x +>1x ⇔>-， 所以不等式311x x +>+的解集为()1,-+∞. 故答案为：()1,-+∞ 【点睛】本题考查求分式不等式的解集，是基础题.8．从某校高中3个年级按分层抽样抽取了100人作为调研样本，其中有80人来自高一和高二，若知高一和高二总人数共计900人，则高三学生的总人数为______. 【答案】225【解析】先根据题意建立方程，再求解即可. 【详解】解：设高三学生的总人数为x 人，有题意：8010080900x-=， 解得：225x =，所以高三学生的总人数为225人. 故答案为：225. 【点睛】本题考查分层抽样，是基础题.9．若函数()()3log f x x a =+的反函数的图象经过点()1,2，则实数a =______. 【答案】1【解析】由题意可得()21f =，由此可求得实数a 的值.【详解】由于函数()()3log f x x a =+的反函数的图象经过点()1,2，则()()32log 21f a =+=，解得1a =.故答案为：1. 【点睛】本题考查利用反函数的基本性质求参数，考查计算能力，属于基础题.10．已知空间向量(),a x y =-，(),b y x =-，则a 与b 的夹角为______. 【答案】2π 【解析】计算出0a b ⋅=，由此可得出a 与b 的夹角. 【详解】由已知条件可得20a b xy xy xy ⋅=--+=，a b ∴⊥，因此，a 与b 的夹角为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题考查利用空间向量的数量积求空间向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 11．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，渐近线方程为2y x =±，若点()4,2在C 上，则双曲线C 的焦距为______.【答案】【解析】分别讨论双曲线C 的焦点在x 轴上，双曲线C 的焦点在y 轴上，设出双曲线方程，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果. 【详解】若双曲线C 的焦点在x 轴上， 设双曲线C 的方程为()222210,0x ya b a b-=>>，因为渐近线方程为2y x =±，点()4,2在C 上，所以221641b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩，因此c =则双曲线C的焦距为2c =若双曲线C 的焦点在y 轴上， 设双曲线C 的方程为()222210,0y xa b a b-=>>，因为渐近线方程为22y x =±，点()4,2在C 上， 所以22224161a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解，故双曲线C 的焦点不在y 轴上； 综上243c =. 故答案为：43. 【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型. 12．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数12z i --的最大值为______. 【答案】221+【解析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由12z i --的几何意义求解即可． 【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=, 得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：2212(1)(2)z i a b --=-+-表示复数z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离所以12z i --最大值为22||1(11)(02)1212PA +=--+-=． 故答案为：221．本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 13．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产.如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”.未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515.现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为______.【答案】38【解析】根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足“这个数能被3整除”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，包含的基本事件个数为4216=； 这个数能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，1155，1515，1551，共6个， 则这个数能被3整除的概率为63168P ==. 故答案为：38.【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.14．已知x C ∈，且510x -=，则4321=x x x x+++_____．【答案】4或-1【解析】由()()54321110x x x x x x -=-++++=,得1x =,或43210x x x x ++++=,进而得到答案．∵x C ∈，且()()54321110x x x x x x -=-++++=,故1x =,或43210x x x x ++++=，当1x =时,43214x x x x+++=,当43210x x x x ++++=时，432432111x x x x x x x xx x+++++++-==-，故43214x x x x+++=，或-1故答案为4或-1． 【点睛】本题考查1的五次方根,化简,求值,考查计算能力,属于中档题.15．已知ABC 的面积为3，P ，Q 为ABC 所在平面内异于点A 的两个不同的点，若()120PA PC λ-+=且QA QB QC BC λλλ++=，其中0λ>，则APQ 的面积为______. 【答案】3【解析】先得到12=2AP AC λλ+和212AQ AB λλ=+，最后表示出APQS 并转化求值即可. 【详解】解：因为()120PA PC λ-+=，所以2PA PC PC λ-=，即12PC CA λ= 因为()120PA PC λ-+=，所以()12AP PC λ=-+所以()1212PC CA AP PCλλ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，所以()11212=22AP CA AC λλλλ+=-+⋅， 因为QA QB QC BC λλλ++=，所以2AQ QB λ=，所以212AQ AB λλ=+，12=2AP AC λλ+，212AQ AB λλ=+ 因为ABC 的面积为3，所以1sin 32ABC S AB AC A =⋅⋅=，111221sin ()()sin sin 3222122APQSAP AQ A AC AB A AB AC A λλλλ+=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=+，所以APQ 的面积是3 故答案为：3 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，三角形的面积公式，是中档题.三、解答题16．存在实数α∈R 使得m ≥，则实数m 的取值范围为______.【答案】⎛-∞ ⎝⎦【解析】首先利用三角函数化简已知，转化为()f α=几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求m 的取值范围. 【详解】==，设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f PQ PB α==-， 如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且点B 在,P Q 之间时等号成立， 又()2211702022QB ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭，故()f α的最大值为172，因为存在实数α∈R 使得2222112cos sin cos sin 22m αααα⎛⎫⎛⎫++-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以2222max112cos sin cos sin 22m αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪≤++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即172m ≤故答案为：17,⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦【点睛】本题考查与三角函数有关的最值问题，重点考查构造函数的几何意义求最值，数形结合思想，属于中档题型，本题的关键是构造两点间距离公式，转化几何意义求最值. 17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，5BC =，14AA =，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且112A E D F ==，5AH DG ==．（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【答案】（1）111179AA EH DD FG BHEB CGFC V V --=；（2）515【解析】（1）由题意,平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,转化求解体积推出结果即可．（2）解法一：作AM EH ⊥,垂足为M ,证明HG AM ⊥,推出AM ⊥平面EFGH ．通过计算求出,AM AF 的值．设直线AF 与平面α所成角为θ,求解即可． 解法二：建立空间直角坐标系,求出平面α一个法向量,设直线AF 与平面α所成角为θ,通过空间向量的数量积求解即可． 【详解】（1）由题意,面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,()111111(25)457022AA EH DD FG V A E AH A A AD -=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=,()111111(36)459022BHEB CGFC V BH B E B B BC -=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=,所以，111179AA EH DD FG BHEB CGFC V V --=．（2）解法一：作AM EH ⊥,足为M ,题意，HG ⊥平面11ABB A ，故HG AM ⊥，所以AM ⊥平面EFGH ,因为114AA EH S =梯形,14AA E S =△，所以10AEH S =△，因为5EH =，所以4AM =．又222111135AF AA A D D F =++=，设直线AF 与平面α所成角为θ,则45sin AM AF θ==所以,直线AF 与平面α45． 解法二：以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则()5,0,0A ,()5,5,0H ,()5,2,4E ,()0,2,4F ,故(5,0,0)FE=,(0,3,4)HE=-,设平面α一个法向量为(,,)n x y z=,则n FEn HE⎧⋅=⎨⋅=⎩即50340xy z=⎧⎨-+=⎩,所以可取(0,4,3)n=．设直线AF与平面α所成角为θ,则||45sin15||||n AFn AFθ⋅==．所以，直线AF与平面α所成角的正弦值为4515．【点睛】本题考查几何体的体积,空间角的计算,对于空间角计算通常有两种方法：①几何法,作出所求角,然后计算,作、证、算三步缺一不可;②空间向量法,建立空间直角坐标系,求出线段的方向向量坐标,面的法向量坐标,即可求出角.18．已知定义在()1,1-上的奇函数()f x，当()0,1∈x时，()241xxf x=+.（1）当()0,1∈x时，解方程()25f x=；（2）求()f x在区间1,0上的解析式.【答案】（1）∅；（2）0,0()2,1041xxxf xx=⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩.【解析】（1）由题意有22415xx=+，解方程即可求得解集，且保证()0,1∈x即可；（2）利用奇函数的性质：()()f x f x-=-且在0x=处有定义时()00=f，即可求()f x在区间1,0上的解析式；【详解】（1）222122522024152xx x xx=⇒⋅-⋅+=⇒=+或221x x=⇒=-（舍）或1x=（舍）；故当()0,1∈x时，方程()25f x=无解，即解集为∅.（2）由题意知：()00=f；当()1,0x∈-时，()()224141x xx xf x f x---=--=-=++综上所述，0,0()2,1041xxxf xx=⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩.【点睛】本题考查了含指数元方程的解法：换元法转化为一元二次方程求解，利用函数的奇偶性求函数解析式，属于简单题；19．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知18AB=米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP与EB的夹角为θ.（1）若3πθ=，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？【答案】（1）机器人乙按与AB的夹角为13的角度释放才能挑战成功；（2）宽AD至少为6米.【解析】（1）由题意可知2=AQ EQ ，设EQ x =，则2=AQ x ，利用余弦定理可求得x 的值，进而利用余弦定理可求得cos α的值，由此可求得结果； （2）设EQ x =，则22AQ EQ x ==，利用余弦定理以及诱导公式可求得9cos 62x x θ=-，可计算出sin x θ=sin x θ的最大值，可得出()max sin AD x θ≥，进而可得出结论. 【详解】（1）由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故2=AQ EQ ，设EQ x =，QAB α∠=，易知()3,9x ∈，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得()()2229221cos cos 3292x x x πθπ+--===-⨯⨯，整理得23270x x --=，解得32x +=. ()222929cos 292124x x x x x αα+-==+=⇒=⨯⨯，答：机器人乙按与AB 的夹角为的角度释放才能挑战成功； （2）设EQ x =，则22AQ EQ x ==，易知()3,9x ∈，由余弦定理可得()()222929cos 2926x x x x x πθ+--==-⨯⨯，9cos 62x x θ∴=-，sin x θ===由题意得sin AD x θ≥对任意()3,9x ∈恒成立，故()max sin 6AD x θ≥=，当且仅当x =.答：矩形区域ABCD的宽AD至少为6米时，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲.【点睛】本题考查解三角形的综合应用，考查余弦定理、反三角以及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.20．设椭圆M:22221(0)x ya ba b+=>>的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点11,22P⎛⎫-⎪⎝⎭，且AP PO⊥．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为12,k k的直线交椭圆M于,D E两点，且121k k=，求证：直线DE恒过一个定点．【答案】（1）22113yx+=（2314（3）(2,0)-【解析】试题分析：根据AP PO ⊥，利用斜率关系求出a ，再利用椭圆过点P ，求出b ，写出椭圆方程；AP 为定直线，要想APQ ∆面积最大，只需点Q 到AP 的距离最大.写出AP 所在直线方程，巧设点Q ，求出点Q 到直线AP 的距离的最大值，问题得到解决；写出AD 所在直线方程后联立方程组，利用根与系数关系，有1A x =-，写出点D 的坐标，同理写出点E 的坐标，根据211k k =，减元化简DE k ，利用点斜式写出DE 所在直线方程，令0y =，求出2x =-，说明直线过定点(2,0)-，直线过定点问题是高考常见题型，要掌握解题方法和技巧.试题解析：（1）由AP OP ⊥，可知1AP OP k k ⋅=-，又A 点坐标为(),0,a -故1122111+22a ⋅=---，可得1a =，因为椭圆M 过P 点，故211+144b =，可得213b =， 所以椭圆M 的方程为22113y x +=． （2）AP 的方程为01110122y x -+=--+，即10x y -+=，由于Q 是椭圆M上的点，故可设cos Q θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以122APQ S ∆=⨯16πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当()2Z 6k k πθπ+=∈，即()2Z 6k k πθπ=-∈时，APQ S ∆取最大值．故APQ S ∆1+4． 法二：由图形可知，若APQ S ∆取得最大值，则椭圆在点Q 处的切线l 必平行于AP ，且在直线AP 的下方． 设l 方程为(0)y x t t =+<，代入椭圆M 方程可得2246310x tx t ++-=，由0∆=，可得t =，又0t <，故t =． 所以APQ S ∆的最大值11+2264=⋅=． （3）直线AD 方程为()11y k x =+，代入2231x y +=，可得()2222111316310k x k x k +++-=，21213131A D k x x k -⋅=+，又1A x =-，故21211313D k x k -=+，2111221113211313D k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭，同理可得22221313E k x k -=+，222213E k y k =+，又121k k =且12k k ≠，可得211k k =且11k ≠±， 所以212133E k x k -=+，12123E k y k =+，()1122111222111221122313231331313E D DEE D k k y y k k k k k k x x k k k --++===---+-++， 直线DE 的方程为()21112221112213131331k k k y x k k k ⎛⎫--=- ⎪+++⎝⎭，令0y =，可得()22112211311321313k k x k k +-=-=-++． 故直线DE 过定点()2,0-． （法二）若DE 垂直于y 轴，则,E D E D x x y y =-=，此时221222111133D E D D D E D D y y y y k k x x x y =⋅===++-与题设矛盾． 若DE 不垂直于y 轴，可设DE 的方程为+x ty s =，将其代入2231x y +=，可得()2223210t y tsy s +++-=，可得22221,33D E D E ts s y y y y t t --+=⋅=++， 又()()1211111D E D ED E D E y y y y k k x x ty s ty s =⋅==++++++， 可得()()()()221110D E D E t y y t s y y s -+++++=，故()()()2222212111033s ts t t s s t t ---++++=++，可得2s =-或1-，又DE 不过A 点，即1s ≠-，故2s =-． 所以DE 的方程为2x ty =-，故直线DE 过定点()2,0-．【点睛】先根据题意列方程组求出,a b 写出椭圆的标准方程；最值问题首先表示三角形的面积，写出直线AP 的方程，由于点Q 是椭圆M 上的点，所以巧设点Q 的坐标，借助点到直线距离公式表示三角形的高，从而表示出三角形的面积，然后求最值；第三步为直线过定点问题，把A 所在直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系找出D E 、 坐标，写出DE 所在直线方程，证明其过定点.21．已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，()*2121n n a a n n N +=++∈.（1）求5a 和7a 的值； （2）设()*212n n na b n N -=∈，nS 为数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，求2020S ； （3）设定义在*N 上的函数()818283843n n n n f n a a a a ++++=++-，求()252f 的值，并求出函数()f n 的值域.【答案】（1）55a =，78a =；（2）80802021；（3）()2521009f =，{}*41,y y n n N =+∈. 【解析】（1）根据递推关系直接求5a 、7a 即可；（2）先判断数列{}n b 是以0为首项，12为公差的等差数列，从而求出n b ，再将121n n b b ++化简1141n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，最后求2020S 即可； （3）先求出()41f n n =+，再求()2521009f =和函数()f n 的值域. 【详解】解：（1）()5211232213455a a a a =+=++=+=()7311242224488a a a a =+=++=+=.（2）1212121111221122222n n n nn n n n na a ab b +---++++===+=+ 故数列{}n b 是以121111022a ab -===为首项，12为公差的等差数列()()()**12114114211n n n n b n N n N b b n n n n ++-⎛⎫=∈⇒==-∈ ⎪++⎝⎭故2020111111180804...4112232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）()()()8142241443847n n n n a a n a n a n +=++=++=++()()8241221443847n n n n a a a n a n ++=+=++=++ ()()()83412242484888n n n n a a n a n a n ++=++=++=++ ()8442212143847n n n n a a a a n +++=+=+=++()()()818283843884741n n n n f n a a a a n n n ++++=++-=+-+=+故()2521009f =，函数()f n 的值域为{}*41,y y n n N =+∈.【点睛】本题考查数列与函数的关系、判断数列是等差数列、利用递推关系求指定项、裂项相消法求n 前项和，是中档题.。
上海市建平中学高三数学文月考试题含解析
上海市建平中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若f（x）=，则f（x）的定义域为（）A．（，0）B．（，0] C．（，+∞）D．（0，+∞）参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法．【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x 的不等式，解不等式即可求出函数的解析式．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：即0＜2x+1＜1解得故选A2. 函数的反函数为(A) (B)(C) (D)参考答案：C略3. 函数在处有极值10，则的值为（▲）A .B .C .D . 以上都不正确参考答案：D略4. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A．B．C．D．参考答案：C考点：柱，锥，台，球的结构特征空间几何体的三视图与直观图试题解析：由三视图知：此四面体的外接球即棱长为1的正方体的外接球，所以所以球的体积为：故答案为：C5. 在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（）A． B． 1﹣ C． D． 1﹣参考答案：A考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积．解答：解：如图正方形的边长为4：图中白色区域是以AB为直径的半圆当P落在半圆内时，∠APB＞90°；当P落在半圆上时，∠APB=90°；当P落在半圆外时，∠APB＜90°；故使∠AMB＞90°的概率P===．故选：A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．6. 已知复数满足,则对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：D 7. 设双曲线的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，，则点在A．圆内 B．圆上C．圆外 D．以上三种情况都有可能参考答案：A8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．4 C．D．参考答案：C由已知三视图可得，该几何体是一个底面为直角边为的等腰直角三角形，高为的三棱锥，如图，三棱锥，故该几何体的体积为，故选C.9. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为（）A．B．C．D．参考答案：A【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质即可得解对称中心．【解答】解：向左平移个单位长度后得到的图象，由2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，则其对称中心为．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．10. （5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1） B．（0，） C．（，1） D．（1，+∞）参考答案：C【考点】：函数的零点与方程根的关系．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：求出双曲线的渐近线方程，y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程，即可得出结论．解：由题意，x≥0，f（x）=为双曲线4y2﹣x2=1在第一象限的部分，渐近线方程为y=±x；当k=1时，由y=﹣ln（1﹣x），可得y′==1可得x=0，即y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程为y=x，此时函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有1个零点，∴若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（，1），故选：C．【点评】：本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知三棱柱中，，，且，则异面直线与所成角为_____________．参考答案：12. (2013·山东)函数的定义域为________．参考答案：13. 设n为正整数，展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为．参考答案：112由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得n=8，则，令，r=2，则展开式中的常数项为.14. 若函数图像在点（1，1）处的切线为在x轴，y轴上的截距分别为，则数列的最大项为。
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（2）曲线 上任一点到坐标原点 的距离都不超过2；
（3）曲线 构成的四叶玫瑰线面积大于 ；
（4）曲线 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）；
A．（1）（2）B．（1）（2）（3）
C．（1）（2）（4）D．（1）（3）（4）
【答案】A
【解析】因为 ，所以 与 异号，仅限与第二和四象限，从而判断（1）．
2020届上海市建平中学高三下学期6月月考数学试题
一、单选题
1．已知x， ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】 ，不能得到 ， 成立也不能推出 ，即可得到答案.
【详解】
因为x， ，
当 时，不妨取 ， ，
故 时， 不成立，
【考点】1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.
【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把 化为 ，再由余弦定理推论求出 的表达式，还用到用均值不等式求出 ，再算出结果来.
12．对任意实数 ，定义运算 ，其中 是常数，等式右边的运
算是通常的加法和乘法运算.已知 ，并且有一个非零常数 ，使得对任
意实数 ,都有 ，则 的值是______________
【答案】4
【解析】由定义可知 ,所以 ,
平面直角坐标系 中，点集 所对应的平面区域的面积为________
【答案】
【解析】利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积，乘以4得答案．
【详解】
解： 对应的区域关于原点对称， 轴对称， 轴对称，
16．在平面直角坐标系 中，点集 ，在 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为________
【答案】
【解析】点集 中有9个点，从而在 中随机取出三个点的方式数为 ，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：三点在一横线或一纵线上，有6种情况，三点是1，1， 的等腰直角三角形的顶点，有 种情况，三点是边长为 的等腰直角三角形的顶点，有8种情况，由此能求出这三个点两两之间距离均不超过2的概率．
所以 ，
所以 ，即（2）正确；
对于（3），以 为圆点，2为半径的圆 的面积为 ，显然曲线 围成的区域的面积小于圆 的面积，即（3）错误；
对于（4），只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把 ， 和 代入曲线 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线 只经过整点 ，即（4）错误；
【详解】
作出 的图象，
方程 有四个不同的实数解，等价为 和 的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标为 ， ， ， 且 ，
由 ， 关于原点对称， ， 关于点 对称，
可得 ， ，
则 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思想以及对称性的运用，属于中档题.
10．已知 ，且 ，则 ______.
共有8种情况，
综上，选出的三点两两之间距离不超过2的情况数为 ，
这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三、解答题
17．直三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形， ， ， ， 是侧棱 上一点，设 ．
(1) 若 ，求 的值；
【详解】
解： .
∵在区间 内没有零点，∴ ，∴ ，
设 的零点为 ，则 ， ，
（i）当 时，有： ，得： ；
（ii）当 时，有： ，得： ；
（iii）当 时，有： ，得： ，与 矛盾，舍去.
综上： .
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【详解】
，解得 ，
该组样本数据的方差为 .
故答案为：2
【点睛】
本题考查样本数据的平均值与方差，属于基础题.
7．椭圆 与双曲线 有公共的焦点，则 ______.
【答案】4
【解析】本题利用焦点相同，建立等量关系，即可求解
【详解】
由题意得两条曲线的 值相等，∴ ，求得 ，又因为 ，则 .
故答案为： .
【点晴】
利用基本不等式 即可判断（2）；
将以 为圆心、2为半径的圆的面积与曲线 围成区域的面积进行比较即可判断（3）；
先确定曲线 经过点 ，再将 ， 的整点 ， 和 逐一代入曲线 的方程进行检验即可判断（4）；
【详解】
对于（1），因为 ，所以 与 异号，仅限与第二和四象限，即（1）正确．
对于（2），因为 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题．
二、填空题
5．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是________
【答案】
【解析】根据指数函数 是单调增函数解不等式 ，得到集合 ,再根据交集的定义和空集的定义得 有公共元素,进而得到 .
【答案】
【解析】赋值法令 可得 ，即可求解 .
【详解】
令 则 ，
所以
所以 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查考了利用赋值法求解二项展开式的系数和及数列极限的求解，属于基础题.
11．若△ABC的内角 满足 ，则 的最小值是．
【答案】
【解析】试题分析：由正弦定理有 ,所以 , ,由于 ,故 ,所以 的最小值是 .
只要作出在第一象限的区域即可．
当 ， 时，
不等式等价为 ，
即 或 ，
在第一象限内对应的图象为，
则 ， ，
由 ，解得 ，即 ，
则三角形 的面积 ，则在第一象限的面积 ，
则点集 对应的区域总面积 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，主要考查区域面积的计算，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解决本题的关键，属于中档题．
14．设复数 满足 ，使得关于 的方程 有实根，则这样的复数 的和为________
【答案】
【解析】设 ，（ 且 ），将原方程变为 ，则 ①且 ②；再对 分类讨论可得；
【详解】
解：设 ，（ 且 ）
则原方程 变为
所以 ，①且 ，②；
（1）若 ，则 解得 ，当 时①无实数解，舍去；
从而 ，此时 ，故 满足条件；
【详解】
在平面直角坐标系 中，点集 ，
∴ 中有9个点， 在 中随机取出三个点的方式数为 ，
当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：
①三点在一横线或一纵线上，有6种情况，
②三点是边长为1，1， 的等腰直角三角形的顶点，有 种情况，
③三点是边长为 ， ， 的等腰直角三角形的顶点，
其中，直角顶点位于 的有4个，直角顶点位于 ， 的各有1个，
（2）若 ，由②知， 或 ，显然 不满足，故 ，代入①得 ，
所以
综上满足条件的所以复数的和为
故答案为：
【点睛】
本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.
15．已知函数 ， .若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】首先利用三角恒等变换公式化简函数解析式，由函数在区间 内没有零点，可得 ，则 ，设 的零点为 ，得到 ，再分类讨论，分别求出参数的取值范围；
【详解】
由定义知 ， ， ，即 ．
，
观察可得，
，
，
∴数列 是等比数列，公比为2，首项为1．∴ ．
，由 ，解得 ．即 的最小值为11.
故答案为：C
【点睛】
本题考查向量的数量积，考查等比数列的通项公式与前 项和公式．解题关键是求出 ．接着顺理成章地写出 ，观察两项之间的关系，问题得以解决．属于难题
4．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线 为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）
A．41πB．42πC．43πD．44π
【答案】A
【解析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.
【详解】
由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，
即为 ，
∴该球形容器体积的最小值为：4 41π.
故选：A.
【点睛】
本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题.
（1）若 ，且两根横轴之间的距离 米，求外围隔离线总长度 ；
（2）由于疫情需要，外围隔离线总长度 不超过240米，当整个方舱医院（多边形 的面积）最大时，给出此设计方案中 的大小与 的长度.
【答案】（1） ；（2） ， .
【解析】（1）根据条件，求出外围隔离线每边的长度，再求和即可；
（2）先得到当外围隔离线总长度为240米时，整个方舱医院的面积最大，再将整个方舱医院的面积用 表示出来，观察题中出现 和 ，可用两者之间的联系化简求最值成立的条件.
本题考查了椭圆和双曲线的基本性质，属于基础题.
8．函数 （ ）的反函数是________
【答案】 ，
【解析】欲求原函数的反函数，即从原函数式中反解出 ，后再进行 ， 互换，即得反函数的解析式，求出原函数的值域即为反函数的定义域．
【详解】
解：因为 且 ，所以
所以
又 ，所以 ，所以 ，所以
， 互换，得 ， ．
故答案为： ，
【点睛】