高中数学必修1RB版模块过关测试卷
高中数学 模块综合测评1(含解析)新人教B版选择性必修第一册-新人教B版高二选择性必修第一册数学试题
模块综合测评(一)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1B ．15 C ．35D ．75D [因为k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0⇒k ＝75．]2．已知四面体ABCD 的所有棱长都是2，点E 、F 分别是AD 、DC 的中点，则EF →·BA →＝( )A ．1B ．－1C ． 3D ．－ 3B [如图所示，EF →＝12AC →，所以EF →·BA →＝12AC →·(－AB →)＝－12×2×2cos 60°＝－1，故选B ．]3．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为()A ．12B ．－12C ．－2D ．2 A [由－2－33－(－2)＝m ＋212－3，得m ＝12．]4．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是()A ．2x －y －5＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0D [圆心C (1,0)，k PC ＝0－(－1)1－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选D ．]5．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A ．316B ．38C ．163D ．83A [抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)， 故双曲线的一个焦点是(1,0)， 所以m ＋n ＝1，且1m＝2， 解得m ＝14，n ＝34， 故mn ＝316．]6．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8xB [由题可知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．]7．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A ．64B ．63C ．26D ．23 A [如图所示：∵B 1B ⊥平面ABCD ，∴∠BCB 1是B 1C 与底面所成角， ∴∠BCB 1＝60°． ∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴∠CDC 1是C 1D 与底面所成的角， ∴∠CDC 1＝45°．连接A 1D ，A 1C 1，则A 1D ∥B 1C ．∴∠A 1DC 1或其补角为异面直线B 1C 与C 1D 所成的角． 不妨设BC ＝1，则CB 1＝DA 1＝2， BB 1＝CC 1＝3＝CD ， ∴C 1D ＝6，A 1C 1＝2．在等腰△A 1C 1D 中，cos ∠A 1DC 1＝12C 1D A 1D ＝64．]8．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是 ( )A ．6a 6B ．3a 6C ．3a 4D ．6a 3A [建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )， ∴DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，DB →＝(a ，a,0)，DA 1→＝(a,0，a )． 设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ax ＋a2z ＝0，ax ＋ay ＝0，令x ＝1，则可得n ＝(1，－1，－2)．∴d ＝|DA 1→·n ||n |＝|a －2a |6＝66a ．]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，下面结论中正确的是( ) A ．AB ∥CD B ．AB ⊥AD C ．|AC |＝|BD |D ．AC ⊥BDABCD[k AB＝－4－26＋4＝－35，k CD＝12－62－12＝－35．且C不在直线AB上，∴AB∥CD，故A正确；又因为k AD＝12－22＋4＝53，∴k AB·k AD＝－1，∴AB⊥AD，故B正确；∵|AC|＝(6－2)2＋(12＋4)2＝417，|BD|＝(2－6)2＋(12＋4)2＝417，∴|AC|＝|BD|．故C正确；又k AC＝6－212＋4＝14，k BD＝12＋42－6＝－4．∴k AC·k BD＝－1，∴AC⊥BD，故D正确．]10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0．若直线y＝k(x ＋1)上存在一点P，使过P点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是()A．1B．2C．3D．4AB[圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，则圆心为C(2,0)，半径R＝2．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形P ACB为正方形，故有PC＝2 R＝22，∴圆心到直线y＝k(x＋1)的距离小于或等于PC＝22，即|2k－0＋k|k2＋1≤22，解得k2≤8，可得－22≤k≤22，∴结合选项，实数k的取值可以是1,2．]11．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则( )A ．|BF |＝3B ．△ABF 是等边三角形C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6xBCD [因为|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，所以F A ＝FB ，若∠ABD ＝90°可得F A ＝AB ，所以可得△ABF 为等边三角形，所以B 正确；过F 作FC ⊥AB 交于C ，则C 为AB 的中点，C 的横坐标为p 2，B 的横坐标为－p 2，所以A 的横坐标为3p 2，代入抛物线可得y 2＝3p 2，|y A |＝3p ，△ABF 的面积为93，即12(x A －x B )|y A |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2＋p 2×3p ＝93，解得：p ＝3，所以抛物线的方程为：y 2＝6x ，所以D 正确；焦点坐标为：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以焦点到准线的距离为：32×2＝3，所以C 正确；此时A 点的横坐标为92，所以BF ＝AF ＝AB ＝92＋32＝6，所以A 不正确．]12．我们把离心率为e＝5＋12的双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)称为黄金双曲线．如图给出以下几个说法中正确的是()A．双曲线x2－2y25＋1＝1是黄金双曲线B．若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线C．若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线D．若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线ABCD[双曲线x2－2y25＋1＝1中，∵e＝1＋5＋121＝5＋12，∴双曲线x2－2y25＋1＝1是黄金双曲线，故A正确；b2＝ac, 则e＝ca＝a2＋aca＝1＋e．∴e2－e－1＝0，解得e＝5＋12，或e＝5－12(舍)，∴该双曲线是黄金双曲线，故B 正确；如图，F 1，F 2为左、右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，且∠F 1B 1A 2＝90°， ∴|B 1F 1|2＋|B 1A 2|2＝|A 2F 1|2，即b 2＋2c 2＝(a ＋c )2，整理，得b 2＝ac ，由B 知该双曲线是黄金双曲线，故C 正确； 如图，MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°， ∴NF 2＝OF 2，∴b 2a ＝c ，∴b 2＝ac ，由B 知该双曲线是黄金双曲线，故D 正确． 故选ABCD ．]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为．2x ＋3y －2＝0 [由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2，2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0．]14．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为．2π [(数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3． 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3， ∴∠ACB ＝2π3，∴所求劣弧长为2π．]15．已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝4，点Q (2，2)在椭圆C 上，P 是椭圆C 上的动点，则PQ →·PF 1→的最大值为．92[由题意可得：c ＝2，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4， 所以椭圆的方程为x 28＋y 24＝1， 可得F 1(－2,0)，设P (x ，y )，由x 28＋y 24＝1，可得：x 2＝8－2y 2，则PQ →·PF 1→＝(2－x ，2－y )(－2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2－2y ＝－y 2－2y ＋4＝－⎝⎛⎭⎪⎫y ＋222＋12＋4，当且仅当y ＝－22∈[－2,2]时，则PQ →·PF 1→的最大值为92．]16．已知三棱锥A -BCD 的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 中点，则直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为，若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为．(第一空2分，第二空3分)63223[连接BE ，AE ，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连接OD ，则∠ADO是直线PE 与平面BCD 所成角(图略)，因三棱锥A -BCD 的所有棱长均相等，设棱长为2， 则DO ＝BO ＝23BE ＝234－1＝233，AO ＝4－⎝⎛⎭⎪⎫2332＝263， ∴sin ∠ADO ＝AO AD ＝2632＝63．∴直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为63． 当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，此时直线QE 与平面BCD 所成角为∠AEO ，AE ＝4－1＝3，∴直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为： sin ∠AEO ＝AO AE ＝2633＝223．]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2．18．(本小题满分12分)如图所示平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长． [解] (1)AC 的中点E (0,2)即为圆心， 半径r ＝12|AC |＝1242＋(－2)2＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5．(2)直线BC 的斜率k ＝1－(－2)2－(－2)＝34，其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0．点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2．19．(本小题满分12分)如图所示在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，AD ＝233AB ，E 是PC 的中点．求证：PD ⊥平面ABE ．[证明]∵P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)，A (0,0,0)，B (1,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0．∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12．∴AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n ，∴PD →∥n ， ∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE ．20．(本小题满分12分)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标． [解] (1)因为c a ＝63，且c ＝2， 所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1． (2)由题意知P (0，t )(－1＜t ＜1)．由⎩⎨⎧y ＝t ，x 23＋y 2＝1得x ＝±3(1－t 2)，所以圆P 的半径为3(1－t 2)．当圆P 与x 轴相切时， |t |＝3(1－t 2)，解得t ＝±32．所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫0，±32．21．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 为PC 的中点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3．(1)求证：PQ ⊥AB ；(2)求二面角P -QB -M 的余弦值．[解] (1)证明：在△P AD 中，P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD ． 因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以PQ ⊥底面ABCD ．又AB ⊂平面ABCD ，所以PQ ⊥AB ．(2)在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点， 所以四边形BCDQ 为平行四边形． 因为AD ⊥DC ，所以AD ⊥QB ．由(1)，可知PQ ⊥平面ABCD ，故以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系Q -xyz 如图所示，则Q (0,0,0)，A (1,0,0)，P (0,0，3)，C (－1，3，0)，B (0，3，0)，QB →＝(0，3，0)．因为AQ ⊥PQ ，AQ ⊥BQ ，所以AQ ⊥平面PQB ， 即QA →为平面PQB 的一个法向量，且QA →＝(1,0,0)．因为M 是棱PC 的中点，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32，所以QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32．设平面MQB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧m ·QB →＝0m ·QM →＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0－12x ＋32y ＋32z ＝0，令z ＝1，得x ＝3，y ＝0，所以m ＝(3，0,1)， 所以cos 〈QA →，m 〉＝QA →·m |QA →||m |＝32．由题意，知二面角P -QB -M 为锐角， 所以二面角P -QB -M 的余弦值为32．22．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0和抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17．(1)求抛物线E 的方程；(2)不过原点的动直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ． ①求证直线l 过定点；②设点M 为圆C 上任意一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时直线l 的方程．[解] (1)圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，可得圆心C (－1,1)，半径r ＝1， 抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17， 即有⎝⎛⎭⎪⎫－1－p 22＋12＝17，解得p ＝6，即抛物线方程为y 2＝12x .(2)①证明：设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝12x ，x ＝my ＋t， 整理得：y 2－12my －12t ＝0， 所以y 1＋y 2＝12m ，y 1y 2＝－12t ． 由于OA ⊥OB ．则x 1x 2＋y 1y 2＝0． 即(m 2＋1)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝0． 整理得t 2－12t ＝0， 由于t ≠0，解得t ＝12． 故直线的方程为x ＝my ＋12， 直线经过定点P (12,0)．②当CP ⊥l 且动点M 经过PC 的延长线时，动点M 到动直线l 的距离取得最大值．k MP ＝k CP ＝－113， 则m ＝113．此时直线l 的方程为：x ＝113y ＋12， 即13x －y －156＝0．。
新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析
人教B 选择性必修第一册综合测验第一章 空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章 平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章 空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin <u ,v >,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章 平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。
人教B版数学高一版必修1模块综合测评
数学人教B 必修1模块综合测评(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与函数f (x )＝|x |是同一个函数的是( )A ．2y x = B ．2x y x=C ．y ＝e ln xD ．y ＝log 33x 2．若2()|21y A x y x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，，B ＝{(x ，y )|y ＝ax －3}，若A ∩B ＝，则实数a 的取值是( )A ．2B ．－5C ．2或－5D ．13．定义域为R 的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( ) A ．[2a ，a ＋b ] B ．[0，b －a ] C ．[a ，b ] D ．[－a ，a ＋b ]4．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)＜13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的x 的取值范围是( )A ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，5．定义域为R 的二次函数f (x )，其对称轴为y 轴，且它在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式中成立的是( )A ．34f ⎛⎫-⎪⎝⎭＞f (a 2－a ＋1) B ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥f (a 2－a ＋1)C ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f (a 2－a ＋1)D ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤f (a 2－a ＋1)6．(2011·湖北荆州中学高一期末)函数12log (1)(1)x y x x =++-的定义域是( ) A ．(－1,0) B ．(－1,1) C ．(0,1) D ．(0,1]7．已知集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．48．(2011·山东日照高一期末)计算3log 213lg lg 52+-的结果为( )A ．2B ．1C ．3D ．－1 9．若函数y ＝ax 与by x=-在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增10．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12log xC ．12x D ．x 2 11．幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，13y x =，12y x -=在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 312．函数f (x )，f (x ＋2)均为偶函数，且当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数，设81log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b ＝f (7.5)，c ＝f (－5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．化简：2lg2lg3111lg0.36lg823+++的结果等于__________．14．(2011·山东日照高一期末)已知幂函数f (x )＝x n 的图象过点(2，2)，则f (9)＝__________.15．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，那么f (2)的取值范围是__________．16．函数21()mmf x x +=(m ∈N ＋)的定义域是__________，其单调减区间是__________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)设A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1)A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值． (2)A ∩B ，且A ∩C ＝，求a 的值；(3)A ∩B ＝A ∩C ≠，求a 的值．18．(12分)(1)已知21lgf xx⎛⎫+=⎪⎝⎭，求f(x)；(2)已知函数f(x)满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求f(x)．19．(12分)某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)20．(12分)已知函数()f x=A．(1)求集合A；(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最值及对应的x值．21．(12分)当m为何值时，关于x的方程||12xm⎛⎫=⎪⎝⎭，(1)有唯一解；(2)有两个不同的解；(3)无解？22．(14分)已知定义域为R的函数2()21xxaf x-+=+是奇函数．(1)求实数a的值；(2)用定义证明f(x)在R上是减函数；(3)已知不等式3log(1)04mf f⎛⎫+->⎪⎝⎭恒成立，求实数m的取值范围．参考答案1. 答案：A 由于2y x x ==，所以函数f (x )＝|x |与2y x =的定义域均为R ，且解析式相同，是同一函数．2. 答案：C 集合A 表示一条直线y －2＝2(x ＋1)上除去点(－1,2)的点的集合，集合B 是直线y ＝ax －3上的点的集合，A ∩B ＝，则说明两条直线平行或直线y ＝ax －3经过点(－1,2)，可得a ＝2或－5.3. 答案：C4. 答案：A 因为f (x )是偶函数， 所以f (2x －1)＝f (|2x －1|)．又f (x )在[0，＋∞)上单调增加，∴|2x －1|＜13，解得1233x <<. 5. 答案：B ∵a 2－a ＋1＝212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋34≥34，∴f (a 2－a ＋1)≤3344f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B.6. 答案：C 由100110x x x x +>⎧⎪>≠⎨⎪-≥⎩，且，，得0＜x ＜1.∴定义域为(0,1)．7. 答案：D 由已知，得a ＝4且a 2＝16，或a ＝16且a 2＝4，显然只有a ＝4.故选D. 8. 答案：B 3log 213lg lg 52+-＝2－(lg 2＋lg 5)＝2－1＝1.故选B.9. 答案：B 依题意，得a ＜0，b ＜0，y ＝ax 2＋bx ＝2224b b a x a a ⎛⎫+-⎪⎝⎭. ∵a ＜0，b ＜0，∴x ＝2ba-＜0.∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数，故选B.10. 答案：B 由题意，知f (x )＝log a x ，又点a a )在反函数的图象上， ∴1log 2a a ==，故选B. 11. 答案：D12. 答案：A 因为f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)＝f (2－x )，故函数f (x )图象关于x ＝2对称，又f (x )为偶函数，所以f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝f [2－(2＋x )]＝f (－x )＝f (x )，1133a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b ＝f (7.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，c ＝f (－5)＝f (5)＝f (1)．又因为当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数，且13＜0.5＜1，所以有a ＞b ＞c .13. 答案：1 2lg(23)lg12=1lg(100.62)lg12⨯==⨯⨯原式.14. 答案：3 由f (2)＝2n，得12n =. ∴f (9)3.15. 答案：[7，＋∞) f (x )的对称轴为12a x -=，∴1122a -≤. ∴a ≤2.∴f (2)＝4－2(a －1)＋5＝11－2a ≥7.16. 答案：[0，＋∞) 不存在 由于m 2＋m ＝m (m ＋1)且m ∈N ， 故m (m ＋1)一定是偶数，因此f (x )的定义域是[0，＋∞)． 又210m m>+，所以f (x )只有增区间[0，＋∞)，无减区间． 17. 答案：解：(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B . ∴25196a a =⎧⎨-=⎩，，解得a ＝5. (2)由于B ＝{2,3}，C ＝{－4,2}，故只可能3∈A . 此时a 2－3a －10＝0，即a ＝5或a ＝－2， 由(1)可得a ＝－2.(3)此时只可能2∈A ，有a 2－2a －15＝0， 即a ＝5或a ＝－3，由(1)可得a ＝－3. 18. 答案：解：(1)换元法：令t ＝2x＋1， 则21x t =-，∵x ＞0，∴t ＞1. ∴2()lg 1f t t =-，t ＞1.∴2()lg 1f x x =-，x ＞1.(2)令t ＝3x ＋1，则3x ＝t －1. ∵x ∈R ，所以t ∈R .∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＋5＝t 2－2t ＋1－2t ＋7＝t 2－4t ＋8，t ∈R . ∴f (x )＝x 2－4x ＋8，x ∈R .19. 答案：解：依题意，得22110031000n ⎛⎫⋅≤⎪⎝⎭，即21320n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. 则n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)， 故1lg27.4lg3lg2n +≥≈-，考虑到n ∈N ，故n ≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．20. 答案：解：(1)要使函数有意义，则有3log (41)0,1620.xx -≥⎧⎨-≥⎩解得4411,22.x x -≥⎧⎨≤⎩∴12≤x ≤4.∴1|42A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)令log 2x ＝t ，∵1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴t ∈[－1,2]，∴g (t )＝t 2－2t －1＝(t －1)2－2 .∴当t ＝1时，g (t )min ＝－2，此时x ＝2； 当t ＝－1时，g (t )max ＝2，此时12x =. 21. 答案：解：设||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，y 2＝m .在同一平面直角坐标系内作出函数||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数y 2＝m 的图象，如图所示．由图可知：(1)若函数y 2＝m 与||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只有一个交点，即方程有唯一解，此时直线为y 2＝1，即m ＝1；(2)若函数y 2＝m 与||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象有两个交点，即方程有两个不同的解，此时0＜m＜1；(3)若函数||112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y 2＝m 的图象无交点，即方程无解，此时m ＞1或m ≤0.综上，(1)当m ＝1时，方程有唯一解； (2)当0＜m ＜1时，方程有两个不同的解； (3)当m ＞1或m ≤0时，方程无解． 22. 答案：解：(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． 令x ＝0，则f (0)＝0，即102a -=，∴a ＝1. ∴12()12xxf x -=+.(2)证明：由(1)知122()11221x x xf x -==-+++， 任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则∆x ＝x 2－x 1＞0，∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＝122112222(22)112121(21)(21)x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.∵x1＜x2，故2x1＜2x2.又2x1＞0,2x2＞0，从而f(x2)－f(x1)＝12122(22)0 (21)(21)x xx x-<++，即∆y＜0，故f(x)在R上是减函数．(3)∵f(x)是奇函数，从而不等式3log4mf⎛⎫⎪⎝⎭＋f(－1)＞0等价于3log4mf⎛⎫⎪⎝⎭＞－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在R上为减函数，由上式推得：3log4m＜1＝log m m.∴当0＜m＜1时，上式等价于34m >，∴0＜m＜34；当m＞1时，上式等价于34m <，∴m＞1.综上，30,(1)4m⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭,．。
(人教版B版)高中数学必修第一册 第一章综合测试试卷03及答案
第一章综合测试一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}|13A x x =-＜＜，{}|2B x x =＞，则A B =U （ ）A .(1,3)-B .(2,3)C .(1,)-+¥D .(2,)+¥2.下列全称量词命题中真命题的个数是（ ）①2[2,)20x x x "Î+¥--，＞；②210x x "Î+R ，…；③所有的梯形都有一组对边平行；④{}{}{},,,,x a b c x a b c "Î，Þ.A .1B .2C .3D .43.设集合{}{}|12|A x x B x x a ==＜＜，＜，若A B Í，则实数a 的取值范围是（ ）A .{}|2a a ≥B .{}|1a a ≤C .{}|1a a ≥D .{}|2a a ≤4.命题“20,210x x x "-+＞＞”的否定是（ ）A .20210x x x $-+＞，≤B .20210x x x "-+＞，≤C .20210x x x $-+≤，≤D .20210x x x "-+≤，≤5.记全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,52,4,6U M N ===，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A .{}4,6,7,8B .{}2C .{}7,8D .{}1,2,3,4,5,66.已知集合{1,1,4}B =-，则满足条件M B ÆÍÞ的集合M 的个数为（ ）A .3B .6C .7D .87.设集合{(,)|,}{(,)|20}{(,)|0}U x y x y M x y x y m N x y x y n =ÎÎ=-+=+-R R ，＞，≤，那么点()()2,3U M N ÎI ð的充要条件是（）A .1,5m n -＞＜B .1,5m n -＜＜C .1,5m n -＞＞D .1,5m n -＜＞8.已知全集U =R ，集合{|23}M x x =-≤≤，{|24}N x x x =-＜或＞，那么集合()()U U M N I ðð等于（ ）A .{|34}x x ＜≤B .{|34}x x x ≤或≥C .{|34}x x ≤＜D .{|13}x x -≤≤9.已知,M N 为集合I 的非空真子集，且,M N 不相等，若()I N M =ÆI ð，则M N U 等于（ ）A .MB .NC .ID .Æ二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）10.已知集合,{|(2)0}A B x x x ==-Z ≤，则下列元素是集和合A B I 中元素的有（ ）A .1B .0C .2D .2-E .1-11.设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,4}S =，则U S Êð（ ）A .{}5B .{}1,2,5C .{2,3,4}D .ÆE .{}3,412.定义集合运算：{|()()}A B z z x y x y x A y B Ä==+´-ÎÎ，，，设{A B ==，，则（ ）A .当x =y =时，1z =B .x 可取两个值，y 可取两个值，()()z x y x y =+´-对应4个式子C .A B Ä中有4个元素D .A B Ä中所有元素之和为4E .A B Ä的真子集有7个三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.设集合{}2{0,1,2,3}|0U A x U x mx ==Î+=，，若{1,2}U A =ð，则实数m =________.14.设:2p x ＞或2,:23x q x ＜＞或1x -＜，则p Ø是q Ø的________条件.15.已知集合{|260,}{|,}{|5}A x x x B x x a x R C x x =-Î=Î=R ＞，≥，≤，若(){|45}A B C x x =≤≤I I ，则实数a 的值是________.16.若命题“对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞且2210x ax -+＞”是假命题，则实数a 的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）设集合{|4}{|12}{|13}U x x A x x B x x ==-=≤，≤≤，≤≤.求：（1）()U A B Èð；（2）()()U U A B Çðð.18.（12分）已知集合{}223,1,{3,21,+1}{3}A a a B a a a A B =-+=--=-，，I .（1）求实数a 的值；（2）写出集合A 的所有非空真子集.19.（12分）已知集合{|24},{|0}A x x B x x m =-=-＜＜＜.（1）若3m =，全集U A B =U ，试求()U A B I ð；（2）若A B =ÆI ，求实数m 的取值范围；（3）若A B A =I ，求实数m 的取值范围.20.（12分）已知m ÎR ，命题:[0,1]22p x m x "Î-，≥，命题:[1,1]q x m x $Î-，≤.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 与q 一真一假，求实数m 的取值范围.21.（12分）设集合{}{222|280|120}A x x x B x x ax a =--==++-=，，且A B A =U ，求满足条件的a 组成的集合.22.（12分）设,x y ÎR ，求证||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥.第一章综合测试答案解析一、单选题1.【答案】C【解析】Q 集合{13}{|2}A x B x x =-=＜＜，＞，{}|1A B x x \=-＞U ，故选C .2.【答案】C【解析】①中，2x =时，220x x --=，故220x x --＞不成立，为假命题；易知②③④均为真命题.故选C .3.【答案】A【解析】若A B Í，则利用数轴可知2a ≥.故选A .4.【答案】A【解析】含有量词的命题的否定，一改量词：将“"”改为“$”，二否结论将：“＞”改为“≤”，条件不变，故选A .5.【答案】C【解析】题图中阴影部分可表示为()U M N U ð，且{1,2,3,4,5,6}M N =U ，所以(){7,8}U M N =U ð.故选C .6.【答案】C【解析】由题意可知集合M 是集合B 的非空子集，集合B 中有3个元素，因此非空子集有7个.故选C .7.【答案】A【解析】()(2,3)U M N ÎQ I ð，(2,3)M \Î，且(2,3)N Ï，则2230230m n ´-+ìí+-î＞，＞，解得15.m n -ìíî＞，＜故选A .8.【答案】A【解析】{| 2 3}U M x x x =-Q ＜或＞ð，{|24}U N x x =-≤≤ð，()(){|34}U U M N x x \=＜≤I ðð.故选A .9.【答案】A【解析】()U N M =ÆI ð，所以N M Í（如图），所以M N M =U ，故选A .二、多选题10.【答案】ABC【解析】由(2)0x x -≤得02x ≤≤，即{|02}B x x =≤≤，所以{0,1,2}A B =I .故选ABC .11.【答案】AD【解析】易得}S {5U =ð，其子集为{5}和Æ.故选AD .12.【答案】BE【解析】当x y ==0z =´=，A 错误；由于A =，{B =，则()()z x y x y =+-对应1)1)1+´-=，0+´=，1)1)2´=，1´=四个式子，B 正确；由集合中元素的互异性，得集合A B Ä有3个元素，元素之和为3，C 、D 错误；集合A B Ä中的真子集个数为3217-=，E 正确.故选BE .三、填空题13.【答案】3-【解析】{0,1,2,3},{1,2}U U A ==Q ð，{0,3}A \=，即方程20x mx +=的两根为0和3，3m \=-.14.【答案】充分不必要【解析】由题意得2:2,:123p x q x ØØ-≤≤≤≤，p q \ØÞØ，但q p ØØ¿，p \Ø是q Ø的充分不必要条件.15.【答案】4【解析】由题意得集合{}|3A x x =＞，{|,}B x x a x =ÎR ≥，而(){|45}A B C x x =≤≤I I ，所以4a =.16.【答案】(,1][0,)-¥-+¥U 【解析】若对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞，则2160a a =+△＜，即160a -＜＜；若对于任意实数x ，都有2210x ax -+＞，则2440a =-△＜，即11a -＜＜，故命题“对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞且2210x ax -+＞”是真命题时，(1,0)a Î-，而命题“对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞且2210x ax -+＞”是假命题，故(,1][0,)a Î-¥-+¥U .四、解答题17.【答案】（1）{|4},{|12}U x x A x x ==-Q ≤≤≤，{| 1 24}U A x x x \=-＜或＜≤ð.{}|13B x x =Q ≤≤()A B {| 1 14}U x x x \=<-或≤≤U ð.（2）{|4},{|13}U x x B x x ==Q ≤≤≤，{| 1 34}U B x x x \=＜或＜≤ð，()(){| 1 34}U U A B x x x \=-＜或＜≤I ðð18.【答案】（1）{3}A B =-Q I ，3B \-Î33a \-=-或213a -=-或213a +=-（无解），解得0a =或1a =-.当0a =时， {3,1,0},{3,1,1}A B =-=--，{3,1}A B =-I ，不合题意，舍去；当1a =-时，{3,0,1}A =-，{4,3,2}B =--，{3}A B =-I ，符合题意.\实数a 的值为1-.（2）由（1）知集合{3,0,1}A =-，\集合A 的所有非空真子集有：{}{}{}{}{}{}3103,13,01,0---，，，，，.19.【答案】当3m =时，由于0x m -＜得3x ＜，{|3}B x x \=＜.{|4}U A B x x \==＜U ，{|34}U B x x \=≤＜ð(){|34}U A B x x \=≤＜I ð.（2）{|24}A x x =-Q ＜＜，{|}B x x m =＜，又A B =ÆI ，2m \-≤，∴实数m 的取值范围是2m -≤.（3）{|24},{|}A x x B x x m =-=Q ＜＜＜，由A B A =I ，得A B Í，4m \≥∴实数m 的取值范围是4m ≥.20.【答案】（1）[0,1],22x m x "Î-Q ≥，22m x \-≥在[0,1]x Î上恒成立，max (22)0m x \-=≥，即p 为真命题时，实数m 的取值范围是0m ≥.（2）[1,1],,1x m x m $Î-\Q ≤≤，即命题q 为真命题时，1m ≤.Q 命题p 与q 一真一假，∴p 真q 假或p 假q 真.当p 真q 假时，0,1,m m ìíî≥＞即1m ＞；当p 假q 真时，0,1,m m ìíî＜≤，即0m ＜.综上所述，命题p 与q 一真一假时，实数m 的取值范围为0m ＜或1m ＞.21.【答案】由题意得{4,2}A =-，A B A =Q U ，B A\ÍB \可能为Æ或{4}或{}2-或{4,2}-.①当B =Æ时，方程22120x ax a ++-=无实数根，()2224123480a a a \=--=-+△＜，即2160a -＞，4a \-＜或4a ＞；②当{4}B =时，方程22120x ax a ++-=有两个相等的根4，223480164120a a a ì=-+=ï\í++-=ïî△，，无解；③当{2}B =-时，方程22120x ax a ++-=有两个相等的根2-，223480,42120,a a a ì=-+=ï\í-+-=ïî△解得4a =；④当{4,2}B A =-=时，方程22120x ax a ++-=与2280x x --=是同一个方程，22,128,a a =-ìï\í-=-ïî解得2a =-.综上所述，满足条件的a 组成的集合为{|442}a a a a -=-＜或≥或.22.【答案】①充分性：若0xy ≥，则有0xy =和0xy ＞两种情况，当0xy =时，不妨设0x =，则x y y +=，x y y +=，\等式成立.当0xy ＞时，00x y ＞，＞或00x y ＜，＜，当00x y ＞，＞时，x y x y +=+，x y x y +=+.等式成立.当00x y ＜，＜时，()x y x y +=-+，x y x y +=+，∴.等式成立.综上，当0xy ≥时，x y x y +=+成立.②必要性：若x y x y +=+，且,x y ÎR .则22()x y x y +=+，即222222||x xy y x y x y ++=++×，xy xy \=，xy \≥综上可知，0xy ≥是等式x y x y +=+成立的充要条件.。
点拨高中数学必修RB过关测试卷：第一章 立体几何初步 过关测试卷
第一章过关测试卷（100分，60分钟）一、选择题(每题5分，共20分）1. 〈广东高考〉某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )图1A.72πB.48πC.30πD.24π2. 〈青岛模拟〉如图2所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，C∈a，D∈b，(C，D均异于A，B)，则△ACD是( )图2A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3. 〈天津塘沽模拟〉如图3所示，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC // 平面A′DE；③三棱锥A′-FED的体积有最大值．A.①B.①②C.①②③D.②③图3 图44. 如图4所示，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，EH // A1D1，则下列结论中不正确的是( )A.EH // FGB.四边形EFGH是矩形C.Ω是棱柱D.Ω是棱台二、填空题（每题5分，共30分）5. 如图5所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3 cm，AA1=2 cm，则四棱锥A-BB1D1D的体积为________cm3．图56.〈辽宁卷〉一个几何体的三视图如图6所示．则该几何体的表面积为_________．图67. 如图7所示，AB为圆O的直径，C为圆周上异于A，B的任意一点，PA_________个直角三角形．8.〈临沂高三教学质量检测〉具有如图8所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为_________.9. 用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是___________．10．〈辽宁丹东四校联考〉设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列5个命题：①若m⊥α，l⊥m，则l //α；②若m⊥α，l β，l // m，则α⊥β；③若α//β，l⊥α，m //β，则l⊥m；④若α//β，l //α，m β，则l // m；⑤若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥β．其中正确的命题是__________．三、解答题（14题14分，其余每题12分，共50分）11. 如图9所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点.（1）求证:AD⊥平面BCC1B1；（2）求证:A1C // 平面AB1D.图912. 如图10（1）所示，在梯形BCDE中，BC // DE，BA⊥DE，且EA＝DA＝AB＝2CB＝2，如图10（2）沿AB将四边形ABCD折起，使得平面ABCD 与平面ABE垂直，M为CE的中点．(1) 求证：AM⊥BE；(2) 求三棱锥C-BED的体积．图1013.〈福建厦门3月高三质量检查〉如图11所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D，E分别是线段BC，PD的中点.（1）若AP=AB=AC=2，BC=P-ABC的体积；（2）若点F在线段AB上，且AF=14AB，证明：直线EF // 平面PAC．14. 如图12所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上的一点．(1) 求证：B1D1 // 平面A1BD；(2) 求证：MD⊥AC；(3) 试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.图12第一章过关测试卷答案及点拨一、1.C 点拨：显然本题的几何体是由一个半球和一个倒立的圆锥组成的组合 体. V =13π×23×4+12×43π×33=30π. 2. B 点拨：∵a ⊥b ，b ⊥c ，a ∩c ＝B ， ∴b ⊥平面ABC ，∴AD ⊥AC ，故△ACD 为直角三角形．3. C 点拨：①由已知可得平面A′FG ⊥平面ABC ，∴点A′在平面ABC 上的 射影在线段AF 上．②由已知可得BC ∥DE ，∴BC ∥平面A′D E.③当平面A′ DE ⊥平面ABC 时，三棱锥A′-FED 的高最大，为A′G,所以三棱锥A′-FE D 的 体积有最大值．4. D 点拨：∵EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥BC ， ∴EH ∥BC ，∴EH ∥平面BCGF ．∵平面BCGF ∩平面EFGH =FG ，∴EH ∥F G ，故A 对． ∵B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，E F 平面A 1B 1BA ，∴B 1C 1⊥EF ，∵EH ∥BC ，BC ∥B 1C 1,∴EH ∥B 1C 1,∴EH ⊥EF ．易知，四边形EFGH 为平行四边形，故它也是矩形，故B 对． 由EH ∥B 1C 1∥FG ，知Ω是棱柱，故C 对．二、5. 6 点拨：方法一：∵长方体的底面ABCD 是正方形，∴BD =，BD cm （它也是四棱锥A-BB 1D 1D 的底面BB 1D 1D 上的高）. ∴四棱锥A -BB1D 1D 的体积为13×3).方法二：长方体的体积为3×3×2=18(cm 3)，所以三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积为9cm 3，三棱锥A -A 1B 1D 1的体积为13×2×12×3×3=3(cm 3),∴四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为9-3=6(cm 3).6. 38 点拨：本小题主要考查三视图的应用和常见几何体表面积的求法．解题的突破口为弄清要求的几何体的形状，以及表面积的构成．由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个圆柱形成的，几何体的表面积S ＝长方体的表面积＋圆柱的侧面积-圆柱的上下底面面积，由三视图知，长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1，所以S ＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＋2π×1×1-2×π×12＝38. 7. 4 点拨：∵PA ⊥平面ABC ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC . ∴△PAB ，△PAC 为直角三角形．又∵C 为圆周上一点，∴∠ACB ＝90°， ∴△ACB 为直角三角形．∵BC ⊥AC ，PA ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC ， ∴BC ⊥PC ，∴△PCB 为直角三角形．8. 14 点拨：由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边分别为1,3,所以表面积为2×（1×3+1×1+3×1）=14．9. 8 点拨：如答图1(1)为棱长为1的正方体形礼品盒，先把正方体的表面展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如答图1(2) 所示，由答图1(2)知，正方形的边长为22，其面积为8.答图110. ②③点拨：①l可能在α内，①错；④l若在β内，可能与m相交，④错；⑤m垂直于交线，不一定垂直于β，⑤错．三、11. 证明：（1）因为△ABC是正三角形,而点D是BC的中点，所以AD⊥BC.又因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD，因为CC1∩BC=C，所以AD⊥平面BCC1B1；（2）连接A1B,设AB1∩A1B=E,则E为A1B的中点,连接DE,由D是BC的中点,得DE∥A1C.因为DE⊂平面AB1D,且A1C⊄平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D.12. (1) 证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，由已知条件可知，DA⊥AB，AB⊥BC，平面ABCD∩平面ABE＝AB，∴DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE.取EB的中点N，连接AN、MN，在△ABE中，∵AE＝AB，N为EB的中点，∴AN⊥BE.在△EBC中，∵EM＝MC，EN＝NB，∴MN∥BC，又∵CB⊥平面ABE，∴MN⊥平面ABE，∴MN⊥BE.又∵AN∩MN＝N，∴BE⊥平面AMN，又∵AM⊂平面AMN，∴AM⊥BE.(2) 解：∵平面ABCD⊥平面ABE，AE⊥AB，平面ABCD∩平面ABE＝AB，∴AE⊥平面ABCD，即AE⊥平面BCD.又∵S△BCD＝12×BC×BA＝12×1×2＝1，∴三棱锥C-BED的体积＝V E-BCD=13×S△BCD×EA＝13×1×2＝23.点拨：将线线垂直转化为线面垂直来处理.如答图2. 如答图3，13.（1）解：连接AD ，如答图3，在△ABC 中，AB =AC =2，BC =点D 是线段BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴AD=1，∴S △ABC =12×，∵PA ⊥底面ABC ，∴VP -ABC =13· S △ABC · PA =133．（2）证法一：取CD 的中点H ,连接FH,EH , ∵E 为线段PD 的中点,∴EH ∥PC , ∵EH ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， ∴EH ∥平面PAC ,∵AF =14AB ,∴FH ∥AC ,∵FH ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴FH ∥平面PAC ,∵FH ∩EH =H ，∴平面EHF ∥平面PAC ， ∵EF ⊂平面EHF ，∴EF ∥平面PAC .证法二：分别取AD ，AB 的中点M ，N ，连接EM ，MF ，DN ， ∵点E 、M 分别是线段PD 、AD 的中点，∴EM ∥PA ， ∵EM ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， ∴EM ∥平面PAC ，∵AN=12AB ，AF=14AB ，∴点F 是线段AN 的中点,∵在△ADN 中，AF=FN ，AM=MD ，∴MF ∥DN ,∵在△ABC 中，AN=NB ，CD=DB ，∴DN ∥AC ，∴MF ∥AC ， ∵M F ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴MF ∥平面PA C ，∵EM ∩M F =M ，∴平面EMF ∥平面PAC ，∵EF ⊂平面EMF ， ∴EF ∥平面PAC .14. (1) 证明：由几何体ABCD-A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，得BB 1∥DD 1，BB 1＝DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴B 1D 1∥BD .而B D ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ， ∴B 1D 1∥平面A 1BD .(2) 证明：连接B1D,∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.(3) 解：当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，BN，B1N1,如答图4所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，易知平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，且四边形BB1N1N是平行四边形，∴BM∥ON且BM＝ON，∴四边形BMON是平行四边形，∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.答图4。
人教B数学必修第一册练习：模块综合检测 含解析
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B ＝( ) A.{x |－1≤x ≤2} B.{－1，0，1，2} C.{－1，2}D.{0，1}解析：选B.因为A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{－1，0，1，2}； 所以A ∩B ＝{－1，0，1，2}， 故选B.2.函数f (x )＝1－x ＋1x 的定义域为( )A.(－∞，1]B.(－∞，0)C.(－∞，0)∪(0，1]D.(0，1]解析：选C.要使函数有意义，则⎩⎨⎧1－x ≥0x ≠0得⎩⎨⎧x ≤1x ≠0，即x ≤1且x ≠0， 即函数的定义域为(－∞，0)∪(0，1]，故选C. 3.命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式綈p 为( ) A.∀x ∈N ，x 3≤x 2 B.∃x ∈N ，x 3＞x 2 C.∃x ∈N ，x 3＜x 2D.∃x ∈N ，x 3≤x 2解析：选D.命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式是存在量词命题； 所以綈p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2”.故选D. 4.“a ＞0”是“a 2＋a ≥0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.解二次不等式a 2＋a ≥0得：a ≥0或a ≤－1， 又“a ＞0”是“a ≥0或a ≤－1”的充分不必要条件， 即“a ＞0”是“a 2＋a ≥0”的充分不必要条件，故选A.5.若函数y ＝x 2－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，则m 的取值范围是( ) A.(0，2] B.(2，4] C.[2，4]D.(0，4)解析：选C.函数f (x )＝x 2－4x －4的图像是开口向上，且以直线x ＝2为对称轴的抛物线，所以f (0)＝f (4)＝－4，f (2)＝－8，因为函数f (x )＝x 2－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，所以2≤m ≤4，即m 的取值范围是[2，4]，故选C.6.已知函数f (x ＋2)＝x ＋4x ＋5，则f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝x 2＋1 B.f (x )＝x 2＋1(x ≥2) C.f (x )＝x 2 D.f (x )＝x 2(x ≥2)解析：选B.f (x ＋2)＝x ＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1； 所以f (x )＝x 2＋1(x ≥2). 故选B.7.设函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1(x ≥0)1x (x ＜0)，若f (a )＝a ，则实数a 的值为( )A.±1B.－1C.－2或－1D.±1或－2解析：选B.由题意知，f (a )＝a ；当a ≥0时，有12a －1＝a ，解得a ＝－2(不满足条件，舍去)；当a ＜0时，有1a ＝a ，解得a ＝1(不满足条件，舍去)或a ＝－1.所以实数a 的值是a ＝－1.故选B.8.已知函数y ＝x ＋4x －1(x ＞1)，则此函数的最小值等于( )A.4xx －1B.42＋1C.5D.9解析：选C.因为x ＞1，所以x －1＞0， y ＝x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥2(x －1)×4x －1＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时取等号， 故此函数的最小值等于5，故选C.9.已知f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3).若对任意的x ∈[－1，0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A.(－∞，2]B.[4，＋∞)C.[2，＋∞)D.(－∞，4]解析：选B.由f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，则－1和3是方程2x 2－bx －c ＝0的实数根，所以b ＝4，c ＝6；所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6，所以f (x )＋m ≥4，化为m ≥2x 2－4x －2对任意的x ∈[－1，0]恒成立，设g (x )＝2x 2－4x －2，其中x ∈[－1，0]，所以g (x )在[－1，0]内单调递减，且g (x )的最大值为g max ＝g (－1)＝4，所以m 的取值范围是[4，＋∞).故选B.10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≤0ax 2＋x ，x ＞0为奇函数，则a ＝( )A.－1B.1C.0D.±1解析：选A.因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，则f (－1)＝－f (1)，即1＋a ＝－a －1，即2a ＝－2，得a ＝－1，故选A.11.已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |α＜x ＜β}(α＞0)，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫1β，1αB.⎝⎛⎭⎫－∞，1β∪⎝⎛⎭⎫1α，＋∞ C.{x |α＜x ＜β}D.(－∞，α)∪(β，＋∞)解析：选B.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |α＜x ＜β}(α＞0)，则α，β是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实数根，且a ＜0；所以α＋β＝－b a ，α·β＝ca ；所以不等式cx2＋bx ＋a ＜0化为c a x 2＋b a x ＋1＞0，所以αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0；化为(αx －1)(βx －1)＞0；又0＜α＜β，所以1α＞1β＞0；所以不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1β或x ＞1α.故选B. 12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，－3≤x ≤02x －3，x ＞0，若方程f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－23，3－22 B.⎣⎡⎦⎤－23，3＋22 C.⎝⎛⎦⎤－∞，－23 D.⎣⎡⎦⎤－23，16 解析：选A.设h (x )＝f (x )＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＋2(－3≤x ≤0)x －1(0＜x ≤2)3x －5(x ＞2)，方程f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解等价于y ＝h (x )的图像与y ＝kx 的图像有三个交点，又y ＝h (x )的图像与y ＝kx 的图像如图所示，求得k 1＝－23，k 2＝3－2 2.即实数k 的取值范围是－23≤k ＜3－22，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13.若a ∈R ，且a 2－a ＜0，则a ，a 2，－a ，－a 2从小到大的排列顺序是 . 解析：因为a 2－a ＜0，所以0＜a ＜1， －a 2－(－a )＝－(a 2－a )＞0，所以－a 2＞－a ， 所以－a ＜－a 2＜0＜a 2＜a .答案：－a ＜－a 2＜a 2＜a14.已知f (x )＝x 2－(m ＋2)x ＋2在[1，3]上是单调函数，则实数m 的取值范围为 . 解析：根据题意，f (x )＝x 2－(m ＋2)x ＋2为二次函数，其对称轴为x ＝m ＋22，若f (x )在[1，3]上是单调函数，则有m ＋22≤1或m ＋22≥3，解可得m ≤0或m ≥4，即m 的取值范围为m ≤0或m ≥4. 答案：m ≤0或m ≥415.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，若a ≤1x ＋9y 恒成立，则实数a 的最大值为 .解析：因为x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1. 所以1x ＋9y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9xy ≥10＋2y x ·9x y ＝16，当且仅当y ＝3x ＝34时取等号. 因为不等式a ≤1x ＋9y 恒成立⇔⎝⎛⎭⎫1x ＋9y min ≥a . 所以a ∈(－∞，16]， 即实数a 的最大值为16. 答案：1616.若关于x 的不等式x 2＋mx ＋2＞0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为_____. 解析：x ∈[1，2]时，不等式x 2＋mx ＋2＞0可化为m ＞－x －2x ，设f (x )＝－x －2x，x ∈[1，2]，则f (x )在[1，2]内的最小值为f (1)＝f (2)＝－3，所以关于x 的不等式x 2＋mx ＋2＞0在区间[1，2]上有解， 实数m 的取值范围是m ＞－3. 答案：m ＞－3三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知x ，y ∈R ＋，且2x ＋3y ＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求4x ＋6y 的最小值.解：(1)x ，y ∈R ＋，且2x ＋3y ＝1.由均值不等式可得，1＝2x ＋3y ≥26xy， 解不等式可得，xy ≥24，当且仅当2x ＝3y ＝12即x ＝4，y ＝6时取最小值24.(2)4x ＋6y ＝(4x ＋6y )⎝⎛⎭⎫2x ＋3y ＝26＋12y x ＋12xy ≥26＋24＝50， 当且仅当x ＝y ＝5时取得最小值50.18.(本小题满分12分)函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. (1)若f (x )有且只有一个零点，求m 的值；(2)若f (x )有两个零点且均比－1大，求m 的取值范围.解：(1)根据题意，若f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且只有一个零点，则Δ＝(2m )2－4(3m ＋4)＝0；解可得：m ＝－1或4， 即m 的值为－1或4.(2)根据题意，若f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有两个零点且均比－1大，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2m )2－4(3m ＋4)＞0－m ＞－1f (－1)＝1－2m ＋3m ＋4＞0，解得－5＜m ＜－1，即m 的取值范围为(－5，－1).19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋ax 2＋1为奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )在(－1，1)上的单调性，并证明. 解：(1)根据题意，f (x )＝x ＋ax 2＋1为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即－x ＋a x 2＋1＋x ＋a x 2＋1＝0，解得a ＝0.(2)由(1)的结论，f (x )＝xx 2＋1在(－1，1)上为增函数；证明如下：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 21＋1)(x 21＋1)(x 22＋1) x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2(x 21＋1)(x 22＋1)＝x 1x 2(x 2－x 1)－(x 2－x 1)(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 1x 2－1)(x 2－x 1)(x 21＋1)(x 22＋1)，又由x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2，则x 1x 2－1＜0，x 2－x 1＞0，x 21＋1＞0，x 22＋1＞0，则有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以函数f (x )在(－1，1)上单调递增.20.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3)，方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式.解：因为f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)， 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0，所以f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0， 即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.又a ＜0，所以a ＝－15，将a ＝－15代入①得f (x )＝－15x 2－65x －35.21.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝－x 2＋ax －a2＋1(a ∈R ).(1)若函数f (x )为偶函数，求a 的值.(2)若函数f (x )在区间[－1，1]上的最大值为g (a )，求g (a )的最小值.解：(1)二次函数f (x )＝－x 2＋ax －a 2＋1的对称轴为x ＝a2，由f (x )为偶函数，可得a ＝0；(2)f (x )＝－x 2＋ax －a 2＋1的对称轴为x ＝a2，当a 2≥1即a ≥2时，f (x )在[－1，1]单调递增，可得g (a )＝f (1)＝a2，且g (a )的最小值为1； 当a 2≤－1即a ≤－2时，f (x )在[－1，1]单调递减，可得g (a )＝f (－1)＝－32a ，且g (a )的最小值为3；当－1＜a 2＜1，即－2＜a ＜2时，f (x )的最大值为g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24－a 2＋1，当a ＝1时，g (a )取得最小值34，综上可得，g (a )的最小值为34.22.(本小题满分12分)近几年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x (千部)手机，需另投入成本R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0＜x ＜40701x ＋10 000x －9 450，x ≥40， 由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求出2020年的利润W (x )(万元)关于年产量x (千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；(2)2020年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)当0＜x ＜40时，W (x )＝700x －(10x 2＋100x )－250＝－10x 2＋600x －250； 当x ≥40时，W (x )＝700x －⎝⎛⎭⎫701x ＋10 000x －9 450－250＝－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 200， 所以W (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋600x －250，0＜x ＜40－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 200，x ≥40. (2)若0＜x ＜40，W (x )＝－10(x －30)2＋8 750， 当x ＝30时，W max ＝8 750万元，若x ≥40，W (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 200≤9 200－210 000＝9 000，当且仅当x＝10 000时，即x＝100时，W max＝9 000万元，x所以2020年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是9 000万元.。
数学人教B版必修一 模块综合测评 含解析 精品
模块综合测评(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合S ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，T ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，则S ∩T 等于( ) A ．∅ B ．T C ．S D ．有限集2．函数y ( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(1,2)D ．[1,2)3．若一次函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的图象可能是( )4．已知集合M ＝{(x ，y )|xy ＝1，x ＞1}，在映射f ：M →N 作用下，点(x ，y )的象为(log 2x ，log 2y )，则象N 的集合为( )A ．{(u ，v )|u ＋v ＝0}B ．{(u ，v )|u ＋v ＝0，u ＞0}C ．{(u ，v )|u ＋v ＝1}D ．{(u ，v )|u ＋v ＝1，v ＞0}5．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A ．14 B ．12C ．2D ．46．函数f (x )＝2x －1＋x －9的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)7．设函数246,0,()=6,0,x x x f x x x ⎧-+≥⎨+<⎩则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 8．设函数221,0,()=1,0,x x f x x x -<⎧⎨-≥⎩则134f -⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是( ) A ．52- B ．18 C ．12-D ．129．方程12log =21x x -的实数根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定10．函数215=log (816)y x x ++的单调递增区间是( )A ．(－4，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．[－4，＋∞)D ．(－∞，－4]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．已知集合A ＝{m 2,2m ＋1，－3}，B ＝{m ＋2,2m －1，m 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，则实数m 的值是__________．12．计算01410.7533270.064168-⎛⎫--++- ⎪⎝⎭＝________. 13．将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应函数的解析式为y ＝2x ，则f (x )＝________.14．对任意实数a ，b ，定义运算“*”如下，,,*=,,a a b a b b a b ≤⎧⎨>⎩则函数122()=log (32)*log f x x x -的值域为________．15．下列对应关系中，是A 到B 的映射的个数是________． ①A ＝N ＋，B ＝N ＋，f ：x →|x －5| ②A ＝N ＋，B ＝{－1，－2}，f ：x →(－1)x ③A ＝Z ，B ＝Q ，f ：x →3x ④A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，f ：x →log 2x三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)化简： (1)12124⎛⎫ ⎪⎝⎭－(－9.1)0－23338-⎛⎫ ⎪⎝⎭＋1.5－2；(2)2103228-；(3)13212332140.1()a b ---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭. 17．(本小题满分12分)设全集U ＝R ，集合12={|=log [(3)(2)]}A x y x x +-，B ＝{x |e x－1≥1}． (1)求A ∪B ； (2)求(U A )∩B .18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有唯一零点． (1)求实数a 的取值范围； (2)若32=17a ，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根． 19．(本小题满分12分)已知函数1()=f x ax x-，且f (1)＝－1. (1)求函数f (x )的解析式，并判断它的奇偶性； (2)求证：函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调减函数．20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝b ＋a x (a ，b 是常数且a ＞0，a ≠1)在区间[－1,0]上有最大值3，最小值52，试求a ，b 的值． 21．(本小题满分14分)某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且3≤m≤8.另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系式并指明其定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？参考答案1．C 点拨：S ＝{y |y ＞0}，T ＝{y |y ≥－1}，则S ∩T ＝{y |y ＞0}＝S . 2．D 点拨：令13log (2)0x -≥，∴0＜2－x ≤1.∴1≤x ＜2.3．C 点拨：由题意知，2a ＋b ＝0， ∴=2b a -. ∴22211()===22416b b g x bx x b x x b x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又知函数g (x )的对称轴为1=4x -，排除A ，D. 又令g (x )＝0，得x ＝0，－0.5，故选C.4．B 点拨：令u ＝log 2x ，v ＝log 2y ，则u ＋v ＝log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝log 21＝0. ∵x ＞1，∴u ＝log 2x ＞0.5．B 点拨：当a ＞1时，f (x )在[0,1]上单调递增； 当0＜a ＜1时，f (x )在[0,1]上单调递减．由此可知，f (x )的最大值、最小值应在[0,1]的端点处取得， ∴f (0)＋f (1)＝a ，即(1＋0)＋(a ＋log a 2)＝a . ∴log a 2＝－1，解得1=2a . 6．D 点拨：∵f (3)＝22＋3－9＝－2＜0， f (4)＝23＋4－9＝3＞0， ∴f (x )的零点所在区间是(3,4)．7．A 点拨：当x ≥0时，由f (x )＞f (1)，得x 2－4x ＋6＞3， ∴0≤x ＜1或x ＞3.当x ＜0时，由f (x )＞f (1)，得x ＋6＞3，∴x ＞－3. ∴－3＜x ＜0.由上可得x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)． 8．D 点拨：设13=4fx -⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有03()=4f x -. 当x 0＜0时，有0321=4x --，则01=8x (舍)； 当x 0≥0时，f (x 0)＝2031=4x --，201=4x ，∴01=2x ，综上得01=2x . 9．B 点拨：在同一坐标系中分别画出函数112=log y x ，y 2＝2x －1的图象，如图所示，可知两图象只有一个交点，即方程有一个实数根．10．B 点拨：∵x 2＋8x ＋16＞0， ∴函数定义域为{x |x ≠－4}．令u ＝x 2＋8x ＋16＝(x ＋4)2，u 在(－∞，－4)上递减，在(－4，＋∞)上递增，又15=log y u 为减函数，故在(－∞，－4)上原函数递增，在(－4，＋∞)上原函数递减．11．－5 点拨：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈B ，即m ＋2＝－3或2m －1＝－3. ∴m ＝－5或m ＝－1.当m ＝－5时，A ＝{25，－9，－3}，B ＝{－3，－11,26}，A ∩B ＝{－3}，满足条件； 当m ＝－1时，A ＝{1，－1，－3}，B ＝{1，－3,2}，A ∩B ＝{1，－3}，不满足条件． ∴m ＝－5.12．35 点拨：原式＝1143132234264116(0.1)271000-⨯⨯⎛⎫-++- ⎪⎝⎭12334344513=120.13=189=102105-⨯⨯⎛⎫-++--++- ⎪⎝⎭.13．2x ＋1＋2 点拨：运用逆向思维，将y ＝2x 向上平移2个单位长度得函数y ＝2x ＋2的图象，再向左平移一个单位长度，便得f (x )的图象，所以f (x )＝2x ＋1＋2.14．(－∞，0] 点拨：122()=log (32)*log f x x x -22221log ,1,132=log *log =232log ,1,3x x x x x x ⎧≥⎪⎪⎛⎫-⎨⎪-⎝⎭⎪<<⎪⎩由于y ＝log 2x 在定义域上为增函数，可得f (x )的值域为(－∞，0]．15．2 点拨：考察①，当A 中取元素5时，在f 作用下，与5的差的绝对值为0，在B 中无此元素．∴不是A 到B 的映射；考察②，对于任意的正偶数x ，所得(－1)x 均为1，在B中没有元素与之对应，不是A到B的映射；考察③，当取任意的整数，在f下，B中均有元素与之对应，故是A到B的映射；考察④，对A中的任一正实数x，B中都有唯一的实数log2x 与之对应，是A到B的映射．16．解：(1)原式＝2112 2392731482--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥--+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝22 3331 1= 2222--⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)原式＝233 1211(2) 2+-⨯212-13-.(3)原式＝11111322223321221(4)4(0.1)a ba b----⎡⎤⋅⋅⎛⎫⋅⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⋅⋅1333332200222244164===10010025a ab b a b--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.17．解：要使12=log[(3)(2)]y x x+-有意义，需(x＋3)·(2－x)＞0，即(x＋3)(x－2)＜0，解得－3＜x＜2.于是A＝{x|－3＜x＜2}．由e x－1≥1，得x－1≥0，即x≥1.于是B＝{x|x≥1}．(1)A∪B＝{x|－3＜x＜2}∪{x|x≥1}＝{x|x＞－3}．(2)∵U A＝{x|x≤－3或x≥2}，∴(U A)∩B＝{x|x≤－3或x≥2}∩{x|x≥1}＝{x|x≥2}．18．解：(1)∵函数f(x)在区间(－1,1)上有唯一零点，∴(1)0,(1)0ff>⎧⎨-<⎩或(1)0,(1)0,ff<⎧⎨->⎩即2,1aa>⎧⎨<⎩或2,1.aa<⎧⎨>⎩∴1＜a＜2.(2)若32=17a，则3326428()=171717f x x x-+.∵f (－1)＞0，f (1)＜0，28(0)=017f >， ∴零点在(0,1)上．又f (0.5)＝0， ∴f (x )＝0的根为0.5. 19．解：(1)∵f (1)＝－1， ∴1－a ＝－1.∴a ＝2. ∴1()=2f x x x-.定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称． 又∵f (－x )＝1x -－2×(－x )＝1x-＋2x ， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴函数f (x )是奇函数． (2)设0＜x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝12121212111122=2()x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫------⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212112121212=2()=(12)x x x xx x x x x x x x ----+． ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0,1＋2x 1x 2＞0，x 1x 2＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＞0.∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调减函数．20．解：当a ＞1时，函数f (x )＝b ＋a x 在区间[－1,0]上单调递增，则105=,2=3,b a b a -⎧+⎪⎨⎪+⎩解得=2,=2.a b ⎧⎨⎩ 当0＜a ＜1时，函数f (x )＝b ＋a x 在区间[－1,0]上单调递减，即10=3,5=,2b a b a -⎧+⎪⎨+⎪⎩解得2=,33=.2a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴=2,=2,a b ⎧⎨⎩或2=,33=.2a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 21．解：(1)年销售量为x 件，按利润的计算公式，生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2分别为：y 1＝10×x －(20＋mx )＝(10－m )x －20(0≤x ≤200且x ∈N )，y 2＝18×x －(40＋8x )－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40＝－0.05(x －100)2＋460(0≤x ≤120，x ∈N )．(2)因为3≤m ≤8,10－m ＞0， 所以y 1＝(10－m )x －20为增函数． 又0≤x ≤200，x ∈N ，所以x ＝200时， 生产A 产品有最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)．又y 2＝－0.05(x －100)2＋460(0≤x ≤120，x ∈N )，所以x ＝100时，生产B 产品有最大利润为460(万美元)．现在研究生产哪种产品年利润最大，为此，作差比较： (y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m)－460＝1 520－200m0,37.6,=0,=7.6,0,7.68,m m m >≤<⎧⎪⎨⎪<<≤⎩所以，当3≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润； 当m ＝7.6时，生产A 产品与生产B 产品均可获得最大年利润； 当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．。
高中数学 模块综合测评(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学试题
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |2x 2－x ≥0}，B ＝{y |y ＞－1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1，0] B ．(－1，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B [A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥12，∴A ∩B ＝(－1，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.故选B.]2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式¬p 为( ) A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2 B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2 C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2D [全称量词命题的否定是存在量词命题，不等号要改变，故选D.]3．已知p ：x －a ＞0，q ：x ＞1，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)D [已知p ：x －a ＞0，x ＞a ，q ：x ＞1，若p 是q 的充分条件，根据小X 围推出大X 围得到a ≥1.故选D.]4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( )A ．－14B ．14C ．32D ．－32A [令12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2×(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.令4m ＋7＝6，得m ＝－14.故选A.]5．函数f (x )＝x ＋1＋1x －3的定义域为( ) A ．(－3，0]B ．(－3，1]C ．[－1，3)∪(3，＋∞)D ．[－1，3)C [由条件知⎩⎨⎧x ＋1≥0x －3≠0，∴x ≥－1且x ≠3，故选C.]6．函数f (x )＝mx 2＋(m －1)x ＋1在区间(－∞，1]上为减函数，则m 的取值X 围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C [当m ＝0时，f (x )＝1－x ，满足在区间(－∞，1]上为减函数，当m ≠0时，因为f (x )＝mx 2＋(m －1)x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝1－m2m ，且函数在区间(－∞，1]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m 2m ≥1，解得0＜m ≤13.综上，0≤m ≤13.故选C.]7．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱( )A ．8元B ．16元C ．24元D ．32元D [设方形巧克力每块x 元，圆形巧克力每块y 元，小明带了a 元钱， ⎩⎨⎧3x ＋5y ＝a ＋8，①5x ＋3y ＝a －8，②①＋②，得8x ＋8y ＝2a ，∴x ＋y ＝14a ， ∵5x ＋3y ＝a －8，∴2x ＋(3x ＋3y )＝a －8， ∴2x ＋3×14a ＝a －8，∴2x ＝14a －8，∴8x ＝a －32， 即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选D.]8．已知函数f (x )＝mx ＋1的零点在区间(1，2)内，则m 的取值X 围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．()－∞，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B [根据题意，函数f (x )＝mx ＋1，当m ＝0时，f (x )＝1，没有零点， 当m ≠0时，f (x )为单调函数，若其在区间(1，2)内存在零点， 必有f (1)f (2)＜0，即(m ＋1)(2m ＋1)＜0，解得－1＜m ＜－12，即m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故选B.]二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题中是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，2x 2－3x ＋4＞0 B ．∀x ∈{1，－1，0}，2x ＋1＞0 C ．∃x ∈N ，使x ≤xD ．∃x ∈N *，使x 为29的约数 ACD [对于A ，这是全称量词命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以2x 2－3x ＋4＞0恒成立，故A 为真命题；对于B ，这是全称量词命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1＞0不成立，故B 为假命题；对于C ，这是存在量词命题，当x ＝0时，有x ≤x 成立，故C 为真命题； 对于D ，这是存在量词命题，当x ＝1时，x 为29的约数成立，所以D 为真命题．]10．有以下说法，其中正确的为( ) A ．“m 是有理数”是“m 是实数”的充分条件 B ．“x ∈A ∩B ”是“x ∈A ”的必要条件 C ．“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件 D ．“x ＞3”是“x 2＞4”的充分条件ACD[A正确，由于“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；B不正确．因为“x∈A”“x∈A∩B”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；C正确．由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x ＝3”的必要条件；D正确．由于“x＞3”⇒“x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．]11．已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，若f(a)·f(－a)＝4，则实数a的值可为()A．－3 B．－1C．1 D．3BC[∵f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，①当a＞0时，f(a)·f(－a)＝[f(－a)]2＝(－a－1)2＝4，解得，a＝1或a＝－3(舍)；②当a＜0时，f(a)·f(－a)＝[f(a)]2＝(a－1)2＝4，解可得，a＝－1或a＝3(舍)，综上可得，a＝－1或1，故选BC.]12．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是()A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)B．1f（x）在[a，b]上有最小值f(a)C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－cD．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)CD[A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数1f（x）在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)－c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值f(b)－c，C正确；D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c＜0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a ，b ]上有最小值cf (a )，D 正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．不等式－2x 2＋x ＋3＜0的解集为________．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞[化－2x 2＋x ＋3＜0为2x 2－x －3＞0，解方程2x 2－x－3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，所以不等式2x 2－x －3＞0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.]14．已知函数f (x )＝5－xx ，则f (1)＝________，函数y ＝f (x )的定义域为________．(本题第一空2分，第二空3分)2 (－∞，0)∪(0，5][函数f (x )＝5－x x ，则f (1)＝5－11＝2，令⎩⎨⎧5－x ≥0，x ≠0，解得x ≤5且x ≠0， ∴函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，5].]15．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值X 围为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54[y ＝⎩⎨⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0， 作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ，∴1＜a ＜54.]16．设函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题： ①f (x )一定是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图像一定关于直线x ＝1对称；③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④f (x )有最大值|a 2－b |.其中正确命题的序号是________．③[若a ＝1，b ＝1，则f (x )＝|x 2－2x ＋1|＝x 2－2x ＋1，显然f (x )不是偶函数，所以①错误；若a ＝－1，b ＝－4，则f (x )＝|x 2＋2x －4|，满足f (0)＝f (2)，但显然f (x )的图像不关于直线x ＝1对称，所以②错误；若a 2－b ≤0，则f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝x 2－2ax ＋b ，此时函数f (x )的图像是开口向上的抛物线，且抛物线的对称轴是直线x ＝a ，所以f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以③正确；显然函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )没有最大值，所以④错误．故填③.]四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4－2x x －7＞0，B ＝{x |x 2－4x ＋4－m 2≤0，m ＞0}．(1)若m ＝3，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝B ，某某数m 的取值X 围．[解](1)若m ＝3，解得：A ＝(2，7)，B ＝[－1，5]， 所以A ∩B ＝(2，5]；(2)由题意得：B ＝[2－m ，2＋m ]， 又因为A ∪B ＝B ，有A ⊆B ，则有：2－m ≤2①；2＋m ≥7②；m ＞0③；同时成立． ∴m ≥5.18．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值X 围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值． [解](1)依题意，得Δ＝b 2－4ac ≥0， 即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12.(2)法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.因为k≤1 2，所以k1＝k2＝1不合题意，舍去．②当x1＋x2<0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1).解得k1＝1，k2＝－3.因为k≤12，所以k＝－3.综合①②可知k＝－3.法二：依题意，可知x1＋x2＝2(k－1).由(1)可知k≤12，所以2(k－1)<0，即x1＋x2<0.所以－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.因为k≤12，所以k＝－3.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋1x＋1，g(x)＝ax＋5－2a(a＞0).(1)判断函数f(x)在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；(2)若对任意m∈[0，1]，总存在m0∈[0，1]，使得g(m0)＝f(m)成立，某某数a 的取值X围．[解](1)函数f(x)在[0，1]上单调递增，证明如下：设0≤x1＜x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1＋1－x2－1x2＋1＝(x1－x2)＋x2－x1（x1＋1）（x2＋1）＝（x1－x2）（x1x2＋x1＋x2）（x1＋1）（x2＋1）.因为x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1x 2＋x 1＋x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[0，1]上单调递增． (2)由(1)知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.因为a ＞0，g (x )＝ax ＋5－2a 在[0，1]上单调递增， 所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5－2a ，5－a ]. 依题意，只需⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆[5－2a ，5－a ]所以⎩⎪⎨⎪⎧5－2a ≤1，5－a ≥32，解得2≤a ≤72， 即实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－mx ＋2m －4(m ∈R ). (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当x ＞2时，不等式f (x )≥－1恒成立，求m 的取值X 围． [解](1)因为m ＝1，所以f (x )＝x 2－x －2. 所以x 2－x －2≥0，即(x －2)(x ＋1)≥0， 解得x ≤－1或x ≥2.故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}．(2)当x ＞2时，不等式f (x )≥－1恒成立等价于m ≤x 2－3x －2在(2，＋∞)上恒成立．因为x ＞2，所以x －2＞0，则x 2－3x －2＝（x －2）2＋4（x －2）＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋4≥2（x －2）·1x －2＋4＝6.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 故m 的取值X 围为(－∞，6].21．(本小题满分12分)某商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值X 围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到实惠，每台冰箱应降价多少元？(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？[解](1)根据题意，得y ＝(2400－2000－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋4×x 50，即y ＝－225x 2＋24x ＋3 200.(2)由题意，得－225x 2＋24x ＋3 200＝4 800， 整理得x 2－300x ＋20 000＝0， 解得x ＝100或x ＝200，又因为要使消费者得到实惠，所以应取x ＝200， 所以每台冰箱应降价200元．(3)y ＝－225x 2＋24x ＋3 200＝－225(x －150)2＋5 000， 由函数图像可知，当x ＝150时，y max ＝5 000，所以每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5 000元．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，且f (x )同时满足以下条件：①f (x )在D 上是单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a ，b ]D (其中a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值集合也是[a ，b ].那么，我们称函数y ＝f (x )(x ∈D )是闭函数．(1)判断f (x )＝－x 3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由；(2)若f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，某某数k 的取值X 围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可)[解](1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b ]，f (x )的取值集合也是[a ，b ]，则⎩⎨⎧－a 3＝b ，－b 3＝a ，解得a ＝－1，b＝1，所以存在区间[－1，1]满足②， 所以f (x )＝－x 3(x ∈R )是闭函数．(2)f (x )＝k ＋x ＋2是[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b ]满足② 即：⎩⎪⎨⎪⎧k ＋a ＋2＝a ，k ＋b ＋2＝b .即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根， a ，b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根． 且a ≥k ，b >k .令f (x )＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2，得⎩⎪⎨⎪⎧f （k ）≥0，Δ>0，2k ＋12>k ，解得－94<k ≤－2，所以实数k 的取值X 围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2.。
高一数学必修1模块测试题(含答案)汇编
必修1期末测试题（一）一、选择题1、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则()U AC B =（ ）A 、{}2B 、{}2,3C 、{}3D 、{}1,32、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈，则集合 MN （ ）A 、{}0B 、{}0,1C 、{}1,2D 、{}0,23、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ）A 、[)2,+∞B 、()3,+∞C 、[)3,+∞D 、(),-∞+∞4、关于A 到B 的一一映射，下列叙述正确的是 （ ） ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合BA 、①②B 、①②③C 、②③④D 、①②③④5、在221,2,,y y x y x x y x===+= （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6、已知函数()213f x x x +=-+，那么()1f x -的表达式是 （ ）A 、259x x -+B 、23x x --C 、259x x +-D 、21x x -+7、若方程0xa x a --=有两个解，则a 的取值范围是 （ ）A 、()0,+∞B 、()1,+∞C 、()0,1D 、∅8、若21025x=，则10x -等于 （ ）A 、15-B 、15C 、150D 、1625 9、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 （ ）A 、01a <<B 、112a <<C 、102a << D 、1a >10、设 1.50.90.4814,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小顺序为 （ ）A 、a b c >>B 、a c b >>C 、b a c >>D 、c a b >>11、已知()()2212f x x a x =+-+在(],4-∞上单调递减，则a 的取值范围是 （ ）A 、3a ≤-B 、3a ≥-C 、3a =-D 、以上答案都不对12、若()lg f x x =，则()3f = （ ）A 、lg 3B 、3C 、310 D 、103 二、填空题13、设{}{}12,0A x x B x x a =<<=-<，若A B ，则a 的取值范围是 ；14、函数y =的定义域为 ；15、若2x <3x -的值是 ； 16、100lg 20log 25+= 。
1467_高中数学试卷：必修一 滚动练习四 模块质量检测(新人教B版)_0
滚动练习四模块质量检测一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设全集为U＝{x∈N |x <7}，集合A ＝{1，3，6}，集合B ＝{2，3，4，5}，则集合A ∩(∁U B )＝()A．{3}B．{1，3，6}C．{2，4，5}D．{1，6}2．已知函数f (x x ，x ≥0，2，x ＜0，则f (f (－2))的值是()A．4B．－4C．8D．－83．设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设函数f (x x ，x ≤0，2，x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝()A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或25．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (2)<0且f (3)>0，则f (x )在(2，3)上的零点()A．至多有一个B．有1个或2个C．有且仅有一个D．一个也没有6．函数f (x )＝x －1＋2x 2－4的定义域为()A．[1，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．[1，2)∪(2，＋∞)7．若二次不等式ax 2＋bx ＋c >0|15<x 那么不等式2cx 2－2bx －a <0的解集是()A.{x |x <－10或x >1}|－14<x C．{x |4<x <5}D．{x |－5<x <－4}8．已知函数f (x )＝x (|x |＋1)，则不等式f (x 2)＋f (x －2)＞0的解集为()A．(－2，1)B．(－1，2)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是()A．A ∩B ＝∅B．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C．A ∪(∁R B )＝{x |x ≤－1或x >2}D．A ∩(∁R B )＝{x |2<x ≤3}10．下列图形中是函数的图象的是()11．下列四个命题中是假命题的为()A．存在x ∈Z ，1＜4x ＜3B．存在x ∈Z ，5x ＋1＝0C．任意x ∈R ，x 2－1＝0D．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞012．下列说法正确的是()A．x ＋1x 的最小值为2B．x 2＋1的最小值为1C．3x (2－x )的最大值为2D．x 2＋7x 2＋2的最小值为27－2三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为________．14．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的单调递增区间是________．15．能说明“若a >b ，则1a <1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次可以为________．16．已知λ∈R ，函数f (x －4，x ≥λ，2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则实数λ的取值范围是________.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－6x －16≤0}，B ＝{x |－3≤x ≤5}．(1)若C ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，C ⊆(A ∩B )，求实数m 的取值范围；(2)若D ＝{x |x >3m ＋2}，且(A ∪B )∩D ＝∅，求实数m 的取值范围．18．(12分)已知函数f(x)＝1x－1＋1.(1)证明：函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数；(2)记函数g(x)＝f(x＋1)－1，判断函数g(x)的奇偶性，并加以证明．19．(12分)已知函数f(x)＝ax2－(3＋2a)x＋6(a∈R).(1)当a＝1时，求f(x)在x∈[1，6)上的值域；(2)当a>0时，解关于x的不等式：f(x)>0.20．(12分)函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R，求使f(x)≥a恒成立时a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]，求使f(x)≥a恒成立时a的取值范围．21．(12分)高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过m (40＜m ≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求m 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝x ＋1x ＋1，g (x )＝ax ＋5－2a (a ＞0).(1)判断函数f (x )在[0，1]上的单调性，并加以证明；(2)若对任意m ∈[0，1]，总存在m 0∈[0，1]，使得g (m 0)＝f (m )成立，求实数a 的取值范围．滚动练习四模块质量检测1．解析：由题意U ＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以∁U B ＝{0，1，6}，A ∩(∁U B )＝{1，6}．答案：D2．解析：f (－2)＝(－2)2＝4，f (f (－2))＝f (4)＝2×4＝8.答案：C3．解析：x 3>8的解集为M ＝(2，＋∞)，|x |>2的解集为N ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，M N .答案：A≤0，a＝4，>0，2＝4，得a＝－4或a＝2.答案：B5．解析：由二次函数的图象得出．答案：C6．解析：令x－1≥0且x2－4≠0得出[1，2)∪(2，＋∞).答案：D＋14＝－ba，×14＝ca，＝－920a，＝120a，代入2cx2－2bx－a<0，得110ax2＋910ax－a<0，∵a<0，即为x2＋9x－10>0，解得x<－10或x>1.答案：A8．解析：因为f(x)＝x(|x|＋1)，所以f(－x)＝－x(|－x|＋1)＝－x(|x|＋1)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋x，可知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上也单调递增，即f(x)为R上的增函数，所以f(x2)＋f(x－2)＞0⇒f(x2)＞－f(x－2)⇒f(x2)＞f(2－x)，所以x2＞2－x，解得：x＜－2或x＞1.答案：D9．解析：∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x ≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；∵∁RB＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2，或x>－1}，故C不正确；A∩(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2，或x>2}＝{x|2<x≤3}，故D正确．答案：BD10．解析：对于B，因为对任意的自变量x可能有两个不同的y值与其对应，这与函数的定义有唯一确定的元素y与之对应矛盾．答案：ACD11．解析：选项A 中，14＜x ＜34且x ∈Z ，不成立；选项B 中，x ＝－15，与x ∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．答案：ABC12．解析：当x <0时，x ＋1x <0，故选项A 错误；因为x 2＋1≥1，所以选项B 正确；因为3x (2－x )＝－3(x －1)2＋3≤3，当x ＝1时取等号，故3x (2－x )的最大值为3，所以选项C 错误；因为x 2＋7x 2＋2＝(x 2＋2)＋7x 2＋2－2≥2（x 2＋2）·7x 2＋2－2＝27－2，(当且仅当x 2＋2＝7x 2＋2时取“＝”)，所以选项D 正确．答案：BD13．解析：化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，所以不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞).答案：(－∞，－1)∪(32，＋∞)14．解析：函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋2是偶函数，则函数的对称轴为y 轴，所以m －1＝0，即m ＝1，所以函数的解析式为f (x )＝－x 2＋2，所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0].答案：(－∞，0]15．解析：由题意知，当a ＝1，b ＝－1时，满足a >b ，但是1a >1b ，故答案可以为1，－1.(答案不唯一，满足a >0，b <0即可)答案：1，－1(答案不唯一)16．解析：令x －4＝0，解得x ＝4；令x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4.答案：(1，3]∪(4，＋∞)17．解析：(1)因为A ＝{x |x 2－6x －16≤0}＝{x |－2≤x ≤8}，B ＝{x |－3≤x ≤5}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}，因为C ⊆(A ∩B )，C ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，①若C ＝∅，则m ＋1>2m －1，所以m <2；②若C ≠∅＋1≤2m －1，＋1≥－2，m －1≤5，所以2≤m ≤3，综上，实数m 的取值范围为{m |m ≤3}，(2)由(1)得A ∪B ＝{x |－3≤x ≤8}，因为D ＝{x |x >3m ＋2}，且(A ∪B )∩D ＝∅，所以只需3m ＋2≥8，解得m ≥2，所以实数m 的取值范围为{m |m ≥2}．18．解析：(1)证明：设任意x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1≠x 2，则x 1－1>0，x 2－1>0.则Δf Δx ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝1x 1－1－1x 2－1x 1－x 2＝－1（x 1－1）（x 2－1）<0，∴f (x )在(1，＋∞)上递减．(2)解：g (x )＝f (x ＋1)－1＝1x，g (x )是奇函数，证明如下：∵g (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且g (－x )＝－1x ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．19．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－5x ＋6是开口向上，对称轴为x ＝52的二次函数，又因为x ∈[1，6)，所以当x ∈[1，52)时，函数f (x )单调递减；当x ∈[52，6)时，函数f (x )单调递增；所以f (x )min ＝f (52)＝254－5×52＋6＝－14，又因为f (1)＝2，f (6)＝12，所以f (x )max ＝12，因此f (x )在x ∈[1，6)上的值域为[－14，12).(2)由f (x )>0，得ax 2－(3a ＋2)x ＋6＝(ax －3)(x －2)>0.因为a >0，所以①当a ＝32时，由f (x )>0解得x ≠2；②当0<a <32时，由f (x )>0解得x <3a 或x >2；③当a >32时，由f (x )>0解得x <2或x >3a ，综上，当a ＝32时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当0<a <32时，原不等式的解集为|x <3a 或x当a >32时，原不等式的解集为|x <2或x 20．解析：(1)方法一f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，可知Δ＝a 2－4(3－a )≤0，解得－6≤a ≤2，故a 的取值范围为[－6，2].方法二x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，只需g (x )＝x 2＋ax ＋3－a 的最小值g (x )min ≥0，又g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ＝(x ＋a 2)2＋3－a －a 24，∴g (x )min ＝3－a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2，故a 的取值范围为[－6，2].(2)原不等式可化为x 2＋ax ＋3－a ≥0，x ∈[－2，2]，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则只需g (x )在x ∈[－2，2]上的最小值大于等于0.①若－a2≥2，即a ≤－4，则g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7，∴－7≤a ≤－4；②若－2<－a2<2，即－4<a <4，则g (x )min ＝g (－a 2)＝3－a －a 24≥0，∴－6≤a ≤2，∴－4<a ≤2；③若－a2≤－2，即a ≥4，则g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73，∴a ∈∅，综上，得－7≤a ≤2.21．解析：(1)当0＜x ≤40时，y ＝100x ；当40＜x ≤m 时，y ＝[100－(x －40)]x ＝－x 2＋140x ；当x ＞m 时，y ＝(140－m )x,所以y x ，0<x ≤40，x 2＋140x ，40<x ≤m ，m ）x ，x >m .(2)因为当0＜x ≤40时，y ＝100x ，y 随x 的增大而增大，当x ＞m 时，因为40＜m ≤100，所以140－m ＞0.所以y ＝(140－m )x ，y 随x 的增大而增大，当40＜x ≤m 时，y ＝[100－(x －40)]x ＝－x 2＋140x ＝－(x －70)2＋4900，所以当40＜x ≤70时，y 随x 增大而增大，当x ＞70时，y 随x 增大而减小，因为x ≤m ，所以，当40＜m ≤70时，景点收取的总费用随着团队中人数的增加而增加．22．解析：(1)函数f (x )在[0，1]上单调递增．证明如下：设0≤x 1＜x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1＋1－x 2－1x 2＋1＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）＝（x 1－x 2）（x 1x 2＋x 1＋x 2）（x 1＋1）（x 2＋1），因为x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1x 2＋x 1＋x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[0，1]上单调递增．(2)由(1)知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈[1，32].因为a ＞0，g (x )＝ax ＋5－2a 在[0，1]上单调递增，所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5－2a ，5－a ]，依题意，只需[1，32]⊆[5－2a ，5－a ]，a ≤1，a ≥32，解得2≤a ≤72，即实数a 的取值范围为[2，72].。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．如果A＝{x|x>－1}，那么()．A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析A、B、C中符合“∈”“⊆”用错．答案 D2．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝()．A．{x|x>－1} B．{x|x<1}C．{x|－1<x<1} D．∅解析由1－x>0得x<1，∴M＝{x|x<1}．∵1＋x>0，∴x>－1.∴N＝{x|x>－1}．∴M∩N＝{x|－1<x<1}．答案 C3．若0<m<n，则下列结论正确的是()．A．2m>2n B．(12)m<(12)nC．log2m>log2n D．解析∵y＝2x是增函数0<m<n，∴2m<2n；∵y＝(12)x是减函数，0<m<n，∴(12)m >(12)n；y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 2m <log 2n . 答案 D4．若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是( )．A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点B ．函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点C ．函数f (x )在区间[2,16)内无零点D ．函数f (x )在区间(1,16)内无零点 解析 零点在(0,2)内，则不在[2,16)内． 答案 C5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1 x <1x 2＋ax x ≥1若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于 ( )．A.12B.45 C ．2D ．9解析 ∵f (0)＝20＋1＝2.∴f (f (0))＝f (2)＝22＋2a ＝4a ， ∴2a ＝4，∴a ＝2. 答案 C6．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足的x 的取值范围是( )．A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞) C ．(0，18)∪(12，2) D．(0，12)答案 B7．函数y ＝x ＋43－2x的定义域是( )．A ．(－∞，32] B ．(－∞，32) C ．[32，＋∞)D ．(32，＋∞)解析 由3－2x >0得x <32. 答案 B8．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则(A ∩U B )∪(B ∩U A )＝( )． A ．∅ B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0或x ≤－1}解析 U B ＝{x |x >－1}，U A ＝{x |x ≤0}，∴A ∩U B ＝{x |x >0}，B ∩U A ＝{x |x ≤－1}，∴(A ∩U B )∪(B ∩U A )＝{x |x >0或x ≤－1}． 答案 D9．设a >0，a ≠1，则函数y ＝log a x 的反函数和函数y ＝log a 1x 的反函数的图象关于( )．A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．原点对称解析 y ＝log a x 与y ＝log a 1x ＝－log a x 关于y 轴对称， 则其反函数也关于y 轴对称． 答案 B10．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )．A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析 由题意知需f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 答案 A11．已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝log21x＋1的图象关于y＝x对称，则f(1)的值为()．A．1 B．－1C.12D．－12解析(m，n)关于y＝x的对称点(n，m)，要求f(1)，即求满足1＝log21x＋1的x的值，解得x＝－1 2.答案 D12．若函数f(x)＝log a(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a等于()．A.13 B. 2C.22D．2解析∵x∈[0,1]，∴x＋1∈[1,2]．当a>1时，log a1≤log a(x＋1)≤log a2＝1，∴a＝2.当0<a<1时，log a2≤log a(x＋1)≤log a1＝0与值域[0,1]矛盾．答案 D二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．计算：0.25×(－12)－4＋lg 8＋3lg 5＝________.解析原式＝14×24＋3lg 2＋3lg 5＝4＋3＝7.答案714．满足对定义域内任意x1，x2，都有f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2)成立的函数f(x)＝________(写出一个即可)．解析由于指数函数y＝a x，有故只需写一个指数函数即可．答案2x15．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f(2)＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为________．解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (log 2x )>0，可化为：f (|log 2x |)>f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴|log 2x |>2，∴log 2x >2或log 2x <－2， ∴x >4或0<x <14. 答案 (0，14)∪(4，＋∞) 16．设在m >1时，a 、b 、c 的大小关系是________．解析 因为m >1，所以0<a ＝(23)m <23，故b >a >c .答案 b >a >c三、解答题(共6小题，共70分)17．(10分)设A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}． (1)当x ∈N *时，求A 的子集的个数；(2)当x ∈R 且A ∩B ＝∅时，求m 的取值范围． 解 (1)由题意知A 中元素为{1,2,3,4,5}， ∴A 子集的个数为25＝32.(2)∵x ∈R 且A ∩B ＝∅，∴B 可分为两个情况． ①当B ＝∅时，即m －1>2m ＋1⇒m <－2；②当B ≠∅时，可得⎩⎨⎧ 2m ＋1<－2m －1≤2m ＋1或⎩⎨⎧m －1>5m －1≤2m ＋1， 解得－2≤m <－32或m >6. 综上：m <－32或m >6.18．(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解 (1)由⎩⎨⎧1－x >0x ＋3>0得－3<x <1，所以函数的定义域{x |－3<x <1}，f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)， 设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值， 所以log a 4＝－2，解得：a ＝12.19．(12分)已知函数f (x )＝ax ＋1x 2(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解 (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾； 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾， ∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)任取x 1>x 2≥3，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)．∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立．∵1x 1x 22＋1x 21x 2<227，∴a ≥227. 20．(12分)已知函数f (x )＝a x －a ＋1，(a >0且a ≠1)恒过定点(3,2)，(1)求实数a；(2)在(1)的条件下，将函数f(x)的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g(x)，设函数g(x)的反函数为h(x)，求h(x)的解析式；(3)对于定义在[1,9]的函数y＝h(x)，若在其定义域内，不等式[h(x)＋2]2≤h(x2)＋m＋2恒成立，求m的取值范围．解(1)由已知a3－a＋1＝2，∴a＝3，(2)∵f(x)＝3x－3＋1，∴g(x)＝3x，∴h(x)＝log3x(x>0)．(3)要使不等式有意义，则有1≤x≤9且1≤x2≤9，∴1≤x≤3，据题有(log3x＋2)2≤log3x2＋m＋2在[1,3]恒成立．∴设t＝log3x(1≤x≤3)，∴0≤t≤1.∴(t＋2)2≤2t＋m＋2在[0,1]时恒成立，即：m≥t2＋2t＋2在[0,1]时恒成立，设y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，t∈[0,1]，∴t＝1时有y max＝5，∴m≥5.21．(12分)设函数f(x)＝ax－1x＋1，其中a∈R.(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．解f(x)＝ax－1x＋1＝a(x＋1)－a－1x＋1＝a－a＋1x＋1，设x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝a＋1x2＋1－a＋1x1＋1＝(a＋1)(x1－x2) (x1＋1)(x2＋1).(1)当a＝1时，f(x)＝1－2x＋1，设0≤x1<x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)(x1＋1)(x2＋1)，又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在[0,3]上是增函数，∴f(x)max＝f(3)＝1－24＝12，f(x)min＝f(0)＝1－21＝－1.(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0.若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)<0，而f(x1)－f(x2)＝(a＋1)(x1－x2)(x1＋1)(x2＋1)，∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．22．(12分)某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)＝1150x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12)．(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式．(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？解(1)由题意知：g(x)＝f(x)－f(x－1)＝1150·x(x＋1)(35－2x)－1150(x－1)x[35－2(x－1)]＝1150x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]＝1150x(72－6x)＝125x(12－x)．∴g(x)＝125x(12－x)(x∈N且x≤12)．(2)g(x)＝x25(12－x)＝－125(x2－12x＋36－36)＝－125[(x－6)2－36]＝－125(x－6)2＋3625，∴当x＝6时，g(x)有最大值36 25.即第六个月需求量最大，为3625万件．。
新教材高中数学模块质量检测(含解析)新人教B版必修第一册
新教材高中数学模块质量检测（含解析）新人教B 版必修第一册模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x|2x 2－5x －3≤0}，B ＝{x∈Z |x ≤2}，A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤3，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，A ∩B ＝{0,1,2}，故选B.答案：B2．对于实数x ，y ，若p ：x ＋y ≠4，q ：x ≠3或y ≠1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：考虑该命题的逆否命题．綈q ：x ＝3且y ＝1，綈p ：x ＋y ＝4，显然綈q ⇒綈p ，但綈p⇒綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，则p 是q 的充分不必要条件．答案：A3．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B D ．A >B解析：由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 答案：B4．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：由题意知c <0，a >0，则A 一定正确；B 一定正确；D 一定正确；当b ＝0时C 不正确．答案：C5．函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析：由函数y ＝1－x22x 2－3x －2得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1. 答案：D6．设A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }．若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是( ) A ．t <－3 B ．t ≤－3 C ．t >3 D ．t ≥3解析：B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t <－3.答案：A7．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )·(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集为(－1,3)．8．已知0<x <1，则3x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23解析：因为0＜x ＜1，所以3x ＞0,3－3x ＞0，所以3x (3－3x )≤⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝94，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立，故3x (3－3x )取得最大值时x 的值为12.故选B.答案：B 9．函数y ＝x ln |x ||x |的图像可能是( )解析：易知函数y ＝x ln |x ||x |为奇函数，故排除A 、C ，当x >0时，y ＝ln x ，只有B 项符合，故选B.答案：B10．已知函数f (x )＝6x－x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3，＋∞) 解析：f (2)＝3－2＝1>0f (3)＝2－3＝－1<0∴f (2)·f (3)<0.11．已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c解析：根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c . 答案：D12．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞) B．(8,9] C ．[8,9] D ．(0,8) 解析：∵f (9)＝f (3)＋f (3)＝2， ∴不等式f (x )＋f (x －8)≤2可化为f (x (x －8))≤f (9)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧x (x －8)≤9x >0x －8>0，解得8<x ≤9，∴x 的取值范围是(8,9]，故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．命题∃x ∈R ，x 2－2x >0的否定是________．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即∀x ∈R ，x 2－2x ≤0. 答案：∀x ∈R ，x 2－2x ≤014．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,4]的单调递增区间为________，f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 15．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x ＞0，所以x ＋1x≥2，所以x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15(当且仅当x ＝1时取等号)，所以x x 2＋3x ＋1的最大值为15，所以由已知不等式恒成立得a ≥15.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞16．已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．解析：设函数g (x )＝f (x )－ax ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋ax －2a ，x >0，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋a －a 24，x ≤0，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24－2a ，x >0.依题意得，函数g (x )恰有两个零点，即函数g (x )与x 轴有两个交点．又因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a －a 24>0，a 24－2a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a －a 24<0，a 24－2a <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －a 24＝0，a 24－2a ＝0，解得4<a <8.所以a 的取值范围为(4,8)． 答案：(4,8)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．解析：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．18．(12分)已知命题p ：存在一个实数x ，使ax 2＋ax ＋1<0，当a ∈A 时，非p 为真命题，求集合A .解析：非p 为真，即“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0”为真． 若a ＝0，则1≥0成立，即a ＝0时非p 为真；若a ≠0，则非p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0⇔0<a ≤4.综上知，所求集合A ＝{a |0≤a ≤4}．19．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值． 解析：(1)由f (0)＝2，得c ＝2， 又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1， 得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得：a ＝1，b ＝－2.所以f (x )＝x 2－2x ＋2.(2)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1函数f (x )图像的对称轴为x ＝1，且开口向上， 所以f (x )单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)． (3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 对称轴为x ＝1∈[－1,2]， 故f min (x )＝f (1)＝1， 又f (－1)＝5，f (2)＝2， 所以f max (x )＝f (－1)＝5.20．(12分)已知a ∈R ，讨论关于x 的方程|x 2－6x ＋8|＝a 的实数解的个数．解析：令f (x )＝|x 2－6x ＋8|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋8(x >4或x <2)－x 2＋6x －8(2≤x ≤4)，g (x )＝a (a ∈R )，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图所示，由图知：(1)当a <0时，方程无解．(2)当a ＝0时，有两解：x ＝2或4. (3)当0<a <1时，有四解：x ＝3±1±a . (4)当a ＝1时，有三解：x ＝3或3± 2. (5)当a >1时，有两解：x ＝3±1＋a .21．(12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．解析：由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m )．又因为f (x )在[0,2]上单调递减且f (x )在[－2,2]上为奇函数，所以f (x )在[－2,2]上为减函数．所以1－m >m ，又－2≤m －1≤2，－2≤m ≤2， 所以解得－1≤m <12.故m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 22．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)解析：(1)由题意可知当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为 v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x <20，13(200－x )，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x <20，13x (200－x )，20≤x ≤200，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时， f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．。
高中数学必修一[人教B版]基础过关检测3.1.2(一)
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3.1.2 指数函数(一)一、基础过关1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是 ( )A ．y ＝(－4)xB ．y ＝πxC ．y ＝－4xD ．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1 3．函数y ＝21x 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,1)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)4．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x 年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )5．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____________． 6．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 7．比较下列各组数中两个值的大小： (1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2)(14)13和(14)23； (3)2－1.5和30.2.8．判断下列函数在(－∞，＋∞)内是增函数，还是减函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫14x ；(3)y ＝2x3. 二、能力提升9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x <0，g (x )， x >0. 若f (x )是奇函数，则g (2)的值是( )A ．－14B ．－4C.14 D ．4 10．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )11．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)，(4－a2)x ＋2 (x ≤1)，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 ________．12．求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域． 三、探究与拓展13．当a ＞1时，判断函数y ＝a x ＋1a x －1是奇函数．答案1．B 2.C 3.C 4.D 5.186．[0,8)7．解 (1)考察函数y ＝0.2x .因为0<0.2<1， 所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数． 又因为－1.5>－1.7， 所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考察函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以(14)13>(14)23.(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2， 即1<30.2，所以2－1.5<30.2.8．解 (1)因为4>1，所以函数y ＝4x 在(－∞，＋∞)内是增函数；(2)因为0<14<1，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 在(－∞，＋∞)内是减函数； (3)由于2x 3＝(32)x ，并且32>1，所以函数y ＝2x3在(－∞，＋∞)内是增函数．9．A 10．B 11．[4,8)12．解 令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t， 又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∵0≤x ≤3，∴当x ＝1时，t min ＝1； 当x ＝3时，t max ＝5. 故1≤t ≤5， ∴⎝⎛⎭⎫125≤y ≤⎝⎛⎭⎫121， 故所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤132，12.13．证明 由a x －1≠0，得x ≠0，故函数定义域为{x |x ≠0}，易判断其定义域关于原点对称．又f (－x )＝a －x ＋1a －x －1＝(a －x＋1)a x (a －x －1)a x ＝1＋a x1－a x＝－f (x )，a x＋1∴f(－x)＝－f(x)，∴函数y＝a x－1是奇函数．。
高中数学 模块综合测评 新人教B版必修1(2021年整理)
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模块综合测评（时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U＝｛0，1,2,3,4｝，集合A＝｛1，2，3｝，B＝{2，4｝，则（∁U A）∪B＝（) A．{1，2，4｝B．｛2，3,4｝C．｛0，2,4} D．{0，2，3，4｝【解析】∵全集U＝{0，1，2，3,4}，集合A＝｛1，2,3}，∴∁U A＝{0,4}，又B＝{2，4｝，则(∁U A）∪B＝{0，2,4}．故选C.【答案】C2．可作为函数y＝f(x)的图象的是（)【解析】由函数的定义可知：每当给出x的一个值，则f(x)有唯一确定的实数值与之对应，只有D符合．【答案】D3．同时满足以下三个条件的函数是（）①图象过点(0，1)；②在区间（0，＋∞）上单调递减；③是偶函数．A．f（x)＝－(x＋1）2＋2 B．f(x）＝3｜x｜C．f(x）＝错误!｜x|D．f(x）＝x－2【解析】A．若f(x）＝－(x＋1)2＋2，则函数关于x＝－1对称，不是偶函数,不满足条件③。
B．若f(x)＝3｜x｜，在区间（0，＋∞）上单调递增，不满足条件②。
C．若f(x)＝错误!｜x｜,则三个条件都满足．D．若f(x）＝x－2,则f(0）无意义，不满足条件①。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |2＜x ≤4}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2] B ．[－1,3] C ．[1,2) D ．(2,3] 答案：D2．幂函数y ＝x 4的单调递增区间可以是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．(－1,0)D ．(－5，－2) 答案：A3．如果幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，33)，则f (8)的值等于( )A.22B.24C.34D.32 答案：B解析：由3α＝33得α＝－12，故f (8)＝812-＝24.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x ＜2，log 3(x 2－1)， x ≥2，则f [f (2)]的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：C解析：f [f (2)]＝f (1)＝2，故选C.5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，lg x －1，x ＞0的所有零点之和为( )A ．7B ．5C ．4D ．3 答案：A解析：当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3；当x ＞0时，令lg x －1＝0解得x ＝10，所以可知函数所有零点之和为－3＋10＝7.6．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[－2，－1] D ．[－1,0] 答案：D解析：本题主要考查函数零点与方程根的关系．逐一验证即可，f (－1)＝3－1－(－1)2＜0，f (0)＝30－02＞0，故选D.7．已知函数f (x )在[－5,5]上满足f (－x )＝f (x )，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－3)＜f (1)，则下列不等式中一定成立的是( )A ．f (－1)＜f (－3)B ．f (2)＜f (3)C ．f (－3)＜f (5)D ．f (0)＞f (1) 答案：D解析：由f (3)＝f (－3)＜f (1)，及f (x )在[0,5]上单调可知f (x )在[0,5]上单调递减．8．函数f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则实数a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．－1或1 答案：B解析：(法一)f (－x )＝lg(11＋x＋a )＝－f (x )，∴f (－x )＋f (x )＝0，即lg[(21＋x ＋a )(21－x＋a )]＝0，∴a ＝－1.(法二)由f (0)＝0得a ＝－1.9．某种生物的繁殖数量y (只)与时间x (年)之间的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种生物第一年有100只，则第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只 答案：A解析：由题意得100＝a log 2(1＋1)，∴a ＝100，∴第7年时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.10．在同一坐标系中，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax ＋1a的图象应是如图所示的( )答案：B解析：y ＝x a 为幂函数，y ＝ax ＋1a 为一次函数．对于A ，y ＝x a 中，a ＜0，y ＝ax ＋1a中，由倾斜方向判断a ＞0，∴A 不对；对于B ，y ＝x a 中，a ＜0，y ＝ax ＋1a中，a ＜0，∴B 对；对于C ，y ＝x a 中，a ＞0，y ＝ax ＋1a中，由图象与y 轴交点知a ＜0，∴C 不对；对于D ，y ＝x a 中，a ＞0，y ＝ax ＋1a中，由倾斜方向判断a ＜0，∴D 不对．11．已知f (x )是R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x ＋1，则f (3)等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案：A解析：由条件知f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)．又因为f (－1)＝f (1)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x ＋1，所以f (1)＝2.所以f (3)＝f (－1)＝f (1)＝2.12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x ＜1)，(a －3)x ＋4a (x ≥1)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(0，34]C ．(0,1)D ．[3，＋∞) 答案：B解析：由题意知f (x )在R 上是减函数，∴0＜a ＜1，又a －3＋4a ≤a,4a ≤3，a ≤34，∴0＜a ≤34.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设全集S ＝{1,2，x 2＋x }，A ＝{1，x 2－2}，∁S A ＝6，则x ＝______. 答案：2解析：∵∁S A ＝6，∴6∉A ，∴6∈S ，∴x 2＋x ＝6，解得x ＝2或x ＝－3，当x ＝－3时，A ＝{1,7}，此时A ⊆S ，故舍去x ＝－3.14．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[0,3]上的最大值是________． 答案：7解析：f (3)＝9－3＋1＝7.15．对于任意实数a 、b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤bb ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案：1解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (0＜x ≤2)－x ＋3(x ＞2)，结合图象，易知h (x )的最大值为1.16．分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x >0)－x (x ≤0))可以表示为f (x )＝|x |，分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤3)3 (x >3))可表示为f (x )＝12(x ＋3－|x －3|)．仿此，分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6(x <6)x (x ≥6)可以表示为f (x )＝________.答案：12(6＋x ＋|x －6|)解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x >0)，－x (x ≤0)，)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x ≤3)，3 (x >3)，)的表达式可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6 (x <6)x (x ≥6))，可表示为f (x )＝12(6＋x ＋|x －6|)．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)求下列各式的值： (1)1.513-×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6－；(2)2log 32－log 3329＋log 38－552log 3.解：(1)原式＝(23)13×1＋(23)14×214＋(213)6×(312)6－[(23)23]12＝⎝⎛⎭⎫2313＋(23×2) 14＋22×33－⎝⎛⎭⎫2313 ＝2＋4×27＝110.(2)原式＝2log 32－(log 325－log 332)＋log 323－55log 9＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9 ＝2－9＝－7.18．(12分)已知集合A ＝{x |x 2＋ax －6＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－2,3}，A ∩B ＝{－2}，求a ，b ，c 的值．解：∵A ∩B ＝{－2}，∴－2∈A 且－2∈B ，将－2代入方程：x 2＋ax －6＝0中，得a ＝－1，从而A ＝{－2,3}． 将－2代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，得2b －c ＝4. ∵A ∪B ＝{－2,3}，∴A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . ∵A ≠B ，∴B ØA ，∴B ＝{－2}．∴方程 x 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4c ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝4， ①b 2－4c ＝0， ② 由①得c ＝2b －4，代入②整理得：(b －4)2＝0， ∴b ＝4，c ＝4.19．(12分)某市在如图所示的地面区域ABCD 上规划一块矩形地面PQCR 作为经济适用房用地，但为了保护古城墙，不得使用△AEF 内的部分．则测量可知AB ＝200 m ，BC ＝160 m ，AE ＝60 m ，AF ＝40 m ，问怎样设计矩形经济适用房用地的长和宽，才能使其面积最大，最大面积是多少？解：P 点可取在DF ，FE 或EB 上，显然P 点取在DF 上时最大住宅面积应是P 点恰与F 点重合时，同理如果P 点取在EB 上，则P 点恰与E 点重合时面积最大，所以面积最大时，P 点必在EF 上，如图，设PQ ＝x ，则140≤x ≤200，设QP 的延长线交AF 于G 点，则PG ＝200－x .∵△FGP ∽△F AE ，∴GF ＝23(200－x )，∴PR ＝120＋23(200－x )，∴S 矩形PQCR ＝x ·[120＋23(200－x )]＝－23x 2＋7603x ＝－23(x －190)2＋72 2003，∴当x ＝190，即经济适用房用地长PQ 为190 m ，宽为3803m 时，面积最大，最大值为72 2003m 2. 20．(12分)已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x . (1)求f (x )的解析式并画出其图象；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ， 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ，∴x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x, 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0 x ＝0，x 2＋2x ，x ＜0，其图象为(2)由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，解得1＜a ≤3. ∴实数a 的取值范围为(1,3]．21．(12分)已知函数f (x )＝a log 2x －b log 13x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若a ＞0，b ＞0，证明函数f (x )在定义域内为增函数；(2)若a ＝ln(m 2＋2m ＋3)，b ＝ln10，解不等式f (3x －1)≤f (x ＋3)． 解：f (x )＝a log 2x －b log 13x ＝a log 2x ＋b log 3x ，其定义域为(0，＋∞)．(1)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a log 2x 1＋b log 3x 1－(a log 2x 2＋b log 3x 2) ＝a (log 2x 1－log 2x 2)＋b (log 3x 1－log 3x 2)∵0＜x 1＜x 2且y ＝log 2x 和y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 2x 1＜log 2x 2，log 3x 1＜log 3x 2，当a ＞0，b ＞0时，a (log 2x 1－log 2x 2)＜0，b (log 3x 1－log 3x 2)＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)∵a ＝ln(m 2＋2m ＋3)＝ln[(m ＋1)2＋2]≥ln2＞ln1＝0，b ＝ln10＞ln1＝0， ∴由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (3x －1)≤f (x ＋3)⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＞0，x ＋3＞0，3x －1≤x ＋3，∴13＜x ≤2，∴原不等式的解集为{x |13＜x ≤2}．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数)，x ∈R ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设m ·n <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零？ 解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，又x ∈R ，f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4a ≤0， ∴b 2－4(b －1)≤0， ∴b ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.) (2)由(1)知g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋2－k 22＋1－(2－k )24，当k －22≥2或k －22≤－2时，即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数， 所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．(3)∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝ax 2＋1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x >0，－ax 2－1，x <0， ∵m ·n <0，设m >n ，则n <0.又m ＋n >0，∴m >－n >0，且|m |>|－n |.∴F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝(am 2＋1)－an 2－1＝a (m 2－n 2)>0， ∴F (m )＋F (n )能大于零．。
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必修1模块过关测试卷 （120分，150分钟）一、选择题（每题5分，共60分）1．〈2014,一中月考〉 下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是（ ）A ．5x y =B ．x y 3=C ．x y 3log =D ．2-=x y 2.〈2014,青州一中月考〉已知集合M ={x |4x －3≥0}，N ={y |y =xe },则M ,N 的关系是（ ） A.NM B.MN C.M =N D.以上都不正确3．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=),0(21),0(log 31x x x x f x ,则f (f (27))的值是（ ）A.9B.81C.8D.914.〈2014,二中月考〉已知函数()4151x x f x-⎪⎭⎫⎝⎛=，那么函数f (x )的零点所在的区间是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛51,0 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,51 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛52,41 D.⎪⎭⎫⎝⎛1,525.〈2013,实验中学期中〉函数()637++=x x x f ，若f (a )=5,则()a f -的值为（ ）A.7B.8C.－5D.－7 6.已知全集U ={x ∈Z |0<x <8}，M ={3,5}，N ={x |x x 82-+12=0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∪(∁U N ) B. ∁U (M ∩N ) C. ∁U (M ∪N ) D. (∁UM )∩N7.〈2014,威海一中检测〉已知A =B =R ，x ∈A ,y ∈B ,b ax y x f -=→:是从A 到B 的映射，若B 中元素－1和5在A 中的原象分别为1和3，则A 中元素－6在f 下对应的B 中的象为（ ）A.11B.22C.－13D. －228．〈2014,二中高一月考〉 设512.0413,51,6log =⎪⎭⎫⎝⎛==c b a ，则（ ） A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c9.〈2014,昌乐二中月考〉某人在甲、乙乡镇开了两家某品牌电动车销售连锁店，其月利润（单位：元）分别为L 1=－5x 2+900x －16 000, L 2=300x 2－2 000（其中x 为销售辆数），若某月两连锁店共销售了110辆电动车，则能获得的最大利润为（ ）A.11 000元B.22 000元C.33 000元D.40 000元 10．〈2014,二中模拟〉已知函数f (x )是偶函数，且当x <0时，f (x )=ln(1－x )，则函数f (x )的大致图象为图1中的（ ）A B C D图111.〈2014,东北育才中学检测〉已知函数()x b x f a log +=（a >0且a ≠1）的图象过点(27,－1)，其反函数的图象过点(1,3),则f (x )在［9,81］上的最大值为（ ）A.－1B.0C.1D.312.〈2013,卫辉一中月考〉在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N +)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数.有下列函数:①f (x )=x x 1+ (x>0);② g (x )=3x ;③h (x )=x⎪⎭⎫⎝⎛31;④ϕ(x )=ln x ,其中是一阶整点函数的是（ )A ．①②③④B ．①③④C ．④D ．①④ 二、填空题（每题5分，，共20分）13.已知函数()x f 2的定义域为［0,1］,则f (x )的定义域为__________,()x f 2log 的定义域为___________. 14．计算：lg5·lg8+lg1000+(2lg +lg 61+lg0.06=________________.15.〈2014，师大附中月考〉具有性质()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①x x y 1-=,②x x y 1+=,③(01),0(1),1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中,满足“倒负”变换的函数有___________(把你认为正确的序号都填上).16．〈2013,〉对区间I 上有定义的函数g (x )，记g (I )={y |y =g (x ),x ∈I }，已知定义域为［0,3］的函数y =f (x )有反函数()x f y 1-=，且1-f (［0,1))=［1,2), 1-f ((2,4］)=［0,1)，若方程f (x )－x =0有解0x ，则0x =__________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.（本题满分10分）〈2013,市一中期中〉已知A ={2,5,2x －6x +11},B ={3,32+++a ax x }，C={4,()312-++x a x }(a ∈R ). 求：（1）使5∈B ,B A 的a 、x 的值；（2）使B =C 的a 、x 的值.18.（本题满分12分）〈2013,日照一中月考〉已知函数()()x x f -=3log 41的定义域为A ，函数()xx g ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31 (x ≥－2)的值域为B .（1）求(∁R A)∩B（2）若C ={x |a ≤x ≤2a －2}，且A ∩C =C ，数a 的取值围.19.（本题满分12分）已知函数y =f (x )的定义域为R ，且对任意a ,b ∈R ，都有f (a +b )=f (a )+f (b )，且当x >0时，f (x )<0恒成立. 证明：（1）函数y =f (x )是R 上的减函数（2）函数y =f (x )是奇函数.20.(本题满分12分)〈2014,三中检测〉已知二次函数y =f (x )在y 轴上的截距为3，且满足f (x +2)－f (x )=4x +2. （1）求f (x )的单调递增区间（2）在区间［－2,2］上，y =f (x )的图象恒在直线y =－3x +m 上方，试确定实数m 的取值围.21.（本题满分12分）〈2014,育明高中月考〉为了检验某种溶剂的挥发性，在容积为1升的容器中注入溶液，然后在挥发的过程中测量剩余溶液的体积.已知溶剂注入过程中，其体积y （升）与时间t （分钟）成正比，且恰在2分钟注满；注入完成后，y 与t 的关系为a ty -⎪⎭⎫ ⎝⎛=3051（a 为常数），图象如图2.（1）求体积y 与时间t 之间的函数关系式；图2（2）当容器中的溶液不大于8毫升时，试验结束，则从注入溶液开始，至少需要经过多少分钟，才能结束试验？22．（本题满分12分）〈2014,实验中学高一期末〉已知()x x f 3=,并且f (a +2)=18,()x ax x g 43-=的定义域为区间［－1,1］. （1）求函数g (x )的表达式 （2）判断g (x )的单调性； （3）若方程g (x )=m 有实数解,求m 的取值围.一、1. A 点拨：由奇、偶函数的判断步骤（1）定义域关于原点对称，（2）满足f (x )=f (－x )的是偶函数，满足f (x )=－f (－x )的是奇函数.得到B 、C 不具有奇偶性，D 是偶函数，故选A. 2. B 点拨：∵M ={x |4x －3≥0}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥43x x ，N ={y |y =e x }={y |y >0}.∴MN ，故选B. 3. C 点拨：∵f (27)=log 1327=－3,∴f (f (27))=f (－3)= 312-⎛⎫ ⎪⎝⎭=8,故选C. 4. B 点拨：∵f (0)= 014105⎛⎫- ⎪⎝⎭ =1>0，f (1)=51－1<0，1144111454f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<0，1154111555f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>0，∴⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛5141f f <0，故选B. 5. A 点拨：令g (x )=x7+3x ,则g (x )为奇函数，且f (x )=g (x )+6， ∵f (a )=5，∴g (a )=－1，∴f (－a )=g (－a )+6=－g (a )+6=1+6=7，故选A. 6.C点拨：易知U ={1,2,3,4,5,6,7}，N ={2,6}，∵M ={3,5},∴M ∪N ={2,3,5,6}，∴∁U (M ∪N )={1,4,7}.故选C. 7. D 点拨：由题意得⎩⎨⎧=--=-,53,1b a b a 解得⎩⎨⎧==.4,3b a ∴f :x →y =3x －4，∴－6在B 中的象为3×(－6)－4=－22，故选 D. 8. A 点拨：∵a =114461log log < =0,0<b =0.215⎛⎫ ⎪⎝⎭<1, c =153>03=1,∴a <b <c ,故选A. 9. C点拨：设在甲乡镇的连锁店销售了x 辆，则在乙乡镇的连锁店销售了(110－x )辆，故利润L =－52x +900x －16 000+300(110－x )－2 000=－5x 2+600x +15 000=－5()260x -+33 000，∴当x =60时，有最大利润33 000元，故选C. 10. B11. B 点拨：∵f (x )的反函数的图象过点(1,3)，∴f (x )的图象过点(3,1),由⎩⎨⎧=-=,1)3(,1)27(f f 得271,log 31,log a a b b +=-⎧⎨+=⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧==,31,2a b故f (x )=2+13log x ,∴f (x )是单调递减函数，∴在［9,81］上的最大值为f (9)=2+139log =0,故选B.12. D 点拨：f (x )=x +x1（x ＞0）的图象只过整点(1,2)，是一阶整点函数，h (x )= 13x⎛⎫⎪⎝⎭的图象过整点(0,1),(－1,3),(－2,9)等，不是一阶整点函数，故选D. 二、13.［1,2］;［2,4］14. 1 点拨：原式=lg5·3lg2+3+()23lg 2+lg0.01=3lg2·lg5+3+3()2lg 2－2=3lg2(lg5+lg2)+3－2=3－2=1．15. ①③ 点拨:逐一验证⎪⎭⎫⎝⎛x f 1+f (x )=0是否成立,可知①③成立,②不成立.16. 2 点拨:根据反函数定义知，当x ∈［0,1)时，f (x )∈(2,4］；当x ∈［1,2)时，f (x )∈［0,1)，而y =f (x )的定义域为［0,3］，故当x ∈［2,3］时，f (x )的取值应在集合(－∞,0)∪［1,2］∪(4,+∞)，故若()x x f 00=，只有x 0=2．三、17. 解：（1）∵5∈B ,BA ，∴2253,3611,ax a x x x =+++⎧⎨=-+⎩ 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧-==.514,4,32,2a x a x 或 （2）∵B =C ，∴()22133,34,a x x ax a x ++-=⎧⎪⎨+++=⎪⎩解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=.2,3,6,1a x a x 或 当x =3时，集合A ={2,5,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去.∴x =－1，a =－6.18. 解：（1）要使函数f (x )=有意义，必须满足14(3)log x -≥0，且3－x ＞0,∴0<3－x ≤1，即2≤x ＜3,∴A ={x |2≤x ＜3}.∵函数g (x )= 13x⎛⎫⎪⎝⎭(x ≥－2)的值域为B ,∴B ={x |0＜x ≤9}.∴（∁R A ）∩B ={x |0<x <2或3≤x ≤9}. （2）∵A ∩C =C ，∴C ⊆A .当2a －2<a ,即a <2时,C = Ø，满足题意； 当2a －2≥a ，即a ≥2时，要使C ⊆A ，必须满足⎩⎨⎧<-≥,322,2a a即2≤a ＜52.综上，a 的取值围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<25a a .19.证明：(1)任取x 1, x 2∈R ,且x 1＞ x 2，则x 1－x 2>0，由f (a +b )=f (a )+f (b )，知f (1x )=f (1x －2x +2x )=f (1x －2x )+f (2x )<f (2x ). ∴函数y =f (x )是R 上的减函数;(2)由f (a +b )=f (a )+f (b )知f (x －x )=f (x )+f (－x )，即f (x )+f (－x )=f (0).由f (0+0)=f (0)+f (0),得f (0)=0,∴f (－x )=－f (x )，即函数y =f (x )是奇函数.20. 解：（1）设f (x )=2a x +bx +3(a ≠0)，则f (x +2)= a (x +2)2+b (x +2)+3，∴f (x +2)－f (x )=4ax +4a +2b =4x +2. ∴⎩⎨⎧=+=,224,44b a a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a∴2()3,f x x x =-+∴f (x )的单调递增区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. （2）由题意得，2x －x +3>－3x + m ， 即2x +2x +3> m 对x ∈［－2,2］恒成立.设g (x )= 2x +2x +3=()21x ++2（x ∈［－2,2］）,∴min ()g x =2，∴m <2.∴实数m 的取值围是(－∞,2).21. 解：（1）当0≤t ≤2时，设y 与t 之间的函数关系为y =kt ，将(2,1)代入得k =21，∴y =21t ；当t >2时，函数关系式为y=3015t a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，将（2，1）代入得a =151，∴y =1301515t -⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上y 与t 之间的函数关系式是13015102,21(2).5t t t y t -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩（） （2）由题意可得11301511,51252,t t -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩ ∴t ≥2，∴至少需要经过92分钟，才能结束试验. 22. 解：（1）∵f (a +2)=18,f (x )=3x ,∴32+a =182,3a ⇒=∴g (x )= ()3424xa x x x -=-, x ∈［－1,1］.（2）g (x )=－ ()221122224x x x ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭. 当x ∈［－1,1］时，1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令t =2x ，则g (t )= 221124t t t ⎛⎫-+=--+⎪⎝⎭.当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t 时,函数g (t )= 21124t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭是减函数. 又t =2x 在［－1,1］上是增函数，∴g (x )在［－1,1］上是减函数. （3）∵方程g (x )=m 有实数解，∴m =24x x -在［－1,1］ 有实数解， 又由（2）知g (x )= 24x x -在［－1,1］上是减函数， ∴－2≤m ≤14. 故m 的取值围是[－2,14]. 点拨：本题（1）的求解运用了方程思想，（2）运用了复合函数的单调性法则；（3）将方程有解问题转化为求函数值域问题.。