理论力学基础 刚体的基本运动
理论力学中的刚体运动与角速度的计算
理论力学中的刚体运动与角速度的计算刚体是指具有一定形状和大小，其内部各点间相对位置不会发生改变的物体。
在理论力学研究中，刚体运动是一个重要且常见的问题，其中角速度的计算是关键的一部分。
本文将介绍刚体运动的基本概念和相关计算方法。
一、刚体运动的基本概念刚体的运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体整体沿直线运动，而转动则是刚体围绕某个轴旋转运动。
在刚体转动的过程中，角速度是一个重要的物理量。
角速度表示刚体某一点在单位时间内绕轴旋转的角度。
通常用符号ω表示，计量单位是弧度/秒。
二、角速度的计算方法1. 定义式计算：对于旋转角速度恒定的情况，可以通过定义式计算角速度。
角速度ω等于单位时间内转过的弧长与转动所需时间的比值。
ω = Δθ / Δt其中，Δθ是转过的弧长，Δt是转动所需时间。
2. 瞬时角速度计算：在某一时刻的瞬时角速度等于通过该点的切线所确定的线速度与该点到轴的距离之比。
即，ω = v / r其中，v表示质点在切线方向上的线速度，r表示质点到该轴的距离。
3. 利用转动惯量计算：转动惯量是刚体抵抗转动的特性参数。
利用转动惯量的计算公式，可以推导出角速度的表达式。
比如，对于圆盘形刚体绕垂直于其平面并通过质心的轴转动的情况，转动惯量I和角速度的关系公式为：Iω = L其中，I表示转动惯量，L表示刚体的角动量。
三、刚体运动与角速度的应用角速度的计算在刚体运动的分析和应用中发挥着重要作用。
下面以两个实例介绍其应用。
实例一：自转的地球地球自转是一个典型的刚体运动问题。
地球自转一周的周期是24小时。
将地球看作一个近似的刚体，其转动惯量与角速度的乘积等于地球的角动量。
通过计算地球的转动惯量和已知的角动量，可以求得地球的角速度。
实例二：陀螺稳定陀螺是另一个常见的刚体运动问题。
陀螺的稳定性与其角速度密切相关。
通过计算陀螺的角速度，可以分析陀螺的稳定性，并设计出能够保持平衡的陀螺。
总结：刚体运动与角速度的计算是理论力学中的重要内容。
理论力学知识点总结
理论力学知识点总结理论力学是研究物体运动规律的一门基础物理学科，它主要研究在力的作用下物体的运动状态。
以下是理论力学的知识点总结：1. 基本概念- 力：物体间的相互作用，可以改变物体的运动状态。
- 质量：物体所含物质的多少，是物体惯性大小的量度。
- 惯性：物体保持其运动状态不变的性质。
- 运动：物体位置随时间的变化。
- 静止：物体相对于参照系位置不发生改变的状态。
2. 牛顿运动定律- 第一定律（惯性定律）：物体在没有外力作用下，将保持静止或匀速直线运动。
- 第二定律（加速度定律）：物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比，方向与作用力方向相同。
- 第三定律（作用与反作用定律）：对于任何两个相互作用的物体，它们之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。
3. 功和能- 功：力在物体上做功，等于力与位移的乘积，是能量转化的量度。
- 动能：物体由于运动而具有的能量，与物体质量和速度的平方成正比。
- 势能：物体由于位置而具有的能量，与物体位置有关。
- 机械能守恒定律：在没有非保守力做功的情况下，系统的机械能（动能加势能）保持不变。
4. 动量和角动量- 动量：物体运动状态的量度，等于物体质量与速度的乘积。
- 角动量：物体绕某一点旋转运动状态的量度，等于物体质量、速度与该点到物体距离的乘积。
- 动量守恒定律：在没有外力作用的系统中，系统总动量保持不变。
- 角动量守恒定律：在没有外力矩作用的系统中，系统总角动量保持不变。
5. 刚体运动- 平动：刚体上所有点的运动状态相同，即刚体整体移动。
- 转动：刚体绕某一点或某一轴的旋转运动。
- 刚体的转动惯量：衡量刚体对转动的抵抗程度，与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关。
6. 振动和波动- 简谐振动：物体在回复力作用下进行的周期性振动，其运动方程为正弦或余弦函数。
- 阻尼振动：在阻尼力作用下的振动，振幅随时间逐渐减小。
- 波动：能量在介质中的传播，包括横波和纵波。
7. 分析力学- 拉格朗日力学：通过拉格朗日量（动能减势能）来描述物体的运动。
理论力学
| a全 || an a | an a R 2 w 4
2 2
a R t g 2 2 an w R w
21
结论: ① v方向与w 相同时为正 , R ,与 R 成正比。
②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角θ都一致,且 小于90o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:
习题课
35
匀 速 直 匀 a=C 线 变 运 动 变 dv a 速 dt 曲 线 运 动 匀 速 匀 变 变 速 0
a 0
点的运动(刚体平动) 加速度 v an a 0 0 v C 0 0 a =C
v v0 at
s
s f ( t ) vt
1 s v0 t at 2 2
1
第六章 刚体的基本运动
§6–1 刚体的平行移动
§6–2 刚体的定轴转动 §6–3 定轴转动刚体内各点的速度与加速度 §6–4 绕定轴转动刚体的传动问题 §6–5 角速度与角速度的矢量表示 点的速度与加速度的矢积表示 习题课
2
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑 其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形 状不变体,所以研究它在空间的位置就不必一 个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动 形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平 面的位置即可。
π 0l 16
v (m· s－1)
0
14
§6-2
刚体的定轴转动
一.刚体定轴转动的特征及其简化 当刚体运动时，如其上（或其延展部分）有一
条直线始终保持不动，这种运动称为刚体的定轴转
动。该固定不动的直线称为转轴。 特点:有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂
直于转轴的平面上做圆周运动,圆心在该平面与转
理论力学--运动学总结
速度瞬心位置的确定总结
瞬时平动
几点注意 1、基点法是速度分析的基本方法；
2、速度投影法 应用起来简单，但必须知道待求速度 点的方位，致命的弱点—是不能求图形的角速度 2、当平面几何简单时，分析速度可采用瞬心法； 瞬心法既可以求某点的速度，也可以求刚体运动 的角速度； 4、确定速度瞬心的速度是该点的绝对运动速度； 5、具体分析时三种方法灵活运用；
（1）刚体的基本运动 平动
v A vB
aA aB
各点的轨迹相同；
可简化为一个点的运动。
定轴转动
v R
a R
an R 2
轮系的传动比：
1 n1 R1 Z 2 i12 2 n2 R2 Z1
各处不打滑时： 接触点有相同的线速度和相同的切向加速度。
（2）刚体的平面运动 1. 定义 任一点到某固定平面的距离保持不变。
B点的加速度分析
D
C
a a 2 a a 2 ae 2 ar 2
n
aa 2 ae 2
O1
30°
ar 2
B
aa 2cos60 aa2cos30 ae 2
n
aa 2
1
30° O2
n
A
a a2 O2 B 2
n 2 aa2 O2 B2
ae2 657mm/ s
2
三、刚体的运动
va=v
vCA
动点：滑块C 动系：固结于AE
u=vA
vr
vC' A
ωAE
分析三种运动
牵连运动：刚体的平面运动
牵连转动
va ( vA vCA ) vr
va cos vCA v A sin
理论力学08刚体的基本运动
[例5] 图示仪表机构中，已知各齿轮齿数 z1 = 6、z2 = 24、z3 = 8、 z4 = 32，齿轮 5 的啮合圆半径 R = 4 cm。如齿条 AB 下移1 cm，试 求指针 OC 转过的角度。
解： 轮 5 转过的角度
5
1 4
轮 4 转过的角度
4
5
1 4
轮 3 转过的角度
3
4
i43
z4 z3
aMn
a
n A
π202l
16
cos
2
πt 4
aMt 0
aM
aMn
π202l
16
[例3] 如图，鼓轮绕轴 O 转动，已知鼓轮的半径 R = 0.2 m，转动方
程 = －t2＋4t （t 以 s 计， 以 rad 计）；不可伸长的绳索缠绕在鼓
轮上，绳索的另一端悬挂重物 A。试求当 t = 1 s 时，轮缘上的点 M 和重物 A 的速度和加速度。
[例1] 杆AO 套在套筒 B 中绕轴 O 转动，套筒 B 在竖直滑道中运动。 已知套筒 B 以匀速 v = 1 m/s 向上运动，滑道与轴 O 的水平距离 l =
400 mm，运动初始时 = 0°。试求 = 30°时，杆AO 的角速度和角
加速度。
解： 杆AO 的转动方程
arctan
BB0 OB0
第二节 刚体绕定轴转动
一、绕定轴转动刚体的转动方程
t
说明：1）转角 为代数量，正负号表示
转向，一般可按右手螺旋法则 确定。
2）转角 的单位：rad（弧度）
z
A A0
二、绕定轴转动刚体的角速度
d
dt 说明：1）绕定轴转动刚体的角速度 为代数
量，其正负号表示转向，角速度 的正 负号规定与转角 一致。 2）角速度 的单位：rad/s 3）角速度 与转速 n (r/min) 的换算关系
第八章 刚体的基本运动
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第八章 刚体的基本运动
荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。 例8-1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长 为 长 l， 长 度 单 位 为 m。 当 荡 木 摆 动 时 钢 索 的 摆 动 规 律 ， 。 π 为时间，单位为s；转角φ 为 ϕ =ϕ0 sin t ，其中 t 为时间，单位为 ；转角 0的单位为 4 rad，试求当 和t=2 s时，荡木的中点 的速度和加速度。 的速度和加速度。 ，试求当t=0和 时 荡木的中点M的速度和加速度
∴aτ =ε × r
∴a n =ω × v
a n =ω × v
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第八章 刚体的基本运动
三、定轴轮系的传动比 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。常用的有 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 表示， 用i表示，即 表示 n主 ω主 i= = n从 ω 从 1．带传动 当主动轮Ⅰ转动时， 当主动轮Ⅰ转动时，利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动 从动轮Ⅱ转动。 从动轮Ⅱ转动。 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度， 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度，为此在 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等， 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等，即v1 = v = v2。若胶带 与带轮间没有滑动， 与带轮间没有滑动，则
理论力学
第一章 力学基础
一、刚体、平衡与运动
1－刚体（不变形的物体）
物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不 变。它是一个理想化的力学模型
实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。但是，这 些微小的变形，对研究物体的平衡问题不起主要作用，可以略 去不计，这样可使问题的研究大为简化。
首都机场候机楼顶棚拱架支座
铰 (Hinge)
固定铰支座
构件的端部与支座有相同直径的圆孔，用一圆柱形销钉连接起 来，支座固定在地基或者其他结构上。这种连接方式称为固定铰链 支座，简称为固定铰支(smooth cylindrical pin support)。桥梁上的 固定支座就是固定铰链支座。
将具有相同圆孔的两构件用圆柱形销钉连接 起来，称为中间铰约束
三.力对点的矩
z
B
1.力对点的矩
mo(F)
mo(F) = r×F
mo(F)表示力F绕O点
A
r
O
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
心.力矩矢是定位矢量.
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的
方位;力矩在力矩平面内的转向.
力矩的几何意义: mo(F) =±2OAB面积=±Fd 力矩的单位: N·m 或 kN·m
同时作用于物体的一群力-------力系
汇交力系 平行力系 一般力系
空间力系 平衡力系
平面力系
等效力系
四、静力学的基本公理
二力平衡公理 加减平衡力系公理 力的平形四边形法则 作用与反作用定律
公理1 二力平衡公理 －最简单的平衡条件
作用在刚体上的两个力，使刚体平 衡的必要和充分条件是：两个力的大小 相等，方向相反，作用线沿同一直线。
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
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例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
考研理论力学知识点梳理
考研理论力学知识点梳理理论力学作为计算力学的基础学科，是研究物体运动状态和运动规律的学科。
它包括刚体力学、连续体力学和流体力学等内容。
在考研中，理论力学是一个重要的科目，掌握其中的知识点对于考生来说至关重要。
本文将对考研理论力学的知识点进行梳理和总结。
一、刚体力学刚体是一个可以看作是集合在一起并且彼此不能改变相对位置的质点的系统。
在刚体力学中，主要有以下几个知识点需要掌握：1. 平面运动和空间运动：- 平面运动包括平面内运动和平面外运动，分别可以通过平面极坐标和空间直角坐标进行描述。
- 空间运动则需要通过空间直角坐标进行描述，包括平动、转动和一般运动三种情况。
2. 刚体的运动学关系：- 刚体的位移、速度、加速度之间存在一些重要的关系，如刚体的加速度等于刚体的角加速度与刚体中心的半径之积。
3. 刚体的动力学关系：- 刚体的动力学关系可以通过牛顿第二定律进行描述，即物体所受合外力等于物体的质量乘以加速度。
4. 刚体的静力学关系：- 刚体的静力学关系包括平衡条件和稳定条件，通过受力分析和力矩的平衡条件可以求解刚体的平衡问题。
二、连续体力学连续体力学是研究连续介质（如弹性体、流体等）内部相互作用和响应的学科。
在连续体力学中，需要掌握以下几个知识点：1. 物质描述和空间描述：- 物质描述是以质点的某一点或一组点为参考，通过观测质点在任意时刻的位置来描述运动状态。
- 空间描述则是以空间中某个点为参考，通过观测该点与周围点之间的变形和位移来描述运动状态。
2. 连续介质的性质：- 连续介质的性质包括连续性、物质存在性以及物质划分的单元等。
3. 连续介质的运动规律：- 连续介质的运动规律可以通过质点的导数来表示，如速度场的梯度代表速度场的变化率。
4. 连续介质的动力学方程：- 连续介质的动力学方程包括质量守恒、动量守恒和能量守恒三个方程，通过这些方程可以求解介质的运动问题。
三、流体力学流体力学是研究流体（包括液体和气体）的运动规律和力学性质的学科。
理论力学-第4章
z
v
P
r
P´
r(t) r (t＋t) O y
t＋ t 瞬时: 矢径 r (t ＋ t ) 或r(t)＋ r(t) t 时间间隔内矢径的改变量, 称为点的位移 r(t)＝ r (t＋t)－r(t) 点在 t 瞬时的速度
x
r dr v lim r t 0 t dt
描述点的运动的弧坐标法
如果已知点的轨迹，则可在轨迹 上任取一点为原点，运动的点P至原 点的弧长s＝OP，并且规定：原点O 的某一侧弧长为正；另一侧为负。这 种具有确定正负号的弧长s称为P点的 弧坐标(arc coordinate of a directed curve)。弧坐标s完全确定了动点P在 轨迹上的位置。 点运动时，其弧坐标随时间而变化：
第2篇 工程运动学基础
工程运动学涉及工程运动分析的基本的概念、基 本理论和基本方法。这些内容不仅是工程运动学的基 础，而且也是工程动力学(dynamics)的基础。
运动学的研究对象是点和刚体。 工程运动学的分析方法主要是矢量方法。
第4章 运动分析基础
运动学（kinematics）研究物体在空间的位置随时间的 变化，即物体的运动，但是不涉及引起运动的原因。 物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必须指 明参考体和参考系。 物体运动的位移、速度和加速度都是矢量，因此研究 运动学采用矢量方法。而且，一般情形下，这些矢量的大 小和方向会随着时间的变化而变化，因而称为变矢量。变 矢量运算与常矢量有相同之处，也有不同之处。这是学习 运动学的难点。
例题2
3．确定M点的轨迹在最高点 处的曲率半径
dr ds
的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。
ds ＝s＝vτ dt
理论力学知识点总结
理论力学知识点总结理论力学是一门研究物体机械运动一般规律的学科，它是许多工程技术领域的基础。
以下是对理论力学一些重要知识点的总结。
一、静力学静力学主要研究物体在力系作用下的平衡问题。
1、力的基本概念力是物体之间的相互作用，具有大小、方向和作用点三个要素。
力的表示方法包括矢量表示和解析表示。
2、约束与约束力约束是限制物体运动的条件，约束力则是约束对物体的作用力。
常见的约束类型有柔索约束、光滑接触面约束、光滑圆柱铰链约束等，每种约束对应的约束力具有特定的方向和特点。
3、受力分析对物体进行受力分析是解决静力学问题的关键步骤。
要明确研究对象，画出其隔离体，逐个分析作用在物体上的力，包括主动力和约束力，并画出受力图。
4、力系的简化力系可以通过平移和合成等方法进行简化，得到一个合力或合力偶。
力的平移定理指出，力可以平移到另一点，但必须附加一个力偶。
5、平面力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程有三个：∑Fx ＝ 0，∑Fy ＝ 0，∑Mo(F) ＝0。
对于平面汇交力系和平面力偶系，平衡方程分别有所简化。
6、空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程数量增多，需要考虑三个方向的力平衡和三个方向的力矩平衡。
二、运动学运动学研究物体的运动而不考虑引起运动的力。
1、点的运动学描述点的运动可以使用矢量法、直角坐标法和自然法。
在自然法中，引入了弧坐标、切向加速度和法向加速度的概念。
2、刚体的基本运动刚体的基本运动包括平动和定轴转动。
平动时，刚体上各点的运动轨迹相同、速度和加速度相同；定轴转动时，刚体上各点的角速度和角加速度相同。
3、点的合成运动点的合成运动是指一个动点相对于两个不同参考系的运动。
通过选取合适的动点、动系和定系，运用速度合成定理和加速度合成定理来求解问题。
4、刚体的平面运动刚体平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
平面运动刚体上各点的速度可以用基点法、速度投影定理和瞬心法求解，加速度则可以用基点法求解。
三、动力学动力学研究物体的运动与作用力之间的关系。
理论力学8刚体的基本运动
前面都为数量表达式，只有大小，而未标明方向； 矢量表达既有大小，又有方向。
一. 角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定
w ， 的方向。
大小:|w ||ddt |
dw dw k k
dt dt
方向如图 w wk
15
二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
vRw rsin w |w r|wrsin Rw
小于90o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:
各点速度分布图
各点加速度分布图
10
§8-4 绕定轴转动刚体的传动问题
传动比：通常称主动轮与从动轮角速度之比
i12
w1 w2
一.齿轮传动
因为是做纯滚动(即没有相对滑动) 1.内啮合
vF vE vF vE
wF rF wE rE
定义齿轮传动比
iEF
aC n Rw02 0.532 4.5m/s 2
aC (aC )2 (aC n )2 12 4.52 4.61 m/s2
tg
aC aC n
1 4.5
0.222,
12.5
⑤ t=3s 时， aC aA 1m/s2,aCn Rw 2 0.592 40.5m/s2
aC
12 40.52 40.51m/s2,
w 2 w02 2
7
§8-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一. 线速度V和角速度w之间的关系(即角量与线量的关系)
w , 对整个刚体而言(各点都一样)；
v, a 对刚体中某个点而言(各点不一样)。
v
v
lim
t0
R t
wR
v wR
8
二.角加速度 与an ,a 的关系
《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解
第六章 刚体的基本运动 习题全解[习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=ϕ（ϕ以rad 计，t 以s 计）。
试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解：角速度： 2394)34(t t t dt ddt d -=-==ϕω 角加速度：t t dtddt d 18)94(2-=-==ωα速度： )94(2t r r v -==ω)/(2)094(5.0|20s m r v t =⨯-⨯===ω)/(5.2)194(5.0|21s m v t -=⨯-⨯==切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα法向加速度：22222)94()]94([t r rt r v a n -=-==ρ 加速度： 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+=)/(8165.0)094(0324|24220s m r a t =⨯=⨯-+⨯== )/(405.1581.305.0)194(1324|24221s m r a t =⨯=⨯-+⨯== 物体改变方向时，速度等于零。
即：0)94(2=-=t r v )(667.0)(32s s t ==[习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。
后因刹车，该点以)/(1.02s m t a t =作减速运动。
设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。
解：t dtd a t 1.04.022-===ϕρα （作减速运动，角加速度为负）t dt d 25.022-=ϕ12125.0C t dtd +-=ϕ2130417.0C t C t ++-=ϕ12124.005.0)125.0(4.0C t C t dtd R v +-=+-⨯==ϕ104.0005.0|120=+⨯-==C v t图题46-251=C0000417.0|2130=+⨯+⨯-==C C t ϕ 02=C ，故运动方程为： t t 250417.03+=ϕt t t t R s 100167.0)250417.0(4.033+-=+-==ϕ速度方程：1005.02+-=t v)/(8.910205.0|22s m v t =+⨯-== 切向加速度：)/(2.021.01.0|22s m t a t t -=⨯-=-== 法向加速度：222)25125.0(4.0+-⨯==t a n ρω)/(1.240)252125.0(4.0|2222s m a t n =+⨯-⨯==[习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。
《理论力学》课件 第5章
因而 dBA/dt 0 ，于是得
vA vB
将上式再求一次导数，则得
aA aB
例5-1
如图5-4所示的曲柄滑道机构，当曲柄 OA 在平面上绕定轴 O 转动 时，通过滑槽连杆中的滑块 A 的带动，可使连杆在水平槽中沿直
线往复滑动。若曲柄 OA 的长为 r ，曲柄与 x 轴的夹角为 t，
其中 是常数，求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。
根据上述结论，可作出截面上各点的加速度的分布图，在通过轴心的 直线上，各点的加速度按线性分布，将加速度矢的端点连成直线，此 直线通过轴心，如图5-10（b）所示。
（a）
图5-10
（b）
例5-3
如图5-11所示，一半径 R 0.2 m 的圆轮绕定轴O 的转动方程
为 t2 4t ， 单位为rad， t单位为s。求 t 1 s 时，轮
*
t
当 t 趋近于零时，刚体转动的瞬时角加速度为
lim * lim d
t 0
t0 t dt
刚体绕定轴转动的角加速度等于角速度对于时间的一阶导数，
或等于转角对于时间的二阶导数。
角加速度与角速度一样都是代数量，它的单位是 rad/s2
若 与 的符号相同，则角速度的绝对值随时间而增加，这 时称为加速转动；反之，若 与 的符号相反，则角速度
例
设有平动的刚体，在刚体上任取两点 A 和 B ，并连成一直线如
图5-3所示。运动开始时 AB 线在 A0B0 的位置；经过极短时间间 隔 t 之后，移至 A1B1 ；依次再继续移至 A2B2 ， ，AnBn 等。
首先证明这两个任意点的轨迹形状是完全 相同的，根据刚体的定义得知 A，B 两点间 的距离保持不变。 因此 AB A0B0 A1B1 A2B2 AnBn
第六章 刚体的基本运动
z R a M
n
a = α × r + ω× v
aτ = α × r
α × r = α ⋅ r sin θ = α ⋅ R
O
aτ
v
α ω θ r
ω× r
a
n
= ω × v
ω ⋅ v = ω ⋅ ω ⋅ R = ω
dθ = ωo 其中： dt
所以： bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
dϕ =ω dt
*
rcos(θ + ϕ ) ω 解得： ω o = bcosθ − rcos(θ + ϕ )
方程*两边对时间取导数，得：
bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
一 、角速度的矢量表示
z
ω
k k
ω
z
ω=ω k
右手螺旋规则：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角 速度矢量 ω 的方向。
二、角加速度的矢量表示
角加速度矢量定义：
dω α= dt
角加速度矢
α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数
d dω α = ( ωk) = k dt dt
dω d ϕ = 2 α= dt dt
为描述变速的程度，引入传动比的概念。
ω1 R2 z 2 = = 传动比： i12 = ω 2 R1 z1
ω1 n1 α1 R2 z 2 i12 = = = = = ω 2 n2 α 2 R1 z1
二 、皮带轮传动
n1 R1
vB A vA B R2
(完整版)力学基本概念
（4）在力偶三要素不改变的条件下，可以任意选定 组成力偶的两个等值、反向、平行力的大小或力偶 臂的长短。 由大小相等、方向相反，作用线平行但不共线的两
个力所组成的力系，称为力偶。同时作用在物体上 的一群力偶，称为力偶系。
在力偶系中，所有力偶的作用面均在同一平面内
的力偶系，称为平面力偶系；所有力偶的作用面不 全部在同一平面内的力偶系，称为空间力偶系。
即，合力为原两力的矢量和。 矢量表达式：FR= F1+F2
F2
FR
A
F1
§1–3 静力学公理
公理三(力平行四边形公理) 作用于物体上任一点的两个力可合成为作用于同一点的
一个力，即合力。合力的矢由原两力的矢为邻边而作出的力 平行四边形的对角矢来表示。
力三角形法
F2
FR
FR
F2
F1
F2
FR
A
F1
A
A F1
2、力的概念 力是力学中一个基本量。
1） 力的含义： （1）力是物体间的相互作用； （2）力是物体运动状态发生变化的原因； （3）力是物体形状发生变化的原因。 2） 力的效应：力使物体的运动状态发生改变以及 力使物体发生变形，称为力的效应。其中，力使物体
的运动状态发生改变的效应，称为力的外效应；而力 使物体发生变形的效应，则称为力的内效应。
个力，称为力偶。 在力偶作用面内，力偶使物体产生纯转动的效应。
2）力偶的三要素： （1）力偶矩的大
小； （2）力偶的转向； （3）力偶的作用
平面。
力偶的作用面：力偶中两反向平行力的作用线所在的 平面，称为力偶的作用面。
力偶臂：力偶中两反向平行力的作用线的垂直距离 称为力偶臂。
力偶矩：力偶中力的大小与力偶臂的乘积，称为力 偶矩。国际制单位中，力偶矩的单位是牛顿·米（N·m） 或千牛顿·米（kN·m）。在平面内，力偶矩是代数量。
理论力学中的刚体运动规律解析
理论力学中的刚体运动规律解析理论力学是研究物体运动的规律和原理的学科，其中刚体运动是其重要的研究对象之一。
刚体是指形状不变的物体，它的运动规律是通过力学原理和数学分析来解析的。
本文将从刚体的定义、刚体的运动方程以及刚体的自由度等方面，对理论力学中的刚体运动规律进行解析。
首先，刚体是指形状不变的物体。
在理论力学中，刚体的定义是指物体内部各点之间的距离在运动过程中保持不变。
这意味着刚体在运动过程中不会发生形变，它的形状和大小始终保持不变。
这种性质使得刚体的运动规律相对简单，可以通过力学原理和数学分析来解析。
其次，刚体的运动规律可以通过刚体的运动方程来描述。
刚体的运动方程是刚体运动的基本方程，它描述了刚体在运动过程中的位置、速度和加速度之间的关系。
刚体的运动方程可以分为平动方程和转动方程两部分。
平动方程描述了刚体的质心运动。
质心是指刚体所有质点的质量加权平均位置，它相当于刚体的一个集中点。
平动方程可以通过牛顿第二定律来推导，即F=ma，其中F是作用在刚体上的合外力，m是刚体的质量，a是刚体的加速度。
根据牛顿第二定律，可以得到刚体的质心加速度与作用在刚体上的合外力之间的关系。
通过对刚体的质心加速度进行积分，可以得到刚体的质心速度和位置与时间的关系，从而得到刚体的平动方程。
转动方程描述了刚体的转动运动。
刚体的转动方程可以通过力矩和转动惯量来推导。
力矩是指力对物体产生转动效果的能力，它与力的大小和作用点到转轴的距离有关。
转动惯量是刚体对转动运动的惯性度量，它与刚体的质量分布和形状有关。
根据牛顿第二定律和力矩的定义，可以得到刚体的转动方程。
通过对刚体的转动方程进行求解，可以得到刚体的角加速度、角速度和角位移与时间的关系，从而描述刚体的转动运动。
此外，刚体的自由度也是理论力学中的重要概念。
自由度是指描述刚体运动所需的独立变量的个数。
对于平动的刚体，其自由度为3，分别是质心在三个坐标轴上的位移。
对于转动的刚体，其自由度为3，分别是绕三个坐标轴的转动角度。
理论力学单元总结
理论力学单元总结导言理论力学是物理学的基础学科之一，主要研究物体在运动中的力学规律。
通过对力、质点运动、刚体运动等方面的研究，理论力学揭示了物体运动的基本规律，并为其他物理学领域提供了重要的理论基础。
本文将对理论力学单元的内容进行总结和回顾。
第一章：质点运动在这一章中，我们学习了质点的运动学和动力学。
运动学描述了质点在运动过程中的几何特征，包括位置、速度、加速度等。
动力学则研究了质点受力和运动规律之间的关系。
我们了解了牛顿定律及其推论，并学会了运用这些定律解决实际问题。
第二章：刚体运动刚体是指具有固定形状和大小，其内部各部分之间相对位置保持不变的物体。
刚体运动是理论力学的重要研究对象之一。
在这一章中，我们学习了刚体的运动学和动力学，探讨了刚体的平动和转动，同时还学会了如何计算刚体的质心、转动惯量等物理量。
第三章：作业原理作业原理是研究力与能量之间相互转化的基本原理。
在这一章中，我们学习了机械能守恒定律和动能定理等内容，了解了力和位移之间的关系，同时还学会了如何利用这些原理解决实际问题。
第四章：引力与天体力学引力是质量之间相互作用的一种基本力。
在这一章中，我们学习了引力的基本性质以及万有引力定律。
我们进一步探究了行星运动的规律，了解了开普勒定律等内容，并学会了如何应用这些理论解释天体运动的现象。
第五章：振动与波动振动与波动是物理学中另一个重要研究领域。
在这一章中，我们学习了简谐运动的基本特征，包括振动的周期、频率、位移等。
同时，我们还了解了波动的基本概念，包括波长、振幅、波速等。
通过学习这些内容，我们可以更好地理解和描述物理世界中的振动和波动现象。
总结理论力学是物理学的基础学科，研究物体在运动中的力学规律。
通过学习质点运动、刚体运动、作业原理、引力与天体力学以及振动与波动等内容，我们掌握了理论力学的基本知识和方法。
理论力学不仅是其他物理学领域的重要基础，也有重要的应用价值。
通过不断学习和实践，我们可以进一步应用理论力学的知识解决实际问题，探索更深入的物理规律。
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鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学 三、若点的速度不为零，试判断下列四种 若点的速度不为零， 情况下点作什么运动。 情况下点作什么运动。
思 考 题
思 考 题
(1)an=0 ，at=0 则点作 则点作_____________； ； (2)an≠0 ，at=0，则点作 ，则点作__________ ； (3)an=0 ，at≠0 则点作 则点作____________； ； (4)an≠0 ，at≠0，则点作 ，则点作__________ 。 速 运动； 运动； 速 运动； 速 运动； 运动； 运动。 运动； 速 运动。
理论力学
第 二 节 刚 体 的 定 轴 转 动
第六章
刚体的基本运动
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理论力学
第 二 节 刚 体 的 定 轴 转 动
第六章
刚体的基本运动
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第 二 节 刚 体 的 定 轴 转 动
第六章
刚体的基本运动
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ϕ = f (t )
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第 二 节 刚 体 的 定 轴 转 动
第六章
刚体的基本运动
3.角速度和角加速度 3.角速度和角加速度 d ϕ 大小: 角速度 ω = 大小: dt
dϕ dt
方向： 方向：逆时针为正
单位：rad/s 工程中常用： 转/分（r/n）
速度和加速度。 速度和加速度。 (O1 A=O2 B,O1O2 = AB)
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第 三 节 转 动 刚 体 内 各 点 的 速 度 和 加 速 度
第六章
刚体的基本运动
例三： 例三： 半径为R=0.5m的飞轮由静止开始转动，角加速度 α = b ⋅ (5 + t ) rad / s 2 ，式中b为常量。已知t=5s时， 轮缘上一点的速度大小为v=20m/s，试求当t=10s时， 该点的速度、加速度的大小。
第 四 节 轮 系 的 传 动 比
第六章
刚体的基本运动
２、带轮传动
rω1 = vA = v′ = v′ = vB = r2ω2 1 A B
ω1 r2 i12 = = ω2 r1
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理论力学
第 四 节 轮 系 的 传 动 比
第六章
刚体的基本运动
例六、图为减速箱， 例六、图为减速箱，轴Ⅰ为主动轴，与电动 为主动轴， 机相联。已知电机转速n＝ 机相联。已知电机转速 ＝1450 rpm，各齿 ， 轮的齿数z 轮的齿数 1＝14，z2＝42，z3＝20，z4＝36。 ， ， ， 。 求减速箱的总传动比i 及轴Ⅲ的转速。 求减速箱的总传动比 14及轴Ⅲ的转速。
理论力学
第六章
刚体的基本运动 刚体定轴转动
第 二 节 刚 体 的 定 轴 转 动
转动方程: 转动方程 角速度: 角速度
ϕ = f (t)
ω=
dϕ dt
角加速度: 角加速度 匀速转动: 匀速转动
dω d 2ϕ α= = 2 dt dt
ϕ = ϕ 0 + ωt ω = ω0 + αt 匀变速运动: 匀变速运动 1 2 ω2 − ω02 = 2αϕ ϕ = ϕ 0 + ω 0t + α t 2
刚体的基本运动
1 点的运动方程
s = Rϕ
2 速度
ɺ ɺ v = s = Rϕ = Rω
3 加速度
dv at = = ɺɺ = Rα s dt v2 1 2 an = = (Rω) = Rω2 ρ R
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第 三 节 转 动 刚 体 内 各 点 的 速 度 和 加 速 度
理论力学 一、点作直线运动，某瞬时速度vx=2m/s， 点作直线运动，某瞬时速度 ， 瞬时加速度a 瞬时加速度 x=-2m/s2 ，则一秒后点的速 度为： 等于零 等于零； 等于 等于－ 度为：(1)等于零；(2)等于－2m/s；(3)不 ； 不 能确定。 能确定。
思 考 题
二、aτ与an的物理意义是什么？ 的物理意义是什么？
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理论力学
第六章
刚体的基本运动
主要内容
思 考 题
1.明确刚体平行移动 （ 平动 ） 和刚体绕定轴 明确刚体平行移动（ 平动） 明确刚体平行移动 转动（ 转动） 的特征， 转动 （ 转动 ） 的特征 ， 能正确地判断作平动 的刚体和定轴转动的刚体。 的刚体和定轴转动的刚体。 2.对刚体定轴转动时的转动方程 、 角速度和 对刚体定轴转动时的转动方程、 对刚体定轴转动时的转动方程 角 速度 的 要 的 ， 速和 速转动的定 ， 动 。 3.能 能 度和 地 速度。 速度。 定轴转动刚体 的速
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第 四 节 轮 系 的 传 动 比
第六章
刚体的基本运动
ห้องสมุดไป่ตู้
１、齿轮传动
① 啮合条件
R1ω1 = vA = vB = R2ω2
② 传动比
ω1 R2 z2 i12 = ± = ± = ± ω2 R1 z1
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1
第 一 节 刚 体 的 平 行 移 动
第六章
刚体的基本运动
定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置称为平移。 初始位置称为平移。
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第 一 节 刚 体 的 平 行 移 动
第六章
刚体的基本运动
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第 二 节 刚 体 的 定 轴 转 动
第六章
刚体的基本运动
例一： 例一： 判断下 列各构 件作平 动（平 移）还 是（定 轴）转 动
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第 二 节 刚 体 的 定 轴 转 动
第六章
刚体的基本运动
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第 二 节 刚 体 的 定 轴 转 动
第六章
刚体的基本运动
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第 二 节 刚 体 的 定 轴 转 动
第六章
刚体的基本运动
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第 三 节 转 动 刚 体 内 各 点 的 速 度 和 加 速 度
第六章
2
运动方程
rB = rA − rAB
3 速度和加速度分布
drB drA vB = = = vA dt dt
dvB dv A aB = = = aA dt dt
drAB =0 dt
刚体平移→ 刚体平移→点的运动
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第 二 节 刚 体 的 定 轴 转 动
第六章
刚体的基本运动
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1
第 二 节 刚 体 的 定 轴 转 动 转角： 转角：
第六章
刚体的基本运动
定义
：刚体上(或其扩展部分)两点保持不动， 刚体上(或其扩展部分)两点保持不动， 称为定轴转动
转轴 ： 两点连线
ϕ
单位弧度：（ 单位弧度：（rad) ：（
2
运动方程
第六章
刚体的基本运动
4
速度与加速度分布图
v = Rω
a = a + a = R α +ω
2 t 2 n 2 4
at α tanθ = = 2 an ω
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第 三 节 转 动 刚 体 内 各 点 的 速 度 和 加 速 度
第六章
刚体的基本运动
例二： 例二：试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的
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第六章
刚体的基本运动
作 业
作业： 作业： 6－1 6－4 6－6 6－9 － － － －
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dω d2ϕ ɺ ɺɺ α= = 2 = ω = ϕ 单位：rad/s2 角加速度 dt dt dω α= =0 匀速转动 ϕ = ϕ0 + ωt dt dω α= = cont ω = ω0 + αt dt 匀变速转动 1 2 ϕ = ϕ0 + ω0t + αt 2
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