阻尼对振动的影响

t
临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）
c 2m cr 2m 2 mk c cr 阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共，计加为一m水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一
阻尼使振幅不断衰减，结构在振动过程中为克服阻力而 作功，当初始时刻外界赋予结构的能量全部消耗贻尽，结构 停止振动。
相邻两个振幅的比: yk1 eT 常数 y yk
振幅按等比级数递减.
Aet
An
An+1
ln yk lneT T 2
0
y k 1
r
T 2
称为振幅的对数递减率.
r
如 0.2 则 r 1, 1 r ln yk 1 ln yk
2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量；
2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量；
3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。
3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。
9.8kN
例6. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振
动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。
解：(1)大梁的重量,
由 T 2 2 W 1.4s
kg
W=mg
W
1.4
2
2
k
g
0.0496
20 2
981
486.6kN
k 2
k 2
2 yk1 2 yk1
设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:
1 ln yk 2n ykn
工程中常用此 方法测定阻尼
2)ξ=1（临界阻尼）情况
y 2 y 2 y 0 y (C1 C2t)et y [ y0 (1t)v0t]et
( ± 2 1)
y tg 0 v0
θ0
y0
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
(2)自振频率
f 1 1 0.714(Hz) T 1.4
2f
4.48
1 s
(3)阻尼特性 1 ln 2 0.0355, 2 1.6
r
12
1
(0.999) 2
(4)6周后的振幅
y0 y1
et0 e (t0 T )
eT
y0 y6
et0 e (t0 6T )
e6T
6
y0 y1
y6 21yy10ln6AAynn01 12.261m6 ln2A0An.n5m24cm
令 r 1 2
λi=-ωξ ±iωr
方程的一般解为：
y(t) et (C1 cosrt C2 sin rt)
由初始条件确定C1和C2；
设
y(0)
y& (0)
y v
得 C1 y
C2
v
y r
y(t)
et
(
y
cosrt
v
y r
sin rt)
y(t) et Asin( rt )
FS (t) ky(t) FI (t) my(t) FD (t) cy
Ck
平衡方程: m&y& cy& ky P(t)
. FD (t)
m
1、阻尼对自由振动
. FS(t) y
m
P(t)
m&y& cy& ky 0
P(t)
P(t)
&y& c y& k y 0
FI(t)
mm
&y& 2y& 2 y 0
A= y02 +v02 /ω2 α =1tan-1 (y0ω /v0 )
2.无阻尼受迫振动：
&y&
2
y
F m
sin
t
y
yst
1
1
2
2
(sint
sint)
平稳阶段：
y
yst
1
1
2
2
sint
[ y]max 1 yst 1 2 2
§10-4 阻尼对振动的影响
一、阻尼理论
1、阻尼的两种定义或理解： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。
个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。
解： 1 ln yk 1 ln 0.5 0.0335 2 yk1 2 0.4
m EI=∞
2 2 4.189s1
T 1.5
k百度文库
P
9.8103
196104 N / m
A0 0.005
c 2m 2m 2 2k
20.0355196104 33220N s / m 332.2N s /cm 4.189
§10-4 阻尼对振动的影响
本节主要内容 •阻尼理论的了解 •单自由度体系有阻尼的自由振动 •振动方程的解 •阻尼对频率和振幅的影响 •阻尼比的确定
•有阻尼的强迫振动
无阻尼振动内容回顾
1.无阻尼自由振动：
&y& 2 y 0
y(t) y cos t v sin t
y(t) Asin( t )
（令2 c 及2 k )
m
m
（1）振动方程的解
特征方程 2 2 2 0 y 设解为： Bet
特征值 1,2 ( 2 1),
一般解 y(t) B1e1t B2e2t
ξ是一个重要参数，ξ的大小，使体系的运动呈不同情况。
ξ ＞1
ξ =1
ξ＜1
大阻尼 临界阻尼 小（弱）阻尼
1）低阻尼情形 ( <1 )
2
其中
A
y2
v
y r
tg 1 r y v y
（a）阻尼对频率和周期的影响
讨论：
y
r 1 2 , 随 而
2
T
r
当ξ<0.2，则存在0.96<ωr/ω<1。 0
在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，
可近似取: r , Tr T
Aet
An
An+1
t
T 2 r
（b）阻尼对振幅的影响
振幅
Aet
2、有阻尼强迫振动
简谐荷载P(t)=Fsinθt
y 2 y 2 y F sint
m
设特解为：y=Asinθt +Bcos θt代入上式得：
A F
2 2
, B F
2
m ( 2 2 )2 4 2 2 2
振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不 同，目前主要有两种阻尼理论：
*粘滞阻尼理论——非弹性力与变形速度成正比： FD cy
c — 阻尼系数，粘滞阻尼系数。 （单位 N·s/m）
*滞变阻尼理论 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
二、单自由度体系有阻尼振动微分方程