平移、旋转、中心对称
图形的平移、旋转与轴对称单元知识点总结
二、图形的平移、旋转与轴对称1.图形的平移●平移的定义：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定距离的图形运动。
●平移两要素：平移的方向、平移的距离●平移前的图形：画虚线；箭头：表示平移的方向；平移后的图形：画实线。
●注意：平移几格不是原图形与平移后图形之间的格数，而是指图形的对应点之间的格数。
●关键点：一般是图形的各顶点或线段的交点。
●注意：平移前后，图形的大小、形状、方向都不变，只是位置变了。
●画平移后图形的方法：①找关键点②定平移方向、距离③找对应点④依次连线。
2.图形的旋转●旋转的定义：旋转是指在平面内，将某个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度的图形运动。
这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。
●旋转三要素①旋转中心：点/轴②旋转方向：顺时针方向/逆时针方向③旋转角度●怎样描述图形的旋转：将某图形绕某点沿某时针方向旋转某度到某位置。
●画旋转后图形的方法：①找旋转中心②找准关键线段③旋转关键线段④画出旋转后的图形●旋转中心：一般是两个图形的公共点●关键线段：过旋转中心的线段。
为了保证旋转角度，一般选与方格纸重合的线段作为关键线段。
●注意：旋转前后，图形的大小、形状都不发生改变，但位置和方向一般会发生变化。
3.轴对称图形●定义：轴对称图形沿一条直线对折后，两部分能完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴（对称轴画虚线，画超出图形）。
●轴对称图形至少有一条对称轴。
●轴对称图形中每一组对称点到对称轴的距离相等。
●轴对称图形中对称点的连线与对称轴互相垂直。
●轴对称图形和对称轴的数量：①正方形（4条对称轴）②长方形（2条对称轴）③等腰三角形（1条对称轴）④等边三角形也叫正三角形（3条对称轴）⑤菱形（2条对称轴）⑥圆形（无数条对称轴）⑦等腰梯形（1条对称轴）⑧五角星（5条对称轴）⑨正五边形（5条对称轴）●生活中的轴对称图形或轴对称现象：京剧脸谱、剪纸、国徽、天坛、北京故宫、凯旋门、蝴蝶、空调、人的五官和身体等●画对称轴的方法：①找一组对应点②画对应点间线段的中垂线③画虚线●画轴对称图形另一半的方法：①找关键点②定对称点③依次连线（一般画虚线）4.设计图案●利用平移设计图案的方法：①选好基本图形②确定平移的方向③确定平移的距离④进行多次平移●利用旋转设计图案的方法：①选和基本图形②确定旋转方向和角度③确定旋转中心④依次画出每次旋转后的图形●利用轴对称设计图案的方法：①选好基本图形②确定对称轴③画出基本图形的另一半5.探索规律●观察图形变化时，先确定变化方式（平移、旋转或轴对称），再确定位置变化的规律。
初中阶段的五种图形变换(精)
初中阶段的五种图形变换初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。
这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。
其中前四种变换还不改变图形的大小。
下面，让我们逐一回顾与归纳。
一、平移1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。
（提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。
）2.平移的性质：（1）平移前后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移前后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（3）平移前后的图形是全等形。
（提示：平移的性质也是平移作图的依据。
）3.用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a （a>0）个单位，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；向上或向下平移b （b>0）个单位，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）。
二、轴对称变换1.轴对称图形：（1）定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
（提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。
）（2）性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。
2.轴对称：（1）定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
（2）性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点必在对称轴上。
（3）判定：①根据定义（提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称）；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
几何变换对称
几何变换对称几何变换是指在平面或空间中改变图形的形状、大小、位置的操作。
对称是指图形中存在一条轴线、中心点或平面，使得图形在这条轴线、中心点或平面的对立侧存在对称关系。
几何变换对称是指在进行几何变换的同时，保持图形的对称性不变。
下面将分别介绍几何变换中的平移、旋转、翻转和尺度变换对称。
一、平移对称平移是指将图形在平面上按照一定的方向和距离进行移动。
平移操作不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
当一个图形在平移前后仍然保持对称时，称这个图形具有平移对称性。
例如，一个正方形在平移前后仍然保持对称。
当你将这个正方形沿着平面上的任意直线进行平移，正方形的每一部分都能沿着对应的位置平移，仍然保持对称关系。
二、旋转对称旋转是指围绕一个点或一条轴线将图形按照一定的角度进行旋转。
旋转操作改变图形的角度，但不改变图形的形状和大小。
当一个图形在旋转前后仍然保持对称时，称这个图形具有旋转对称性。
例如，一个圆形在任意一个中心点处都具有旋转对称性。
无论你将这个圆形围绕中心点旋转多少度，它的每个点都能找到对应的对称点，保持对称关系。
三、翻转对称翻转是指将图形绕着一条轴线进行镜像反转。
翻转操作改变图形的位置和方向，但不改变图形的形状和大小。
当一个图形在翻转前后仍然保持对称时，称这个图形具有翻转对称性。
例如，一个矩形具有关于某条中心线的翻转对称性。
当你将这个矩形绕着中心线进行翻转，矩形的每个点都存在对应的对称点，保持对称关系。
四、尺度变换对称尺度变换是指将图形等比例地放大或缩小。
尺度变换改变图形的大小，但不改变图形的形状和位置。
当一个图形在经过尺度变换后仍然保持对称时，称这个图形具有尺度变换对称性。
例如，一个正三角形具有尺度变换对称性。
无论你将这个正三角形放大或缩小，三角形的每个边和角度都保持等比例关系，保持对称性。
综上所述，几何变换对称是指在进行几何变换时，图形仍然保持原有的对称性。
平移、旋转、翻转和尺度变换分别对应不同的对称性。
轴对称平移与旋转中心对称
轴对称平移与旋转中心对称汇报人：日期:CATALOGUE 目录•轴对称平移•旋转中心对称•对比与联系•实例分析与应用•总结与展望01轴对称平移定义将图形沿着一条直线进行翻转，使得图形两侧的部分能够完全重合，这条直线就被称为对称轴。
性质轴对称平移具有方向性，翻转前后的两个图形是全等形，即它们的形状和大小完全相同。
定义与性质分类与举例水平轴对称、垂直轴对称、斜轴对称。
分类将图形沿着水平直线进行翻转，得到的图形与原图形在水平方向上对称。
例如，人的左右两侧在水平方向上是对称的。
1. 水平轴对称将图形沿着垂直直线进行翻转，得到的图形与原图形在垂直方向上对称。
例如，人的上下两侧在垂直方向上是对称的。
2. 垂直轴对称将图形沿着斜直线进行翻转，得到的图形与原图形在斜方向上对称。
例如，蝴蝶的翅膀在斜方向上是对称的。
3. 斜轴对称在几何学、物理学、工程学等领域中，轴对称平移被广泛应用于各种形状和结构的建模和分析。
例如，在建筑学中，许多建筑物都采用了轴对称的设计，如天安门、故宫等。
应用在自然界中，许多物体也具有轴对称的特性，如雪花、蝴蝶等。
此外，在电路板设计、机械零件设计等领域中，轴对称平移也是非常重要的概念。
实例应用与实例02旋转中心对称定义旋转中心对称是指一个图形围绕某一点旋转180度后与原来的图形重合。
性质旋转中心对称具有旋转不变性，即图形上任意一点到旋转中心的距离相等，并且旋转角度为180度。
定义与性质分类旋转中心对称分为两类，一类是关于一个点的旋转，另一类是关于一条直线的旋转。
举例圆形和正方形都是关于中心的旋转中心对称图形，而矩形则是关于对边中点的旋转中心对称图形。
应用旋转中心对称在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、艺术造型、机械制造等领域。
实例例如，摩天大楼、旋转木马、汽车轮子等都利用了旋转中心对称的原理。
03对比与联系03旋转中心对称将图形围绕某个点进行旋转，这种变换通常用于描述图形在空间中的旋转对称性。
图形的变换
1.图形的平移（1）平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
平移可以不是水平的。
①经过平移,对应线段,对应角分别相等, 对应点所连的线段平行且相等(或共线且相等)。
②平移变换不改变图形的形状、大小和方向．．，平移前后的两个图形是全等形。
2.图形的旋转（1）旋转：在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角。
①对应点到旋转中心的距离相等。
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
③旋转前、后的图形全等。
③旋转三要素：旋转的中心、方向、角度。
（3）中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
（4）中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
这个点就是它的对称中心。
①中心对称图形中对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
②成中心对称的两个图形是全等图形。
3.图形的轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴，两个图形关于直线对称也称轴对称。
(2)轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。
对称轴:折痕所在的这条直线叫做对称轴。
①对应点的连线被对称轴垂直平分②成轴对称的两个图形全等。
4.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心。
①位似图形对应点连线的交点是位似中心；②两个图形是相似图形。
奇妙的对称世界认识各种对称形及其性质
奇妙的对称世界认识各种对称形及其性质奇妙的对称世界：认识各种对称形及其性质对称是人类观察事物、理解事物的重要方式之一，它存在于世界的每个角落，从自然界的花朵和动物身体到人类的艺术和建筑中。
本文将带您深入了解对称的概念、各种对称形以及它们的性质，进一步探索奇妙的对称世界。
一、对称的概念对称是指在某种参照物下，两侧或多个部分在形态、位置、比例等方面具有相似或者镜像对称关系。
它是一种美学原则，也是一种普遍存在于自然界和人类创造的艺术品中的现象。
对称使得物体更有吸引力，引发观者的美感和喜爱。
二、线对称首先，让我们来认识一种常见的对称形式——线对称。
线对称是指以某条中心线为轴，图形的两侧完全对称，即左右镜像。
我们经常在生活中见到线对称的例子，例如蝴蝶的翅膀、人类的脸部等，它们都具有线对称的特征。
线对称的性质包括对应点的距离相等、对应角度相等等。
三、旋转对称除了线对称，旋转对称也是一种重要的对称形式。
旋转对称是指图形绕某一中心点旋转一定角度后与原图形部分或全部完全一致。
如果一个图形旋转一周后与自身完全重合，则称为360°旋转对称。
例如，圆形就是一个具有360°旋转对称的图形。
另外，一些具有旋转对称特征的图形还包括正方形、五角星等。
四、平移对称平移对称是指图形在平面上沿着某个方向进行移动，同时保持形状和大小不变。
平移对称也被称为移动对称。
这种对称形式在几何学和物理学中都有广泛应用。
例如，无论是物体在空间中的位移还是电子在电场中的运动，都涉及到平移对称。
五、中心对称中心对称是指图形以一个中心点为镜像中心，两侧完全对称。
与线对称和旋转对称不同，中心对称一般情况下不涉及角度的变化。
我们可以观察到很多图形都具有中心对称的特点，如爱心、雪花等。
中心对称有助于创造出更加和谐、平衡的形式。
六、对称的应用对称的美学原则广泛应用于建筑、艺术、设计等领域。
在建筑中，对称常常被用于塑造建筑物的外观，使其更加庄重、稳定。
中考数学知识点总结：平移与旋转
中考数学知识点总结：平移与旋转
旋转
1、旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
2、旋转的*质：
旋转后得到的图形与原图形之间有：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。
中心对称
1、中心对称的定义：
如果一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么这两个图形叫做中心对称。
2、中心对称图形的定义：
如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形。
3、中心对称的*质：
在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
轴对称
1、轴对称的定义：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、轴对称图形的*质：
①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
③等腰三角形的三线合一。
中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。
(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
平移_旋转_轴对称_知识点总结
线找其中点
分线。找两组
两组对应点连
对应点连线，过
线的交点
两条中点的直线
找关键点
找关键点
找关键点
找关犍点
过每个关键点
过每个关犍点做
连接关键点与旋
连接关键点与
做对称轴的垂线
平移方向的平行线
转中心，将这条线
对称中心，延长
法
截取与之相等的
截取与之相等的距
段按方向和角度旋
并截取相等的长
距离，标出对应
旋转.平移.轴对称、中心对称知识点总结
轴对称
平移
旋转
中心对称
全等
一个（两个）平
平面图形在它所在
一个平面图形绕一
一个图形旋转
能够完全重合的
面图形沿某条直
平面上的平行移动。
定点按一定的方向
180°能与自身
两个图形
线对折能够完全
决定要素：平移的方
旋转一定的角度的
重合
表示方法：
定
重合
向.平移的距离
运动。
AABC^ADEF
离，标出对应点
转.标出对应点
度.标出对应点
点
连接对应点。
连接对应点。
连接对应点。
连接对应点。
线段是轴对称
多次平移相当于
线段旋转90°
中心对称一定
一个图形经过
图形，对称轴是
一次平移
后与原來的位置垂
是旋转对称.旋
轴对称、平移或选
它的垂直平分
两条对称轴平行
直
转对称不一定是
转等变换得到的
线。
时，两次轴对称相当
义
轴对称
成轴对
中心对
旋转与平移轴对称的异同点
旋转与平移轴对称的异同点
旋转和平移都是刚体的变换方式，而且它们都可以维持物体的形状和大小不变，只是改变了物体所处的位置或方向。
但是它们的变换方式有所不同。
相同点：
1. 维持物体形状不变：旋转和平移都是刚体变换，对物体的形状没有影响，不会改变物体的大小、形状和空间结构。
2. 不改变物体在空间中的朝向：旋转和平移都可以保持物体的朝向不变，只是改变物体所处的位置或方向。
3. 不改变物体的中心点：旋转和平移都是以物体中心点为基准进行变换，不会改变物体的中心点。
差异点：
1. 变换方式不同：旋转是通过以物体中心为基准旋转物体一定角度，平移是通过以物体中心为基准将物体整体移动到新的位置。
2. 变换效果不同：旋转会使物体在空间中绕着中心点旋转一定角度，改变物体的方向；平移会使物体整体移动到新的位置，但不改变物体的方向。
3. 相应参数不同：旋转可以用角度来描述旋转的大小和方向，平移可以用位移向量来描述平移的大小和方向。
总结：
旋转和平移都是刚体变换的方式，它们都可以维持物体的形状和大小不变，只是改变了物体所处的位置或方向。
旋转是以物体中心为基准旋转物体一定角度，改变物体的方向；平移是以物体中心为基准将物体整体移动到新的位置，但不改变物体的方向。
八年级数学《图形的平移、旋转(中心对称)》【同步+复习+名师课堂=通用课件】
金鱼图向（
）平移了（
）格
①
①
金鱼图向（
）平移了（
）格
②
②
金鱼图向（
）平移了（
）格
③
③
金鱼图向（
）平移了（
）格
① ② ③ ③
① ②
金鱼图向（左）平移了（ 7 ）格
火箭图向（上 ）平移了（ 4 ）格
小房图向（ 下 ）平移了（ 5 ）格
• 1.认识图形的平移 • 2.探索平移的性质 • 3.平移的性质的应用
平移的方向和平移的距离
3.平移的性质：
1 .图形平移后，对应点之间的连线平行（或在同一 条直线上）且相等。 2.经过平移所得的图形与平移前的图形全等 图形平移后，图形的大小、形状都不变。
如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其 中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就 得到此图形，求阴影部分面积(单位：厘米).
14m 18m
12m 16m
2m
求出图中绿地的面积 将绿地平移在一起即可求得
还有其它的平移方案吗?
18m
2m
16m 12m
14m
30m
4m
4m
20m
22m
能否用平移的方法求出绿地的面积?
如图所示的矩形，水平方向边 长为a，竖直方向边长为b，将线段 A1A2向右平移一个单位得到B1B2， 得到封闭图形A1A2 B2B1（即阴影部 分），求除去阴影部分后剩余部分 的面积？
C (C`)
A（A`）
B (B`)
L(L`)
（3）由此你发现将⊿ABC移动到⊿A`B`C`的位置是由 哪些因素确定的？
平移的两要素： L` 图形平移后的位置由平移的方向与平移 的距离确定。 L(L`) C`
平移_旋转_轴对称_知识点总结
旋转、平移、轴对称、中心对称知识点总结对应点间的连线平行且相等（或在同一条直线上）对应边平行且相等（或在同一条直线上），对应角相等，图形的形状和大小不改变。
图形上每一点都绕同一点按相同的方向和角度旋转对应点到旋转中心的距离相等对应边相等，对应角相等，图形的性状大小不改变旋转180°能否与自身重合对应点间的连线是否经过同一点，并被这一点平分找对称轴：找一组对应点连线，做其垂直平分线。
找两组对应点连线，过两条中点的直线找对称中心：找一组对应点连线找其中点两组对应点连线的交点找关键点过每个关键点做对称轴的垂线截取与之相等的距离，标出对应找关键点过每个关键点做平移方向的平行线截取与之相等的距离，标出对应点找关键点连接关键点与旋转中心，将这条线段按方向和角度旋转，标出对应点找关键点连接关键点与对称中心，延长并截取相等的长度，标出对应点点连接对应点。
连接对应点。
连接对应点。
连接对应点。
线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线。
角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线。
垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等。
④角平分线的性质：角平分线上任意一点到叫两边的距离相等。
⑤对称轴垂直平分对称点间的连线。
多次平移相当于一次平移两条对称轴平行时，两次轴对称相当于一次平移线段旋转90°后与原来的位置垂直两条对称轴相交时，两次轴对称相当于一次旋转。
中心对称一定是旋转对称，旋转对称不一定是中心对称。
任何通过中心对称图形的对称中心的直线都将这个图形分成面积相等的两部分。
两条对称轴互相垂直时，两次轴对称相当于一次中心对称一个图形经过轴对称、平移或选转等变换得到的新图形一定与原图形全等两个全等的图形总能经过轴对称、平移或旋转等变换后重合。
数学对称符号做法
数学对称符号做法数学中的对称性是一个重要的概念，它涉及到许多不同的符号和表示方法。
以下是对数学对称符号做法的详细介绍，包括轴对称、中心对称、镜面对称、旋转对称、平移对称、对称群表示、对称性定理、对称函数、对称矩阵和对称空间等方面。
1. 轴对称：轴对称是指一个图形关于一条直线对称。
在数学中，我们通常使用符号“≌”来表示两个图形是轴对称的。
如果一个图形关于直线l对称，我们可以在图形上标注一条虚线l，并在图形两侧分别画出对应的点。
2. 中心对称：中心对称是指两个图形关于一个点对称。
在数学中，我们通常使用符号“≌”来表示两个图形是中心对称的。
如果一个图形关于点o对称，我们可以将图形上的任意一点p替换为点p'，使得点p和点p'关于点o对称。
3. 镜面对称：镜面对称是指一个图形关于一个平面镜像对称。
在数学中，我们通常使用符号“≌”来表示两个图形是镜面对称的。
如果一个图形关于平面α对称，我们可以将图形上的任意一点p替换为点p'，使得点p和点p'关于平面α对称。
4. 旋转对称：旋转对称是指一个图形绕某一点旋转一定角度后与原图重合。
在数学中，我们通常使用符号“≌”来表示两个图形是旋转对称的。
如果一个图形绕点o旋转θ角度后与原图重合，我们可以将图形上的任意一点p替换为点p'，使得点p和点p'绕点o旋转θ角度后重合。
5. 平移对称：平移对称是指一个图形沿某一直线方向移动一定距离后与原图重合。
在数学中，我们通常使用符号“≌”来表示两个图形是平移对称的。
如果一个图形沿直线l方向移动距离d后与原图重合，我们可以将图形上的任意一点p替换为点p'，使得点p和点p'沿直线l方向移动距离d后重合。
6. 对称群表示：对称群是描述对称性的一组数学符号和表示方法。
在数学中，我们通常使用群论的方法来研究对称群的结构和性质。
通过使用群论的语言，我们可以更深入地理解对称性的本质和规律。
轴对称及中心对称变换平移及旋转变换
轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换变换是极为重要的数学思维方法，利用几何变换解题在数学竞赛中经常用到，本文介绍几何变换中的基本变换：轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换。
一、轴对称变换把一个图形F沿着一直线l折过来，如果它能够与另一个图形F'重合，我们就说图形F和F'关于这条直线l对称。
两个图形中的对应点叫做关于这条直线l的对称点，这条直线l叫做对称轴，如右图。
轴对称图形有以下两条性质：1.对应点的连线被对称轴垂直平分；2.对应点到对称轴上任一点的距离相等。
例1 凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：BC+AD＞AB+CD。
分析：题中条件比较分散，故考虑“通过反射使条件相对集中”，注意到AC⊥BD，于是以BD(AC)为对称轴，将BC(AD)反射到BC'(AD')，把有关线段集中到△ABO内，利用三角形中两边之和大于第三边易证得结果。
证明：∵AC⊥BD，且OA＞OC，OB＞OD，于是以BD为对称轴，作C点关于直线BD为对称点C'，以AC为对称轴作D点关于AC 的对称点D'。
连结BC'，AD'相交于E点，则BC= BC'，AD=AD'，CD=C'D'。
∴ BE＋AE＞AB ①EC'＋ED'＞C'D' ②①＋②，得BC'＋AD'＞AB＋C'D'。
∴BC＋AD＞AB+CD。
注：(1)本题的结论对于凹四边形仍然成立；(2)还可将四边形推广成2n边形，也有类似结论。
其证明思路也完全相同，读者试自证。
二、中心对称变换如果平面上使任意一对对应点A，A'的连线段都通过一个点O，且被这一点所平分，则这个变换叫做中心对称变换(亦称点反射或点对称)，点O叫对称中心，点A和A'叫做关于对称中心的对称点，如果一个图形F在中心对称变换下保持不变(还是自身)，则这个图形F叫做中心对称图形。
初中阶段的五种图形变换
初中阶段的五种图形变换初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。
这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。
其中前四种变换还不改变图形的大小。
下面，让我们逐一回顾与归纳。
【一】平移1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。
〔提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。
〕2.平移的性质：〔1〕平移前后，对应线段平行〔或共线〕且相等；〔2〕平移前后，对应点所连线段平行〔或共线〕且相等；〔3〕平移前后的图形是全等形。
〔提示：平移的性质也是平移作图的依据。
〕3.用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点〔x，y〕向右或向左平移a 〔a>0〕个单位，可以得到对应点〔x＋a，y〕或〔x－a，y〕；向上或向下平移b 〔b>0〕个单位，可以得到对应点〔x，y＋b〕或〔x，y－b〕。
【二】轴对称变换1.轴对称图形：〔1〕定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
〔提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。
〕〔2〕性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。
2.轴对称：〔1〕定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线〔成轴〕对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
〔2〕性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点必在对称轴上。
〔3〕判定：①根据定义〔提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称〕；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
对称的知识结构
对称的知识结构1、对称类型的理解:轴对称? （亦称双侧对称或反射对称）；中心对称（亦称旋转对称）；平移对称。
(1) 一般性解释轴对称图形——? 如果沿某条直线L对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形称为轴对称图形。
L—对称轴。
如果是两个图形有此性质，那么我们称这两个图形呈轴对称（或反射对称）。
中心对称——如果图形以某个中心点旋转一定角度后，形成一个和旋转前完全相同的图形，那么这样的图形称为中心对称图形（或旋转对称图形）；平移对称——如果有一个图形依照一定的轨迹平移一段距离之后，与另外一个图形完全重合，那么这两个图形呈平移对称性。
(2) 数学化解释轴对称的解释：一个物体，即一个空间图形，如果在关于给定平面E的反射下变成其自身，我们就说它是关于E是对称的。
取垂直于E的任意直线L 以及L 上的任意一点P，那么此时在L 上（在E的另一侧）就存在一点P’（且只存在一点P’）与E有同样的距离。
仅当P在E上，点P才与P’重合。
中心对称的解释：首先定义映射：每当确立了一个规则，而由此规则每一点P都有一个像P’与之对应，这就定义了一个映射。
那么，假如绕一垂直轴旋转某度角，这一旋转将空间中的每一个点P 变为另一点P’，因此也就定义了一个映射。
其次，对中心对称进行定义：如果图形在绕轴L的所有映射之下（不仅仅一次，包括无穷多次），仍能变为自身，那么我们就称该图形关于轴L有中心对称。
(3) 对数学化解释之再抽象——“群”的引出建立在前面的分析基础上，数学家逐渐抽取出对称的最本质操作（得到对称的过程，而不仅仅是对称本身），最终得到“群”的基本定义。
从对称的一般性解释到对称的数学化解释，再到对数学化解释的再抽象，经历了一个对数学对象的不断抽象的过程。
从本质上说，这是一个对象逐步获得统一的过程：一般性解释阶段（轴对称与中心对称尚属两个泾渭分明的概念）。
数学化解释阶段（已看出用映射概念将两者统一的苗头）。
1“群”的提出阶段（数学家已经抛开各种对称的类型，而是直接抽取出得到对称的操作过程以及其中最本质的性质，即单位元、互逆性、传递性）。
有多少种对称操作方法呢
有多少种对称操作方法呢对称是数学中一种非常重要的概念，它是指一个图形或者物体在某些条件下仍然保持不变，这样的“条件”称为对称坐标系，而对称变换就是基于这个坐标系进行的变换操作。
常见的对称操作方法包括平移、旋转、反射等，其中每种操作方法都有自己特定的对称性质，下面我们就来详细介绍一下这些对称操作方法。
1. 平移对称平移对称是最为基本的对称操作方法。
如果我们沿某一方向平移一个图形或者物体一个特定的距离，然后再将其放回原来的位置，就可以看到它的形态没有发生任何变化。
这就是平移对称，它的对称性质是保持形状和大小不变，但位置发生了变化。
例如，如果我们将一个正方形沿着垂直于其中心轴的方向平移一定距离，那么它仍然是一个正方形，但是它的位置发生了偏移。
2. 旋转对称旋转对称是指在平面上将图形绕一个固定点进行旋转，使得旋转后的图形与原始图形相同。
这个固定点被称为旋转中心，旋转角度被称为旋转角。
通过旋转对称，可以实现从一个位置到另一个位置的无缝转移，例如，将一张纸以其中心为旋转中心旋转180度，可以看到纸上的图案仍然保持不变。
旋转对称的对称性质是保持形状和大小不变，但位置和朝向发生了变化。
3. 反射对称反射对称是指通过一个平面将图形对称，使得对称后的图形与原始图形完全一致。
这个平面被称为对称轴，可以是任意方向。
通过反射对称，可以在物体上产生显著的复制和对称效应，例如，如果将一张半圆形的纸沿着直线反射，我们就可以得到一个新的半圆形，它和原始半圆形的大小和形状完全相同，但是它们之间位于对称轴上的元素一一对应。
反射对称的对称性质是保持形状和大小不变，但位置和朝向发生了变化。
4. 滑动对称滑动对称是指在平面上将图形沿着一个方向进行滑动，并且同时进行旋转或反射对称，使得滑动后的图形和原始图形相同。
这种对称操作方法常常被用来解决几何问题中的相似三角形和平行四边形等问题。
通过滑动对称，可以实现连续变形和转换的效果，例如，如果我们将一张正方形沿着某条对角线进行滑动，然后将其进行一定角度的旋转或反射对称，就可以得到一个新的正方形，它和原始正方形的大小和形状完全相同，但是它们的位置和朝向发生了变化。
图形平移旋转中心对称 (自动保存的)
（2）将图（1）中的 绕点 逆时针旋转 ，得到图（2），此时重叠部分的面积为，周长为．
（3）如果将 绕 旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为．
（4）在图（3）情况下，若 ，求出重叠部分图形的周长．
（1）AF=BD∵等边△ABC，∴AC=BC
∵等边△DCF，∴CF=CD∵∠BCD+∠ACD=60°，∠ACD+∠ACF=60°∴∠BCD=∠ACF
∴△BCD≌△ACF∴AF=BD
（2）成立
∵等边△ABC，∴AC=BC∵等边△DCF，∴CF=CD∵角∠BCA=∠DCF=60°∴△BCD≌△ACF
∴AF=BD
如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么我们就说，这个图形是中心对称图形。
2.中心对称的性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
【课后训练】
11.已知正方形ABCD中，E为对角线BD的点，过E作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？
12、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．
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平移、旋转与中心对称
1、如图1，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上一点，连接BE ，将△BCE 绕C 按顺时针旋转90°，得到△DCF,连接EF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为____________
2、如图2，在等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=9，点O 在AC 上，且AO=2，点P 是AB 上一动点，连接OP 将线段OP 绕O 逆时针旋转90°得到OD ，要使D 恰好落在BC 上，则AP=________
3、如图3，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为______．
4、下列四边形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形
5、已知点P(2x,2y-4)与点Q(y+1,x)关于原点对称，则x+y=________
6
、正方形OEFG 的一个顶点与正方形ABCD 的对角线交点
O 重合，且正方形ABCD
与正方形OEFG 的边长都为2cm ，则阴影部分面积为__________
7、将△ABC 绕C(0，-1)旋转180°得到△A 1B 1C,设点A 的坐标为（a,b ）,则点A 1的坐标为___________
8、分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图4．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则旋转角的最小度数是_____度． 9、如图5,可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数是______度．
10、如图，△PQR 是△ABC 经过某种变换后得到的
图形．如果△ABC 中任意一点M 的坐标为（a ，b ），
那么它的对应点N 的坐标为______．
图1 图2 图3 图4 图5
11、如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出△ABC
变换后的图形：（图中每个小正方形的边长为1个单位）
（1）向右平移8个单位；
（2）关于x轴对称；
（3）绕点O顺时针方向旋转180°．
12、导学案课前预习要求设计4幅既是轴对称又是中心对称的图案，小明设计完成了下列4幅图案，其中符合要求的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13、如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，
点B、O分别落在点B
1、C
1
处，点B
1
在x轴上，再将△AB
1
C
1
绕点B
1
顺时针旋转到
△A
1B
1
C
2
的位置，点C
2
在x轴上，将△A
1
B
1
C
2
绕点C
2
顺时针旋转到△A
2
B
2
C
2
的位置，
点A
2在x轴上，依次进行下去…．若点A（
3
5
，0），B（0，4），则点B
2014
的横
坐标为．
14、已知□ABCD的对称中心是原点，A(-2，1),B(-3，-2),（1）求C,D的坐标；（2）求□ABCD的面积
15、如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
16、正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN 于点E，过点B作BF⊥MN于点F．
（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，求证：AF+BF=2OE（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
17、通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，
∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据，易证△AFG≌，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系_______时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
**在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF
绕点D顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC相交于点F.求证：
1 CF
2
BE AB
+=；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：3()
BE CF BE CF
+=-
25题图3
25题图2
25题图1N
E
D C
E
D C
E F
D C
A
B B A
B
A
F
F
**已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B 在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O →B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN 绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．。