1.1.1 集合的含义与表示
【数学】1.1.1集合的含义与表示
3、元素与集合的关系
关系 元 素 与 集 合 的 关 系 概念 记法 读法
如果a是集合A中的 于 属于 元素，就说a属于集 a∈A 集合 合A 如果a不是集合A中 不 的元素，就说a不属 a∉A 属于 于集合A
a属 A a不 A
属于 集合
4、常用的数集及记法 名称 意义 记法 非负整数集 全体非负整数组成的 N (自然数集) 集合 所有正整数组成的集 * 正整数集 N 或N＋ 合 整数集 有理数集 实数集 全体整数组成的集合 全体有理数组成的集 合 全体实数组成的集合 Z Q R
练习2：已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a ＋3}，若1∈A，求实数a的值．
解：若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}， 与集合中元素的互异性矛盾，应舍去； 若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意． 当 a ＝－ 2 时， A ＝ {0,1,1} ，与集合中元素的互 异性矛盾，舍去； 若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)． 综上可知，a＝0.
例4
用适当的方法表示下列集合．
* *
(1)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N ，y∈N }；
6 ； ∈ Z| x ∈ N (2)B＝ 1＋x
(3)方程 x ＋y －4x＋6y＋13＝0 的解集； (4)平面直角坐标系中所有第二象限的点．
先明确集合中元素的特点，再选择 适当的方法来表示．
（4）我国古代四大发明； （5）抛物线y=x2上的点．
知识梳理： 1、定 义 一般地, 指定的某些对象的全体称 为集合. 集合中每个对象叫做这个集合的元素.
2、集合与元素 (1)、元素：一般地，我们把研究对象统 称为元素，元素常用小写拉丁字母 a ， b ， c„表示． (2)、集合：把一些元素组成的总体叫做 集合 ( 简称集 ) ，集合通常用大写拉丁字 母A，B，C，„表示． (3)、集合元素的三个特性：确定性、互 异性、无序性．
1.1.1集合的含义与表示
3≠x 3 ≠ x ²- 2x x ≠ x ²- 2x 解得x ≠ -1， x ≠ 0，且x ≠ 3
讨论题2： 集合A={1,3,5}与集合 B={3,1,5}是同一集合吗？
解：根据集合的三要素，可以知道两个 集合是同一集合．
讨论题3： 若{1,2}={a－2,2h}，则求 a, h？
知识要 点
集合的表示方法之二： 像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号 “{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
课堂检测： 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数； （2）方程 x2 + 3x + 2 = 0 的解； （3) 小于10的所有奇数．
解：（1）A={0，1，2,3,4,5,6,7,8,9}
1.地球上的七大洲这一集合可以表示成什么呢？ 2. 12的所有约数可以表示成什么呢？ 3.方程x－1=0的解的集合可以表示成什么呢？
1.地球上的七大洲可表示为{亚洲，非 洲，南极洲，北美洲，南美洲，欧 洲，大洋洲}．
2.12的所有约数可表示为{1，2，3， 4，6，12}.
3.方程x-1=0的解集可以表示为{1}.
⑵ 方程 x2 5x 6 0的解集．
用列举法表示集合时，不必考虑
分析 这两. 个元集素合的都排是列有顺序限,集但是．列举的元素 （1）题的元素不可能以出现直重接复列．举出来； （2）题的元素需要解方程 x2 5x 6 0 得到．{-1,6}.
高教社
课堂练习：P5，上，练习。3
个元素，求a的值和这个元素．
解：A中只有一个元素， （1）当a=0时，4x+4=0，x=4
A={-1}；
（2）当a 0时， 16-16a=0,a=1 即x2+4x+4=0 ，x=-2 A={-2}.
1.1.1集合的含义与表示
例2、已知集合A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，
a∈R}只有一个元素，求a的值与这个元素. 解：（1）当a＝0时，x＝－1.
（2）当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2. 综上所述：a＝1时，这个元素为－2. a＝0时，这个元素为－1.
练习、已知集合A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，
1. 定 义
一般地, 把研究对象统称为
元素. 把一些元素组成的总体叫
做集合（又简称集）.
2.
集合的表示
一般用花括号”{ }（表示全体）” 表示集合 也常用大写的拉丁字母A、B、C…表 示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
3.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就说a属 于集合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA.
1.1.1集合的含义与表示
观察下列对象:
（1） 1-20以内所有的素数；
（2）到直线l的距离等于定长d 的所有 的点；
（3）满足x－3＞2 的实数；
（4）宣汉中学2013年9月入学的所有的高一 学生； （5）抛物线y=x2上的点； 观察上面各对
（6）所有的正方形.
象，这6个实例 的共同特征是 什么?
问题2：我们看这样一个集合： { x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？ 显然这个集合没有元素.我们把这样的集合 叫做空集，记作.
⑶空 集：不含任何元素的集合.记作 ．
2、按元素性质分为： 数集和点集
例1、设x∈R，y∈R，观察下面四个集合 A＝{ y＝x2－1 } B＝{ x | y＝x2－1 } C＝{ y | y＝x2－1 } D ＝ { ( x , y ) | y ＝ x 2－ 1 } 它们表示含义相同吗? 解：集合A表示由一个等式(或方程或函数)组成的集
1.1.1集合的含义与表示
1.1.1集合的含义与表⽰1．1．1集合的含义与表⽰1. 元素：我们把研究的对象统称为元素；常⽤⼩写字母a , b , c …表⽰元素。
2. 集合：把能够确定的不同元素的全体叫做集合,简称集.常⽤⼤写字母A ，B ，C …表⽰。
3. 集合的性质:(1)确定性:元素必须是确定的。
是否有⼀个明确的客观标准来鉴定这些对象，若有，则能构成集合，否则不能构成集合。
(2)互异性:元素必须是互异不相同的。
(3)⽆序性: 元素是⽆先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同⼀集合。
4. 集合相等：构成两个集合的元素是⼀样的。
5. 集合与元素的关系:如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ?A . 6. 重要的数集:N ：⾃然数集(含0)N+：正整数集(不含0) Z ：整数集 Q ：有理数集 R ：实数集7. 空集（?）：把没有元素的集合叫做空集，记作?。
8. 集合的表⽰⽅法：列举法、描述法、区间表⽰列举法：将集合中元素⼀⼀列举出来，元素之间⽤逗号隔开，⽤花括号{ }括起来。
描述法：⽤集合所含元素的共同特征表⽰集合的⽅法，称为描述法。
如：在⼤括号内先写上表⽰这个集合元素的⼀般符号及取值（或变化）范围，再画⼀条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
区间表⽰：设a 、b 是两个实数，且a①满⾜不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合, 叫作闭区间，记作 [a,b]；②满⾜不等式a③满⾜不等式a ≤x{}|10x R x ∈<{}|∈⼀般符号范围共同特征{x| a练习：⼀、说法正确的是( ) 1. 接近于0的数的全体构成⼀个集合 2. 棱柱的全体构成⼀个集合 3. 未来世界的⾼科技产品构成⼀个集合 4. 不⼤于3的所有⾃然数构成⼀个集合 5. 漂亮的花 6. 正三⾓形全体⼆、集合{1，2}与集合{（1，2）}是否相等？集合{(1，2)，(2，1)}与集合{(2，1)，（1，2）}是否相等？三、⑴ 0 ? ⑵ {0} ? 四、⽤列举法表⽰下列集合：(1) ⽅程x x =2 的所有实数根组成的集合； (2) ⽅程0)1(2=-x 的所有实数根组成的集合；(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合。
1.1.1集合的含义与表示
设 是集合A上的一个运算，若对任意a,b ,有a b ,则称A对运算 封闭，若集合A是由正整数的平方组成的集合，即A＝{1，4，9，16，25，…}.若 分别是；①加法，②减法③乘法，④除法，则A对运算 封闭的序号有.
10.求参数的取值范围
（1）已知集合元素个数求参数问题的解题策略：已知集合中元素的个数，求参数的值或取值范围时，关键是对集合的表示方法灵活掌握，弄清其实质，即集合中的元素是什么.
高考水平突破：
1、由a，-a，|a|， 构成的集合中，最多含有元素的个数是（）.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2、含有三个实数的集合可表示为{a， ，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2013+b2014=（）
A. 0B. 1 C.－1 D. 2
3、已知x，y都是非零实数，z= + + 可能的取值组成集合A，则（）.
（2）集合问题方程化的思想：对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题.
（3）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性。反过来，一组元素若不具备这三个特性，则这组对象也就不能构成集合。故集合中元素的这三个特性是判断指定对象是否构成集合的元素。
例题2判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）全体高个子的中国人构成一个集合；
（2）由1， ， ，｜－ ｜， 组成的集合有五个元素；
D.上海的所有高楼
2、已知A＝{x|3-3x>0}，则有（）.
1.1.1 集合的含义与表示
有理数于3小于11的偶数； { 4,6,8,10 } A=
②1∼10以内的奇数；
1、列举法 B= { 1,3,5,7,9 }
就是将集合中的元素一一列举出来并放在 大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内； 3、别忘了大括号。
例1.用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合 (2)方程
{ x | p(x) }
x为该集合的 代表元素 p(x)表示该集 合中的元素x 所具有的性 质
例如：x―7<3的解集可以表示为：
｛x∈R|x<10｝
例2.用描述法表示下列集合：
1. 小于10的所有有理数组成的集合； 2. 所有偶数组成的集合； 2 3. 二次函数 y x 2 的函数值组成 的集合； 2 4. 抛物线 y x 2 上的点组成的 集合；
4、集合与元素的关系:
若a是A中元素，记为
a A,
若a不是A中元素，记为
a A
5、有限集：元素个数有限的集合. 无限集：元素个数无限的集合.
集合的三种表示方法：
1、列举法：
2、描述法：
3、图示法：
集合中元素具有 确定性 互异性 无序性
一般 地：我们用小写拉丁字母a,b,c…表示元 素，用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合.
若a是A中元素，记为 a A 若a不是A中元素，记为 a A
1、常见数集的表示
N：自然数集（含0）即非负整数集 N+或N*：正整数集（不含0) Z: 整数集
Q：
R：
练习，用适当的方法表示下列集合
1. 小于100的自然数组成的集合； 2. 不等式 2 x 3 3x 的解集 2 3. 方程 x x 6 0 的解集
1.1.1集合的含义与表示
例4 用列举法表示下列集合：
⑴ 大于-4且小于12的全体偶数; ⑵ 方程 x 5 x 6 0的解集．
2
解： （） 1 2, 0, 2, 4, 6, 8,10 ； ⑵ 解方程 x 5 x 6 0 得 x1 1, x2 6， 所以方程的解集为 1, 6 .
注意
（1）用列举法表示集合时，不必考虑元素的排列顺序, 但是列举的元素不能出现重复． （2）当集合中的元素很多或元素的个数无限时，在不发
生误解的情况下，可以采用省略的写法．
例如:小于100的自然数集可以表示为
0,1, 2,
, 99，
*
正偶数集可以表示为 2, 4, 6, , 2n,
(n N ).
2
想一想：集合{0}与空集 是否表示同一集合，为什么？
答案
不是． 集合 0 表示只含有一个元素即数字0
的集合．而 表示空集，是不含任何
元素的集合.
1．用列举法表示下列集合: ⑴ 方程x 3x 4 0的解集； 1, 4 2, 4, 6, ⑵ 正偶数集合；
2
, 2n,
N；0.5 Z； 3 Q； -5 Z； π
N；
R．
如何表示不大于5的自然数的集合． 这个集合中的元素只有0、1、2、3、4、5这6 个数，是可以一一列举的．我们采用0,1, 2, 3, 4, 5 来表示这个集合． 把集合的元素一一列举出来，写在大括号内， 元素之间用逗号隔开，这种表示集合的方法叫做 列举法．
1.1集合
1.1.1集合与集合的表示方法
集合是现代数学的语言，可以科学简洁 的表示数学内容。
同学们想想，初中我们学过哪些集合呢？
不等式的解集，有 理数集等
1.1.1集合的含义与表示
一、集合的含义 1.什么是集合？
一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元 素组成的总体叫做集合（简称为集）。
元素：用小写字母a,b,c...表示 集合：用大写字母A,B,C...表示
2.集合与元素的关系 • 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 a A 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，
• 正整数集：N*或N+ • 整数集：Z
• 有理数集：Q
• 实数集：R
二、集合的表示
• 列举法：把集合的元素一一列举出来，写在大括号内 注：1.元素之间要用逗号隔开 2.元素不能重复
如：地球上的四大洋组成的集合表示为｛太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋｝
方程（x 1)( x 2) 0 组成的集合表示为｛1，-2｝
梦 境
集合？ 例:(1)1~20内的所有整数 1，2，3，4，5..... • (2)亚洲的所有国家 中国，韩国，日本，印度..... • (3)所有的正方形 • (4)方程x2 3x 2 0 的所有实数根 - 1 , - 2 • (5)化德一中2020年9月入学的所有高一学生
二、集合的表示
• 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合 注：集合的代表元素
如：不等式 x 7 3的解集，共同特征：x R ,且 x 7 3
集合表示为：｛x R x 10｝
列举法主要针对集合中元素个数较少的情况，而描述法 主要适用于集合中的元素个数无限或不宜一一列举的情况
记作 a A
• 例：1~20内的所有素数记为集合A，则 3 A，4 A
素数：除1和它本身外，不能被其他自然数整除的 数。
判断下列对象能否组成集合： • 1.小于6的正整数 • 2.大于3小于11的偶数 • 3.中国男子足球队中技术很差的队员 • 4.中国的富翁 • 5.爱好足球的人 • 6.世界上所有的高山
1.1.1集合的含义与表示
3
2.集合: 集合常用大写字母表示，元素常用小 写字母表示.
一般用大括号”{ }”表示集合,也常用 大写的拉丁字母A、B、C…表示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
4
3.集合与元素的关系: 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA. 例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.
Hale Waihona Puke 12• 例2试分别用列举法和描述法表示下 列集合： • (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集 合； • (2)由大于10小于20的所有整数组成 的集合。 思考题 结合此例,试比较用自然语言、 列举法和描述法表示集合时各自的特点和 适用的对象。
13
• 练习与思考 教材P5练习1、2
14
课堂小结
那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?
7
判断下列例子能否构成集合 中国的直辖市
√
× ×
身材较高的人
著名的数学家
高一(3)班眼睛很近视的同学
×
注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词 都不能构成集合
8
5.集合的表示方法 1、列举法： 无序 互异
将集合中的元素一一列举出来，并 用花括号{ }括起来的方法叫做列 举法
5
4.常用的数集:
N：自然数集(含0)
N+或N*：正整数集(不含0)
Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集
6
5.集合元素的性质: ⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
1.1.1集合的含义与表示
1.1.1 集合的含义与表示一.知识解读1. 一般地，把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫，也简称。
2. 关于集合的元素的特性有:(1) , (2) , (3) .3.元素与集合的关系-------从属关系;集合常用大写字母表示，元素用小写字母表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作（或a A）（举例）,（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样．4.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作；正整数集，记作或；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作.5.集合的表示方法（1）列举法：表示集合的方法; （2）描述法：表示集合的方法.二.课堂互动问题1 考查下列每组对象提炼出集合的含义（1）全体高一（3）班的49名学生；（2）１到20以内的所有偶数;（3）2012年伦敦奥运会的所有比赛项目x->的所有解（4）不等式30（5）到顶点A的距离等于定长l的所有的点问题2 判断以下元素的全体是否能构成一个集合，并说明理由（1）高一（1）班所有高个子同学（2）我国的所有小河流问题3 从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合，除此之外，还可以用什么方法表示集合呢？例1、选择适当的方法表示下列集合（1）012=-x 的所有实数根组成的集合（2）welcome 中的所有字母组成的集合（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合（4）所有奇数组成的集合（5）以A 为圆心，r 为半径的圆上的所有点组成的集合跟踪训练：选择适当的方法表示下列集合（1）12的正约数（2）不等式712>+x 的整数解（3）抛物线2x y =上的点例2、已知集合A ={1，－2，x 2－1}，B ={1，0，x 2－3x }，且A = B ，求x 的值．例3、已知}4,12,3{32---∈-a a a ，求实数a 的值三、课堂练习见教科书第5页练习四、课堂小结1、牢记集合元素的特性2、如何选择适当的方法来表示集合？五、课后作业1、下列说法中能构成集合的是 ( )A.2009年全国的大中专毕业生;B.英德华粤艺术学校高一(1)班个子较高的男生;C.1,1,2三个元素构成的集合;D.与无理数π无限接近的数.2、 下列各项中，不可以组成集合的是 （ ）A 、所有的正数B 、等于2的数C 、接近于0的数D 、不等于0的偶数3、以下四种说法正确的（ ）(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定4、集合 A=｛（x ，y ）|x ＞0，y ﹥0｝是指………………… …（ ）A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．在第一、三象限内的点集D ．不在第二、四象限内的点集5、{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形6、设集合Ａ＝{-2,-1,0,1,2}， },1|{2A x x y y B ∈-==．则Ｂ中的元素是＿＿＿＿＿．7、分别判断下列各组集合是否为同一集合（1）A=｛x|x+3＞2｝ B=｛y|y+3＞2｝（2）A=｛（1,2）｝ B=｛1,2｝（3）A=｛（x,y ）|y=x 2+1｝ B=｛y| y=x 2+1｝8、对于集合A=｛2,4,6｝,若A a ∈，则A a ∈-6，那么a 的值是9、选择适当的方法表示下列集合：（1）方程x 2－16=0的解集； （2）不等式3x －1>5的解集．10、设A 表示集合｛2，3，a 2+2a-3｝,B 表示集合｛|a +3|,2｝，已知5∈A 且5∉B ，求a 的值。
高中数学课件-1.1.1集合的含义与表示
a
c
包裹
b
◣2：元素与集合的关系◢
如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A ，记作a∊A；如果a不 是集合A的元素，就说a 不属于集 合A ，记作a∉A。
例如，用A表示“ 大于1小于10的所有偶
数”组成的集合，则有4 ∊A，3 ∉A，等
等。
3：常用数集的专用记号:
集合 （非自负然整数数集）正整数集 整数集 有理数集 实数集
具有的属性描述出来，如﹛自然数﹜
（2）符号描述法——用符号把元素所 具有的属性描述出来，即{x| P（x）}或 {x∈A| P（x）}等。
{ x∈A | P（x） }
可以是多个呵
代表元素
满足的条件
{ x | P（x）}
例2．请用描述法表示下列集合： （1）方程 x2 2 0的所有解组成集合.
新课导入 — 观察下列对象：
(1) 14班的所有同学 (2)大于1小于10的所有偶数 (3)丰城九中校园所有的树 (4) 坐标轴上所有的点
一、集合的含义
1、集合的含义： 把所指对象的全体叫做集合（简
称集）， 把集合里的每一个对象叫做
为元素。用大写字母A，B，C…表示 集合，用小写字母a,b，c …表示集合 中的元素
（2）大于10小于20的所有整数组成的集合.
四.回顾交流：
本节课我们学习了那些内容？
集合的含义,集合元素的性质： 确定性，互异性，无序性
元素与集合的关系： ∊， ∉。
3：集合的表示法:列举法,描述法
试试看,行吗?
1.方程组
x
x
y yLeabharlann 2 5的解集用列举法表示为________；用描述法表示为 .
记号
N
1.1.1集合的含义与表示
2
用列举法表示为A = { 2 ,− 2}.
(2)设大于 小于20的整数为 , 它满足条件 ∈ Z 10 x x 且10 < x < 20,因此, 用描述法表示为 B = {x ∈ Z | 10 < x < 20}. 大于 小于20的整数有 ,12,13,14,15,16,17,18, 10 11 19,因此, 用列举法表示为 B = {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
我们以前已经接触过的集合: 我们以前已经接触过的集合
自然数集合，正分数集合，有理数集合； 自然数集合，正分数集合，有理数集合； 到角的两边的距离相等的所有点的集合； 到角的两边的距离相等的所有点的集合；
是角平分线
到线段的两个端点距离相等的所有点的集合； 到线段的两个端点距离相等的所有点的集合；
是线段垂直平分线
1.1.1 集合的含义与表示
1、集合的含义： 、集合的含义：
把研究对象统称为元素， 把研究对象统称为元素，把一些 元素 元素组成的总体叫做集合 简称集）。 集合（ 元素组成的总体叫做集合（简称集）。 用大写字母A， ， 表示集合， 用大写字母 ，B，C…表示集合，用 表示集合 小写字母a,b， 小写字母 ，c …表示集合中的元素 表示集合中的元素
2、 若方程x2－5x+6=0和方程 若方程x 5x+6=0和方程 x2－x－2=0的解为元素的集合 则 2=0的解为元素的集合M,则 的解为元素的集合 M中元素的个数为 （ C） 中元素的个数为 A．1 ． B．2 ． 3、已知集合 、 C．3 ． D．4 ．
1.1.1集合的含义与表示
集合
无限集（元素的个数是无数多个）
空集 ø（集合中不含有元素）
集合的另一种表示方法：图示法
为了形象，常常用一条封闭曲线的 内部表示一个集合 。 （称为韦恩图 或文氏图）
A
小结
集合与元素
集合与元素的关系： ∈ 、 集合的表示法：1、列举法；2、描述法；
3、图示法
集合的分类：有限集、无限集、空集。 集合中元素的特性: 确定性、互异性、 无序性
例1
具有下列特征的对象能否构成一个集合:
(1) 体重很重的人.
(2) 直角坐标平面内第二象限的点.
(3) 直角坐标平面内某些点.
(4) 不大于5 的实数. (5) 方程x2- 3 x=0的有理数解. 解:(1)不能. “体重很重”的标准不明确。 (2)能.横坐标小于0且纵坐标大于0的点都是第二象限的点. (3)不能.“某些”指哪些？标准不明确. (4)能.就是小于或等于5的数. (5)能.该方程的有理数解为x=0
集合的含义与表示
[来源:学_科_网]
一，集合的定义
定义大西洋，印度洋，北冰洋”组成一个集合。
集合表示方法：
A)大括号表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} B)大写拉丁字母表示： A={太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
二，元素：集合中的每个对象叫做这个集合的
练习3 P6 4
练习4：用描述法表示下列集合：
（1）{ 4，6，8，10，12 }
（2）不在坐标轴的点的集合。
（3）被5除余1的自然数的集合。
答案:(1){x|x=2k,1<k<7,k∈z}
(2){(x,y)|x≠0且y≠0}
(3){x|x=5k+1,k∈z}
高一1.1.1集合的概念
1.1集合的含义与表示一、知识点1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（简称集），集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B……集合中的每一个对象称为该集合的元素（简称元），集合的元素常用小写的拉丁字母来表示，如a、b、c、……2．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，（“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A练习1、指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的小河流（2）我国的直辖市（3）较大的数（5）大于3小于11的偶数3．关于集合的元素的特征（性质）（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
4. 两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。
5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，{},2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*= N（3）整数集：全体整数的集合记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q（5）实数集：全体实数的集合记作R7．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；各元素之间用逗号分开。
（2）描述法：用集合中所含元素的共同特征表示集合的方法，写成{|()}x p x 的形式。
1.1.1集合的含义与表示
观察下列对象能否构成集合? （1）满足X－3＞2的全体实数 （2）本班的全体男生 （3）我国的四大发明 （4）2008年北京奥运会中的球类项目 （5）不等式2X+3 < 9的自然数解； （6）所有的直角三角形；
那么这些集合有没有其它的表示方式？
四、集合的表示法
1. 列举法：将集合的元素一一列举出 来，并置于花括号“{ }”内。 用这种方法表示集合，元素要用逗 号隔开，但与元素的次序无关。
三、集合与元素的关系
如果元素a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A；
如果元素a不是集合A的元素，就记作a
Ï
A，读作a不属于A。
例2 用符号“∈”或“Ï ”填空： (1) 3.14＿Q； (3)0 ＿ N+ ； (2) π＿Q； (4)0 ＿ N ；
(5)(-2)0 ＿ N+ ； (6) 2 5 ＿ Z； (7) 2 5 ＿ Q.
C
C
Q
§1.1集合
蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔
茫茫的草原上，一群羊在悠闲的走动 清清的湖水里，一群鱼在自由地游动； －－－－－
“集合”在现代汉语解释为许多的人或物聚在一起
C
1.根据下面的例子向同学介绍你家原来就读的学校、现在班级 同学的情况。
例：“我原来就读于第二中学” “我现在的班级是高一（2）班，全班共40人，其中男生23人，女 生17人。”
(2)设大于10小于20的整数为x, 它满足条件x Î Z 且10 < x < 20, 因此, 用描述法表示为 B = {x ? Z |10 x < 20}. 大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18, 19, 因此, 用列举法表示为 B = {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
1.1.1 集合的含义与表示
C={x | x=2n，n N }
四、集合的表示
(3)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的 方法称为描述法。
A={x R | x<10 } B={x R | x2 -2=0 } C={x Z | 10<x<20 }
(4)若C { x N | 1 x 10}, 8 ____ C, 9.1____C
五、巩固练习
(1)所有偶数组成的集合：
{x | x 2k,k Z }
数集
(2)不等式2 x 3 0的解集： { x | 2 x-3<0}
不等式的解集
(3)函数y x 1的自变量的值组成的集合：
否
② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合? 能 ③ 2, 4, 2 这三个数能否组成一个集合？ 否
②互异性：集合中的元素是互异的。即集合元素是没 有重复现象的。 (互不相同)
二、集合中元素的特征
① 高一级身高较高的同学，能否构成集合?
否
② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合? 能
常见的数集及其记法：
自然数集 N 整数集 Z
正整数集 N*或N 有理数集 Q
实数集 R
一、集合的含义
一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些 元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合， 小写的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素.
问题：如何理解“把一些元素组成的总体叫做 集合”，这些集合里的元素必须具备什么特征？
高一级所有的同学组成的集合记为A， a是高一(7)班 的同学，b是高二(7)班的同学，那么a与A，b与A之 间各自有什么关系？
高一数学集合知识点
1.1集合1.1.1集合的含义与表示一、集合的含义集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．关键词：确定的、总体【特征】确定性、无序性、互异性、【表示方法】列举法、描述法、图示法．二、元素与集合关系得判断【知识点的认识】一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【命题方向】元素与集合之间的关系命题方向有二，一是验证元素是否是集合的元素；二是知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．【解题方法点拨】如题型一：已知A是偶数集，试判断a=2b2+4b，b∈N是否是集合的元素？方法点拨：因为偶数都可以写成整数2倍的形式，故解决本题的方法就是看元素a能否变成数的2倍的形式．三、集合的确定性、互异性、无序性【知识点的认识】集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．【解题方法点拨】解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．【命题方向】本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．四、集合的分类【知识点的认识】集合的分类主要依集合中元素个数的多少来划分，有限集和无限集两种．有限集元素个数是确定的，元素个数有限个，可以利用列举法或描述法表示；无限集元素个数是无限的，只能利用描述法表示．【解题方法点拨】从集合的元素个数直接判断．【命题方向】这一考点，是了解内容，会考多以选择题判断为主，高考多与集合之间的关系联合命题．五、集合的表示法【知识点的认识】1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x 为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}3．图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．4．自然语言（不常用）．【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x-1＞0}表示实数x的范围；{（x，y）|y-2x=0}表示方程的解或点的坐标．【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．1.1.2集合间的基本关系一、子集与真子集【知识点的认识】子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．而真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，注①空集是所有集合的子集②所有集合都是其本身的子集③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉空集和它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n-2．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且A⊆B 时，有A=B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．二、集合的包含关系及其应用【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A 叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A=B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．三、集合的相等【知识点的认识】（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A=B．（3）对于两个有限数集A=B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．【解题方法点拨】集合A 与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．四、集合中元素个数的最值【知识点的认识】【命题方向】【解题方法点拨】求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．五、空集的定义、性质及运算【知识点的认识】空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集的性质：空集是一切集合的子集．空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的．例如：{x|x2+1=0，x∈R}=∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【解题方法点拨】解答与空集有关的问题，例如集合A∩B=B⇔B⊆A，实际上包含3种情况：①B=∅；②B⊂A且B≠∅；③B=A；往往遗漏B是∅的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先考虑空集．【命题方向】一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现．1.1.3集合的基本运算一、并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A ∪B．符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算形状：①A∪B=B∪A．②A∪∅=A．③A∪A=A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B=B⇔A⊆B．⑥A∪B=∅，两个集合都是空集．⑦A∪（CUA）=U．⑧CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．二、交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素的所有元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．图形语言：．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B=A⇔A⊆B．⑥A∩B=∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（CUA）=∅．⑧CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．三、补集及其运算【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．【命题方向】通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．四、全集及其运算【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的．例如{1，2}；R；Q 等等．【解题方法点拨】注意审题，可以借助数轴韦恩图解答．【命题方向】本考点属于理解，常出现的类型有直接求出全集，利用全集求解子集的个数，集合在参数的范围等问题，难度属于容易题．五、交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B=B∩A，A∪B=B∪A．集合结合律（A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∪B）∪C=A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C）．集合的摩根律 Cu（A∩B）=CuA∪CuB，Cu（A∪B）=CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A．集合求补律A∪CuA=U，A∩CuA=Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．六、Venn图表达集合的关系及运算【知识点的认识】用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．运算公式：card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）的推广形式：card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（B∩C）-card（A∩C）+card（A∩B∩C），或利用Venn图解决．公式不易记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了．【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．【命题方向】一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题．也可以联系实际命题．。
1.1.1集合的含义与表示
D
)
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9．若 x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素 x 应满足的条件是__________．
3≠x， 2 解析：由集合中元素的互异性知3≠x －2x， x≠x2－2x，
解之得 x≠－1，且 x≠0，且 x≠3.
答案：x≠－1，且 x≠0，且 x≠3
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10．已知集合 A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}． (1)若 A 中只有一个元素，求 a 的值；(2)若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围．
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4．设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若 P＝{0,2,5}， Q＝{1,2,6}，则 P＋Q 中元素的个数是( B ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6
解析：集合 P＋Q 的含义就是 P、Q 集合中各取一个因素之和的不同值的个数，有 0＋ 1,0＋2,0＋6,2＋1,2＋2,2＋6,5＋2,5＋6，共 8 个，故选 B.
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|a| |b| 6．设 a，b 是非零实数，那么 ＋ 可能取的值组成的集合是______． a b
解析：当 a、b 同正时值为 2，当 a、b 同负时值为－2，当 a、b 异号时值为 0，故组成 的集合是：{－2,0,2}．
答案：{－2,0,2}
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新人教版必修一1.1.1集合的含义与表示课件
(4) (6)
2 3
N+ R
(2)互异性：集合中的元素必须 是互不相同的. (3)无序性：集合中的元素是无 先后顺序的． 集合中的任何两 个元素都可以交换位置.
思考：如何判定两个集合相等？
2．写出集合的元素，并用符号表示下 列集合： (1)方程x² -9= 0的解的集合； (2)大于0且小于10的奇数的集合； 列举法：把集合的元素一一列出来 写在大括号的方法．
例如，图1-1表示任意一个集合A；
A 图1-1
1,2,3, 5, 4.
图1-2
集合的表示方法
（1）列举法：把集合的元素一一 列举出来写在大括号的方法． （2）描述法：用确定条件表示某 些对象是否属于这个集合的方法．
基本格式：{代表元素/代表元素的属性(或条件)}
（3）图示法．
集合的分类
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
⑶空 集：不含任何元素的集合. 记作．
5．例题讲解
例1：在数集｛2 x , x² -x}实数x 的取值范围是＿_____＿
x≠0且x≠3
取值范围还可以用集合表示，如何表示？
练习 判断下列说法是否正确：
(1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2}√
1 、 2 1
1 3
2
与集合A之间的关系。
2．用符号表示下列集合，并写出其元素：
(1) 12的质因数集合A；
(2) 大于
11
且小于
的整数集B;
29 (3)平面直角坐标系第二象限的点集C；
(4)以方程x² -2x+1=0的解为元素的集合D.
3、区分下列集合：
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1.1集合
1.1.1集合的含义与表示
课时过关·能力提升1下列关系中,表述正确的是()
A.0∈{x|x2+x=0}
B.0∈{(0,1)}
∉Q D.-3∈N
C.1
7
解析:因为x2+x=0,所以x=-1或x=0,
所以0∈{x|x2+x=0}.
答案:A
2集合{(x,y)|y=2x-1}表示()
A.方程y=2x-1
B.点(x,y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合
答案:D
3已知集合M中的元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是() A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
解析:∵a∈M,b∈M,c∈M,∴a,b,c互不相等.
∴△ABC一定不是等腰三角形.
答案:D
4已知下列说法:
①接近于0的数的全体组成一个集合;
②参加2014年APEC峰会的所有国家组成一个集合;
③R={实数集};
④不大于3的所有自然数组成一个集合;
⑤单词“book”中的字母可以组成一个集合,且集合中含有四个元素.
其中正确的是()
A.①②
B.③⑤
C.③④
D.②④
解析:①中对象的判断标准不明确,不满足确定性,故①错误;
②④中的对象都是确定的,故②④正确;
③错误,正确的写法是R={实数};
⑤“book”中的字母是确定的,可以组成一个集合,但相同的对象归入同一集合时只能算作一个元素,所以集合中含有三个元素,故⑤错误.
答案:D
5已知-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0}用列举法表示为()
A.{4}
B.{2}
C.{2,2}
D.{2,4}
解析:因为-5∈{x|x2-ax-5=0},所以25+5a-5=0,解得a=-4.将a=-4代入x2-4x-a=0中,解得x1=x2=2,所以集合{x|x2-4x-a=0}用列举法表示为{2}.
答案:B
6集合{x∈N|2x-5<0}中所有元素的和为.
={0,1,2},故集合{x∈N|2x-5<0}中所有元素的和为解析:{x∈N|2x-5<0}= x∈N x<5
2
0+1+2=3.
答案:3
7集合A={x∈N|2x2-x-1=0}用列举法表示为.
.
解析:解方程2x2-x-1=0,得x=1或x=-1
2
又因为x∈N,所以A={1}.
答案:{1}
∈Z,x∈N*,用列举法表示集合C=.
★8已知集合C= x6
3-x
解析:由题意知3-x可取的值为±1,±2,±3,±6,
即x可取的值为0,-3,1,2,4,5,6,9.
∵x∈N*,
∴C={1,2,4,5,6,9}.
答案:{1,2,4,5,6,9}
9已知集合A={x|x2-2x+m=0}含有两个元素,则实数m满足的条件是.
解析:集合A是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的解集,由A中含有两个元素,知Δ=4-4m>0,故m<1.
答案:m<1
10集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中至多含有一个元素,则k的取值范围
为.
解析:若k=0,则A={2},符合题意;
若k≠0,则Δ=64-64k≤0,解得k≥1.
综上所述,所求实数k的取值范围为k=0或k≥1.答案:k=0或k≥1
11用适当的方法表示下列集合:
(1)大于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程组2x-3y=14,
3x+2y=8
的解集;
(3)满足2∈{-2,x+1,x2+x-4}的所有实数x组成的集合.
解:(1)大于10的所有自然数有无数个,故可用描述法表示为{x|x>10,x∈N}.
(2)解方程组2x-3y=14,
3x+2y=8,
得
x=4,
y=-2,故该方程组的解集为{(4,-2)}.
(3)因为2∈{-2,x+1,x2+x-4},所以x+1=2或x2+x-4=2,解得x=1或x=2或x=-3.
当x=1时,原集合为{-2,2,-2},不满足集合中元素的互异性,故x=1舍去;
当x=-3时,原集合为{-2,-2,2},不满足集合中元素的互异性,故x=-3舍去;
当x=2时,经检验知符合题意.
综上所述,所求集合可表示为{2}.
★12若集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},M={x|x=6n+3,n∈Z}.若m∈
M,问是否存在a∈A,b∈B,使m=a+b?
分析:由m∈M,可写出m的表达式,再根据A,B中元素的特征,寻找a,b.
解:设m=6k+3=(3k+1)+(3k+2)(k∈Z),
令a=3k+1,b=3k+2,则m=a+b.
由k∈Z,知a∈A,b∈B.
故若m∈M,存在a∈A,b∈B,使m=a+b.。