1.5 三角函数的应用 教学设计.5 三角函数的应用 教学设计
三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)
三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第1.5节《三角函数的应用》主要介绍了正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，使学生了解三角函数在实际生活中的重要性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但学生在应用三角函数解决实际问题方面还比较薄弱，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.使学生掌握正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对三角函数的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数在实际问题中的应用。
2.利用案例分析法，分析实际问题中三角函数的运用。
3.采用小组合作讨论法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备三角函数的图像和公式。
3.准备投影仪和教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示一些实际问题，如测量高度、角度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）呈现三角函数的图像和公式，让学生了解三角函数的基本性质。
同时，结合实际问题案例，讲解如何运用三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用三角函数进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立解决。
教师及时给予反馈，巩固学生对三角函数应用的掌握。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将三角函数应用于其他领域，如工程、物理等。
让学生举例说明，培养学生的创新意识。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调三角函数在实际问题中的应用。
三角函数单元整体教学设计
三角函数单元整体教学设计一、教学目标本教学设计旨在帮助学生全面理解和掌握三角函数的基本概念、性质和常用公式，培养学生应用三角函数解决实际问题的能力，并提高学生的数学思维和问题解决能力。
二、教学内容1. 三角函数的基本概念和性质- 角度和弧度的关系- 正弦、余弦和正切函数的定义和图像- 三角函数的周期性和对称性2. 三角函数的常用公式- 三角函数的和差公式- 三角函数的倍角公式- 三角函数的半角公式3. 三角函数的应用- 三角函数在几何问题中的应用- 三角函数在物理问题中的应用- 三角函数在工程问题中的应用三、教学方法1. 探究式研究法- 引导学生通过观察和实验，发现三角函数的基本性质和规律。
- 提供一些简单的实例，让学生自己尝试解决问题，培养学生的问题解决能力。
2. 讲授结合练- 向学生介绍三角函数的基本概念和公式，并通过示例进行讲解。
- 提供一些练题，巩固学生的基础知识。
3. 案例分析- 利用实际问题，帮助学生理解和应用三角函数。
- 鼓励学生思考，提出解决问题的方法，并进行讨论。
4. 群体合作研究- 将学生分成小组，让他们合作完成一些探究性研究任务。
- 通过合作研究，促进学生之间的交流和合作能力。
四、教学过程1. 引入（5分钟）- 通过一个有趣的问题或示例引起学生对三角函数的兴趣，并激发他们的思考。
2. 基础知识讲解与练（30分钟）- 介绍角度、弧度和三角函数的基本概念和性质。
- 讲解三角函数的图像和周期性，引导学生观察和总结规律。
- 给学生一些练题，帮助他们巩固基础知识。
3. 深入研究与应用（40分钟）- 详细讲解三角函数的常用公式，包括和差公式、倍角公式和半角公式。
- 使用实例引导学生理解和应用这些公式，并让他们解决一些相关问题。
4. 案例分析与讨论（30分钟）- 提供一些实际问题，例如航空飞行角度计算、测量高楼高度等，让学生应用三角函数解决问题。
- 分成小组，让学生合作讨论解决方法，鼓励学生提出自己的思路，并进行分享。
1.5三角函数的应用(教案)(教案)
3.增强学生的直观想象与数据分析能力：通过对三角函数图像的观察与分析，让学生在实际问题中运用三角函数知识，培养他们的直观想象与数据分析素养。
三、教学难点与重点
-理解三角函数图像与性质的关系：学生在理解三角函数图像与性质之间的关系时可能会感到困惑。
-突破方法：利用动态图像、互动软件等教学工具，帮助学生直观地理解函数图像与性质之间的关系。
-建立和求解三角函数模型：学生在建立模型和求解过程中可能会遇到各种问题，如参数的选择、公式的应用等。
-突破方法：通过小组合作、讨论交流等方式，让学生在尝试解决问题的过程中，逐步掌握建立和求解三角函数模型的方法。
4.教学过程中，我发现有些学生对三角函数的应用仍然局限于课堂上的例子，缺乏将知识拓展到其他领域的能力。为了提高学生的知识迁移能力，我计划在后续的教学中加入更多不同领域的实际问题，让他们学会运用三角函数知识解决问题。
5.总结回顾环节，学生对今天所学内容的掌握程度较高，但仍有个别学生在某些知识点上存在疑惑。在课后，我会及时关注这些学生的疑问，并给予个别辅导，确保他们能够跟上教学进度。
3.三角函数模型的建立：结合实际问题，建立三角函数模型，如气温变化、物体振动等，并运用所学的三角函数知识进行求解。
本节课旨在让学生掌握三角函数在实际问题中的应用，提高他们解决实际问题的能力，同时深化对三角函数图像与性质的理解。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的数学抽象能力：通过三角函数在实际问题中的应用，让学生学会从实际问题中抽象出数学模型，提高数学抽象素养。
1.5 三角函数的应用(教案)-北师大版数九年级下册
第5节三角函数的应用1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明.3.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.1.从实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学思想.2.进一步感受数形结合思想(方程方法与画图法),力图引导学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想,即抽象成平面图形(直角三角形)后,再利用三角函数解决问题.1.发展学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.2.能将实际问题抽象成数学问题(数学符号或图形).3.让学生在探索活动中相互合作与交流,进一步发展学生的合作交流能力和数学表达能力.【重点】1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的作用.2.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.【难点】灵活将实际问题转化为数学问题,建立数学模型,并选择适当三角函数来解决.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习解直角三角形的相关知识.导入一:课件出示:《盘点1833年以来重大海难》2015年6月1日约21时28分,一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游沉没.出事船舶载客458人,其中内宾406人、旅行社随行工作人员5人、船员47人.仅14人生还.历史上的海难事件非常多,最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼克号沉没,但实际上,遇难人数远超泰坦尼克号的遇难船只并不罕见.在这一统计所含的75起海难中,遇难人数超过1000人的共有18起.随着时间的推移,因袭击所致的海难逐渐减少.但21世纪以来,海难仍时有发生,如:2014年韩国“岁月号”客轮,2008年菲律宾“群星公主号”客轮,2006年埃及客轮“萨拉姆98号”,2002年的塞内加尔“乔拉号”等船只遇难都造成了巨大的人员伤亡.【引入】今天我们就探究与轮船航行有关的知识.[设计意图]通过对历史上海难事件的了解,使学生对本节课所要探究的知识有一个初步了解,在揭示本课主题的同时,也对学生进行了安全教育,一举两得.导入二:课件出示:多媒体播放:《泰坦尼克号》3D版预告片视频.音频介绍:泰坦尼克号(RMS Titanic)是一艘奥林匹克级游轮,由位于北爱尔兰贝尔法斯特的哈兰·沃尔夫船厂兴建,是当时最大、最豪华的客运轮船.在泰坦尼克号的处女航中,因为船长的大意、舵手没有能够分清方向、没有准确计算距离等人为错误,于1912年4月14日船上时间夜里11点40分撞上冰山,2小时40分钟后,船分裂成两半后沉入大西洋.泰坦尼克号海难为和平时期死伤人数(船上2208名船员和旅客中,只有705人生还)最惨重的海难之一,同时也是最广为人知的海上事故之一.【引入】如果你是船长,怎样才能利用我们所学的知识躲开冰山,进而避免像泰坦尼克号这样的灾难发生呢?[设计意图]通过一段视频,进行音乐与3D影片的欣赏,让学生有一些听觉与视觉的冲击,感受现代科技手段为影片带来的美感,感受生活是美的,我们的身边处处都是美,树立对美的追求.课件出示:如图所示,海中有一个小岛A,该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A 岛南偏西55°的B处,往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后,货轮继续往东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗你是怎样想的?与同伴进行交流.师引导学生思考:问题1货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险是由什么决定的?【学生活动】学生分组讨论,统一答案:根据题意知小岛四周10n mile内有暗礁,那么货轮继续向东航行,如果到A的最短距离大于10n mile,则无触礁的危险,如果小于10n mile,则有触礁的危险.过A作AD⊥BC,D为垂足,A到BC所在直线的距离为即为AD的长度.我们需根据题意计算出AD 的长度,然后与10n mile比较.问题2如何利用已知条件求出AD的长度呢?【学生活动】先独立思考,然后小组交流,统一想法,代表发言:在Rt△ADB和Rt△ADC中,AD是它们的公共直角边,而且BC是这两个直角三角形中直角边BD与CD的差,即BC=BD-CD,BD与CD的对角是已知的,可以利用两个直角三角形的三角函数分别表示出BD 和CD,即在Rt△ADB中,tan55°=,BD=AD tan55°.在Rt△ADC中,tan25°=,CD=AD tan25°.这样可以列出关于AD的一元一次方程,即AD tan55°-AD tan25°=20.【教师点评】在我们解决数学问题时,很多地方都会用到方程,因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.【师生活动】学生独立解答,师巡视,对有困难的学生给予及时帮助,代表板演展示,师生共同订正,规范学生的解题过程.解:过A作BC的垂线,交BC于点D.在Rt△ABD中,易知tan55°=,∴BD=AD tan55°.在Rt△ACD中,易知tan25°=,∴CD=AD tan25°.设AD=x,则BD=tan55°x,CD=tan25°x.∵BC=BD-CD,∴tan55°x-tan25°x=20,解得x=≈20.79,即AD≈20.79n mile.∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.【讨论】此题的其他解法.【学生活动】分组相互讨论、交流,各组组长展示本组的解题方法,师生共同探讨其方法的可行性,统一做法,代表板演:解:设CD=x,则BD=x+20.在Rt△ACD中,tan25°=,∴AD=.在Rt△ABD中,tan55°=,∴BD=AD tan55°=·tan55°.∴x+20=·tan55°,∴x=≈9.70,∴AD=≈20.79(n mile).∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.[设计意图]在“货轮有触礁的危险吗?”的探讨过程中,学生入手感到困难,所以精心设计了一系列问题,将难点分解,逐步引导学生总结出应用数学知识解决实际问题的一般步骤,进一步培养了学生的探究、归纳能力和解决实际问题的能力.[知识拓展]应用三角函数知识解决实际问题的步骤:(1)根据题意,画出示意图,将实际问题转化为数学问题;(2)用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题;(3)解释结果的合理性.二、利用仰角和俯角解决实际问题课件展示:【想一想】如图所示,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m)教师引导学生思考并回答:1.在这个图中,仰角为30°、仰角为60°分别指哪两个角?2.此题的示意图和“船触礁”问题的示意图一样吗?它们有什么共同点?【学生活动】1.学生分析题目中的两个仰角的对应情况,并相互订正.得出结论:∠DAC=30°,∠DBC=60°.2.两题的示意图都含有两个直角三角形,所以解答方法类似.【教师活动】要求学生类比“船触礁”问题的解答方法,对本题进行解答.【师生活动】学生思考后,独立完成,然后与同伴交流,代表展示,师生共同订正.解:在Rt△ACD中,tan30°=,即AC=.在Rt△BCD中,tan60°=,即BC=.由AB=AC-BC=50,得-=50,解得CD≈43,即塔CD的高度约为43m.[知识拓展]在“测量塔高”的问题中,小明的身高忽略不计,而在实际测量时,应该考虑小明的身高,更准确一点应考虑小明在测量时,眼睛离地面的距离.如果小明测量时,眼睛离地面的距离为1.6m,其他数据不变,此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?【师生活动】引导学生画出示意图后,由学生自己解答.【学生活动】口述解答过程:如图所示,由前面的解答过程可知CD≈43m,则C'D≈43+1.6=44.6(m),即如果考虑小明的高度,塔的高度约为44.6m.[设计意图]直角三角形的边角关系在航海、工程测量等问题中有着广泛应用,通过“测量塔高”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系解决实际问题,提高学生的建模、转化能力,通过问题的变式训练让学生了解更贴近实际生活的数学问题,也为第6节“利用三角函数测高”打下了铺垫.三、利用倾斜角解决实际问题课件展示:【做一做】某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由40°减至35°,已知原楼梯长为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m)【教师活动】要求学生根据题意,画出示意图,将这个实际问题转化成数学问题,并进行解答.【学生活动】先独立完成,然后相互交流,讨论各自的想法.【师生活动】师生共同画出示意图:代表展示解题过程:解:如图所示,在Rt△ABC中,sin40°=,∵AC=4m,∴AB=4sin40°m,原楼梯占地长BC=4cos40°m.调整后,在Rt△ADB中,sin35°=,则AD==(m),楼梯占地长DB=m,∴调整后楼梯加长:AD-AC=-4≈0.48(m).楼梯比原来多占地面:DC=DB-BC=-4cos40°≈0.61(m).【教师点评】本节课所探究的内容是从实际问题中抽象出的数学模型——双直角三角形.[设计意图]本环节的难点在于是否能利用掌握的“双直角三角形”模型,借助方程思想解决问题.处理这个环节时,要给学生充分思考的时间和空间,发挥学生潜在的能力,通过小组合作交流,完善自己的想法,并在教师的指导下,规范地表述思考过程.[知识拓展]形如“双直角三角形”的图形的解题规律:设∠C=α,∠ADB=β,CD=a.1.非特殊角的组合(α和β组合):AB=a.2.特殊角的组合(α和β组合):(1)30°与60°组合:AB=a.(2)30°与45°组合:AB=a.(3)45°与60°组合:AB=a.1.三角函数的应用2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.1.渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上,渔船向正东方向航行了12n mile到达B处,在B处看到灯塔C在正北方向上,这时渔船与灯塔C的距离是()A.6n mileB.8n mileC.2n mileD.4n mile解析:由已知得∠BAC=90°-60°=30°,在直角三角形ABC中,BC=AB·tan30°=12×=4(n mile).故选D.2.如图所示,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20m,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为()A.10mB.10mC.20mD.m解析:∵在直角三角形ADB中,∠D=30°,∴BD==AB.∵在直角三角形ABC中,∠ACB=60°,∴BC==AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=AB-AB=20,解得AB=10.故选A.3.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了m.解析:由题意知调整前梯高为4·sin45°=4×=2(m),调整后梯高为4·sin60°=4×=2(m),∴梯子升高了2(-)m.故填2(-).4.如图所示,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25min后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为m.解析:过点A作AD⊥BC,垂足为D,在Rt△ACD中,∠ACD=75°-30°=45°,AC=30×25=750(m),∴AD=AC·sin45°=375(m).在Rt△ABD中,易知∠B=30°,∴AB=2AD=750(m).故填750.5.小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如下左图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200m到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多远(精确到1m)?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)解:过点P作PC⊥AB于C,如上右图所示,在Rt△APC中,AP=200m,∠ACP=90°,∠PAC=60°,∴PC=200×sin60°=200×=100.∵在Rt△PBC中,sin37°=,∴PB=≈≈288(m).答:小亮与妈妈相距约288m.5三角函数的应用1.三角函数的应用2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.3.一个构造:若原图形不是直角三角形,可添加辅助线构造直角三角形.一、教材作业【必做题】1.教材第20页随堂练习第1,2题.2.教材第21页习题1.6第1,2题.【选做题】教材第21页习题1.6第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·哈尔滨中考)如图所示,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为()A.1200mB.1200mC.1200mD.2400m2.(2014·苏州中考)如图所示,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为()A.4kmB.2kmC.2kmD.(+1)km3.如图所示,小明为了测量河宽AB,先在BA延长线上取一点D,再在同岸取一点C,测得∠CAD=60°,∠BCA=30°,AC=15m,那么河AB宽为m.4.如图所示,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4nmile/h的速度匀速航行,同时乙货船从B港沿西北方向匀速航行,2h后两货船相遇在点P处,则乙货船每小时航行n mile(用根号表示).【能力提升】5.(2015·泰安中考)如图所示,轮船从B处以每小时60n mile的速度沿南偏东20°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,则C处与灯塔A的距离是()A.20n mileB.40n mileC.n mileD.n mile6.如图所示,路边路灯的灯柱BC垂直于地面,灯杆BA的长为2m,灯杆与灯柱BC成120度角,锥形灯罩轴线AD与灯杆AB垂直,且灯罩轴线AD正过道路路面的中心线(D在中心线上),已知点C与D点之间的距离为12m,则BC的高是m.7.如图所示的是某滑板爱好者训练时的斜坡示意图,出于安全因素考虑,决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°,已知原斜坡坡面AB的长为5m,点D,B,C在同一水平地面上.(1)改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB加长多少米?(精确到0.01m)(2)若斜坡的正前方能有3m长的空地就能保证安全,已知原斜坡AB的前方有6m长的空地,进行这样的改造是否可行?说明理由.8.(2014·南充中考)马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我国两艘专业救助船A,B同时收到有关可疑漂浮物的讯息,可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上,在救助船B的西北方向上,船B在船A正东方向140n mile处.(参考数据:sin36.5°≈0.6,cos36.5°≈0.8,tan 36.5°≈0.75)(1)求可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离;(2)若救助船A和救助船B分别以40n mile/h,30n mile/h的速度同时出发,匀速直线前往搜救,试通过计算判断哪艘船先到达P处.【拓展探究】9.如图所示,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°,再沿山坡向上走到P处测得该建筑物顶点A的仰角为45°.已知BC=90m,且B,C,D在同一条直线上,山坡坡度为(即tan∠PCD=).(1)求该建筑物的高度(即AB的长);(2)求此人所在位置点P的铅直高度.(测量角度的仪器的高度忽略不计,结果保留根号形式)【答案与解析】1.D(解析:易知∠ABC=∠α=30°,∴AB===2400(m),即飞机A与指挥台B的距离为2400m.故选D.)2.C(解析:过点A作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中,易知∠ADO=90°,∠AOD=90°-60°=30°,OA=4,∴AD=OA=2.在Rt△ABD中,易知∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=(90°-15°)-30°=75°-30°=45°,∴BD=AD=2,∴AB=AD=2.即该船航行的距离(即AB的长)为2km.故选C.)3.15(解析:过C作CE⊥AB,在Rt△ACE中,∵∠CAD=60°,AC=15m,∴∠ACE=30°,AE=AC=×15=7.5(m),CE=AC·cos30°=15×=(m).∵∠BCA=30°,∠ACE=30°,∴∠BCE=60°,∴BE=CE·tan60°=×=22.5(m),∴AB=BE-AE=22.5-7.5=15(m).故填15.)4.2(解析:如图所示,过点P作PC⊥AB于点C,∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4n mile/h的速度航行,∴∠PAC=90°-60°=30°,AP=4×2=8,∴PC=AP×sin30°=8×=4.∵乙货船从B港沿西北方向匀速航行,∴∠PBC=45°,∴PB=PC÷sin45°=4÷=4,∴乙货船每小时航行4÷2=2(n mile).故填2.)5.D(解析:如图所示,作AM⊥BC于M.由题意得∠DBC=20°,∠DBA=50°,BC=60×=40(n mile),∠NCA=10°,则∠ABC=∠ABD-∠CBD=50°-20°=30°.∵BD∥CN,∴∠BCN=∠DBC=20°,∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴AB=AC,∵AM⊥BC,∴CM=BC=20(n mile).在直角三角形ACM中,∵∠AMC=90°,∠ACM=30°,∴AC===(n mile).故选D.)6.12-4(解析:设灯柱BC的长为h m,作AH⊥CD于点H,作BE⊥AH于点E.∴四边形BCHE为矩形.∵∠ABC=120°,∴∠ABE=30°.又∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ADC=60°.在Rt△AEB中,AE=AB sin30°=1,BE=AB cos30°=,∴CH=.又∵CD=12,∴DH=12-.在Rt△AHD中,tan∠ADH===,解得h=12-4.故填12-4.)7.解:(1)在Rt△ABC中,BC=AC=AB·sin45°=(m),在Rt△ADC中,AD==5(m),CD==(m),∴AD-AB=5-5≈2.07(m).答:改善后的斜坡约加长2.07m.(2)这样改造能行.由(1)可知CD-BC=-≈2.59(m),而6-3>2.59,∴这样改造能行.8.解:(1)过点P作PE⊥AB于点E,如图所示,由题意得∠PAE=90°-53.5°=36.5°,∠PBA=45°,设PE 为x n mile,则BE=PE=x n mile.∵AB=140n mile,∴AE=(140-x)n mile.在Rt△PAE中,=tan∠PAE,即=0.75,解得x=60,∴可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离为60n mile.(2)由(1)知在Rt△PBE中,PE=60n mile,∠PBE=45°,则BP=PE=60(n mile),B船需要的时间为≈2.83(h).在Rt△PAE中,=sin∠PAE,∴AP=PE÷sin∠PAE≈60÷0.6=100(n mile),∴A船需要的时间为100÷40=2.5(h).∵2.83>2.5,∴A船先到达P处.9.解:(1)由题意可知AB⊥BC,在Rt△ABC中,BC=90m,∠ACB=60°,∴AB=BC·tan60°=90(m),故建筑物的高度为90m.(2)如图所示,过点P作PE⊥BD于E,PF⊥AB于F.∵AB⊥BC于B,∴四边形BEPF是矩形,∴PE=BF,PF=BE.设PE=x m,则BF=PE=x m.∵在Rt△PCE中,tan∠PCD==,∴CE=2x.∵在Rt△PAF中,∠APF=45°,∴AF=AB-BF=90-x,PF=BE=BC+CE=90+2x.又∵AF=PF,∴90-x=90+2x,解得x=30-30.答:此人所在位置点P的铅直高度为(30-30)m.本节课选用的教学素材来源于现实生活,船是否有触礁的危险、小明测塔高、怎样改造楼梯都是学生关注和感兴趣的实例,使学生感受到了数学知识就在身边,与现实世界有着非常密切的联系.这些内容对一部分学生来说会显得轻松自如,但对另外一部分学生来说,他们基础较差,对数学的应用不是那么得心应手,关键是不会合理构造直角三角形,所以在学习时会有些困难.在教学时,注重引导学生在审清题意的基础上,自己(或在老师的引导下)画出示意图,将实际问题转化为数学问题,通过亲身经历数学活动的过程,初步掌握数学建模的方法,然后留时间给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以合作互助、优势互补的方式突破难点.本节课的知识比较抽象,为了满足学生的认知规律和逻辑思维习惯,在内容设计上有一定的层次性和弹性.此外,在教学过程中,把一个知识对象尽量用多样化的载体予以呈现,体现了知识发展的阶梯.1.学生间差异较大,部分学生跟不上教学节奏,学习较吃力,需要课下加强辅导.2.本节课设计的练习题的题量比较大,有部分学生没有当堂完成.学生对数学建模思想理解得不透彻,再教时应该时刻提醒学生首先要建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.随堂练习(教材第20页)1.约7.96m.2.(1)17°8'21″.(2)10182.34m3.习题1.6(教材第21页)1.解:∵sin A===,∴∠A=30°,即斜坡的倾斜角为30°.2.解:如图所示,由题意得∠A=30°,AB=50m,∠CBD=45°.∵CD⊥AD,∴CD=BD.设CD=x m,则BD=x m.在Rt△ADC中,tan A===,∴3x=50+x,∴x=≈68.3(m).3.解:过点A作AE⊥BC于E,∵tan B=,∴BE=≈≈49(mm),由题意知四边形ABCD是等腰梯形,∴BC=AD+2BE≈180+2×49=278(mm).4.33.94n mile.[提示:(解法不唯一)方法1:过点B作AN的垂线,可得BC sin75°-BC cos75°=36×.方法2:过点C作AB的垂线,得出两个特殊直角三角形,再利用∠A=45°,∠B=30°求得BC.]1.运用直角三角形的边角关系解决实际问题的关键是掌握两个转化:实际问题数学问题,已知条件数学图形中的边角关系.2.本节课的图形比较特别,为“双直角三角形”,准确把握此图形的特征是总结其规律的前提条件,熟记“双直角三角形”的规律方法会让学生节省大量的时间,提高解题效率.某船以每小时36n mile的速度向正东方向航行,在点A测得某岛C在北偏东60°方向上,匀速航行半小时后到达点B,测得该岛在北偏东30°方向上,已知该岛周围16n mile内有暗礁.(1)试说明点B是否在暗礁区域外;(2)若继续向东航行有无触礁危险?请说明理由.〔解析〕(1)求点B是否在暗礁区域内,其实就是求CB的距离是否大于16,如果大于则不在暗礁区域内,反之,则在.可通过构造直角三角形来求CB的长,作CD⊥AB于D点,CD是直角三角形ACD和直角三角形CBD的公共直角边,可先求出CD的长,再求出CB的长.(2)本题实际上是求C到AB的距离是否大于16,如果大于则无触礁危险,反之,则有,C到AB的距离在(1)中已经求出,只要进行比较即可.解:(1)如图所示,作CD⊥AB于D点,设BC为x,在Rt△BCD中,∠CBD=90°-30°=60°,∴BD=x,CD=x.在Rt△ACD中,∠CAD=90°-60°=30°,∴tan∠CAD==,由题意可知AB=36×=18(n mile),∴=,解得x=18,∵18>16,∴点B在暗礁区域外.(2)有.理由如下:由(1)可知CD=x=×18=9≈15.6(n mile).∵15.6<16,∴若继续向东航行,船有触礁的危险.。
初中数学北师大版九年级下册《第一章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用》教材教案
课题：1.5三角函数的应用课型：新授课年级：九年级教学目标：1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.3．通过把实际问题转化为数学问题过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力．教学重点与难点：重点：经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．教法与学法指导：教法：1.创设情境法.通过播放视频，创设教学情境，激发学生学习兴趣.2.设疑启发法.通过设置疑问，启学生思维，引导学生分析问题.3.观察对比法.通过归纳类比，让学生由感性认识上升到理性认识.学法：1.自主探索法.学生通过独立思考，探索分析，提高数学分析能力.2.合作学习法.学生通过小组讨论，交流等学习过程，加强合作交流，提高学习效果. 教学准备：教师准备：多媒体课件。
学生准备：计算器。
教学过程：一、合作探究，导入新课直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).活动内容1：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的?与同伴进行交流.处理方式：首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，根据“上北下南，左西右东”，B在A的“下偏左”55°位置.C在B的正东方，即C在B的右边.且在A南偏东25°处，即C在A的“下偏左”25°位置．在Rt△ABD中，∵tan55°＝BDAD，∴BD＝AD tan55°.在Rt△ACD中，∵tan25°＝CDAD，∴CD＝AD tan25°．设AD＝x，则BD＝tan55°x，CD＝tan25°x.∵BC＝BD－CD, ∴tan55°x－tan25°x＝20，解得，x＝20tan55tan25︒-︒≈20.79，即AD≈20.79海里．设计意图：“学数学、用数学”应是我们每位数学教师在教学中时刻不忘的数学宗旨.我们教育的学生，不只要学会知识，更重要的是会用知识.将实际问题抛给学生，引导学生想象问题情境，将自己置身于问题情境中，才能顺利的转化为数学问题，从而学会用数学知识解决实际问题.二、分析探索, 新知学习活动内容1：回答下列问题.如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)处理方式：（自主解决问题）（鼓励学生展示一下自己的过程）（实物投影展示）法1：由题意可知∠DAC＝30°，∠DBC=60°，AB＝50m．因为CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，所以，设CD=x，在Rt△ADC中，∵tan30°＝CDAC，∴AC＝tan30CD︒，即AC＝3x.法2:在Rt△BDC中，∵tan60°＝CDBC，∴BC＝tan60CD︒，即BC＝33x.又∵AB＝AC－BC＝50m，∴3x－33x＝50．解得，x＝253≈43，∴CD≈43m.即塔CD的高度约为43m．（实物投影展示）∵∠DAC＝30°，∠DBC=60°，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝∠ADB，∴AB＝BD＝50.在Rt△BDC中，∵sin60°＝CD BD，∴CD＝sin60°BD＝50×32＝253≈43m.即塔CD的高度约为43m．设计意图：直角三角形的边角关系在航海，工程等测量问题中有着广泛应用，通过“想一想”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系这一知识解决实际问题，提高学生的建模，转化能力.三、拓展升华, 变式思考活动内容1：在这个问题中，小明的身高忽略不计，而在实际测量时，应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离．如果小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？处理方式：（3分钟时间思考，交流，并实物投影展示.）如图所示，由前面的解答过程可知CC＇≈43m，则CD＝43＋1.6＝44.6m，即如果考虑小明的高度，塔的高度为44.6m．以开放题的形式呈现，让学生从多角度思考问题，既能培养学生的数学思维能力，又能调动学生学习数学的积极性.学生情绪高涨，讨论热烈.进而得出推论。
高中数学教案三角函数的应用实例
高中数学教案三角函数的应用实例一、教学目标：1.了解三角函数的应用领域及其重要性；2.熟练掌握三角函数在几何图形研究中的应用；3.能够运用三角函数解决实际问题。
二、教学内容：1.三角函数的应用领域；2.三角函数在几何图形研究中的应用；3.使用三角函数解决实际问题。
三、教学过程：1.导入（5分钟）教师可通过课前准备好的图片或实物，引入三角函数的应用领域，并简要介绍其重要性。
2.概念解释（5分钟）教师对三角函数的定义进行简要回顾，并强调其在几何图形研究中的作用。
3.几何图形应用示例（15分钟）教师列举几个几何图形的实例，要求学生通过使用三角函数来计算图形的相关属性。
例如，给定一个直角三角形的一个角度和一条边长，让学生使用三角函数来计算另外两条边的长度。
4.实际问题解决（15分钟）教师给学生提供一些实际问题，要求学生使用三角函数进行计算。
例如，一辆车在直线上运动，已知其速度和行驶角度，求车辆在其中一时刻的水平速度和垂直速度。
5.小组讨论与展示（15分钟）学生分成小组，相互讨论并解决教师提出的问题。
每个小组派一名代表进行解答，并向全班展示解题过程和答案。
6.总结回顾（5分钟）教师对本节课的内容进行总结回顾，强调三角函数在几何图形研究和实际问题解决中的重要性。
四、教学反思：通过本节课的教学，学生能够进一步了解三角函数的应用领域，并能够熟练运用三角函数解决几何图形和实际问题。
教师在教学过程中注重培养学生的合作与思考能力，通过小组讨论和展示，加深学生对知识点的理解和应用能力。
同时，教师还可以通过教材中的习题和实例加深学生的练习和巩固。
三角函数单元整体教学设计
三角函数单元整体教学设计---一、教学目标1. 理解三角函数的概念，包括正弦、余弦和正切函数。
2. 掌握三角函数的基本性质，如周期性、对称性等。
3. 能够根据给定的角度计算三角函数值。
4. 能够应用三角函数解决实际问题，如测量高度、距离等。
5. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容1. 三角函数的定义与性质- 弧度制与角度制的转换- 正弦、余弦和正切函数的定义- 三角函数的周期性和对称性- 三角函数图像的特点2. 三角函数的计算- 特殊角的三角函数值计算- 任意角的三角函数值计算- 三角函数值的关系式3. 三角函数的应用- 三角函数在几何中的应用- 三角函数在物理中的应用- 三角函数在工程中的应用三、教学方法1. 导入阶段- 创设情境，引发学生对三角函数的兴趣。
- 提问导入，让学生思考已有的数学知识，与三角函数建立联系。
2. 理论讲解阶段- 以简洁明了的方式讲解三角函数的定义与性质。
- 通过具体的例子和图表展示三角函数的计算方法。
- 提供给学生大量的练题目，加强他们的记忆与理解。
3. 实践操作阶段- 分组讨论，让学生合作解决实际问题。
- 引导学生使用三角函数解决几何、物理和工程问题。
- 鼓励学生动手操作，通过实际测量，加深对三角函数的理解与应用。
4. 归纳总结阶段- 整理学生的思路，帮助他们总结所学的知识点。
- 发布任务，让学生自主研究、探究、总结相关知识。
四、教学评价1. 课堂表现评价- 学生的课堂参与程度和回答问题的准确性。
- 学生对课堂内容的理解和运用能力。
2. 作业评价- 作业的完成情况和正确率。
- 学生对教材中练题的思考和解答过程。
3. 实际应用评价- 学生在解决实际问题时的表现和解决策略。
- 学生对三角函数应用的创造性和灵活性。
五、教学资源1. 教材：使用教材中的相关章节进行讲解和练。
2. 多媒体设备：使用投影仪展示相关图表和计算方法。
3. 实验器材：提供测量工具，让学生进行实际测量和应用。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计一. 教材分析《三角函数的应用》是北师大版九年级数学下册的重要内容。
这部分内容主要介绍了三角函数的概念、性质及应用。
通过学习，学生可以了解三角函数的基本概念，掌握三角函数的性质，并能运用三角函数解决实际问题。
本节课的内容为后续学习三角函数的其他部分打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于三角函数这一部分内容，由于其抽象性和复杂性，学生可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步理解和掌握三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解三角函数的基本概念，掌握三角函数的性质。
2.能够运用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.三角函数的基本概念。
2.三角函数的性质。
3.运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解，使学生了解三角函数的基本概念和性质。
2.案例分析法：通过分析实际问题，使学生掌握运用三角函数解决问题的方法。
3.讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作三角函数的课件，帮助学生直观地理解三角函数的概念和性质。
2.实际问题：准备一些与生活相关的实际问题，用于引导学生运用三角函数解决实际问题。
3.练习题：准备一些有关三角函数的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与三角函数相关的实际问题，引导学生思考并引入新课。
2.呈现（10分钟）讲解三角函数的基本概念和性质，让学生了解三角函数的定义和特点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析实际问题，并运用三角函数解决问题。
教师巡回指导，帮助学生解决讨论中的问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
教师及时批改，给予学生反馈。
5.拓展（10分钟）讲解一些与三角函数相关的拓展知识，引导学生思考和探索。
(完整版)三角函数教学设计
(完整版)三角函数教学设计一、教学目标本教学设计的目标是帮助学生全面了解和掌握三角函数的基本概念、性质和应用，并能够灵活运用三角函数解决实际问题。
具体目标包括：- 理解正弦、余弦和正切函数的定义和几何意义；- 掌握三角函数的周期性、对称性和特殊值；- 能够使用三角函数计算角度的大小和边长的比例关系；- 能够应用三角函数解决实际问题，如测量高度、距离和角度等。
二、教学内容和方法1. 教学内容本教学设计将侧重以下内容的教学：- 正弦、余弦和正切函数的定义和几何意义；- 三角函数的图像和性质；- 角度的度量和弧度制；- 三角函数的周期性、对称性和特殊值；- 三角函数的运算法则和性质；- 三角函数在实际问题中的应用。
2. 教学方法为了提高学生的研究兴趣和参与度，本教学设计将采用多种教学方法：- 示范法：通过展示三角函数的图像和示例问题，引导学生理解和掌握概念及性质；- 活动法：组织学生进行小组讨论和问题解决，促进学生的合作和思维能力；- 实践法：设计实际问题的应用练，让学生运用所学知识解决实际问题；- 多媒体辅助教学：利用投影仪、电脑等多媒体设备展示图像、动画和实例，提高学生的直观理解能力。
三、教学过程1. 导入和概念解释- 利用幻灯片、视频等多媒体工具介绍三角函数的概念、定义和几何意义。
- 运用示例问题引发学生的思考，提出研究三角函数的重要性和实际应用场景。
2. 理解和掌握三角函数的图像和性质- 展示三角函数的图像和周期性、对称性等性质。
- 引导学生观察和分析图像，理解波动、振荡的概念，并解释三角函数的周期性和对称性。
3. 认识角度的度量和弧度制- 通过示范角度的度量和弧度制的转换，帮助学生理解角度的概念和表达方式。
4. 掌握三角函数的运算法则和性质- 引导学生通过几何解释和推导，了解三角函数的运算法则和常用性质。
5. 实际问题的应用- 提供与实际问题相关的三角函数应用实例，让学生应用所学知识解决问题，如测量建筑物高度、计算目标距离等。
三角函数的定义及应用教学教案
三角函数的定义及应用教学教案一、教学目标1. 让学生了解三角函数的定义，理解正弦、余弦、正切函数的概念。
2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索三角函数的性质和变化规律。
二、教学内容1. 三角函数的定义1.1 正弦函数1.2 余弦函数1.3 正切函数2. 三角函数的图像和性质2.1 正弦函数的图像和性质2.2 余弦函数的图像和性质2.3 正切函数的图像和性质3. 三角函数的应用3.1 实际问题求解3.2 三角函数在工程和技术领域的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：三角函数的定义，三角函数的图像和性质，三角函数的应用。
2. 教学难点：三角函数图像的分析和理解，三角函数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索三角函数的性质和变化规律。
2. 利用多媒体课件，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 结合实际例子，让学生体会三角函数在工程和技术领域的应用。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入高中阶段的学习。
2. 讲解三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数。
3. 分析三角函数的图像和性质：正弦函数、余弦函数、正切函数。
4. 应用三角函数解决实际问题：举例说明三角函数在工程和技术领域的应用。
6. 布置作业：巩固所学知识，提高运用能力。
六、教学策略与手段6.1 教学策略采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索三角函数的性质和变化规律。
利用多媒体课件，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
结合实际例子，让学生体会三角函数在工程和技术领域的应用。
提供丰富的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
6.2 教学手段使用多媒体课件，展示三角函数的图像和实例，帮助学生更好地理解和掌握知识。
提供纸质或电子版的教学资源，供学生复习和参考。
利用数学软件或工具，让学生亲身体验和探究三角函数的性质。
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》说课稿
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册1.5《三角函数的应用》这一节主要介绍了三角函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的应用，理解三角函数的实际意义，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对正弦函数、余弦函数和正切函数有一定的了解。
但学生在应用三角函数解决实际问题方面可能存在一定的困难，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角函数在实际问题中的应用，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的运用方法。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，学生能够提高运用三角函数解决问题的能力，培养学生的数学思维。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习三角函数的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在实际生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解三角函数在实际问题中的应用，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的运用方法。
2.教学难点：学生如何将实际问题转化为三角函数问题，如何灵活运用三角函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用案例分析法、问题驱动法、小组合作法等，引导学生主动探究，提高学生解决实际问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，帮助学生形象直观地理解三角函数在实际问题中的应用。
六. 说教学过程1.导入：以一个实际问题引入，激发学生学习兴趣，引导学生思考如何运用三角函数解决实际问题。
2.新课讲解：通过案例分析，讲解正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的应用，引导学生理解三角函数的实际意义。
3.实践操作：学生分组讨论，选取一个实际问题，运用三角函数进行解决，培养学生的实际操作能力。
4.总结提升：教师引导学生总结本节课所学内容，巩固学生对三角函数在实际问题中的应用的理解。
高中数学教案三角函数的计算与应用
高中数学教案三角函数的计算与应用高中数学教案：三角函数的计算与应用一、引言数学是一门抽象而理性的学科，而三角函数则是其中一个重要的分支。
在高中数学课程中，三角函数的计算与应用是一个重要的内容。
通过学习和掌握三角函数的计算方法与实际应用，学生可以更好地理解数学知识，并将其应用于实际生活和问题解决中。
二、三角函数的基本概念在介绍三角函数的计算与应用之前，我们首先需要了解三角函数的基本概念。
在直角三角形中，根据三角形的三边长度比例可定义三角函数：正弦、余弦和正切。
其中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。
三、三角函数的计算1. 正弦函数的计算正弦函数的计算方法如下：sin(A) = 对边/斜边其中，A表示直角三角形中的一个角，对边指的是与该角相对的边的长度，斜边为斜边的长度。
例如，若已知一个直角三角形的对边为3，斜边为5，则该角对应的正弦函数值为sin(A)=3/5。
2. 余弦函数的计算余弦函数的计算方法如下：cos(A) = 邻边/斜边与正弦函数类似，邻边指的是与该角相邻的边长度。
例如，若已知一个直角三角形的邻边为4，斜边为5，则该角对应的余弦函数值为cos(A)=4/5。
3. 正切函数的计算正切函数的计算方法如下：tan(A) = 对边/邻边正切函数是对边与邻边的比值。
例如，若已知一个直角三角形的对边为3，邻边为4，则该角对应的正切函数值为tan(A)=3/4。
四、三角函数的应用1. 三角函数在几何中的应用三角函数在几何中的应用非常广泛。
通过运用三角函数的计算方法，我们可以计算和推导出各种几何问题的解，例如计算三角形的面积、计算直角三角形的各边长度等。
2. 三角函数在物理中的应用三角函数在物理学中也有重要的应用。
例如，通过计算正弦函数可以解决弹射物体的运动问题，计算余弦函数可以解决两个力的合成问题，计算正切函数可以解决斜面上物体的滑动问题。
《三角函数的概念》教学设计
《三角函数的概念》教学设计一、教学目标：1.了解三角函数的定义和性质。
2.掌握常见角的三角函数值的计算方法。
3.能够运用三角函数解决实际问题。
二、教学内容：1.三角函数的定义和性质。
2.常见角的三角函数值的计算。
3.三角函数的应用。
三、教学过程：步骤一：导入新知识教师用一张高中三角函数的海报引入新知识，向学生介绍三角函数在数学中的重要性和广泛使用。
步骤二：三角函数的定义和性质1.教师通过幻灯片和简单的例子，介绍正弦、余弦和正切的定义，并解释它们在定义域和值域上的关系。
2.学生通过小组活动，自主研究并总结正弦、余弦和正切函数的周期、奇偶性和对称性等性质，并在黑板上呈现出来。
3.教师对学生的总结进行点评和补充。
步骤三：常见角的三角函数值的计算1.教师通过多个角度的三角函数值计算，引导学生寻找计算的规律，并总结下来。
2.学生通过小组活动，自主研究不同角度的三角函数值计算，并在黑板上呈现出来。
3.教师对学生的总结进行点评和补充。
步骤四：三角函数的应用1.教师通过实际问题的例子，引入三角函数的应用领域。
2.学生通过小组活动，分析和解决实际问题，并在黑板上呈现出来。
3.教师对学生的解决过程和答案进行点评和补充。
步骤五：课堂练习教师设计一系列练习题，让学生巩固和应用所学的三角函数知识。
步骤六：作业布置教师布置相应的作业，让学生回家进行练习和巩固所学的知识。
四、教学手段和学具1.幻灯片：展示三角函数的定义和性质。
2.海报：引导学生思考三角函数的应用领域。
3.黑板：学生总结和呈现所学的知识。
4.练习题：巩固和应用所学的知识。
五、教学评价：1.教师通过课堂观察、小组活动和学生的呈现，对学生的学习情况进行评价。
2.教师根据学生的学习情况，对下一堂课的教学进行调整和改进。
六、板书设计1.三角函数的定义和性质- 正弦：sin(A)=a/c- 余弦：cos(A)=b/c- 正切：tan(A)=a/b2.常见角的三角函数值的计算- 0度：sin0°=0, cos0°=1, tan0°=0- 30度：sin30°=1/2, cos30°=√3/2, tan30°=√3/3- 45度：sin45°=√2/2, cos45°=√2/2, tan45°=1- 60度：sin60°=√3/2, cos60°=1/2, tan60°=√3- 90度：sin90°=1, cos90°=0, tan90°=无穷3.三角函数的应用-三角函数在航海、建筑、力学等领域的应用。
深化中学生对三角函数的理解与应用的教案
深化中学生对三角函数的理解与应用的教案引言：三角函数是中学数学中的重要内容，也是高中数学的基础。
深化中学生对三角函数的理解与应用，不仅可以帮助学生更好地掌握数学知识，还能培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将通过设计一份教案，以帮助中学生更好地理解和应用三角函数。
一、知识概述1.1 三角函数的定义三角函数是指正弦、余弦、正切等函数，它们与三角形的边长和角度之间存在一定的关系。
通过对三角函数的定义进行讲解，引导学生理解三角函数的含义和作用。
1.2 三角函数的性质三角函数具有周期性、奇偶性等性质，通过对这些性质的讲解和实例分析，帮助学生更好地理解和应用三角函数。
二、理论探究2.1 三角函数的图像通过绘制正弦、余弦、正切等函数的图像，让学生观察和分析图像的特点，进一步加深对三角函数的理解。
2.2 三角函数的应用介绍三角函数在几何、物理等领域的应用，如三角形的面积计算、物体的运动分析等，引导学生将所学的三角函数知识应用到实际问题中。
三、实践探究3.1 探究正弦函数的性质设计一组实验，让学生通过改变角度的大小，观察正弦函数图像的变化规律，进一步理解正弦函数的周期性和变化规律。
3.2 解决实际问题给出一道实际问题，要求学生利用所学的三角函数知识进行求解。
例如，一辆车以60km/h的速度行驶，车头与水平方向成30°的角度，求车头在垂直方向上的位移。
四、拓展延伸4.1 三角函数的扩展介绍其他与三角函数相关的概念，如反三角函数、复数形式的三角函数等，拓宽学生对三角函数的认识。
4.2 三角函数的应用拓展引导学生进一步思考三角函数在其他领域的应用，如音乐、建筑等，激发学生的兴趣和创造力。
五、总结反思通过本教案的学习，学生深化了对三角函数的理解与应用。
同时，也培养了学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教师可以通过课堂讨论、小组合作等方式，对学生的学习效果进行评估和总结，进一步完善教学内容和方法。
结语：深化中学生对三角函数的理解与应用，是中学数学教育的重要任务。
1.5三角函数的应用(课件)-九年级数学下册(北师大版)【05】
建立方程 （构建三角函数模型）
五、当堂达标检测
1.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海 平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与
观测者之间的水平距离BC=______1_0_0_米.
2.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km， 某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段 距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于 北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的
750－600≈150(km)． 答：飞机的飞行路程比原来的路程
在Rt△ACD中，AC = 600( 3 -1). 600km远了150km.
长）为___2___2_k_m.
五、当堂达标检测
E
F
五、当堂达标检测
4. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的 雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞 行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞 机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？
分析：如图，①求调整后的楼梯会加长多少，如何求AB、即求 AΒιβλιοθήκη -BD；AD的长呢？B
②求楼梯多占多长一段地面，即求 AD .
在Rt△BCD中，已知一边和一角，可以求出BC、 CD的长，进而在Rt△ABC中求出AB、AC，进而 A 求出AB-BD和AD.
4m
35° 40° ┌
D
C
二、自主合作，探究新知
5.如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角, 且DB＝5 m.在C点上方2 m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆 ED的长度为多少?(结果精确到0.01 m)
四、课堂小结
大学数学三角函数应用教案
教案：大学数学三角函数应用课程名称：大学数学课程内容：三角函数的应用教学目标：1. 理解三角函数的概念和性质；2. 学会使用三角函数解决实际问题；3. 掌握三角函数在工程、物理等领域的应用。
教学重点：1. 三角函数的概念和性质；2. 三角函数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 三角函数的求解和应用；2. 理解三角函数在工程、物理等领域的意义。
教学准备：1. 教师讲义；2. 学生教材；3. 投影仪或黑板。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾高中阶段学习的三角函数知识，包括正弦、余弦、正切函数的定义和性质；2. 提问：三角函数在实际生活中有什么应用呢？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解三角函数的概念和性质，包括正弦、余弦、正切函数的图像和性质；2. 通过实例讲解三角函数在实际问题中的应用，如测量问题、振动问题等；3. 讲解三角函数在工程、物理等领域的应用，如电路设计、力学分析等。
三、课堂练习（15分钟）1. 给出几个实际问题，让学生运用三角函数知识解决；2. 学生分组讨论，共同解决问题；3. 学生汇报解题过程和结果，教师点评。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结三角函数的概念和性质；2. 强调三角函数在实际问题中的应用和意义；3. 提醒学生注意三角函数在工程、物理等领域的应用。
五、课后作业（课后自主完成）1. 复习本节课所学内容，做好笔记；2. 完成课后练习题，巩固知识点；3. 探索三角函数在其他领域的应用，如通信、天文等。
教学反思：本节课通过讲解三角函数的概念和性质，以及实际问题中的应用，让学生掌握了三角函数的基本知识。
通过课堂练习和课后作业，学生能够进一步巩固所学内容，并了解到三角函数在工程、物理等领域的应用。
在教学过程中，要注意引导学生主动参与课堂讨论，提高学生的学习兴趣和积极性。
同时，要加强课后作业的指导，帮助学生更好地理解和运用所学知识。
三角函数的应用教学设计
三角函数的应用教学设计
一、教学背景
在高中数学中，学习三角函数是一个重要的知识点，它是高数的基础，也是其他数学学科，特别是初高中几何的重要组成部分。
三角函数与微积
分有着密切的关系，而微积分则是现代数学的核心，是推动科学技术进步
的重要动力。
在学习三角函数的过程中，学生需要掌握三角函数的定义、性质、应
用等相关知识，特别是三角函数的应用方面，是最能考察学生学习成果的
考查点。
二、教学目标
1.根据三角函数定义，熟练掌握三角函数的概念和性质，如正弦函数、余弦函数、正切函数的定义以及各函数的性质；
2.熟练掌握三角函数的解析式和图像，能准确计算三角函数的值；
3.熟练掌握三角函数在实际应用中的方法，包括求解三角型恒定角、
重置三角型、求解线性系统等。
三、教学内容
1.三角函数的定义：三角函数是指一类由三角形的定义构造而成的函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
2. 三角函数的性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的
性质都有其特定的表达式，如正弦函数满足
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，余弦函数满足cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB。
3.三角函数的解析式和图像：三角函数的解析式可以利用相似三角形的定义构造。
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1、在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.
2、选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.
3、通过问题情境的创设和引导学生主动探究，主动参与，体会数学的应用意识，同时体验成功的快乐，培养学生的合作精神和求真务实的科学态度.
教学
重难点
教学重点：
1、经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2、发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
教学难点：灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决.
教学
方法
教法
指导、启发、演示、探究、讨论、发现法.
学法
自主、合作、探究、发现法、小组讨论交流.
3、力图引发学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想，即抽象成平面图形（直角三角形），再利用三角函数解决问题及其拓展与延伸（如“做一做”）.
解决问题
1、发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.
2、能将实际问题抽象成数学问题（数学符号或图像）.
3、让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
教学课时
1课时
教案设计
石门实验:任晓红、姚惠敏
教学课题
§1.5三角函数的应用
教
材
分
析
1、本节内容属于北师大版九年级数学下册第一章第五节的内容，位于本册书的第19页至21页（包括练习题）.
2、本章“直角三角形的边角关系”属于三角学，主要内容包括：锐角三角函数（正弦、余弦和正切），解直角三角形以及三角函数法在解相关的综合题中的运用（意识）.锐角三角函数是自变量为锐角时的三角函数，即缩小了定义域的后的三角函数．解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具．相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与“勾股定理”和“相似”两章有着密切关系.锐角三角函数是本套教科书中唯一出现过的初等超越函数，出现过的其他函数（一次函数、二次函数等）都是代数函数.锐角三角函数的一个突出特点是概念的产生和应用都与图形分不开.锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是角，函数值是直角三角形中边长的比值.学习本章不仅可以使学生对函数概念的认识更全面，而且可以对用变化和对应的观点讨论几何图形问题的方法认识得更深入.
现
三、引导探究，合作交流
“知识是能力的基础，能力是知识的升华，情感是力量的源泉”.
通过各种途径，培养学生的搜索力、发现力、概括力、想象力、记忆力、思维力、操作力、应变力、创造力和自我调控力.
教师活动
(恰到好处的引导作用)
学生活动
(体现充分的主体作用)
ห้องสมุดไป่ตู้教学
环节
教学内容
教师活动设计
学生
活动设计
情
境
引
入
一、回顾与思考
1、直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？
2、互余两角之间的三角函数关系？
3、同角之间的三角函数关系？
4、30°、45°、60°角的三角函数值是多少？
二、创设情境、引入课题
请同学们欣赏动画影片《船要触礁了》
引导学生复习
刚才大家欣赏了动画影片《船要触礁了》，大家看到了什么？有什么感受？引导学生交流，并提出本节课要探究的课题.板书课题：§1.5三角函数的应用
5、本节内容包括“情景引入”、“想一想”、“做一做”、“随堂练习（两道）”、“读一读”、“问题解决(共4题)”，毫无疑问，编者的意图是想通过这些环节，让学生自己“想一想、做一做、议一议、读一读，听一听讲解，体会到数学的意义与趣味”.这种课堂模式的架构方向明确，回归学生主体的意识得到强化.“随堂练习”中两个问题，既是前三个环节的补充也是运用的延伸.
四
维
目
标
知识
目标
1、经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2、能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
数学思考
1、从生活实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学的思想.
2、进一步感受数形结合的思想（方程方法与画图法）.
引入新课
回答问题
1、欣赏动画影片《船要触礁了》.
2、回答老师提出的问题.
从学生熟知的现实情景入手，既增强了趣味性，一下子抓住学生的注意力；又能使课题蕴含其中，使学生体会数学就在我们身边，也合理地揭示了学习新知识的必要性，从而激发学生探究的积极性.
教学
环节
教学内容
教师活动设计
学生
活动设计
自
主
合
作
探
究
发
3、《课程标准》要求是：“能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题”本节知识以及后一节的“利用三角函数测高”正式落实标准中的“能用相关知识解决一些简单的实际问题”而编排的，共分为两课时.
4、本节内容属于三角学内容的一部分，是在直角三角形三角函数知识教授之后的简单运用.是《数学课程标准》中“图形与几何”领域的“图形变化”中的重要内容.主要研究解利用三角函数解决实际问题.掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备.
教具
学具
准备
铅笔、厚纸片、粗彩笔、方格纸、三角板、直尺、剪刀、多媒体课件和投影仪.
教学过程设计
巧设情景
导入新课
分一个情境、三个探究和二个问题解决进行
过
程
与
方
法
课
堂
要
素
提
示
充分体现“自主、合作，分层评价”（渗透探究的内涵）的教学特色.
（“少讲，多思考；少示范，多自主探究；少站讲台，多与学生交流合作.”）
学
生
知
识
状
况
分
析
学生已经学习了直角三角形中量与量之间的三个关系：边与边的关系（勾股定理）；角与角的关系（直角三角形两锐角互余）；边与角的关系（正弦、余弦、正切）.并能够利用这三个关系，在直角三角形中进行一些简单计算，而且能根据生活中的一些情景，用所学知识解决一些简单的实际问题.在整个学习过程中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.并对用数学有相当的兴趣和积极性.不过学生探究和解决问题的能力毕竟有限，尚待加强.本节课主要是在学生原有认知能力的基础上，进一步学习用锐角三角函数解决实际问题，经历把实际问题转化成数学问题的过程，建立相应的数学模型，以提高应用数学知识解决实际问题的能力.