2015年考研数三真题(1)
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及详解
D1 (r , ) 0 , 0 r 2sin 4 D2 (r , ) , 0 r 2cos 4 2
所以
D
f ( x, y)dxdy 4 d
0
2sin
0
f (r cos , r sin )rdr 2 d
(8) 设总体 X ~ B m, , X1 , X 2 , 值,则 E X i X (A)
, X n 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均
n i 1
2
(
) (B) m n 1 1 (D) mn 1
m 1 n 1
判别法可得
n
n 1
n!
n
收敛；
(1)n 1 (1)n 1 (1) n 对于选项 C， ，根据莱布尼茨判别法知 收敛， ln n n 1 n 1 ln n n 1 ln n n 1 ln n
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d (e x2 y 3 z xyz) e x2 y 3 z d ( x 2 y 3z ) d ( xyz ) e x2 y 3 z (dx 2dy 3dz ) yzdx xzdy xydz 0
把 x 0 ， y 0 ， z 0 代入上式，得 dx 2dy 3dz 0 所以 dz (0,0) dx
【解析】原极限 lim
x 0
(10)设函数 f ( x) 连续， ( x)
x2
0
xf (t )dt , 若 (1) 1, (1) 5, 则 f (1) ________ .
考研数学三(矩阵的特征值与特征向量、二次型)-试卷1
考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷1(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、 填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设A 是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α 1 =(1，2，1) T与α 2 =(1，-1，1) T，则λ=2的特征向量是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t(-1，0，1) T，t≠0．）解析：解析：设λ=2的特征向量是α=(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交．故有所以λ=2的特征向量是t(-1，0，1) T，t≠0．2.已知x= 1，y= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0） 填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解析：由A ～B ，知，且-1是A3.已知矩阵a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-1） 解析：解析：由A 的特征多项式 ｜λE-A ｜= =(λ+1) 3， 知矩阵A 的特征值是λ=-1(三重根)，因为A 只有2个线性无关的特征向量，故从而a=-1．4.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2+(x 2 -x 3 ) 2+(x 3 +x 1 ) 2的正、负惯性指数分别为p= 1，q= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2） 填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：解析：由于二次型的标准形是p=2．q=0．5.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x TAx=2x 2 2+2x 3 2+4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2 x 3 的矩阵A= 1，规范形是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2，6，-4；x 1 2+x 2 2-x 3 2）解析：解析：按定义，二次型矩阵A=．由特征多项式｜λE-A ｜λ-6)(λ-2)(λ+4)，知矩阵A 的特征值是：2，6，-4． 故正交变换下二次型的标准形是2y 21 +6y 22 -4y 23 ．所以规范形是x 21 +x 22 -x 23 ． 或，由配方法，有 f=2[x 2 2+2x 2 (x 1 +2x 3 )+(x 1 +2x 3 ) 2]+2x 3 2-4x 1 x 3 -2(x 1 +2x 3 ) 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2x 1 2-12x 1 x 3 -6x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 2+6x 1 x 3 +9x 32)+12x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 +3x 3 ) 2+12x 3 2， 亦知规范形是x 1 2+x 2 2-x 3 2．6.假设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x+ax 2 -2x 3 ) 2+(2x 2 +3x 3 ) 2+(x 1 +3x 2 +ax 3 ) 2正定，则a 的取值为 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：(x 1，x 2，x 3 )恒有平方和f(x 1，x 2，x 3)≥0，其中等号成立的充分必要条件是按正定定义，f正定=(x 1，x 2，3 ) T≠0，恒有f(x 1，x 2，x 3 )＞0．因此，本题中二次型f正定方程组(*)只有零解所以a的取值为a≠1．二、解答题(总题数：24，分数：48.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷1(题后含
考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设矩阵A=，那么矩阵A的三个特征值是( )A．1，0，-2．B．1，1，-3．C．3，0，-2．D．2，0，-3．正确答案：D解析：根据特征值的性质：∑λi=∑aij 现在∑aii=1+(-3)+1=-1，故可排除选项C．显然，矩阵A中第2、3两列成比例，易知行列式｜A｜=0，故λ=0必是A的特征值，因此可排除选项B．对于选项A和选项D，可以用特殊值法，由于说明λ=1不是A 矩阵的特征值．故可排除选项A．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．已知A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是( )A．A-EB．2A-EC．A+2ED．A-4E正确答案：C解析：因为A*的特征值是1、-1、2、4，所以｜A*｜=-8，又因为｜A*｜=｜A｜n-1，即｜A｜3=-8，于是｜A｜=-2．那么，矩阵A的特征值是：-2，2，-1，因此，A-E的特征值是-3，1，-2，，因为特征值非0，故矩阵A—E可逆．同理可知矩阵A+2E的特征值中含有0，所以矩阵A+2E不可逆．所以应选C．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是( )A．ATB．A2C．A-1D．A-E．正确答案：A解析：由于｜λE-AT｜=｜(λE-A)T｜=｜λE-A｜，A与AT有相同的特征多项式，所以A与AT有相同的特征值．由Aα=λα，α≠0可得到：A2α=λ2α，A-1α=λ-1α，(A-E)α=(λ-1)α，说明A2、A-1、A-E与A的特征值是不一样的(但A的特征向量也是它们的特征向量)．所以应选A．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．已知α=(1，-2，3)T是矩阵A=的特征向量，则( )A．a=-2，b=6．B．a=2，b=-6．C．a=2，b=6．D．a=-2，b=-6．正确答案：A解析：设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，按定义有所以λ=-4，a=-2，b=6，故应选A．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量β是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中(1)A2 (2)P-1AP (3)AT (4)α肯定是其特征向量的矩阵共有( )A．1个．B．2个．C．3个．D．4个．正确答案：B解析：由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAa=λ2α，α≠0，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量．关于(2)和(3)则不一定成立．这是因为(P-1AP)(P-1α)=P-1Aα=λP-1α，按定义，矩阵P-1AP，的特征向量是P-1α因为P-1α与α不一定共线，因此α不一定是P-1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的．线性方程组(λE-A)x=0与(λE-AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是( )A．若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量．B．若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量．C．若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量．D．若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量．正确答案：D解析：如果α是2A的特征向量，即(2Aα)=λα，α≠0．那么Aα=，所以α是矩阵A属于特征值的特征向量．由于(λE-A)x=0与(λE-AT)x=0不一定同解，所以α不一定是AT的特征向量．例如上例还说明当矩阵A不可逆时，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量也不一定是A的特征向量．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量7．已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα-2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量是( ) A．αB．Aα+2αC．A2α-AαD．A2α+2Aα-3α正确答案：C解析：因为A3α+2A2α-3Aα=0．故(A+3E)(A2α-Aα)=0=0(A2α-A α)，因为α，Aα，A2α线性无关，那么必有A2α-Aα≠0，所以A2α-Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量．所以应选C．知识模块：矩阵的特征值和特征向量8．设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，-α2)，则P-1AP=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由Aα2=3α2，有A(-α2)=3(-α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，-α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量．同理，2α3仍是矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量．当P-1AP=A时，P由A的特征向量所构成，A由A的特征值所构成，且P与A的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，-2，故对角矩阵A应当由1，3，-2构成，因此排除选项B、C．由于2α3是属于λ=-2的特征向量，所以-2在对角矩阵A中应当是第2列，所以应选A．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题9．设3阶方阵A的特征值分别为-2，1，1，且B与A相似，则｜2B｜=______ 正确答案：-16解析：因为相似矩阵有相同的特征向量，矩阵对应的行列式等于特征向量的乘积，因此有知识模块：矩阵的特征值和特征向量10．设3阶矩阵A的特征值分别为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则｜4A-1-E｜=_______正确答案：3解析：根据已知条件A的特征值为1，2，2，A-1的特征值为，因此进一步可得4A-1-E的特征值为3，1，1，所以｜4A-1-E｜=3×1×1=3．知识模块：矩阵的特征值和特征向量11．设3阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，则P-1AP=______正确答案：解析：因为3α3，α1，2α2分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以知识模块：矩阵的特征值和特征向量12．已知A有一个特征值-2，则B=A2+2E必有一个特征值是______正确答案：6解析：因为λ=-2是A的特征值，所以根据特征值的性质，λ2+2=(-2)2+2=6是B=A2+2E的特征值．知识模块：矩阵的特征值和特征向量13．设A是n阶矩阵，λ=2是A的一个特征值，则2A2-3A+5E必定有特征值________正确答案：7解析：如果λ是A的一个特征值，α是对应于A的一个特征向量，则Aα=λα，因此有A2α=A(λα)=λAα=λ2α．因此可知(2A2-3A+5E)α=2A2α-3Aα+5α=(2λ2-3λ+5)α，所以2×22-3×2+5=7一定是2A2-3A+5E的一个特征值．知识模块：矩阵的特征值和特征向量14．设A是3阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值_________正确答案：5解析：已知各行元素的和都是5，即化为矩阵形式，可得知识模块：矩阵的特征值和特征向量15．已知A=，A*是A的伴随矩阵，那么A*的特征值是______正确答案：1，7，7解析：根据矩阵A的特征多项式可得矩阵A的特征值为7，1，1．又因为｜A｜=∏λi，可得｜A｜=7．因为如果Aα=λα，则有A*=，因此A*的特征值是1，7，7．知识模块：矩阵的特征值和特征向量16．矩阵A=的三个特征值分别为________正确答案：解析：｜λE-A｜=所以A的特征值为λ1=2，λ2= 知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点(C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )x(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅- 23221225=++⨯-⨯=，选(D) . 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得111120021222(1)2(1)220022012n n n n n D D D +----==+--=+-221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++122n +=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= ()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a aa b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=201sin cos 1lim 13x ab x bx xx kx →++++== 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====3=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d θθ==(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭20121224021201k k kk ==≠++故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即10110020k k=，得k=011223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n=为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，NGe k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--，从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以12min n X X X θ={,,,}为θ的最大似然估计量.。
2015【考研数学三】真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是：(A) 若,则(B) 若, 则(C) 若,则(D) 若,则(2)设函数在内连续,其2阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(A) (B) (C) (D)(3)设,函数在上连续,则(A)(B)(C)(D)(4)下列级数中发散的是：(A) (B) (C) (D)(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(A) (B) (C) (D)(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为：(A) (B) (C)(D)(7)若为任意两个随机事件,则:(A)(B)(C) (D)(8)设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则(A) (B)(C)(D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)(10)设函数连续，若则(11)若函数由方程确定，则(12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则(13)设阶矩阵的特征值为，其中E为阶单位矩阵，则行列式(14)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.(16) (本题满分10 分)计算二重积分，其中(17) (本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，M C 为边际成本，为需求弹性.(I) 证明定价模型为；(II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.(18) (本题满分10分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.(19) (本题满分 10分)(I) 设函数可导，利用导数定义证明(II) 设函数可导，，写出的求导公式.(20) (本题满分11分)设矩阵，且.(I) 求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.(21) (本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.(22) (本题满分11分)设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.(I) 求的概率分布；(II) 求(23) (本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.(I) 求的矩估计量.(II) 求的最大似然估计量.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）答案(1)【答案】(D)【考查分析】本题考查数列极限与子列极限的关系.【详解】数列收敛，那么它的任何无穷子数列均收敛，所以(A)与(C)正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的.(B)正确，(D)错,故选(D).(2)【答案】(C)【考查分析】本题考查曲线的拐点.【详解】拐点出现在二阶导数等于零，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选(C).(3)【答案】(B)【考查分析】本题考查直角坐标和极坐标的转换.【详解】在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，选(B).(4)【答案】(C)【考查分析】本题考查数项级数的敛散性.【详解】选项(A)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；选项(B)，为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；选项(C)，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；选项(D)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选(C).(5)【答案】(D)【考查分析】本题考查非齐次线性方程组解的判定【详解】对增广矩阵进行初等行变换，得到由，故或，同时或.故选(D).(6)【答案】(A)【考查分析】本题考查二次型的正交变换.【详解】由，故.且.所以.选(A).(7)【答案】(C)【考查分析】本题考查概率的性质.【详解】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C).(8)【答案】(B)【考查分析】本题考查统计量的数字特征.【详解】根据样本方差的性质，而，从而，选(B).(9)【答案】【考查分析】本题考查型未定式极限.【详解】方法一：方法二：(10)【答案】【考查分析】本题考查变上限积分函数求导.【详解】因为连续，所以可导，所以；因为，所以又因为，所以故(11)【答案】【考查分析】本题考查隐函数的全微分.【详解】当，时代入，得.对两边求微分，得把，，代入上式，得所以(12)【答案】【考查分析】本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构和性质.【详解】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，，所以，，故(13)【答案】【考查分析】本题考查抽象型行列式的计算.【详解】的所有特征值为的所有特征值为所以.(14)【答案】【考查分析】本题考查二维正态分布的性质.【详解】由题设知，，且相互独立，从而. (15)【答案】【考查分析】本题考查利用等价无穷小的定义求参数.【详解】方法一：利用泰勒公式.即方法二：利用洛必达法则.因为分母的极限为，则分子的极限为，即，分母的极限为，则分子的极限为，即，则.(16)【答案】【考查分析】本题考查利用简化性质计算二重积分.【详解】(17)【答案】(I)略(II) .【考查分析】本题考查导数的经济应用.【详解】(I)由于利润函数,两边对求导，得.当且仅当时，利润最大，又由于,所以, 故当时，利润最大.23(II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)【答案】.【考查分析】本题考查导数的几何应用和一阶微分方程求解.【详解】设在点处的切线方程为：令，得到.由题意，，即，转化为一阶微分方程，分离变量得到通解为：，已知，得到，因此；即.(19)【考查分析】本题考查导数的定义和导数的四则运算法则.【详解】(I)(II) 由题意得(20)【答案】【考查分析】本题结合矩阵方程考查矩阵的运算.【详解】(I)(II)由题意知，(21)【答案】(I) .(II)，则.【考查分析】本题考查相似矩阵和矩阵的相似对角化.【详解】(I) 则即.即整理得到(II)的特征值.当时，的基础解系为当时，的基础解系为，则的特征值为.令，则.(22)【答案】(I) ，. (II) .【考查分析】本题考查离散型随机变量的概率分布和数学期望.【详解】(I) 记为观测值大于的概率，则.的概率分布为，(II)记，则，从而.(23)【答案】(I).(II) .【考查分析】本题考查矩估计和最大似然估计.【详解】(I) .令，即，解得.为的矩估计量，其中；(II) 似然函数当时，，取对数，得到.求导，得到，则越大，似然函数越大，但是，所以当时，似然函数最大.为的最大似然估计量.。
考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自由变量可取为(1)x4，x5 (2)x3，x5 (3)x1，x5 (4)x2，x3那么正确的共有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，有n-r(A)=5-3=2，故应当有2个自由变量．由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量．同理，x4，x5不能是自由变量．而x1，x5与x2，x3均可以是自由变量，因为行列式都不为0．所以应选B．知识模块：线性方程组2．已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么下列向量α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3中能导出方程组Ax=0解的向量共有( )A．4个．B．3个．C．2个．D．1个．正确答案：A解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，A(α1+α2-2α3)=Aα1+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，A(α1-3α2+2α3)=Aα1-3Aα2+2Aα3=b-3b+2b=0，那么，α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解．所以应选A．知识模块：线性方程组3．已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是( )A．(1，-1，3)TB．(2，1，-3)TC．(2，2，-5)TD．(2，-2，6)T正确答案：B解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解．因此选项A、D均不是Ax=0的解．由于α1，α2是Ax=0的基础解系，那么α1，α2可表示Ax=0的任何一个解η，亦即方程组x，α1+x2α2=η必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，-5)T不能由α1，α2线性表示．所以应选B．知识模块：线性方程组4．设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是( )A．r=nB．r≥n．C．r＜n．D．r＞n．正确答案：C解析：将矩阵A按列分块，A=(α1，α2，…，αn)，则Ax=0的向量形式为x1a1+x2a2+…+xnan=0，而Ax=0有非零解甘α1，α2，…，αn线性相关r(α1，α2，…，αn)＜nr(A)＜n．所以应选C．知识模块：线性方程组5．已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：由α1+2α2-α3=β知即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解，那么η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T，η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，有r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构，所以应选B．知识模块：线性方程组6．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b 的通解是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确．对于选项D，虽然(β1-β2)是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B．事实上，对于选项B，由于α1，(α1-α2)与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，(α1-α2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知，是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确. 知识模块：线性方程组7．三元一次方程组，所代表的三个平面的位置关系为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：设方程组的系数矩阵为A，对增广矩阵A作初等行变换，有因为r(A)=2，而r(A)=3，方程组无解，即三个平面没有公共交点．又因平面的法向量n1=(1，2，1)，n2=(2，3，1)，n3=(1，-1，-2)互不平行．所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱．所以应选C．知识模块：线性方程组8．设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．正确答案：D解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A：b)，所以选项A、B均不正确．而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A：b)＜b．根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解．所以应选D．知识模块：线性方程组填空题9．设A为3×3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量，则r(A)=_____正确答案：1解析：由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为3×3阶，因此r(A)=n-r=3-2=1．知识模块：线性方程组10．设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=_______正确答案：0解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解．因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，因此有n-r(A)≥2，即r(A)≤3．又因为A是五阶矩阵，而r(A)≤3，因此｜A｜4阶子式一定全部为0，因此代数余子式Aij恒为零，即A*=O，所以r(A*)=0．知识模块：线性方程组11．设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______正确答案：k(1，1，…，1)T，k是任意常数．解析：由题干可知r(A)=n-1，则线性方程组Ax=0的基础解系由1个解向量组成，即任意的一个非零解都可以成为基础解系．又已知矩阵每行的元素之和都为0，因此有Ai1+Ai2+…+Ain=1×Ai1+1×Ai2+…+1×Ain=0，故(1，1，…，1)T满足每一个方程，是Ax=0的解，所以通解为k(1，1，…，1)T，k 是任意常数．知识模块：线性方程组12．方程组有非零解，则k=_______正确答案：-1解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12(K+1)=0，因此得k=-1．知识模块：线性方程组13．设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是_____正确答案：k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T解析：A是一个3阶矩阵，由已知得｜A｜=0，且r(A)=2，因此r(A*)=1，那么可知n-r(A*)=3-1=2，因此A*x=0有两个基础解系，其通解形式为k1η1+k2η2．又因为A*A=｜A｜E=0，因此矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T 知识模块：线性方程组14．已知方程组总有解，则λ应满足的条件是______正确答案：解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩为3，即｜A｜≠0，由可知λ≠1且λ≠知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(行列式和矩阵)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学三（行列式和矩阵）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．-24C．48D．-48正确答案：D解析：选D．知识模块：行列式2．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值-1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选B．知识模块：行列式填空题3．设f(x)=，则x2项的系数为_______．正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：行列式4．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a-2，a-1，则a=_______．正确答案：1解析：由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0得a=1．知识模块：行列式5．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且｜A｜=a，｜B｜=b，则=_______．正确答案：(-1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则=(-1)mnab．知识模块：行列式6．设三阶方阵A=[A1，A2，A3]，其中Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且A 的行列式｜A｜=-2，则行列式｜-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1｜=_______．正确答案：12解析：由(-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1)=(A1，A2，A3)得｜-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1｜=｜A1，A2，A3｜.=12．知识模块：行列式7．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A-2B｜=_______．正确答案：63解析：由5A-2B=(5α，5γ1，5γ2)-(2β，2γ1，2γ2)=(5α-2β，3γ1，3γ2)，得｜5A-2B｜=｜5α-2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α-2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜-2｜β，γ1，γ2｜)=63．知识模块：行列式8．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]-1=______(用A*表示)．正确答案：解析：由A*=｜A｜A-1得(A*)*=｜A*｜.(A*)-1=｜A｜n-1.(｜A｜A-1)-1=｜A｜n-2A，故[(A*)*]-1= 知识模块：矩阵9．设α=(1，-1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=______．正确答案：解析：βTα=3，A2=αβT.αβT=3αβT=3A，则An=3n-1A=3n-1 知识模块：矩阵10．A=，且n≥2，则An-2An-1=______．正确答案：O解析：由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An-2An-1=O．知识模块：矩阵11．设A=，则(A+3E)-1(A2-9E)=______．正确答案：解析：(A+3E)-1(A2-9E)=(A+3E)-1(A+3E)(A-3E)=A-3E= 知识模块：矩阵12．A2-B2=(A+B)(A-B)的充分必要条件是______．正确答案：AB=BA解析：A2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2的充分必要条件是AB=BA．知识模块：矩阵13．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=______.正确答案：2解析：=｜2A-1｜=23｜A-1｜=2．知识模块：矩阵14．设A为三阶矩阵，且｜A｜=4，则=______.正确答案：解析：由A*=｜A｜A-1=4A-1得=｜(2A-1)｜-1= 知识模块：矩阵15．设A为四阶矩阵，｜A*｜=8，则=______.正确答案：8解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2．又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A-1，故｜(A) -1=｜4A-1-6A-1｜=｜(-2)A-1｜=(-2)4｜A-1｜=16×=8．知识模块：矩阵16．若矩阵A=，B是三阶非零矩阵，满足AB=O，则t=______．正确答案：1解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2．由得t=1．知识模块：矩阵17．设A=，则A-1=______．正确答案：解析：则A-1= 知识模块：矩阵18．设A=，则A-1=______．正确答案：解析：设A1=，A2=，于是A-1=而A-1=，A-1=，故A-1= 知识模块：矩阵19．设A=，则(A*)-1=________．正确答案：解析：｜A｜=10，因为A*=｜A｜A-1，所以A*=10A-1，故(A*)-1= 知识模块：矩阵20．设A=，则(A-2E)-1=________．正确答案：解析：则(A-2E)-1= 知识模块：矩阵21．设n阶矩阵A满足A2+A=3E，则(A-3E)-1=________．正确答案：(A+4E)解析：由A2+A=3E，得A2+A-3E=O，(A-3E)(A+4E)=-9E，(A-3E)[ (A+4E)]=E，则(A-3E)-1=(A+4E)．知识模块：矩阵22．设A==________．正确答案：解析：令A=(α1，α2，α3)，因为｜A｜=2，所以A*A=｜A｜E=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以A*α1=，A*α2=，A*α3=于是知识模块：矩阵23．设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，B=E+αα2，且B为A的逆矩阵，则a=________．正确答案：-1解析：由AB=(E-ααT)(E+-ααT)=E+ααT-ααT-2aααT=E且ααT≠O，得-1-2a=0，解得a=-1．知识模块：矩阵24．设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且A=，则B=________．正确答案：解析：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，B=6(A-1-E)-1= 知识模块：矩阵25．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=________．正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年考研数学一真题及答案(完整版)
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题2015年考研数学一真题及答案（完整版）一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,12015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题(D)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1sin23142sin2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。
考研数学三(二次型)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（二次型）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2015年] 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换X=PY下的标准形为2y12+y22－y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，－e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换X=QY下的标准形为( )．A．2y12一y22+y32B．2y12+y22一y32C．2y12一y22一y32D．2y12+y22+y32正确答案：A解析：因e1，－e3，e2分别为特征值2，－1，1对应的特征向量，故在正交变换X=QY下二次型f的标准形为2y12－y22+y32．仅(A)入选．知识模块：二次型2．[2016年] 设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x3x1的正、负惯性指数分别为1，2，则( )．A．a＞1B．a＜－2C．—2＜a＜1D．a一1或a=－2正确答案：C解析：解一注意到A的主对角线上的元素全为a，非主对角线上的元素全为1，由命题2．5．1．7即知A的三个特征值分别为λ1=a+(n－1)b=a+2，λ2=λ3=a－b=a－1．又由题设知A的正、负惯性指数为1，2，故a+2＞0，a－1＜0，即－2＜a＜1．仅(C)入选．解二A的特征值也可由特征值定义|λE－A|=0求之．由得到A的特征值λ1=a+2，λ2=λ3=a－1．下同解一，略．注：命题2．5．1．7 设n阶矩阵A的主对角线上元素全为a，非主对角线上元素全为b，则由|A|=[a+(n－1)b](a－n)n－1知，A的n个特征值为λ1=a+(n －1)b，λ2=λ3=…=λn=a－b．知识模块：二次型3．[2008年] 设则在实数域上与A合同的矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：解一令由知，A的特征值λ1=3，λ2=－1，即A的正、负惯性指数都为1，于是|A|=λ1λ2＜0，但|A1|＞0，|A2|0，|A3|＞0，可见(A)、(B)、(C)中矩阵的正、负惯性指数与A的都不同，因而A1，A2，A3与A都不合同．仅(D)入选．解二因故A与A4的特征值相同且其重数也相同，故A与A4相似．又A与A4为同阶实对称矩阵，由命题2．6．4．2知，A与A4必合同．仅(D)入选．解三由两个矩阵A，B合同的定义知，存在可逆矩阵C，使B=CTAC，则|B|=|A||CT||C|=|A||C|2，因|C|2>0，故A与B合同必有|A|与|B|同号．由解一知，|A|＜0，|A1|＞0，|A2|＞0，|A3|＞0，而|A4|＜0，故|A|与|A4|同号，由命题2．6．4．4(2)知，A与A4合同，仅(D)入选．解四用合同变换判别之．因由命题2．6．4．3知，A与A4合同，且有PTAP=A4，其中事实上，有注：命题2．6．4．2 设A，B为实对称矩阵，若A，B相似，则A，B合同，反之未必成立．若A，B是一般n阶矩阵(不一定是实对称)，则下述结论成立．命题2．6．4．3 A与B合同的充要条件是A经过有限次相同的初等行变换和初等列变换得到B．知识模块：二次型4．[2007年] 设矩阵则A与B( ).A．合同且相似B．合同但不相似C．不合同但相似D．既不合同又不相似正确答案：B解析：解一易求得|λE－A|=λ(λ－3)2，故A的特征值为3，3，0，而B 的特征值为1，1，0，它们不相同，但正特征值个数相同，且秩(A)=秩(B)=2，故A与B不相似，但合同．仅(B)入选．解二由命题2．5．3．3(4)知，如A 与B相似，则tr(A)=tr(B)，但tr(A)=2+2+2=6≠tr(B)=1+1+0=2，故A与B不相似．由于A的特征值为3，3，0，而B的特征值为1，1，0，XTAX与XTBX 有相同的正、负惯性指数p=2，q=0．因而由命题2．6．4．1知A与B合同，于是仅(B)入选．解三其中秩(G)=1，由命题2．5．1．5即知，G的特征值为－3，0，0．因而A的特征值为0，3，3．而B的特征值为1，1，0．显然A与B不相似，但A与B的正惯性指数均为2，0，故A与B合同．仅(B)入选．注：命题2．5．1．5 设n阶矩阵A=[aij]，若秩(A)=1，则A有n－1个零特征值λ1=λ2=…=λn－1=0，另一个特征值为λn=a11+a22+…+ann=tr(A)(称为A的迹)．命题2．5．3．3 设矩阵A=[aij]n×n与B=[bij]n ×n相似，则(4)a11+a22+…+ann=b11+b22+…+bnn，即tr(A)=tr(B)．命题2．6．4．1 两个实对称矩阵合同的充要条件是其秩相同，且有相同的正惯性指数，即正、负特征值个数分别相同，亦即二次型XT、AX和XTBX有相同的正、负惯性指数．两个同阶实对称矩阵相似的充要条件是它们有相同的特征值及重数，两个同阶实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩及相同的正(或负)惯性指数，因此两个同阶实对称矩阵相似必合同，但这两个矩阵合同而不一定相似(即两个同阶实对称矩阵的正、负惯性指数相同，不一定正、负特征值相同)，因此得到下述命题．知识模块：二次型填空题5．[2004年] 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x2)2的秩为_________．正确答案：2解析：解一用配方法化二次型为标准形f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x1)2=(2x12+2x1x2+2x1x3)+2x22－2x2x3+2x32=2(1+x2／2+x3／2)2+(x2－x3)2．作线性变换，得其中因|P|=1≠0，所作的线性变换是非退化的，故所得二次型的标准形为f(y1，y2，y3)=2y12+3y22／2．该标准形平方项的非零系数的个数为2，且它与原二次型f(x1，x2，x3)等价．由等价的二次型有相同的秩知，原二次型的秩为2．解二f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2－2x2x3+2x1x3，其矩阵故秩(A)=2，因而f(x1，x2，x3)的秩等于2．知识模块：二次型6．[2011年] 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换X=QY下的标准形为_________．正确答案：解析：因秩(A)=1，且A为实对称矩阵，可对角化，由命题2．5．4．1(2)知A的特征值只有一个非零，有两个为零．又A的各行元素之和为3，故A的一个非零特征值为3(见命题2．5．1．4或由A[1，1，1]T=3[1，1，1]T也可看出)，所以在正交变换X=QY下的标准形为注：命题2．5．4．1 (2)若A 为n阶实对称矩阵，则秩(A)等于A的非零特征值的个数(k重特征值视为k个特征值)，因而零特征值的个数等于n－秩(A)．命题2．5．1．4 设n阶矩阵A的各行元素之和为a，则a为A的一个特征值，且A的属于特征值a的一个特征向量为[1，1，…，1]T．知识模块：二次型7．[2014年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12－x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围为_________．正确答案：—2≤a≤2解析：解一用配方法将f(x1，x2，x3)化为f(x1，x2，x3)=(x1+ax3)2－(x2－2x3)2+(4－a2)x32．由负惯性指数为1，得到4－a2≥0，即－2≤a≤2．解二易求得二次型厂的矩阵为设其三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1λ2λ3=|A|=a2－4．由题设知二次型f的负惯性指数为1，所以A有且仅有一个特征值为负值．不妨设为λ1＜0，则λ2≥0，λ3≥0，从而有|A|=a2－4≤0，即－2≤a≤2为所求的a的取值范围．知识模块：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(矩阵的特征值和特征向量)历年真题试卷汇编1(题后含
考研数学三（矩阵的特征值和特征向量）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．A．P-1αB．PTαC．PαD．(P-1)Tα正确答案：B解析：解一由题设有Aα=λα，且AT=A，令B=(P-1AP)T，则B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1，A=(PT)-1BPT，故Aα=(PT)-1BPTα，即(PT)-1B(PTα)=λα．两边左乘PT，得到B(PTα)=λPTα．又PTα≠0．事实上，如PTα=0，则由P为可逆矩阵知，PT也为可逆矩阵，于是有(PT)-1PTα=(PT)-10=0，即α=0．这与α≠0矛盾，故PTα为矩阵B=(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量．仅(B)入选．解二用定义(P-1AP)TX=λX判别．当X=PT α时，计算(P-1AP)T(PTα)时看其是否为P-1Tα的λ倍．事实上，有(P-1AP)T(PTα)=PTA T(P-1)T(PTα)=PTA(PT)-1PTα=PT(Aα)=λPTα．又PTT ≠0．因而PTT是(PTAP)-1的属于特征值λ的特征向量．解三为检验选项中4个向量哪个是特征向量，只需检验哪个向量是齐次方程组[(P-1AP)T－λE]X=0的非零解向量．事实上，令X=PTT，有[(P-1AP)T－λE](PT α)=[PTA(PT)-1PTα－λPTα]=PTAα－λPTα=λPTα－λPTα=0．易验证(A)、(C)、(D)中向量均不满足上述方程．又PTα≠0．仅(B)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．A．AT与BT相似B．A－1与B－1相似C．A+AT与B+BT相似D．A+A－1与B+B－1相似正确答案：C解析：因A～B，故存在可逆矩阵P使得B=P－1AP．①在式①两边取转置，得到BT=(P－1AP)T=PTAT(P－1)T=[(PT)－1]－1AT[(PT)－1]故AT与BT相似．选项(A)正确．在式①两边求逆运算得到B－1=(P－1AP)－1=P－1A－1(P－1)－1=P－1A－1P．②故A与A－1相似．选项(B)正确．由式①+式②得到B+B－1=P－1AP+P－1A－1P=P－1(A+A－1)P，故A+A－1～B+B－1．选项(D)正确．仅(C)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．[2018年] 下列矩阵中，与矩阵相似的是( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：记矩阵[*]则[*] 所以矩阵M的特征值为λ1=λ2=λ3=1，且秩(λE－M)=秩(E－M)=2．设选项(A)、(B)、(C)、(D)的矩阵分别记为A、B、C、D，容易计算出其特征值均为1，且秩(AE－A)=秩(E－A)=2，秩(E－B)=秩(E－C)=秩(E－D)=1，若两矩阵相似，其对应的特征值矩阵也相似，故秩相等．所以可以判断选项(A)正确．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．[2017年] 已知矩阵则( )．A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C不相似正确答案：B解析：显然A，B，C的特征值都为λ1=λ2=2，λ3=1．由得秩(2E－A)=1，则A可以相似对角化，故A与C相似．由得秩(2E－B)=2，则B不可相似对角化，故B与C不相似．综上，仅(B)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．[2013年] 矩阵相似的充分必要条件为( )．A．a=0，b=2B．a=0，b为任意常数C．a=2，b=0D．a=2，b为任意常数正确答案：B解析：令则因λ=2为B的特征值，故λ=2也必为A的特征值，则|2E—A|=2[22－(b+2)．2+2b一2a2]=2(－2a2)=0，故a=0．由λ=b为B的特征值知，λ=b也必为A的特征值，则|bE－A|=b[b2－(b+2)·b+2b]=b·0=0，即易可为任意常数．仅(B)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．[2010年] 设A为四阶实对称矩阵，且A2+A=O，若A的秩为3，则A 相似于( )．正确答案：D解析：设λ为A的特征值，则由A2+A=O得到λ2+λ=(λ+1)λ=0．于是A 的特征值为－1或0．又因A为实对称矩阵，故A必与对角矩阵A相似．因A 的秩为3，由命题2．5．4．1(2)知，A的非零特征值个数为3，故对角矩阵A 的秩也为3，于是A=diag(－1，－1，－1，0)．仅(D)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题7．[2018年] 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的向量组，若Aα1=α1+α2+α3，Aα2=α2+2α3，Aα3=一α2+α3，则A的实特征值为__________．正确答案：2解析：由题设得因为[α1，α2，α,3]可逆，所以矩阵A与矩阵相似，故特征值相同，而所以A的实特征值为2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量8．[2015年] 设三阶矩阵A的特征值为2，－2，1，B=A2－A+E，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式|B|=__________．正确答案：21解析：因A的特征值为2，－2，1，而B=f(A)=AT－A+E，故B的特征值分别为f(2)=2T－2+1=3，f(－2)=(－2)T－(－2)+1=7，f(1)=1T－1+1=1，故|B|=f(2)·f(1)·f(－2)=3×1×7=21．知识模块：矩阵的特征值和特征向量9．[2009年] 设α=[1，1，1]T，β=[1，0，k]T，若矩阵αβT相似于则k=_________．正确答案：2解析：解一因αβT相似于而利用相似矩阵的性质即命题2．5．3．3(4)得到tr(αβT)=1+0+k=3+0+0，即k=2．解二设A=αβT，λ为A的特征值，而故A2=A·A=αβT·αβT=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(1+k)A，所以λ2=(1+k)λ，即λ[λ－(1+k)]=0，从而λ=0或λ=1+k．又A相似于对角矩阵由命题2．5．3．3(3)知，相似矩阵有相同的特征值，故A的特征值0，0，3，于是应有1+k=3，即k=2．注：命题2．5．3．3 设矩阵A=[aij]n×n与B=[bij]n×n相似，则(3)|λE－A|=|λE—B|，从而A与B有相同的特征值；(4)a11+a22+…+ann=b11+b22+…+bnn，即tr(A)=tr(B)．知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015考研数学三真题及解析
1
n
1 e
1,所以根据正项
n
n!
级数的比值判别法
收敛,所以选 C.
nn
n1
1 1 1 1
(5) 设矩阵 A 1 2
a
,
b
d
,若集合
{1, 2},则线性方程组 Ax
b 有无穷多
1 4 a2 d 2
解的充分必要条件为
(A) a , d
(B) a , d
(C) a , d
n1 ln n
n1 ln n n1 ln n
(1)n
1
(1)n 1
收敛,
发散,所以根据级数收敛定义知,
发散;D 项为正项
n1 ln n
n1 ln n
n1 ln n
(n 1)!
n 1
(n 1) 级数,因为 lim
n n!
(n 1)! nn lim n n! (n 1)n1
lim
n
n
n
a ,所以选项(A)和选项(C)中的叙述都是正确的.
另外,若
lim
n
x2n
lim
n
x2n1
a
,由上述充分必要条件知
x2n a n
,
lnimn 0
,
x2n a n
,
lim
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
0
,设
n
kk
, ,
n n
2k 2k
1
从而有
xn a n
,
lim
n
n
0
,再由上述的充要条件得
lim
n
xn
a .所以选项(B)中的叙述也是正确的.下面举反倒来说明(D)中的叙述是不正确的.
考研数学三线性代数向量-试卷1_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三线性代数（向量）-试卷1(总分56, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( ) SSS_SINGLE_SELA若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ks αs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关．B若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0．Cα1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sDα1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：选项A的条件即齐次线性方程组 x1 a1+x2a2+…+xsas=0 只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，A选项正确．对于选项B，由α1，α2，…，αs线性相关知，齐次线性方程组 x1α1+x2α2+…+xsαs=0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项B是错误的．选项C是教材中的定理．由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项D也是正确的．综上可知，应选B．2.设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是( ) SSS_SINGLE_SELA A的列向量线性无关．B A的列向量线性相关．C A的行向量线性无关．D A的行向量线性相关．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：齐次线性方程组Ax=0的向量形式为 x1α1+x2α2+…+xnαn=0，其中α1，α2，…，αn为A的x个m维的列向量．由Ax=0只有零解α1，α2，…，αn线性无关．可知选项A正确．对于选项C、D，只要m＜n，不管A的行向量线性相关性如何，该齐次线性方程组都必有非零解，故C、D均不正确．所以应选A．3.设则三条直线a1 x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c1=0，a3x+b3y+c3=0(其中，i=1，2，3)交于一点的充分必要条件是( )SSS_SINGLE_SELAα1，α2，α3线性相关Bα1，α2，α3线性无关Cr(α1，α2，α3)=r(α1，α2)．Dα1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组或xα1+yα2+α3， (2) 有唯一解．由(2)式可得α3=-xα1-yα2而方程组(2)(或(1))有唯一解α3可由α1，α2线性表示，且表示式唯一．α1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关．所以应选D．4.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( ) SSS_SINGLE_SELAα1 -α2，α2-α3，α3-α1Bα1+α2，α2+α3，α3+α1Cα1 -2α2，α2-2α3，α3-2α1Dα1+2α2，α2+2α3，α3+2α1该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：利用向量组线性相关的定义，令 x1(α1-α2)+x2(α2-α3)+x3(α3-α1)=0，(x1，x2，x3为不全为零的实数) 可得(x1-x3)α1+(-x1 +x2)α2+(-x2+x3)α3=0 又已知α1，α2，α3线性无关，则则齐次线性方程组(母)有非零解，故α1 -α2，α2-α3，α3 -α1线性相关．故应选A．5.若α1，α2线性无关，β是另外一个向量，则α1+β与α2+β( )SSS_SINGLE_SELA 线性无关．B 线性相关．C 即线性相关又线性无关．D 不确定．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：例如，令α1 =(1，1)，α2=(0，2)，β=(-1，-1)，则α1，α2线性无关，而α1+β=(0，0) 与α2+β=(-1，1)线性相关．如果设β=(0，0)，那么α1+β与α2+β却是线性无关的．故选D6.已知向量组则向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大无关组为( )SSS_SINGLE_SEL Aα1，α3Bα1，α2Cα1，α2，α5Dα1，α3，α5该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：对以α1，α2，α3，α4，α5为列向量的矩阵作初等行变换，有所以α1，α3，α5是一个极大无关组，且α2=α1+3α5，α4=α1+α3+α57.设α1 =(1，2，3，1) T，α2=(3，4，7，-1) T，α3=(2，6，0，6)T，α4 =(0，1，3，a) T，那么a=8是α1，α2，α3，α4线性相关的( )SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分而非必要条件．C 必要而非充分条件．D 既不充分也非必要条件该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：n个n维向量线性相关性一般用行列式｜α1，α1，…αn｜是否为零去判断．因为｜α1，α1，…，α4｜= 因此，当a=8时，行列式｜α1，α2，…，α4｜=0，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，但a=2时仍有行列式｜α1，α2，…，α4｜=0，所以a=8是向量组α1，α2，α3，α4线性相关的充分而非必要条件．8.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )SSS_SINGLE_SEL Aαm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．Bαm不能由(Ⅰ)线性表示，但可以由(Ⅱ)线性表示．Cαm可以由(Ⅰ)线性表示，也可以由(Ⅱ)线性表示．Dαm可以由(Ⅰ)线性表示，但不能由(Ⅱ)线性表示．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：按题意，存在组实数k1，k2，…，km使得 k1α1+k2α2+…+km αm=β (*) 且必有km≠0．否则与β不能由α1，α2，…，αm-1线性表示相矛盾，从而即αm可由向量组(Ⅱ)线性表示，排除选项A、D．若αm 可以由(Ⅰ)线性表示，即存在实数l1，l2，…，lm-1，使得αm =l1α1+l2α2+…+lm-1αm-1，将其代入(*)中，整理得β=(k1 +kml1)α1+(k2+kml2)α2+…+(km-1+kmlm-1)αm-1，这与题设条件矛盾．因而αm不能由向量组(Ⅰ)线性表示，排除选项C.9.已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1=α1+α3+α4，β2=α2-α4，β3=α3+α4，β4=α2+α3，β5=2α1+α2+α3．则r(β1，β2，β3，β4，β5)=( ) SSS_SINGLE_SELA 1．B 2．C 3．D 4．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：将表示关系合并成矩阵形式有(β1，β2，β3，β4，β5)=(α1，α2，α3，α4) 因4个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0．A=(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵，A左乘C，即对C作若干次初等行变换，故有r(C)=r(AC)=r(AC)=r(β1，β2，β3，β4，β5) 故知r(β1，β2，β3，β4，β5)=r(C)=3，因此应选C.10.设A是n阶方阵，且｜A｜=0，则A中( )SSS_SINGLE_SELA 必有一列元素全为0．B 必有两列元素对应成比例．C 必有一列向量是其余列向量的线性组合．D 任一列向量是其余列向量的线性组合．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：对于方阵A，因为的行(列)向量组的秩小于n，所以A的列向量组必然线性相关，再由向量组线性相关的充分必要条件可知，其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选C．选项A、B仅是｜A｜=0的充分条件，故均不正确．由向量组线性相关的充分必要条件之“至少存在一个向量可用其余向量线性表示”可知，D也不正确．2. 填空题1.如果β=(1，2，t) T可以由α1 =(2，1，1) T，α2=(-1，2，7) T，α3=(1，-1，-4) T线性表示，则t的值是_______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：5解析：β可以由向量组α1，α2，α3线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此t-5=0，即t=5．2.设x为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E—xx T的秩为_____ SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：2解析：由题设知，矩阵xx T的特征值为0，0，1，故E-xx T的特征值为1，1，0．又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即r(E-xx T )=2．3.向量组α1 =(1，0，0)，α2=(1，1，0)，α3=(-5，2，0)的秩是________ SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：2解析：对向量组构成的矩阵进行初等变换，变为阶梯形矩阵，其不全为0的行向量的个数就是向量组的秩，即，因此秩是2．4.已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r，r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1，则r(α1，α2，…，αs，β，γ)=______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：r+1解析：已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r，表明向量β可以由向量组α1，α2，…，αs线性表示，但是r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1，则表明向量γ不能由向量组α1，α2，…，αs 线性表示，因此通过对向量组α1，α2，…，αs，β，γ作初等列变换，可得(α1，α2，…，αs，β，γ)=(α1，α2，…，αs，0，γ)，因此可得r(α1，α2，…，αs，β，γ)=r+1．5.设α1 =(1，2，1) T，α2=(2，3，a) T，α3=(1，a+2，-2) T，若β1=(1，3，4) T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2=(0，1，2) T不可以由α1，α2，α3线性表示，则a=________ SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：-1解析：根据题意，β1 =(1，3，4) T可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，β2=(0，1，2) T不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起做矩阵的初等变换，即因此可知，当a=-1时，满足方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解的条件，故a=-1．6.已知α1 =(1，4，2) T，α2=(2，7，3) T，α3=(0，1，a) T可以表示任意一个三维向量，则a的取值是______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：a≠1解析：α1，α2，α3可以表示任一个3维向量，因此向量α1，α2，α3与ε1=(1，0，0) T，ε2=(0，1，0) T，ε=(0，0，1) T是等价向量，因此α1，α2，α3的秩为3，即｜α1，α2，α3｜≠0，于是因此a≠1．7.与α1 =(1，2，3，-1) T，α2=(0，1，1，2) T，α3=(2，1，3，0) T都正交的单位向量是_______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：已知，若向量α，β正交，则内积α Tβ=0，设β=(x1，x2，x3，x4) T与α1，α2，α3均正交，那么对以上齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系是(-1，-1，1，0) T，将这个向量单位化得，即为所求向量．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三随机变量的数字特征-试卷1_真题-无答案
考研数学三（随机变量的数字特征）-试卷1(总分60,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1. 设随机变量X～E(1)，记Y=max(X，1)，则E(Y)=A. 1．B. 1+e-1．C. 1-e-1．D. e-1．2. 已知随机变量X与Y均服从0-1分布，且EXY=，则P{X+Y≤1}=A. B.C. D.3. 设随机变量X与Y独立同分布，记U=X-Y，V=X+Y，则随机变量U与YA. 不独立．B. 独立．C. 相关系数不为零．D. 相关系数为零．4. 设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则A. P{Y=-2X-1}=1．B. P{Y=2X-1}=1．C. P{Y=-2X+1}=1．D. P{Y=2X+1}=1．5. 已知随机变量X与Y有相同的不为零的方差，则X与Y相关系数ρ=1的充要条件是A. Cov(X+Y，X)=0．B. Cov(X+Y，Y)=0．C. Cov(X+Y，X-Y)=0．D. Cov(X-Y，X)=0．2. 填空题1. 已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X=x条件下Y服从参数为戈的指数分布，则E(XY)=_________．2. 已知某零件的横截面是一个圆，对横截面的直径进行测量，其值在区间(1，2)上服从均匀分布，则横截面面积的数学期望为_______，方差为_________.3. 设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(-3，4)，则随机变量Z=-2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_________．4. 将一颗骰子连续重复掷4次，以X表示4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥_________．5. 设随机变量X的概率密度为则随机变量X的二阶原点矩为________．6. 设试验成功的概率为，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为_________．7. 已知随机变量X1与X2相互独立且分别服从参数为λ1，λ2的泊松分布，P{X1+X2＞0}=1-e-1，则E(X1+X2)2=_______．8. 已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1出现的次数为Z，则EZ2=________．9. 设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球．设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则EX=________．10. 设随机变量X1，…，Xn相互独立同分布，EXi=μ，DXi=8(i=1，2，…，n)，则概率11. 已知随机变量X与Y的相关系数，则根据切比雪夫不等式有估计式P{｜X-Y｜≥}≤________．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三一元函数积分学-试卷1_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三（一元函数积分学）-试卷1(总分64, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.下列反常积分中收敛的是SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：利用对，则有若q＞1，则积分，收敛；若q≤1，则积分I发散．由此可知应选(C)．令t=lnx通过换元法，经计算也可选出(C)．2.下列反常积分其结论不正确的是SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：对于(A)：由于收敛，于是故(A)正确．对于(B)：由分部积分有综上分析，(C)不正确，故选(C)．3.设M=，则有SSS_SINGLE_SELA M＜1＜N．B M＜N＜1．C N＜M＜1．D 1＜M＜N．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：sin(sinx)，cos(cosx)均在上连续，由sinx ≤ x知sin(sinx)即N＞1．因此选(A)．4.设P=．则有SSS_SINGLE_SELA P＜Q＜1．B P＞Q＞1．C 1＜P＜Q．D 1＞P＞Q．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：利用上连续，且满足由Q＜P可见结论(A)，(C)不正确，由可见结论(B)不正确．故应选(D)．5.设函数f(x)=，则SSS_SINGLE_SELA F(x)是f(x)在(-∞，+∞)上的一个原函数．B F(x)在(-∞，+∞)内可微，但不是f(x)的原函数．C F(x)在(-∞，+∞)上不连续．D F(x)在(-∞，+∞)上连续，但不是f(x)在(-∞，+∞)上的原函数．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：(1)利用分段积分法求F(x)，当x≤0时，由此可见F(x)在(-∞，+∞)上连续，在x≠0处F"(x)=f(x)，又F"- (0)=(x 2 +1)｜x=0=1，F"+(0)，从而F"(0)不存在．因此(A)，(B)，(C)都不正确，应选(D)． (2)不必计算F(x)．因为f(x)在(-∞，+∞)上的任意区间[a，b]上可积，故F(x)连续，但x=0是f(x)的跳跃间断点，不存在原函数，故选(D)．6.设函数则在(-∞，+∞)内SSS_SINGLE_SELA f(x)不连续，F(x)可微且是f(x)的一个原函数．B f(x)不连续且不存在原函数，因而F(x)不是f(x)的原函数．C f(x)与F(x)均为可微函数，且F(x)为f(x)的一个原函数．D f(x)连续，且F"(x)=f(x)．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：可验证x=0为f(x)的第二类间断点，因为上式等号右端第二项极限不存在(无界，但不为无穷大量)．但可以验证F(x)在x=0处可微，且即当x∈(-∞，+∞)时有F"(x)=f(x)，因而F(x)是f(x)在(-∞，+∞)上的一个原函数．故选(A)．7.设F(x)=，f(x)连续，则F"(x)=SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：这是上、下限均为已知函数的变限积分，直接由变限积分求导法得故应选(A)．2. 填空题1.函数f(x)=上的平均值为_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：1解析：由于2.设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos 2 x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且F(0)=0，则F(x)=______.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：-2sinx解析：按题意F(x)= 为求f(x)，将题设等式求导得f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]=(cos 2 x+C)"=-2sinxcosx，从而f(x)=-2cosx，于是3.若函数f(x)连续并满足f(x)=x+，则f(x)=_____．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：定积分是积分和的极限，当被积函数与积分区间确定后，它就是一个确定的数．从而由题设知可令，只要求得常数A就可得到函数f(x)的表达式．为此将题设等式两端同乘x并从0到1求定积分，就有4.已知反常积分=______.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：利用分部积分法，可得3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的． （1）设 xn 是数列，下列命题中不正确的是（ （Ａ）若 lim xn a ，则 lim x2 n lim x2 n 1 a
解法二：
（8） 设总体 X B ( m, ), X 1 , X 2 , X n 为来自该总体的简单随机样本， X 为样本均值， 则 E[
(X
i 1
n
i
X )2 ] （
） ． （Ｂ） m( n 1) (1 ) （Ｄ） mn (1 )
（Ａ） ( m 1) n (1 ) （Ｃ） ( m 1)( n 1) (1 ) 答案：选（Ｂ） ． 解法一： E[
x x x
答案：选（Ｄ） ． 解：反例， 0, 0,1, 0, 0,1, , 0, 0,1, ． （2）设函数 f ( x) 在 ( , ) 内连续，其 2 阶导函数 f ( x) 的图像图形如图所示，则 曲线的拐点个数为（ ） ．
（Ａ） 0 （Ｂ） 1 （Ｃ） 2 （Ｄ） 3 答案：选（Ｃ） ． 解：由图得函数 f ( x) 的所有二阶导数等于零的点和二阶 导数不存在的点共有三个，再根据拐点的充分条件知有两个拐点． （ 3 ） 设 D ( x, y ) x y 2 x , x y 2 y ， 函 数 f ( x, y ) 在 D 上 连 续 ， 则
1 1 1 1 1 1 1 1 1 d 0 1 a 1 d 1 0 1 a 1 d 1 0 3 a 2 1 d 2 1 0 0 (a 1)(a 2) (d 1)(d 2) d2
2 2 2
显然 a 1 或 a 2 ； d 1 或 d 2 ，故选（Ｄ）项正确． （ 6 ）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 在正交交换 x py 下的标准型为 2 y1 y2 y3 ，其中
p (e1 , e2 , e3 ) ， 若 Q (e1 , e3 , e2 ) ， 则 ( x1 , x2 , x3 ) 在正交交换 x Qy 下的标准型为 （
（14） 设二维随机变量 ( X , Y ) 服从正态分布 N (1, 0;1,1;0) ， 则 P XY Y 0 答案：填“
．
1 ” ． 2
解：由正态分布的性质知 X N (1,1); Y N (0,1) ，且 X 与 Y 相互独立，故
P XY Y 0 P ( X 1)Y 0 P X 1 0, Y 0 P X 1 0, Y 0 1 1 1 1 1 P X 1 P Y 0 P X 1 P Y 0 ． 2 2 2 2 2
P ( A) P ( B ) 2
P ( A) P ( B ) P ( AB ) P ( AB ) P ( AB ) P ( AB ) ． 2 2 P( A) P( B) P( A) P( B) 2P( AB) P( AB) P( AB) P( AB) 0． 2 2 2
2 2 2 2
D
f ( x, y )dxdy 4 d
0
2sin 0
f (r cos , r sin )rdr 2 d
4
2cos 0
f (r cos , r sin )rdr ．
（4）下列级数中发散的是（ （Ａ）
） ． （Ｃ）
n n n 1 3
2 2 2 2
f ( x, y)dxdy （
D
） ．
2sin
（Ａ）
4 0
d d
1
2cos
0
f (r cos , r sin )rdr 2 d
4
0
f (r cos , r sin )rdr
4 0
（Ｂ）
2sin 0 x
f (r cos , r sin )rdr 2 d
上式子代入 (0, 0, 0) ，得 dx 2dy 3 dz (0,0) 0 ，所以 dz (0,0) ( dx 2dy ) ． （12）设函数 y y ( x) 是微分方程 y y 2 y 0 的解，且在 x 0 处 y ( x) 取得极值 3，则 y ( x) 答案：填“ e
y ( x) e 2 x 2e x ．
（13）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2, 2,1 ， B A A E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，
2
则行列式 B 答案：填“ 21 ” ．
．
解法一： B f ( A) A A E , f ( ) 1 ， A : 2, 2,1 ，则
） ．
（Ａ） 2 y1 y2 y3 （Ｂ）2 y1 y2 y3 （Ｃ）2 y1 y2 y3 （Ｄ）2 y1 y2 y3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
答案：选（Ａ） ．
2 0 0 2 0 0 1 解： P AP 0 1 0 , P (e1 , e2 , e3 ), Q (e1 , e3 , e2 ) ，则 Q AQ 0 1 0 ． 0 0 1 0 0 1
2 2 i 1 i 1
n
m (1 ) (m ) 2 ] n
mn (1 ) m 2 n 2 n[ ln(cos x) x x2
m (1 ) (m ) 2 ] m(n 1) (1 ) ． n
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分． （9） lim ．
(1) n 1 1 1 （Ｃ） 由莱布尼茨判别法可知收敛．而 发散，从而 ，故 ln n n n 2 ln n n 2 ln n
(1) n 1 发散． ln n n2
(n 1)! n n 1 (n 1) n 1 （Ｄ） lim lim( ) 1 ，故收敛． x x n 1 n! e nn 1 1 1 1 （5）设 A 1 2 a ，b d 矩阵，若 (1, 2) 集合，则线性方程组 Ax b 有 1 4 a 2 d2
4
2cos 0
f (r cos , r sin )rdr
（Ｃ） 2
2
1 1 x 2 2 x x2 x
f ( x, y )dy f ( x, y )dy
答案：选（Ｂ） ． 解： x y 2 y r 2r sin r 2sin ， x y 2 x r 2 cos ，所以
1 ” ． 2 ln(cos x) ln(1 cos x 1) cos x 1 1 解： lim lim lim ． 2 2 2 x x x x x x 2
答案：填“ （10）设函数 f ( x) 连续， ( x) 答案：填“ 2 ” ． 解： (1)
2 2
B : f (2) 3, f (2) 7, f (1) 1 ，从而 B 3 7 1 21 ．
2 0 0 4 0 0 3 0 0 2 解法二：赋值法取 A 0 2 0 , A 0 4 0 ，则 B 0 7 0 , B 21 ． 0 0 1 0 0 1 0 0 1
(X
i 1 n
n
i
X ) 2 ] (n 1) E ( S 2 ) (n 1) m (1 ) ．
n 2
解法二： E[
n
(X
i 1
2 2 i X ) ] E ( X i n X ) i 1
E ( X i ) nE ( X ) [m (1 ) (m ) 2 ] n[
2 x
． ． 2e x ”
2 x
解： y y 2 y 0 的通解为 y ( x) C1e
C2 e x ，得 y( x) 2C1e 2 x C2 e x ．
由 y(0) 0 ， y (0) 3 得 2C1 C2 0 ， C1 C2 3 ， 故 C1 1, C2 2 ， 所 以
1
x2
0
xf (t )dt ．若 (1) 1, (1) 5 ，则 f (1)
x2 0
．
1
0
f (t )dt 1 ． ( x) [ x
f (t )dt ]
x2 0
f (t )dt 2 x 2 f ( x 2 ) ，由
(1) f (t )dt 2 f (1) 5 ，解得 f (1) 2 ．
三、解答题：15~23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或检验步骤． （15） （本题满分 10 分） 设函数 f ( x) x a ln(1 x) bx sin x ，g ( x) kx ， 若 f ( x)
（Ｂ）
n 1
1 1 ln(1 ) n n
(1) n 1 ln n n2
（Ｄ）
n
n 1
n!
n
答案：选（Ｃ） ．
n 1 n 1 1 1 ，故收敛． 解： （Ａ） lim 3 n n 3 3n
（Ｂ） n , ln(1 )
1 n
1 1 1 1 1 , ln(1 ) 3 ， 3 收敛，故原级数收敛． n n n n 1 2 n2 n
无穷多解的充分必要条件为（ （Ａ）a , d 答案：选（Ｄ） ． 解： Ax b 有无穷多解的充要条件为 r ( A) r ( A b) 3 ． ） ． （Ｂ）a , d （Ｃ）a , d （Ｄ）a , d