推荐2019年中考数学一轮复习第四章图形的认识与三角形第14讲三角形与全等三角形过预测练习
(湖南专版)2019年中考数学一轮复习第四章图形的认识4.2三角形及其全等(讲解部分)素材(pdf)
２５ ㊀
方法二㊀ 全等三角形判定方法的合理选择
已知条件 一边 和 这 边 邻 角 分别相等 一边 及 它 的 对 角 分别相等 两边分别相等 两角分别相等 可供选择的判定方法 选边：只能选角的另一边（ ＳＡＳ） ＡＳＡ） 选角：可选另外两对对应角中任 意一对 （ ＡＡＳ㊁ 只能选 角： 可 选 另 外 两 对 对 应 角 中 任 意 一 对 （ ＡＡＳ） 选边：只能选剩下的一对边（ ＳＳＳ） 选角：只能选两边的夹角（ ＳＡＳ） 只能选边：可选任意一对对应边（ ＡＳＡ㊁ＡＡＳ）
ʑ ＡＢʊＣＤ，ＡＢ ＝ ＣＤ， ʑ øＡＢＥ ＝ øＣＤＦ，ȵ ＢＦ ＝ ＤＥ，ʑ ＢＥ ＝ ＤＦ， ʑ әＡＢＥɸәＣＤＦ（ ＳＡＳ） ，ʑ ＡＥ ＝ ＣＦ．
一题多解㊀ ȵ 四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，
解 析 ㊀ ȵ øＡＢＣ ＝ ５０ʎ ， øＡＣＢ ＝ ６０ʎ ， ʑ øＢＡＣ ＝ １８０ʎ － øＡＢＣ －øＡＣＢ ＝ １８０ʎ －５０ʎ －６０ʎ ＝ ７０ʎ ，故 Ａ 选项正确； １ １ øＡＢＣ ＝ ˑ５０ʎ ＝ ２５ʎ ， ２ ２ 在әＡＢＯ 中，øＡＯＢ ＝ １８０ʎ －øＢＡＯ －øＡＢＯ ＝ １８０ʎ － ７０ʎ － ２５ʎ ȵ ＢＤ 平分øＡＢＣ，ʑ øＡＢＯ ＝ ȵ ＣＤ 平分øＡＣＥ， ʑ øＡＣＤ ＝ １ ˑ（１８０ʎ －６０ʎ ） ＝ ６０ʎ ， ２ ʑ øＢＤＣ ＝ １８０ʎ －８５ʎ －６０ʎ ＝ ３５ʎ ，故 Ｃ 选项正确； ȵ ＢＤ㊁ＣＤ 分别是øＡＢＣ 和øＡＣＥ 的平分线， ʑ 易证 ＡＤ 是әＡＢＣ 的外角平分线， １ ʑ øＤＡＣ ＝ ˑ（１８０ʎ －７０ʎ ） ＝ ５５ʎ ，故 Ｄ 选项正确． ２
㊀ ㊀ ２． 全等三角形的性质
全等三角形的������ ������㊀ 对应㊀ 边相等，������ ������ ������㊀ 对应㊀ 角相等． ������
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第二节三角形的基本概念及全等三
第二节三角形的根本概念及全等三角形,怀化七年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021解答17全等三角形全等三角形的判定及其性质882021 解答17三角形中位线利用三角形的中位线的性质得条件，证三角形全等882021选择5全等三角形以等腰梯形为背景，判断三角形全等3填空15三角形内外角关系利用三角形的内外角关系求角362021选择5三角形中位线以测量池塘为背景，利用三角形中位线的性质得33到两点间的距离2021解答19全等三角形以等腰梯形为背景证三角形全等10填空11三角形中位线以平行四边形为背景，利用三角形中位线的性质求线段的长度3132021选择2三角形内外角的关系利用三角形的外角及内角的关系比拟大小33命题规律纵观怀化七年中考，“三角形的根本概念及全等三角形〞这一考点其余各年都有考察，根本概念考察层次偏低，全等三角形考察中等，其中，三角形内外角关系考察2次，三角形中位线考察3次，全等三角形考察3次．命题预测预计2021年怀化中考会以三角形中的重要线段，三主要考察对象，全等三角形的判定与性质也会在解答题中考察.,怀化七年中考真题及模拟)三角形的内外角关系(2次)1．(2021怀化中考)如下图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B)A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠AC．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1(第1题图)(第2题图)2．(2021怀化中考)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，延长BC 到D，那么∠ACD＝__80°__．三角形的中位线(3次)3．(2021怀化中考)如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14 m，那么A，B间的距离是( C)A．18 m B．24 m C．28 m D．30 m(第3题图)(第4题图)4．(2021怀化中考)如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD 的中点，那么EF＝__4__．全等三角形(3次)5．(2021怀化中考)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC及BD相交于点O，那么以下判断不正确的选项是( B)A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC(第5题图)(第6题图)6．(2021怀化二模)如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上．添加以下条件，不能判定△POC≌△POD 的选项是( D )A ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB B ．OC ＝OD C ．∠OPC ＝∠OPD D ．PC ＝PD7．(2021怀化学业考试指导)一个等腰三角形的两边长分别为2与5，那么它的周长为( C )A ．7B ．9C ．12D ．9或128．(2021鹤城模拟)三角形的两边长分别为3与6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的一个根，那么这个三角形的周长是( D )A ．2或4B ．11或13C ．11D ．139．(2021芷江模拟)在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB 边长为10，AC 边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．(2021怀化考试说明)如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE，假设AC ＝5，BC ＝3，那么BD 的长为( D )A ．2.5B ．1.5C ．2D ．111．(2021怀化中考)如图，在等腰梯形ABCD 中，点E 为底边BC 的中点，连接AE ，DE.求证：AE ＝DE.证明：∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠B ＝∠C，∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴△ABE ≌△DCE(SAS )，∴AE ＝DE.12．(2021怀化中考)如图，AD ＝BC ，AC ＝BD. (1)求证：△ADB≌△BCA；(2)OA 及OB 相等吗？假设相等，请说明理由．证明：(1)在△ADB 与△BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA(SSS )；(2)OA ＝OB.理由如下：∵△ADB≌△BCA，∴∠DBA ＝∠CAB，即∠OAB＝∠OBA，∴OA ＝OB.13．(2021怀化一模)如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D，∠B ＝∠C，求证：AB ＝DC.证明：∵BE＝CF ，∴BF ＝CE ，又∵∠A＝∠D，∠B ＝∠C，∴△ABF ≌△DCE ，∴AB ＝DC.14．(2021洪江模拟)△ABN 与△ACM 的位置如下图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.求证：(1)BD ＝CE ；(2)∠M＝∠N.证明：(1)∵在△ABD 与△ACE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB ＝∠AEC.又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO ＝∠AEC，∴∠MDO ＝∠NEO.∵∠MOD＝∠NOE，∴180°－∠MDO－∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，∴∠M ＝∠N.考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类 (1)按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)按边分类两条边相等的三角形 三边相等的三角形 三边互不相等的三角形 __等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之与__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a ＋b__>c ，|a －b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之与大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角与定理及内外角关系4．内角与定理：三角形的内角与等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__及它不相邻的两个内角之与．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段四线定义性质 图形中线连接一个顶点及它对边中点的线段BD ＝DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°续表角平分线一个内角的平分线及这个角的对边相交，顶点及交点之间的线段∠1＝∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC且DE＝12BC全等三角形及其性质6．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定8．三角形全等的判定类型图形条件是否全等形成结论一般三角形的判定A1B1＝A2B2，B1C1＝B2C2，A1C1＝A2C2是__SSS__∠B1＝∠B2，B1C1＝B2C2，∠C1＝∠C2是ASA ∠B1＝是AAS∠B 2， ∠C 1＝∠C 2， A 1C 1＝A 2C 2 A 1B 1＝A 2B 2， ∠B 1＝∠B 2， B 1C 1＝B 2C 2 是 __SAS __续表直角 三角 形的 判定A 1B 1＝A 2B 2，A 1C 1＝A 2C 2，是__HL __【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS 一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】(2021 洪江模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．假设调整木条的夹角时不破坏此木框，那么任意两个螺丝间距离的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．10【解析】4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2＋3、4、6作为三角形，那么三边长为5、4、6；5－4<6<5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；②选3＋4、6、2作为三角形，那么三边长为2、7、6；6－2<7<6＋2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4＋6、2、3作为三角形，那么三边长为10、2、3；2＋3<10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6＋2、3、4作为三角形，那么三边长为8、3、4；而3＋4<8，不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，任意两个螺丝间距离的最大值为7. 【学生解答】C1．(2021岳阳中考)以下长度的三根小木棒能构成三角形的是( D ) A ．2 cm ，3 cm ，5 cm B ．7 cm ，4 cm ，2 cm C ．3 cm ，4 cm ，8 cm D ．3 cm ，3 cm ，4 cm三角形的内角与外角关系【例2】(2021原创)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，那么∠B 的大小是( )A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A ＝∠ACD＝50°，又∵CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCE＝50°，∴∠ACE ＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B ＋∠A＝∠ACE，∴∠B ＝∠ACE －∠A ＝100°－50°＝50°.【学生解答】A2．(2021乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，假设∠B＝35°，∠ACE ＝60°，那么∠A＝( C )A ．35°B ．95°C ．85°D ．75°三角形中重要线段的应用【例3】在△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，CE ＝13AC ，BE ，CD 交于点O ，BE ＝5 cm ，那么OE ＝________cm .(例3题图)(例3题解图)【解析】如解图，过D 作DF∥BE，那么DF 就是三角形ABE 的中位线，∴DF ＝12BE ，AF ＝EF ，又∵CE ＝13AC ，∴CE ＝EF ，∴OE 就是三角形CDF 的中位线，∴OE ＝12DF ＝14BE ＝1.25 cm .【学生解答】1.253．(2021枣庄中考)如图，△ABC 的面积为6，AC ＝3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C′处，P 为直线AD 上的一点，那么线段BP 的长不可能是( A )A ．3B ．4C ．5.5D ．10全等三角形的证明及性质【例4】如图，点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，，且DC ＝DM ，试探究线段ME 及BD 的数量关系，并说明理由．【解析】连接MC ，先证△BDC≌△ADC，再证△ADC≌△EMC.【学生解答】解：如图，连接MC ，在等腰Rt △ABC 中，∵∠CAD ＝∠CBD＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD ，又AC ＝BC ，∴△BDC ≌△ADC(SSS )，∴∠DCA ＝∠DCB＝45°，∠EDC ＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC ＝DM ，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD ，又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC ＝180°－60°＝120°，∴∠EMC ＝∠ADC.又∵CE＝CA ，∴∠DAC ＝∠CEM ＝15°，∴△ADC ≌△EMC(AAS )，∴ME ＝AD ＝DB ，∴ME ＝BD.4．(2021南京中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ，以下结论：①AC⊥BD；②CB＝CD ；③△ABC≌△ADC；④DA ＝DC ，其中正确结论的序号是__①②③__．图形旋转中全等三角形的判定及性质【例5】(2021 苏州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)假设EF∥CD，求∠BDC 的度数．【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE.(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．【学生解答】解：(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD 与△FCE中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS )；(2)第 11 页 由(1)可知△BCD≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E ，∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC ＝90°.5．(2021怀化三模)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 在边AB 上，使DB ＝BC ，过点D 作EF⊥AC，分别交AC 于点E ，交CB 的延长线于点F.求证：AB ＝BF.提示：证Rt △ABC ≌Rt △FBD 即可．6．(2021淄博中考)如图，△ABC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC 的中点为M ，ME ∥AD ，交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F.求证：(1)AE ＝AF ；(2)BE ＝12(AB ＋AC)． 证明：(1)∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD.∵AD∥EM，∴∠BAD ＝∠AEF ，∠CAD ＝∠AFE ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ；(2)过点C 作CG∥EM，交BA 的延长线于点G ，∴∠AGC ＝∠AEF，∠ACG ＝∠AFE.∵∠AEF ＝∠AFE，∴∠AGC ＝∠ACG，∴AG ＝AC.∵BM＝CM ，EM ∥CG ，∴BE ＝EG ，∴BE ＝12BG ＝12(BA ＋AG)＝12(AB ＋AC)．。
中考数学 第四章 课时14 三角形及其全等(知识清单重难点讲解中考真题演练)
中考数学一轮复习·学与练第四章 三角形 课时14 三角形及其全等知 识 清 单考点一 三角形的概念及分类 1．三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的 图形叫做三角形． 2．三角形的分类(1)按边分一般三角形：三条边都不相等等腰三角形：有两条边相等等边三角形：三条边都相等(2)按角分90锐角三角形：三个角都是锐角直角三角形：有一个角为钝角三角形：有一个角为钝角考点二 三角形的边角关系1．边的关系：两边之和 第三边，两边之差 第三边．判断三条边(a ，b ，c ，a ≤b ≤c )能否构成三角形，只需比较两条短边(a ，b )的和与第三边(c )的大小，若a ＋b >c ，则能构成三角形；反之不能构成三角形．2．角的关系(1)三角形内角和等于 ；(2)任意一个外角 与它不相邻的两个内角之和； (3)任意一个外角 任何一个和它不相邻的内角．3．边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对 ，大边对 ． 4．三角形的稳定性三角形具有稳定性，即当三角形的三边确定时，三角形的形状和大小也就随之确定，而不再发生改变．考点三 三角形中的重要线段 1．角平分线(1)概念：一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段．(2)图形及性质：如图1，在△ABC 中，AD 为角平分线，则有∠1＝ ＝12∠BAC .(3)内心(三角形内切圆的圆心)：三角形的三条角平分线交于一点，该点称为三角形的内心，该点到三角形三边的距离相等．图1 图22．中线(1)概念：连接一个顶点与它对边中点的线段．(2)图形及性质：如图2，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则有BD ＝ ＝12BC .(3)重心：三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，该点到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的 倍．3．高线(1)概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．(2)图形及性质：如图3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，则有AD ⊥ ，即∠ADB ＝∠ADC ＝90°.(3)垂心：三角形的三条高线的交点，该点称为三角形的垂心．图3 图4知识延伸：外心(三角形外接圆的圆心)：三角形三条边中垂线的交点．外心到三角形三个顶点的距离 ．4．中位线(1)概念：连接三角形两边中点的 ．(2)图形及性质：如图4，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE 为△ABC 中位线，DE ∥ 且DE ＝12BC .考点四全等三角形的性质及判定1．全等三角形的概念能够的两个三角形叫的全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应角、对应边、周长、面积；(2)全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线都分别．3．全等三角形的判定判定1：三边分别的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).判定2：两边和它们的分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).判定3：两角和它们的分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).判定4：两角和其中一个角的对边分别的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).判定5：斜边和一条直角边分别的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).重难点讲解命题点1 利用三角形“三线”的性质解题三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角；由三角形的中线可得线段之间的关系；由三角形的角平分线可得角之间的关系，可利用角平分线的性质和三角形的内角与外角的关系建立所求角度与已知条件的联系，达到解题的目的．经典例题1如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A．15°B．20°C．25°D．30°【解析】根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，由AD是BC边上的高可得∠ADB＝90°，再由三角形内角和定理可得∠BAD的度数，根据∠DAC＝∠BAC－∠BAD即可得解．【答案】B命题点2 全等三角形判定方法的合理选择从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，我们可以利用题目中的已知边(角)确定要补充的边(角)，完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．(1)已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS ，找直角→HL ，找第三边→SSS.(2)已知一边、一角⎩⎪⎨⎪⎧一边为角的对边→找另一角→AAS ，一边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS ，找夹边的另一角→ASA ，找边的对角→AAS.(3)已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA ，找其中一角的对边→AAS.经典例题2 如图，点E ，F 在AB 上，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF .求证：∠C ＝∠D .【解析】根据题意选择“边角边”(SAS)即可求证．【证明】 ∵AE ＝BF ，∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ，即AF ＝BE .在△ADF 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BE ，∴△ADF ≌△BCE . ∴∠C ＝∠D .命题点3 三角形的角度计算问题中的方程思想方程思想的本质是设未知数，用未知量表示已知量的方法，通过分析题目，利用所学定理、性质等寻找出等量关系．三角形有关角度的计算问题，可利用三角形内角和及外角性质构建方程，利用方程思想解决有关角度问题.经典例题3 在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶6∶7，则∠B 的度数是( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80° 【解析】因为∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶6∶7，设∠A ＝5x °，∠B ＝6x °，∠C ＝7x °，根据三角形的内角和是180°，可得5x ＋6x ＋7x ＝180，解得x ＝10，所以∠B ＝6x °＝60°.【答案】 B中 考 真 题 演 练一、选择题1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A ．4cm ，5cm ，9cmB ．8cm ，8cm ，15cmC ．5cm ，5cm ，10cmD ．6cm ，7cm ，14cm 2. 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是( ) A ．1 B ．2 C ．8 D ．113. 如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的大小为( )A ．44°B ．40°C ．39°D ．38°第3题 第4题4. 如图，在△ABC 中有四条线段DE ，BE ，EF ，FG ，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是( )A ．线段DEB ．线段BEC ．线段EFD ．线段FG 5. 若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是( )A ．14B ．10C ．3D ．26. 如图，点D 在△ABC 边AB 的延长线上，DE ∥BC ．若∠A ＝35°，∠C ＝24°，则∠D 的度数是( )A ．24°B ．59°C ．60°D ．69°第6题 第7题7. 如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E 作EF ∥CD (点F 位于点E右侧)，且EF ＝2CD ，连接DF .若AB ＝8，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．2 3D ．3 2 8. 在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ，点E 在边AB 上，∠AED ＝60°，则一定有( ) A ．∠ADE ＝20° B ．∠ADE ＝30° C ．∠ADE ＝12∠ADC D ．∠ADE ＝13∠ADC9. 如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，CD ，BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是( )A ．7B ．9C ．10D ．11第9题 第10题10. 如图，直线l 1∥l 2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 11. 如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E ，F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c第11题 第12题12. 如图，已知点P 在线段AB 外，且P A ＝PB ，求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )A ．作∠APB 的平分线PC 交AB 于点C B ．过点P 作PC ⊥AB 于点C 且AC ＝BC C ．取AB 中点C ，连接PCD ．过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C13. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长线交AC于点E.若DF＝5，BC＝16，则线段EF的长为( )A．4 B．3 C．2 D．1第13题第14题14. 如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2(AD2＋AB2)－CD2. 其中正确的是( )A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④二、填空题15. 三角形三边长分别为3，2a－1，4，则a的取值范围是 .16. 如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF.第16题第17题17. 如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB．若∠BOC＝110°，则∠A＝.18. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AC＝6，则AB＝.第18题第19题19. 如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是.20. 等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为.三、解答题21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．22. 如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当AB＝5时，求CD的长．23. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF.(1)求证：△AEF≌△DEC；(2)若CF＝AD，试判断四边形AFDC是什么样的四边形？并说明理由．24. 如图，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC，BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.25. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O.求证：AD与BE互相平分．26. 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上(AP＞BP)．作AQ⊥AB，且AQ＝BP，连接CQ(如图1)．(1)求证：△ACQ≌△BCP；(2)延长QA至点R，使得∠RCP＝45°，RC与AB交于点H，如图2.①求证：CQ2＝QA·QR；②判断三条线段AH，HP，PB的长度满足的数量关系，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网(.21c.c)。
2019年中考数学一轮复习 第四章 图形的认识 4.2 三角形及其全等(试卷部分)优质课件
F分别是线段AB,CB上的动点,且∠EDF=90°,若ED的长为m,则△BEF的周长是
.(用含
m的代数式表示)
10
答案 ( 2m+2) 解析 如图,连接BD,在等腰Rt△C中,点D是AC的中点,
∴BD⊥AC,BD=AD=CD,∠DBC=∠A=45°,∠ADB=90°,
∵∠EDF=90°,∴∠ADE=∠BDF,在△ADE和△BDF中,
∴∠BAD= 1 ∠BAC=1 ×80°=40°,
2
2
∵DE∥AB,∴∠ADE=∠BAD=40°.
故选C. 5
7.(2015湖南常德,15,3分)如图,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交
于点E,则∠AEC=
.
答案 70°
解析 如图,∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,
中考数学 (湖南专用)
§4.2 三角形及其全等
1
五年中考 A组 2014—2018年湖南中考题组
考点一 三角形的相关概念
1.(2018湖南常德,2,3分)已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是 ( ) A.1 B.2 C.8 D.11 答案 C 设三角形第三边的长为x,由题意得7-3<x<7+3,解得4<x<10.故选C. 2.(2017湖南株洲,5,3分)如图,在△ABC中,∠BAC=x°,∠B=2x°,∠C=3x°,则∠BAD= ( )
A.∠B=∠C B.AD=AE
C.BD=CE D.BE=CD
答案 D 由题可知,AB=AC,∠A为公共角, 选项A,添加∠B=∠C,利用ASA即可证明△ABE≌△ACD; 选项B,添加AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD; 选项C,添加BD=CE,易得AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD; 选项D,添加BE=CD,因为SSA不能证明两三角形全等,故此选项不能作为添加的条件.故选D.
2019年中考数学全国通用复习讲义§4.2 三角形及其全等(讲解部分)
（ 其他证法参照此标准给分）
三角形三个内角的和等于⑧㊀１８０ʎ ㊀ 直角三角形的两个锐角⑨㊀ 互余㊀
推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的⑩㊀ 和㊀
{ {
三边都不相等的三角形 等腰三角形
{
底边和腰不相等的等腰三角形 ②㊀ 等边三角形㊀
考点二㊀ 全等三角形的判定与性质
㊀ ㊀ １． 全等三角形的性质 ２． 全等三角形的判定
ＳＳＳ ）
找其中一角的对边ңＡＡＳ ２． 若题中没有全等的三角形， 则可根据题中条件合理地添
（３） 已知两角
找夹边ңＡＳＡ
㊀ ㊀ 变式训练㊀ （ ２０１７ 湖北武汉， １８， ８ 分 ） 如图， 点 Ｃ， Ｆ， Ｅ， Ｂ 在一条直线上，øＣＦＤ ＝ øＢＥＡ， ＣＥ ＝ ＢＦ， ＤＦ ＝ ＡＥ． 写出 ＣＤ 与 ＡＢ 之间的关系，并证明你的结论．
第四章㊀ 图形的认识
２９ ㊀
ɦ ４． ２㊀ 三角形及其全等
９０
考点一㊀ 三角形的相关概念
㊀ ㊀ １． 三角形的定义 的图形叫做三角形． （１） 按边分： 三角形 ２． 三角形的分类
㊀ ㊀ ５． 与三角形有关的角
定理
由不在同一条直线上的三条线段 ①㊀ 首尾顺次 ㊀ 相接所组成
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
㊀ ㊀ １． 从判定两个三角形全等的方法可知， 要判定两个三角形 全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素 （ 其中至少有一个 元素是边） 对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（ 角） 准确 地确定要补充的边（ 角） ，有目的地完善三角形全等的条件， 从而 得到判定两个三角形全等的思路：
2019年中考数学第四章图形的认识4.2三角形及其全等(讲解部分)素材
８４
方法一㊀ 利用三角形 三线 的性质解题的方法
㊀ ㊀ 三角形的高㊁ 中线㊁ 角平分线是三条线段， 由三角形的高可 得 ９０ʎ 的角，常与三角形的面积相关； 与三角形内角和相联系可 解决三角形相关角度的计算； 由三角形的中线可得线段之间的 关系；由三角形的角平分线可得角之间的关系， 利用角平分线的 性质和三角形的内外角的关系可建立所求角度与已知条件的联 系，达到解题的目的． 例 １㊀ （ ２０１８ 河北，１５，２ 分） 如图，点 Ｉ 为 әＡＢＣ 的内心， ＡＢ ＝ ４，ＡＣ ＝ ３，ＢＣ ＝ ２，将øＡＣＢ 平移使其顶点与 Ｉ 重合，则图中阴影 （㊀ ㊀ ）
第四章㊀ 图形的认识
２５ ㊀
ɦ ４． ２㊀ 三角形及其全等
８４
考点一㊀ 三角形的相关概念
㊀ ㊀ １． 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段 ①㊀ 首尾顺次 ㊀ 相接所组成 的图形叫做三角形． ２． 三角形的分类 三边都不相等的三角形 三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 ②㊀ 等边三角形㊀ ③㊀ 直角三角形㊀ 三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 ３． 三角形的中位线 （１） 定义： 连接三角形两边 ④ ㊀ 中 ㊀ 点的线段叫三角形的中 位线． （２） 性质：三角形的中位线 ⑤㊀ 平行 ㊀ 于第三边， 且等于第三 边的⑥㊀ 一半㊀ ． ４． 三角形三边关系
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
解析㊀ （１） 证明：ȵ ＡＥ 和 ＢＤ 相交于点 Ｏ， ʑ øＡＯＤ ＝ øＢＯＥ． 在әＡＯＤ 和әＢＯＥ 中，øＡ ＝ øＢ，ʑ øＢＥＯ ＝ ø２． 又ȵ ø１ ＝ ø２，ʑ ø１ ＝ øＢＥＯ，ʑ øＡＥＣ ＝ øＢＥＤ． øＡ ＝ øＢ， 在әＡＥＣ 和әＢＥＤ 中， ＡＥ ＝ ＢＥ， øＡＥＣ ＝ øＢＥＤ， ʑ әＡＥＣɸәＢＥＤ（ ＡＳＡ） ． （２） ȵ әＡＥＣɸәＢＥＤ，ʑ ＥＣ ＝ ＥＤ，øＣ ＝ øＢＤＥ． 在әＥＤＣ 中，ȵ ＥＣ ＝ ＥＤ，ø１ ＝ ４２ʎ ， ʑ øＣ ＝ øＥＤＣ ＝ ６９ʎ ， ʑ øＢＤＥ ＝ øＣ ＝ ６９ʎ． 思路分析 ㊀ （ １ ） 根据全等三角形的判定定理， 利用 ＡＳＡ 即可判断әＡＥＣɸәＢＥＤ；（ ２） 由（ １） 可知 ＥＣ ＝ ＥＤ，øＣ ＝ øＢＤＥ， 根据等腰三角形的性质即可知 øＣ 的度数， 从而可求出 øＢＤＥ 的度数．
(安徽专用)2019年中考数学复习第四章图形的认识4.2三角形及其全等(讲解部分)素材(pdf)
������������������������������������������������������������������������������
{
ʑ әＡＥＣɸәＢＥＤ（ ＡＳＡ） ．
（２） ȵ әＡＥＣɸәＢＥＤ，ʑ ＥＣ ＝ ＥＤ，øＣ ＝ øＢＤＥ． 在әＥＤＣ 中，ȵ ＥＣ ＝ ＥＤ，ø１ ＝ ４２ʎ ， ʑ øＣ ＝ øＥＤＣ ＝ ６９ʎ ，ʑ øＢＤＥ ＝ øＣ ＝ ６９ʎ．
（２） 当点 Ｄ 在 ＢＣ 的延长线上时，如图：
㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ 图 １㊀ ㊀ ㊀
解析㊀ （１） 证明：①ȵ ＡＢʅＡＤ，ＡＥʅＡＣ， ʑ øＢＡＣ ＝ ９０ʎ －øＣＡＤ ＝ øＤＡＥ， 在әＡＢＣ 与әＡＤＥ 中， ȵ ＡＢ ＝ ＡＤ，øＢＡＣ ＝ øＤＡＥ，ＡＣ ＝ ＡＥ， ʑ әＡＢＣɸәＡＤＥ（ ＳＡＳ） ．
（４ 分） （５ 分） （６ 分） （７ 分）
形的面积，从而找到问题的突破口．
㊀ ㊀ 变式训练 ㊀ 如图， 在 әＡＢＣ 中， ＢＤ 是边 ＡＣ 的 中线， ＢＤ ʅ ＢＣ，øＡＢＣ ＝ １２０ʎ ，求证：ＡＢ ＝ ２ＢＣ．
ʑ Ｆ 为 ＢＥ 的中点，即 ＢＦ ＝ ＦＥ． （２） ＢＦ ＝ ＥＦ 成立． 连接 Ｂ １ Ｅ，过 Ａ 作 ＡＨ １ ʅＢ １ Ｅ，
选角：可选另外两对角中任意一对（ ＡＡＳ㊁ＡＳＡ） （ ＡＡＳ）
只能 选 一 角： 可 选 另 外 两 对 角 中 任 意 一 对 选边：只能选剩下的一对边（ ＳＳＳ） 选角：只能选两边的夹角（ ＳＡＳ） 只能选边：可选任意一对对应边（ ＡＳＡ㊁ＡＡＳ）
在әＡＢＭ 与әＤＡＣ 中，ＡＢ ＝ ＡＤ，而 ＡＢʅＡＤ，ＡＥʅＡＣ， ʑ øＡＢＭ ＝ øＡＢＮ ＝ ９０ʎ －øＢＮＡ，øＤＡＣ ＝ ９０ʎ －øＥＡＮ， 而 ＢＮʊＡＥ，则øＥＡＮ ＝ øＢＮＡ，ʑ øＡＢＭ ＝ øＤＡＣ， ȵ ＡＢʅＡＤ，ＡＨʅＣＤ， ʑ øＢＡＭ ＝ ９０ʎ －øＨＡＤ ＝ øＡＤＣ， ʑ әＡＢＭɸәＤＡＣ（ ＡＳＡ） ， ʑ ＢＭ ＝ ＡＣ，又 ＡＣ ＝ ＡＥ，ʑ ＢＭ ＝ ＡＥ，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形与全等三角形
考向三角形三边关系
1．[2019·原创]若一个三角形两边a＝2，b＝7，其第三边是一元二次方程x2－13x＋40＝0的实数根，那么这个三角形的周长为17．
2．三角形的三边长分别为5，1＋2x，8，则x的取值范围是1＜x＜6．
考向三角形内角和定理
3．[2018·聊城]如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α , ∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是(A)
A．γ＝2α＋β B．γ＝α＋2β
C．γ＝α＋β D．γ＝180°－α－β
第3题图第4题图
4．[2018·盐城]将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1＝40°，则∠2＝85°.
考向全等三角形的综合运用
5．[2019·临邑调研]如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O，点P是射线AC上一动点，点D是射线BC上一动点，PB＝PD.
(1)如图，当点P在线段OA上，DE⊥AC于点E.求证：△BPO≌△PDE.
(2)特殊位置，证明结论
当BP平分∠ABO时，其余条件不变．试探究线段CD和AP的数量关系，并加以证明．
(3)拓展应用，探索新知
当点P在射线OC上运动时，其余条件不变．若OP＝nCP时，请直接写出CD与AP的数量关系．(不必写解答过程)
解：(1)证明：∵PB＝PD，∴∠2＝∠PBD.
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠C＝45°.
∵BO⊥AC，∴∠1＝45°.
∴∠1＝∠C＝45°.
∵∠3＝∠PBD－∠1，∠4＝∠2－∠C， ∴∠3＝∠4.
∵BO ⊥AC ，DE ⊥AC ，
∴∠BOP ＝∠PED＝90°.
在△BPO 和△PDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠3＝∠4，∠BOP＝∠PED，BP ＝PD ，
∴△BPO ≌△PDE(AAS)．
(2)CD ＝AP.
证明：由(1)，得∠3＝∠4.
∵BP 平分∠ABO，
∴∠ABP ＝∠3，
∴∠ABP ＝∠4.
在△ABP 和△CPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠C，∠ABP＝∠4，PB ＝DP ，
∴△ABP ≌△CPD(AAS)，
∴AP ＝CD.
(3)当点P 在线段OC 上时，CD ＝2n 2n ＋1
AP ； 当点P 在线段OC 延长线上时，CD ＝2n 2n －1
AP.。