MATLAB实现抽样定理探讨及仿真

应用 MATLAB 实现抽样定理探讨及仿真

一． 课程设计的目的

利用MATLAB ，仿模信号抽样与恢复系统的实际实现，探讨过抽样和欠抽样的信号以及抽样与恢复系统的性能。

二． 课程设计的原理

模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。时域采样定理从采样信号恢复原信号

必需满足两个条件： (1)

必须是带限信号，其频谱函数在

＞

各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号

才能适用采样定理。）

(2) 取样频率不能过低，必须

＞2

（或

＞2）。（对取样频率的要求，即取样频率要

足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率大于或等于

，

即

（

为连续信号

的有限频谱），则采样离散信号

能无失真地恢复到原

来的连续信号 。一个频谱在区间（- ，

）以外为零的频带有限信号

，可唯一地由

其在均匀间隔

（

＜

）上的样点值

所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时

域采样定理直接推出频域采样定理。

(a)

)

(t f )

()(t t s S T =)

(t f s 连续信号

取样脉冲信号

抽样信号

)

(ωj H )

(0t f 理想低通滤波器

恢复信号

(b)

(c)

图2.1抽样定理

a) 等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） b) 高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）

2.1信号采样

如图1所示，给出了信号采样原理图

信号采样原理图（a ）

由图1可见，)()()(t t f t f s T s δ⋅=，其中，冲激采样信号)(t s T δ的表达式为：

∑∞

-∞

=-=

n s

T nT t t s

)()(δδ

其傅立叶变换为∑∞

-∞

=-n s s n )(ωωδω，其中s

s T π

ω2=

。设)(ωj F ，)(ωj F s 分别为)(t f ，)(t f s 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得

∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=-=

-=n s

s n s s s n j F T n j F j F )]([1

)(*)(21)(ω

ωωωδωωπω

若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω， )(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s 就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至 ,,,,,02ns s s ωωω±±±处（幅度为原频谱的s T 1倍）。因此，当m s ωω2≥时，频谱不发生

混叠；而当m s ωω2<时，频谱发生混叠。 2.1.3信号重构

设信号)(t f 被采样后形成的采样信号为)(t f s ，信号的重构是指由)(t f s 经过插处理后，恢复出原来信号)(t f 的过程。又称为信号恢复。

若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω，经采样后的频谱为)(ωj F s 。设采样频率m s ωω2≥，则由式

（9）知)(ωj F s 是以s ω为周期的谱线。现选取一个频率特性⎪⎩⎪⎨

⎧><=c

c

s

T j H ω

ωωωω0

)(（其中截止

频率c ω满足2

s

c m ω

ωω≤

≤）的理想低通滤波器与)(ωj F s 相乘，得到的频谱即为原信号的频谱

)(ωj F 。

显然，)()()(ωωωj H j F j F s =，与之对应的时域表达式为

)(*)()(t f t h t f s = （10）

而

∑∑∞

-∞

=∞-∞

=-=-=n s s n s s nT t nT f nT t t f t f )()()()()(δδ

)()]([)(1t Sa T j H F t h c

c

s

ωπ

ω

ω==- 将)(t h 及)(t f s 代入式（10）得

∑∞

-∞

=-==n s

c

s

c

s

c

c

s

s

nT t Sa nT f T t Sa T t f t f )]([)()(*)()(ωπ

ω

ωπω （11） 式（11）即为用)(s nT f 求解)(t f 的表达式，是利用MATLAB 实现信号重构的基本关系式，抽样函数)(t Sa c ω在此起着插函数的作用。

三、抽样定理的仿真和探讨

3.1.1 )(t Sa 的临界采样及重构图

当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即m s ωω2=时，称为临界采样. 修改门信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。